<자연계열-오전>

2017학년도

논술전형고사 출제배경 및 해설

[문제 1]

2017학년도 논술전형(자연계열-오전)

1. 출제배경

운동하고 있는 물체에 대한 물리적 상황을 수학적으로 이해하고 분석함으로써 수학에 대한 개념을 좀 더 명확하게 정립할 수 있다. 주어진 함수에 대해 적분을 이용하여 곡선의 길이를 구하는 개념은 2차원에서 움직이는 물체의 운동에 적용할 수 있다. 이 문제에서는 어떤 함수의 형태로 설계된 레일 장치 위를 움직이는 물체의 운동을 마찰력 또는 운동에너지 등의 물리적 용어를 사용하지 않고 수학적 개념을 사용하여 원하는 답을 얻어낼 수 있는지 평가한다.

각 문항별 출제 의도는 다음과 같다.

[1.1] 주어진 함수를 이용하여, 주어진 구간에서 물체가 움직인 이동거리를 적분을 이용해 구할 수 있는지 평가한다.

[1.2] 앞서 구한 결과를 주어진 물체의 운동 상황에 대입하여 질문에 어떻게 답하는지 평가한다.

[1.3] 물체가 레일 장치의 좌우를 계속해서 오가며 움직일 때, 주어진 지점을 몇 번 지나는지 앞서 구한 결과와 추론을 통해 찾을 수 있는지 평가한다.

[1.4] 물체가 계속 운동을 하다가 시간이 많이 흐르면 멈추는데, 공이 멈출 때까지 움직인 총 이동거리를 등비급수를 이용해 구할 수 있는지 평가한다.

2. 예시답안 및 해설

[1.1] 점 A와 점 P 사이에서 공의 이동거리는 곡선의 길이와 같다. [eqn: {dy} over {dx} = {e ^{2x} -e ^{-2x}} over {2}]이므로, 이동거리 [eqn: d]는 다음과 같다.

[eqn: d&= int _{0} ^{ln7} {sqrt {1+ LEFT ( {dy} over {dx} RIGHT ) ^{2}} dx} = int _{0} ^{ln7} {sqrt {1+ LEFT ( {e ^{2x} -e ^{-2x}} over {2} RIGHT ) ^{2}} dx= int _{0} ^{ln7} {sqrt {LEFT ( {e ^{2x} +e ^{-2x}} over {2} RIGHT ) ^{2}} dx}} ## &= int _{0} ^{ln7} {{e ^{2x} +e ^{-2x}} over {2} dx=} {1} over {4} LEFT [ e ^{2x} -e ^{-2x} RIGHT ] _{0} ^{ln7} = {600} over {49}]

[1.2] 점 P를 지난 공은 레일의 왼편으로 [eqn: {600} over {49} TIMES {7} over {10} = {60} over {7}]만큼 위로 올라간다. 점 P에서 센서가 있는 점 C까지 공의 이동거리는 함수 [eqn: y]가 좌우대칭이므로 [eqn: x]좌표가 [eqn: 0]에서 [eqn: ln5]까지의 곡선 길이와 같다. 이를 계산하면

[eqn: int _{0} ^{ln5} {{e ^{2x} +e ^{-2x}} over {2} dx=} {1} over {4} LEFT [ e ^{2x} -e ^{-2x} RIGHT ] _{0} ^{ln5} = {156} over {25}]

이 된다. 이 두 개의 값을 비교하면 [eqn: {60} over {7} > {156} over {25}]이다. 따라서 공은 센서가 있는 곳보다 더 높은 곳까지 운동하므로 센서는 작동한다.

[1.3] 점 P와 점 B 사이의 곡선 길이를 구하면,

[eqn: int _{0} ^{ln3} {{e ^{2x} +e ^{-2x}} over {2} dx=} {1} over {4} LEFT [ e ^{2x} -e ^{-2x} RIGHT ] _{0} ^{ln3} = {20} over {9}]

이다. 공의 이동거리 [eqn: LEFT ( {7} over {10} RIGHT ) ^{n} d] ([eqn: n]은 자연수)가 [eqn: {20} over {9}]보다 크면 점 B에 있는 센서는 작동된다. 그러므로,

[eqn: LEFT ( {7} over {10} RIGHT ) ^{n} d` GEQ {20} over {9} `~~ RARROW `~~ LEFT ( {7} over {10} RIGHT ) ^{n} ` GEQ ` {20} over {9} TIMES {49} over {600} = {49} over {270}]

를 만족하는 [eqn: n]을 찾으면 된다. 여기서 양변에 로그를 취하면

[eqn: n(log7-log10)` GEQ `(log49-log270)]

이다. 제시문에서 주어진 로그값을 대입하여 정리하면 다음과 같다.

