<자연계열>

2015학년도 논술전형

모의고사 출제배경 및 해설

[문제 1]

2015학년도 논술전형 모의고사(자연계열)

1. 출제배경

수학을 배우는 목적 중의 하나는 자연 현상을 수학적으로 이해하고 분석하는 것이다. 이 문제는 현상을 설명하는 내용을 이해하고 이를 수학적 언어로 서술하여 원하는 답을 얻어낼 수 있는지를 묻는 문제이다. 또한 일상생활에서 직면하는 여러 가지 문제를 수학적으로 해결하는 능력을 물어보는 문제이다. 여기에 사용된 수학적 개념은 제시문에 주어진 것과 같이 모든 고등학생이 알고 있는 간단한 내용이다.

각 세부 문항별 출제 의도는 다음과 같다.

[1.1] 적절히 변수를 도입하고 제시문을 활용하여 주어진 상황을 함수로 나타낼 수 있는지 평가한다.

[1.2] 함수의 최댓값을 구할 때 흔히 미분을 이용한다. 그러나 이 문제에서는 기계적으로 미분하여서는 쉽게 해결할 수 없다. 그 대신 주어진 함수를 잘 관찰하고 도형의 성질을 이용하면 최댓값을 쉽게 구할 수 있다. 따라서 수학적 창의성과 추론 능력을 평가한다.

2. 예시답안 및 해설

[1.1] 선분 [eqn: OC]의 길이를 [eqn: x]라 하면 [eqn: A]와 [eqn: C] 사이의 거리는

[eqn: sqrt{30^2 -(x-40)^2}=sqrt{-x^2 +80x-700}]

이고, [eqn: B]와 [eqn: C] 사이의 거리는

[eqn: sqrt{10^2 -(x-60)^2}=sqrt{-x^2 +120x-3500}]

이므로, [eqn: A]와 [eqn: B] 사이의 거리는

[eqn: f(x)=sqrt{-x^2 +80x-700}-sqrt{-x^2 +120x-3500}]

이다.

[1.2] [eqn: y _{1} = sqrt {-x ^{2} +80x-700}=sqrt{30^2 -(x-40)^2}]이고

[eqn: y_2 =sqrt{-x^2 +120x-3500}=sqrt{10^2 -(x-60)^2]라 하자. 제곱근 안의 값은 음이 아니어야 한다. 따라서 [eqn: 30^2 -(x-40)^2 ge 0]에서 [eqn: 10 le x le 70]임을 알 수 있고, [eqn: 10^2 -(x-60)^2 ge 0]에서 [eqn: 50 le x le 70]임을 알 수 있다. 따라서 [eqn: 50 le x le 70]이어야 한다.

위의 그림과 같이 [eqn: y_1]은 중심이 [eqn: x=40]이고 반지름이 [eqn: 30]인 반원이고, [eqn: y_2]는 중심이 [eqn: x=60]이고 반지름이 [eqn: 10]인 반원이다. 그러므로 두 값의 차가 최대가 되는 것은 [eqn: x=50]일 때 이고, 이때 [eqn: A]와 [eqn: B] 사이의 거리는

[eqn: f(50)=sqrt{30^2 -10^2}-sqrt{10^2 -10^2}=20sqrt2]

이다.

3. 출제근거

- 고등학교교과서, 수학, 도서출판 지학사, 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리, pp. 188-189.

- 고등학교교과서, 수학, 도서출판 지학사, 도형의 평행이동, pp. 231-232.

- 고등학교교과서, 수학, 도서출판 지학사, 원의 방정식, pp. 214-217.

- 고등학교교과서, 수학, 천재교육, 두 점 사이의 거리, pp. 156-160.

- 고등학교교과서, 수학, 천재교육, 평행이동, pp. 200-203.

- 고등학교교과서, 수학, 천재교육, 원의 방정식, pp. 186-189.