[eqn: `n(0.85-1)` GEQ (2 TIMES 0.85-3 TIMES 0.48-1)]

즉, [eqn: 0.15n` LEQ `0.74]이고 이를 만족하는 [eqn: n] 값은 1, 2, 3, 4이다.

이를 바탕으로 점 B에 있는 센서가 작동하는 경우를 구체적으로 기술하면

- A에서 점 P를 향해 내려올 때 한번 (점 A와 점 P 사이의 이동 거리: [eqn: d])

- 왼편에서 점 P까지 내려온 뒤 다시 오른편으로 올라갈 때 한번 (이때 점 P에서 최고점까지 이동 거리: [eqn: (7/10) ^{2} d])

- 다시 점 P까지 내려올 때 한번 (이때 점 P까지 이동 거리: [eqn: (7/10) ^{2} d])

- 왼편에서 내려와 점 P까지 내려온 뒤 오른편으로 올라갈 때 한번 (이때 점 P에서 최고점까지 이동 거리: [eqn: (7/10) ^{4} d])

- 다시 점 P까지 내려올 때 한번 (이때 점 P까지 이동 거리: [eqn: (7/10) ^{4} d])

이렇게 점 B에 있는 센서는 5번 작동한다.

[1.4]  공이 움직인 총 거리 [eqn: D]는 다음과 같다.

[eqn: D&=d+ {7} over {10} d+ {7} over {10} d+ LEFT ( {7} over {10} RIGHT ) ^{2} d+ LEFT ( {7} over {10} RIGHT ) ^{2} d+ LEFT ( {7} over {10} RIGHT ) ^{3} d+ LEFT ( {7} over {10} RIGHT ) ^{3} d+ CDOTS## &=d+2d LEFT { {7} over {10} + LEFT ( {7} over {10} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {7} over {10} RIGHT ) ^{3} + CDOTS RIGHT } `=`d+2d {(7/10)} over {1-7/10} = {17} over {3} d= {17} over {3} TIMES {600} over {49} = {3400} over {49}]

3. 출제근거

｢등비급수와 그 활용｣, □고등학교 미적분I□, 미래엔, 2016, 36∼40쪽.

｢정적분｣, □미적분I□, 미래엔, 2016, 155∼176쪽.

｢등비수열의 합｣, □수학II□, 동아출판, 2016, 148∼149쪽.

｢상용로그｣, □수학II□, 동아출판, 2016, 225∼229쪽.

｢무리수 e와 자연로그｣, □미적분II□, 동아출판, 2016, 40∼41쪽.

｢지수함수와 로그함수의 미분법｣, □미적분II□, 동아출판, 2016, 45∼49쪽.

｢지수함수의 부정적분｣, □미적분II□, 동아출판, 2016, 178∼179쪽.

｢여러가지 함수의 정적분｣, □미적분II□, 동아출판, 2016, 200∼204쪽.

｢평면운동｣, □기하와 벡터□, EBS, 2016, 54∼63쪽.

[문제 2]

1. 출제배경

고등학교 수학 교과의 기본적인 이해도를 묻는 문제이다. 구체적으로, 수학 II 및 미적분 I, II 에서 공부한 수열, 극한, 지수함수의 응용, 그리고 수학적 귀납법의 적용에 대해 묻는 문제이다. 이러한 개념들은 정보과학 분야의 알고리즘 복잡도 계산 등 다양한 대학 수준의 이공계 학습을 위해 필수적인 수학 기반 지식이라 할 수 있다.

각 문항별 출제 의도는 다음과 같다.

[2.1] 수열의 인접항의 관계 이용 및 기본적인 부분 분수 분해법을 이용한 계산 능력, 그리고     기본적인 극한 계산법에 관한 이해도를 평가한다.

[2.2] 다항식의 지수의 확장, 그리고 등차 수열의 귀납적 정의를 바탕으로 수열의 합을 유도하는 방법을 알고 있는지 평가한다.

[2.3] 지수함수가 포함된 부등식의 이해 및 정리 능력, 그리고 수학적 귀납법의 적용 능력을 평가한다.