[문제 2]

1. 출제배경

평균값의 정리는 순간변화율과 평균변화율이 같아지는 시점이 존재한다는 것을 알려주는 미분가능한 함수의 중요한 성질 중 하나이다. 제시문 (나)의 정리는 정적분의 기본 정리와 함께 미분적분학에서 가장 중요한 정리로 독립적으로 발전해왔던 미분학과 적분학을 하나로 연결시켜주는 정리이다. 평균값의 정리와 미분과 정적분 사이의 관계를 활용하여 문제를 해결할 수 있는 논리적 사고력을 갖추고 있는지 평가한다.

각 세부 문항별 출제 의도는 다음과 같다.

[2.1] 문제에서 제시된 성질이 제시문 (나)에 등장하는 함수 [eqn: F(x)]에 평균값의 정리를 적용한 결과라는 사실을 인지하고, 이를 평균값의 정리를 활용하여 도출할 수 있는지 평가한다.

[2.2] 선행 문제에서 제시된 성질을 활용하여 새로운 문제 해결에 이용할 수 있는지 평가한다. 주어진 방정식의 대칭성을 발견하고 이를 이용할 수 있는지 평가한다.

2. 예시답안 및 해설

[2.1]  [eqn: F(x)`= int _{a} ^{x} {f(t)dt}]는 정적분과 미분의 관계로부터, 닫힌 구간 [eqn: [a,`b]]에서 연속이고 열린 구간 [eqn: (a,`b)]에서 미분가능한 함수이다. 따라서 평균값의 정리를 함수 [eqn: F(x)]에 적용하면,

[eqn: {F(b)-F(a)} over {b-a} =F`'`(c)]

를 만족하는 [eqn: c` IN `(a,`b)]가 적어도 하나 존재한다. [eqn: F(x)]의 정의에 의하여, 위 식의 좌변은

[eqn: {1} over {b-a} LEFT ( int _{a} ^{b} {f(x)dx`-` int _{a} ^{a} {f(x)dx}} RIGHT ) = {1} over {b-a} int _{a} ^{b} {f(x)`dx}]

와 같다. 우변은 정적분과 미분사이의 관계로부터 [eqn: F`'`(c)`=`f(c)]이므로 원하는 결과를 얻는다.

[2.2] [eqn: f(x)=a _{0} +a _{1} x ^{2} +a _{2} x ^{4} + CDOTS +a _{n} x ^{2n}]으로 정의하자. 그러면 [eqn: f(x)]는 닫힌 구간 [eqn: [0,`1]]에서 연속이므로 문제 [2.1]에 의해서

[eqn: {1} over {1-0} int _{0} ^{1} {f(x)`dx`=`f(c)}]

를 만족하는 [eqn: c IN (0,`1)]가 적어도 하나 존재한다. 위 식의 좌변은

[eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx`=} {a _{0}} over {1} + {a _{1}} over {3} + {a _{2}} over {5} + CDOTS + {a _{n}} over {2n+1} `=0]

이므로, [eqn: f(c)=0]을 만족하는 [eqn: c]가 열린 구간 [eqn: (0,1)]에 적어도 하나 존재한다. 또한 [eqn: f(c)=f(-c)]이므로 [eqn: c]가 근이면 [eqn: -c] 역시 근이다. 위에서 [eqn: c` IN `(0,`1`)]이므로, [eqn: c != 0]이고 [eqn: c` != -c]이다. (사실, [eqn: f(0)=a _{0} != 0]이므로 0은 근이 될 수 없다.) 따라서 방정식 [eqn: a _{0} +a _{1} x ^{2} +a _{2} x ^{4} + CDOTS +a _{n} x ^{2n} `=0]의 실근은 적어도 두 개다.

3. 출제근거

-고등학교 교과서, 수학, 천재교육, 이차함수의 최댓값과 최솟값, pp. 248-250.

-고등학교 교과서, 수학, 도서출판 지학사, 이차함수의 최대, 최소, pp. 284-287.

-고등학교 교과서, 수학II, 교학사, 연속함수의 성질, pp. 94-98.

-고등학교 교과서, 수학II, 교학사, 도함수, pp. 113-118.

-고등학교 교과서, 수학II, 교학사, 평균값의 정리, pp. 143-146.

-고등학교 교과서, 수학II, 천재교육, 연속함수의 성질, pp. 95-99.

-고등학교 교과서, 수학II, 천재교육, 도함수, pp. 111-116.

-고등학교 교과서, 수학II, 천재교육, 평균값의 정리, pp. 150-155.

-고등학교 교과서, 미적분과 통계 기본, 교학사, 정적분의 기본정리, pp. 89-96.

-고등학교 교과서, 미적분과 통계 기본, 천재교육, 정적분의 계산, pp. 100-106.

[문제 3]

1. 출제배경

교과 과정에서 배운 여러 물리적인 개념을 적용하여 주어진 상황을 물리적으로 정확하게 이해하고 어떤 식으로 설명할 수 있는 지 여부에 문제 출제의 주안을 두었다. 아울러, 이해한 물리적인 문제에 간단한 계산을 통하여 정확한 해답을 산출해 낼 수 있는 능력 또한 측정하고자 하였다.

[3.1], [3.2] 문항은 중력이 작용하지 않는 우주 공간에서 인공중력을 생성해 낼 수 있는 방법에 대한 사고력을 측정하는 문제이다. 이러한 물리적인 상황을 제대로 이해하기 위해서는 관성 기준틀과 비관성 기준틀에 대한 기본적인 물리 개념에 대한 이해가 필수적이다. 우주 정류장이 회전 운동을 함으로써 발생하는 구심력에 대한 기본 개념을 물어보았으며, 회전하는 우주 정류장이 비관성 기준틀임을 이해함으로써, 자연적으로 발생하는 구심력에 대응하는 관성력인 원심력이 어떤 식으로 정류장 내부의 사람들에게 영향을 끼칠 수 있는 지에 대한 사고력 및 상상력을 측정하고자 하였다.

또한 이러한 물리적인 상황을 정확하게 이해했다면, 정류장 내부에서 지상과 유사한 중력을 생성하기 위해서 얼마나 빠른 회전 운동을 우주 정류장이 수행해야 하는지를 물어보아 회전운동에 대한 구심력 및 원심력, 그리고 주기 및 진동수에 대한 물리적인 이해와 정량적인 계산 능력을 파악하고자 하였다.

[3.3], [3.4] 문항은 유체의 운동을 설명하기 위한 베르누이 정리에 대한 이해도와 베르누이 정리를 적용하여 비행기가 뜰 수 있는 원리를 설명할 수 있는 지를 물어보기 위한 문제이다. 제시문 (다)에서 준 일-에너지 관계식과 에너지 보존 법칙을 활용하여 비행기를 뜨게 하는 양력을 설명하기 위한 베르누이 정리를 유도하는 문제를 출제하여 베르누이 정리를 얼마만큼 구체적으로 이해하는 지를 파악하고자 하였다.

또한 이상기체에 대한 온도와 부피의 상관관계를 활용하여 베르누이 방정식을 통해 구해지는 양력이 온도에 따라 얼마만큼 변할 수 있는지를 물어보았다. 이를 통해, 유체역학과 열역학의 기본적인 지식을 활용하여 문제에 바르게 접근하는 능력과 간단하면서도 정확한 계산을 통해 해답을 올바르게 예측하는 능력을 평가하고자 하였다.

2. 예시답안 및 해설

[3.1] 물음에 대한 답 : 외벽 (B)

이유 : 우주정류장이 등속 원운동을 하는 경우 구심력과 구심가속도가 존재하며, 따라서 우주 정류장은 관성력이 존재하는 가속 좌표계로 기술할 수 있다. 이때 관성력은 원심력으로 실재하는 힘인 구심력에 대해 반대방향으로 작용하며 회전 중심으로부터 멀어지는 방향이다. 이 관성력을 지구에서처럼 중력으로 인식할 수 있으며, 따라서 등속 원운동을 하고 있는 우주정류장 속의 사람들이 주로 생활하게 되는 곳, 즉 지구의 지표면처럼 느끼게 되는 곳이 외벽(B)이다.