2. 예시답안 및 해설

[2.1] [eqn: a_n = {1} over {n(n+1)}= {1} over {n} - {1} over {n+1}]이므로, [eqn: f _{n}(x)= f _{n-1}(x) TIMES x ^{{1} over {n} - 1 over {n+1}}]이 된다. [eqn: f_0 (x)=1]이므로,

[eqn: f _{n}(x)&= f _{n-1}(x) TIMES x ^{{1} over {n} - 1 over {n+1}} = f _{n-2}(x) TIMES x ^{{1} over {n-1} - 1 over {n}} TIMES x ^{{1} over {n} - 1 over {n+1}} = ... ## &= 1TIMES x ^{{1} over {1} - 1 over {1+1}} TIMES ... TIMES x ^{{1} over {n-1} - 1 over {n}} TIMES x ^{{1} over {n} - 1 over {n+1}}`=`x ^{1- 1 over {n+1}}]

이다. 그러므로

[eqn: lim _{n -> INF } {f_n (x)} = x]

이다.

[2.2] [eqn: a_n = n +1]이므로, [eqn: f _{n} (x)~ = ~f _{n-1} (x) TIMES x ^{n+1}]이 된다. [eqn: f_0 (x)=1]이므로,

[eqn: f _{30}(x)&= f _{29}(x) TIMES x ^{31} = f _{28}(x) TIMES x ^{30} TIMES x ^{31} = ... ## &= 1TIMES x^2 TIMES ... TIMES x ^30 TIMES x ^{31}`=x ^{2 + cdots + 30 +31} = x^{{30times 33}over{2}} = x^495]

이다.

[2.3]   [eqn: f_n (x) = x^{ sum _{i=1 } ^{n } {1 over i}]이므로  [eqn: x ^{sum _{i=1} ^{n} {1} over {i}} GEQ x ^{{2n} over {n+1}}]을 증명하면 된다. 또한 [eqn: x>1] 이므로

[eqn: sum _{i=1} ^{n} {1} over {i} GEQ {2n} over {n+1}]

을 보이면 된다.

1) [eqn: n=1]일 경우,  좌변과 우변은 모두 1이므로 식을 만족한다.

2) [eqn: n=k]일 경우, 식을 만족한다고 가정하면, [eqn: sum _{i=1} ^{k} {1} over {i} GEQ {2k} over {k+1}]이다. 양변에 [eqn: 1 over {k+1}]을 더하여 정리하면,

[eqn: sum _{i=1} ^{k+1} {1} over {i} ``= ``sum _{i=1} ^{k} {1} over {i} + {1} over {k+1} `GEQ` {2k} over {k+1} + {1} over {k+1} = {2k+1} over {k+1}]

이다. 그런데 [eqn: {2k+1} over {k+1} - {2(k+1)} over {k+2} = k over {(k+1)(k+2)} >0]이므로,

[eqn: sum _{i=1} ^{k+1} {1} over {i} GEQ {2(k+1)} over {k+2}]

이다. 따라서 [eqn: n=k+1]에 대해서도 만족하므로 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 [eqn: n]에 대해 [eqn: sum _{i=1} ^{n} {1} over {i} GEQ {2n} over {n+1}]가 성립한다.

3. 출제근거

｢여러가지 수열의 합｣, □고등학교 수학 II□, 동아출판, 2016, 162∼171쪽.

｢수열의 귀납적 정의｣, □고등학교 수학 II□, 동아출판, 2016, 174∼176쪽.

｢지수의 확장｣, □EBS 수능 완성 수학 나형□, EBS, 2016, 42쪽.

｢수열의 극한값의 계산｣, □EBS 수능 완성 수학 나형□, EBS, 2016, 50쪽.

｢등차수열｣, □EBS 수능 완성 수학 나형□, EBS, 2016, 26쪽.

｢수학적 귀납법｣, □EBS 수능 완성 수학 나형□, EBS, 2016, 27쪽.

｢지수함수와 로그함수의 활용｣, □고등학교 미적분 II□, 미래엔, 2016, 20∼27쪽.

[문제 3]

1. 출제배경

이 문제에서는 확률과 확률분포, 표본평균과 표본분산에 대해 이해하고 있는지 확인하고자 한다. 문제 전반부는 확률분포와 표본의 개념을 이해하고 있는지 평가하고자 한다. 이산확률변수의 확률질량함수와 평균 그리고 표본평균의 분포를 이해하고 있는지 평가하는 문항이다. 문제 후반부는 통계의 근본 개념인 제시된 제한된 정보를 이용하여 원하는 값을 계산할 수 있는지 확인하고자 한다.

각 문항별 출제 의도는 다음과 같다.

[3.1] 이산확률변수의 확률분포를 이해하고 확률을 계산할 수 있는지 평가한다.

[3.2] 제한된 정보를 이용하여 표본분산을 계산할 수 있는지 평가한다.

[3.3] 제한된 정보를 이용하여 표본평균 및 표본분산을 계산할 수 있는지 평가한다.