[3.2] 우주 정류장은 등속 원운동을 하므로, 관성력인 원심력을 중력과 동일시 할 수 있다.

따라서 외벽에 대해 [eqn: m {v ^{2}} over {R} =mg]    ---(1)

가 성립하며 이 식으로부터 [eqn: v ^{2} =Rg] 이다.    ----(2)

제시문 (가)에서 [eqn: v=Rw] 이므로  [eqn: w= sqrt {{g} over {R}} ``]이다.   ----(3)

진동수는 [eqn: f= {w} over {2 pi } = {1} over {2 pi } sqrt {{g} over {R}} ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````-----(4)# ``= {1} over {2 pi } sqrt {{10m/s ^{2}} over {9000m}} TIMES {60s} over {1min} = {1} over {pi } (회/min)```-----(5)]

[3.3] 제시문 (다)에 주어진 식으로부터

([eqn: (P _{A} -P _{B} )V= {1} over {2} m(v _{B} ) ^{2} - {1} over {2} m(v _{A} ) ^{2} +mg(h _{B} -h _{A} )]         ----(1)

에서 양변을 V로 나누고 높이의 차이를 무시하면 (즉 [eqn: h _{B} APPROX h _{A}])  ------(2)

[eqn: P _{A} -P _{B} = {1} over {2} rho [(v _{B} ) ^{2} -(v _{A} ) ^{2} ]]                             ----(3)

[eqn: A,B] 를 날개 위와 아래 위치라 하면, 위 결과로부터 날개 위와 아래에서의 공기 압력 차이는 두 지점에서의 속력의 제곱 차이에 비례함을 알 수 있다.

[3.4] 양력은 [eqn: TRIANGLE P`(=P _{A} -P _{B} )` TIMES (날개`면적)= {1} over {2} rho [(v _{B} ) ^{2} -(v _{A} ) ^{2} ] TIMES (날개면적)] 이다.

공기의 온도가  [eqn: 54.6 DEG C] 일 때 공기의 밀도([eqn: rho])를 먼저 구하자.

이상기체의 상태방정식으로부터 (혹은 샤를의 법칙으로부터) [eqn: {V _{1}} over {V _{2}} = {T _{1}} over {T _{2}}] . --(1)

[eqn: rho = {T _{1}} over {T _{2}} rho (0 DEG C`때`밀도)= {273} over {273+54.6} TIMES 1.2(kg/m ^{3} )=1.0kg/m ^{3}]  ----(2)

따라서 54.6[eqn: DEG C] 에서 양력은 [eqn: {1} over {2} TIMES (1.0`kg/m ^{3} ) TIMES [(300m/s) ^{2} -(200m/s) ^{2} ] TIMES (4m ^{2} )=10000`N]  --(3)

비행기가 양력에 의해 위로 뜨기 위해서는 비행기의 무게는 양력보다 작아야 한다.

비행기의 질량을 [eqn: M]이라하면 [eqn: M< {10000`N} over {g} = {10000`N} over {10m/s ^{2}} =1000`kg]  ----(4)

3. 출제근거

고등학교 교과서, 물리 I, 교학사, 케플러 법칙, p.64

고등학교 교과서, 물리 I, 교학사, 일반 상대성 이론, pp.74-75

고등학교 교과서, 물리 I, 교학사, 유체에서의 압력, pp.320-333

고등학교 교과서, 물리 I, 교학사, 열역학 법칙과 열기관, pp.337-348

고등학교 교과서, 물리 II, 교학사, 평면 운동, pp.32-34

고등학교 교과서, 물리 II, 교학사, 힘과 운동 법칙, pp.48-51

고등학교 교과서, 물리 II, 교학사, 가속 좌표계와 관성력, pp.61-65

고등학교 교과서, 물리 II, 교학사, 분자 운동과 이상 기체 상태 방정식, pp.86-93

고등학교 교과서, 물리 I, 천재교육, 만유인력의 발견, pp.50-51

고등학교 교과서, 물리 I, 천재교육, 일반 상대성 이론, pp.63-65

고등학교 교과서, 물리 I, 천재교육, 베르누이 법칙과 이용, pp.286-291

고등학교 교과서, 물리 I, 천재교육, 열역학 법칙, pp.293-296

고등학교 교과서, 물리 II, 천재교육, 포물선 운동과 원운동, pp.33-35

고등학교 교과서, 물리 II, 천재교육, 가속 좌표계와 관성력, pp.44-49

고등학교 교과서, 물리 II, 천재교육, 이상 기체와 상태 방정식, pp.68-74

[문제 4]