2. 예시답안 및 해설

[3.1] 확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	1	2	3	4	5	6	7	8	9	합계
[eqn: P(X=x)]	[eqn: 1 over {k+9}]	[eqn: 1 over {k+9}]	[eqn: 1 over {k+9}]	[eqn: 1 over {k+9}]	[eqn: 1 over {k+9}]	[eqn: 1 over {k+9}]	[eqn: {k+1} over {k+9}]	[eqn: 1 over {k+9}]	[eqn: 1 over {k+9}]	1

기댓값이

[eqn: sum_{i=1}^9 x_i times P(X=x_i ) = sum_{i=1} ^ 9 i times {1}over{k+9} + 7 times {k } over {k+9 } = 45 over {k+9} + 7k over {k+9} = {7k +45} over {k+9} = 5.2]

이므로, [eqn: k=1]이다.

[eqn: X_1]	[eqn: X_2]	경우의 수
5	9	[eqn: 1 times 1]
6	8 9	[eqn: 1 times 2]
7	7 8 9	[eqn: 2 times ( 2 + 2 )]
8	6 7 8 9	[eqn: 1 times ( 3 + 2 )]
9	5 6 7 8 9	[eqn: 1 times (4 + 2 )]

[eqn: P( {bar X}_2 < 7 )]를 구하기 위하여 여사건의 확률 [eqn: P({bar X}_2 >= 7 )]를 이용한다. [eqn: {bar X}_2 >= 7]는 [eqn: X_1 + X_2 >=14]와 같고, 다음의 표와 같은 경우에 해당된다. 전체 경우의 수는 100이고, [eqn: X_1 + X_2 >=14]를 만족하는 경우의 수는 총 22가지이므로

[eqn: P({bar X}_2 < 7 ) = 1 - P( {bar X}_2 >= 7 ) = 1 - 22 over 100 = 78 over 100]이다.

[3.2] [eqn: sum_{i=1}^5 X_i = 30]이므로, [eqn: {bar{X}} _{5} = {1} over {5} sum _{i=1} ^{5} X _{i} = {30} over {5} = 6]

[eqn: S _{5} ^{2} = {1} over {5-1} sum _{i=1} ^{5} (X _{i} - {bar{X}} _{5} ) ^{2} = {1} over {4} sum _{i=1} ^{5} LEFT ( X _{i} ^{2} -12 X _{i} + 36 RIGHT ) ` = {1} over {4} LEFT ( 200 - 12 times30 + 180 RIGHT )`=`5]

[3.3] (1) [eqn: {bar{X}} _{10} = {1} over {10} sum _{i=1} ^{10} X _{i} = 5.4]이므로 [eqn: sum _{i=1} ^{10} X _{i} = 54]이다.

[eqn: {bar X}_{11} = {1} over {11} sum _{i=1}^{11} X_{i} = 1 over 11 left ( sum _{i=1} ^{10} X_{i} + X_{11} right )` = 1 over 11 ( 54 + 1) = 5]

(2) [eqn: S _{11} ^{2} ` & = {1} over {11-1} sum _{i=1} ^{11} (X _{i} - {bar{X}} _{11} ) ^{2} ~`=~ {1} over {10} LEFT { sum _{i=1} ^{10} (X _{i} - {bar{X}} _{11} ) ^{2} +(X _{11} - {bar{X}} _{11} ) ^{2} RIGHT }# # & = {1} over {10} LEFT { sum _{i=1} ^{10} (X _{i} - {bar{X}} _{10} + {bar{X}} _{10} - {bar{X}} _{11} ) ^{2} +(1-5) ^{2} RIGHT } ## & = {1} over {10} LEFT { sum _{i=1} ^{10} (X _{i} - {bar{X}} _{10} ) ^{2} +0.8 sum _{i=1} ^{10} (X _{i} - {bar{X}} _{10} )+1.6+16 RIGHT }# # &= {1} over {10} LEFT ( 9S _{10} ^{2} +17.6 RIGHT ) ~=5 ~~~~~~( BECAUSE ~ sum _{i=1} ^{10} (X _{i} - {bar{X}} _{10} )=0`)]

3. 출제근거

｢수열｣, □고등학교 수학II□, 동아출판, 2016, 156∼171쪽.

｢확률｣, □수능특강 수학영역 확률과통계□, EBS, 2016, 44∼69쪽.

｢이산확률분포｣, □수능특강 수학영역 확률과통계□, EBS, 2016, 70∼83쪽.

｢통계적추정｣, □수능특강 수학영역 확률과통계□, EBS, 2016, 96∼111쪽.