2015년도 논술고사 화학분야 모의 평가에서는 제시문 및 모든 문항은 고등학교 화학I 교과서 내용 중 산화 환원 반응, 원자의 구조와 원자 모형에 대한 내용을 활용하였고, 이를 통한 문제 해석 능력과 응용 분야와의 연관성을 강조하였다. 제시문의 내용과 주어진 수식에 대한 정확한 이해와 분석을 바탕으로 하여, 이를 적용하고 논리적 추론을 통하여 정답을 제시할 수 있도록 제시문, 수식 및 문항을 구성하였다.

[제시문 (가)와 문제 4.1]은 우리 주변에서 흔하게 접할 수 있는 산화 환원에 대한 한 예로써 철이 부식되는 과정에 대한 실험을 제시하였다. 제시된 실험 몇 가지를 통해 산화 과정에서 중요한 요인을 확인하고, 이를 잘 이해하고 있는지를 문제화하였다. 제시문과 문제에 대한 정확한 이해와 기본 지식을 잘 조합하여 답안을 작성할 수 있는 능력을 알아보고자 하였다.

[제시문 (나)와 문제 4.2]는 원자 모형과 원자 내 전자 배치에 대한 사항을 잘 이해하고 있는지를 점검하고자 하였고, 또한 수소 기체 선 스펙트럼 실험과 보어의 가설이 의미하는 빛과 에너지의 불연속성에 대한 기본 설명을 제시문으로 제시하여, 빛이 방출되는 과정에 대해 이해하고 이를 계산할 수 있는 것을 확인하고자 하였다.

예시답안 및 해설

[4.1] (가)를 참조하여 물음에 답하시오.

[4.1.1] (A)∼(E) 각 실험에 대하여 위 제시문에 언급된 철의 부식 요인을 모두 적으시오. 만약 부식 요인이 없으면 “없음“으로 적으시오.

(A)	(B)	(C)	(D)	(E)
물, 산소	산소	물	없음	전해질, 물, 산소

[4.1.2] (A)와 (B) 실험 그리고 (A)와 (C) 실험으로 철의 부식과 관련하여 알 수 있는 결과를 적으시오.

답안)

(A) 와 (B) : A의 경우 일상적인 물이므로 소량의 산소가 녹아있다. B의 경우 건조제를 이용하여 공기중에 포함된 수분을 제거하였으므로 공기 중에는 산소가 포함되어 있다. 따라서, (A) 와 (B)의 비교 실험은 철의 부식에서 물의 영향을 알 수 있다.

(A) 와 (C) : C의 경우 물을 끓여서 물에 녹아있는 산소를 제거하였다. 따라서, (A) 와 (C)의 비교 실험은 철의 부식에서 산소의 영향을 알 수 있다.

[4.1.3] (A)∼(E) 실험 중 부식이 가장 느린 것과 가장 빠른 것을 적고, 그 이유를 설명하시오.

답안)

가장 느린 것: (D) 식용유

이유: 산소, 물, 전해질등 부식에 영향을 미치는 요소가 모두 없음.

가장 빠른 것: (E) 소금물

이유: 산소, 물, 전해질등 부식에 영향을 미치는 요소가 모두 있음.

[4.1.4] 금속 원소들의 산화되기 쉬운 순서는 다음과 같다.

Al > Zn > Fe > Sn > Cu

위의 금속 중에서 철에 부착하여 철의 부식을 방지할 수 있는 금속을 모두 적고, 그 이유를 설명하시오.

답안)

(총 3점)

알루미늄 또는 Al (1점) 과 아연 또는 Zn (1점)

이유: Al 과 Zn는 철보다 먼저 산화되어 전자를 잃기 때문에 (1점)

[4.2] (나)를 참조하여 물음에 답하시오.

[4.2.1] 전자 껍질 M (n=3)에서 L (n=2) 으로 전자가 이동할 때, 방출하는 빛은 빨간색이다.  보어의 원자 모형 가설과 아래 주어진 빛 에너지와 파장간의 관계식을 이용하여 빨간색 빛의 파장(l)을 구하시오.

[eqn: E`=`h nu `=`h {c} over {lambda } ```# h`=`6.6` TIMES 10 ^{-34} J BULLET s`,``c`=`3` TIMES 10 ^{8} `m/s`,`N _{A} =`6` TIMES 10 ^{23} `mol ^{-1}]

답안)

(총 5점: 식을 이용한 풀이 과정: 2점, 주어진 범위 이내의 답을 구할 경우 3점)

[eqn: DELTA E _{3 -> 2}`=`-1312( {1} over {2 ^{2}} - {1} over {3 ^{2}} )`=`-1312` TIMES {5} over {36} `(kJ/mol)`=`-1312 TIMES {5} over {36} TIMES {10 ^{3}} over {6 TIMES 10 ^{23}} `J]

에너지의 부호가 음수인 것은 위의 과정에서 에너지가 방출했음을 나타낸다.

그리고 파장(l)을 구하면 다음과 같다.

[eqn: lambda `= {hc} over {DELTA E} = {(6.6 TIMES 10 ^{-34} Js) TIMES 3 TIMES 10 ^{8} m/s} over {1312` TIMES {5} over {36} TIMES {10 ^{3}} over {6 TIMES 10 ^{23}} J} ``=651.9` TIMES 10 ^{-9} `m`(651.9``nm)`]

따라서 빨간색 빛의 파장은 647 ~ 657 nm (⨯10-9 m) 이내 값을 적은 경우 정답으로 인정

[4.2.2] 전자껍질 M에서 L로 전자가 이동한 후, 다시 L에서 K (n=1) 껍질로 전자가 이동하면서 자외선을 방출하였다. 자외선과 빨간색 빛 중 에너지가 큰 것과 파장이 큰 것을 위에 주어진 식을 이용하여 예측하시오. (단, 정확한 파장을 구할 필요는 없음)

답안)

아래 풀이와 같이 정확한 에너지를 구하지 않더라도 에너지식을 사용하여 정성적으로 자외선과 빨간색의 에너지의 크기를 비교한 후, 에너지와 파장의 관계를 이용하여 파장의 상대적인 크기를 제대로 설명하였을 경우 정답으로 인정.

전자가 L(n=2) 에서 K (n=1)로 이동하면서 방출한 에너지는 다음과 같다.

[eqn: DELTA E _{2 -> 1} `=`-1312( {1} over {1 ^{2}} - {1} over {2 ^{2}} )`=`-1312` TIMES {3} over {4} `(kJ/mol)```]

따라서, 방출하는 에너지의 크기는 L(n=2) 에서 K (n=1)로 이동할 때 방출하는 자외선이 더 크다.

[eqn: LEFT |DELTA E _{2 -> 1} RIGHT | `> LEFT |DELTA E _{3 -> 2} RIGHT |]

그리고 파장은 에너지와 반비례 관계에 있으므로 자외선이 더 짧고, 빨간색이 더 길다.

[eqn: THEREFORE ` lambda _{3 -> 2} > lambda _{2 -> 1}]

자외선의 에너지가 크고, 파장은 에너지에 반비례하므로 빨간색 빛이 길다.

(또는 파장은 빨간색이 길고, 에너지는 파장에 반비례하므로 자외선이 짧다)

출제근거

- EBS 수능특강 화학I,  pp. 45-47, pp.153-161.

- 천재교육 화학I, pp.78-84.

- 교학사 2011, 화학I pp. 70-74, p. 209.

- 상상아카데미 2011, 화학I pp. 77-79, pp.176-180