2014학년도 논술고사 기출문제

- 자연계열 -

덕성여자대학교 입학관리과

2014학년도 수시1차모집 논술고사(자연)-전공1

처음 투자한 자본에 대하여 [eqn: t]년 후의 원리합계를 계산하고자 한다. 이때 처음 투자된 자본을 원금이라 하며, 투자된 원금에 대한 대가를 지급하게 되는데 이를 이자라 한다. 기준 시점인 [eqn: t=0]으로부터 [eqn: t]년이 지난 후의 원리합계를 [eqn: A(t)]로 나타내며, 이는 [eqn: t]에 대한 함수가 된다. 또한 주어진 기간 동안의 이율은 “그 주어진 기간 동안 발생한 이자/원금”으로 정의되고, 1년 동안의 이율을 연이율이라 한다.

실생활에 활용되는 이율을 다루기 위해서 다음과 같이 한 해에 여러 번 이자가 지불되는 경우를 생각할 수 있다. 일 년을 [eqn: m] 등분한 각 기간마다 이자가 지급될 때의 연이율을, [eqn: m]에 대한 명목이율이라 하고 [eqn: r _{m}]으로 표시한다. 이때 이자가 지급되는 각 단위 기간 [eqn: { 1} over {m }]년 당 이율은 [eqn: r _{m}/m]이 된다. 예를 들어, 명목이율 [eqn: r _{12}= 6]%의 의미는 [eqn: 1/12]년, 즉 1개월의 이율이 [eqn: 6]%/[eqn: 12 = 0.5]%[eqn: =0.005]가 된다는 것이다. 따라서 1원을 명목이율 [eqn: r _{12}= 6]%의 복리로 투자하면 1년 후의 원리합계는 [eqn: (1+0.005)^12 APPROX 1.0617]원이 된다. 이것으로부터 연이율은 [eqn: r _{1} =6.17]%이 되는 것을 알 수 있다.

다음 물음에 답하시오. 단 모든 이율은 복리로 계산한다.

문항1) 이율의 정의를 이용하여 주어진 기간 [eqn: [ t,t+ { 1} over {m }]] 동안의 이율 [eqn: r_m /m]을 원리합계 함수 [eqn: A]를 이용하여 표현하시오. 또한 [eqn: m GEQ 2]일 때, 이항전개를 이용하여 [eqn: r_1 >r_m]임을 증명하시오. [eqn: m]을 한없이 크게 할 때 명목이율 [eqn: r _{m}]의 수렴여부를 판단하고, 수렴할 경우 그 극한값을 구하시오. (35점)

문항2) 김씨는 아파트 전세비용을 마련하기 위하여 B 은행에서 1억 원을 연이율 [eqn: r _{1}= 10]%로 5년 만기 대출을 받았다. 이 대출을 상환하기 위하여, 김씨는 대출 받은 시점으로부터 시작하여 명목이율 [eqn: r _{12} = 6]%로 매월 초 [eqn: a] 원을 적립하는 5년짜리 예금을 들었다고 가정하자. 만기 시 B 은행에서의 대출을 완전상환하기 위하여 필요한 최소한의 [eqn: a] 값을 구하시오. 이번에는, B 은행에서의 대출을 상환하기 위하여, 김씨는 대출 받은 시점으로부터 시작하여 명목이율 [eqn: r _{12} = 6]%로 매월 초 [eqn: b] 원을 적립하는 5년짜리 예금을 들었다고 하자. 그러나 대출을 받은 후 자금의 여유가 생겨 동일한 명목이율 [eqn: r _{12}= 6]%로 대출 시점으로부터 1년이 지난 후 매월 초마다 1만원씩 더 예금을 한다고 하였을 때,  만기 시 [eqn: B] 은행에서의 대출을 완전상환하기 위하여 필요한 최소한의 [eqn: b] 값을 구하시오. (천 원 단위에서 올림하여 만 원 단위로 구한다. [eqn: 1.1 ^{5} =1.60,] [eqn: 1.005 ^{49} =1.28,] [eqn: 1.005 ^{60} =1.35]를 사용하라.) (35 점)

다음 제시문을 읽고 아래의 문제에 답하시오.

2014학년도 수시1차모집 논술고사(자연)-전공2

문항1) [그림 1]과 같이 일정한 두께 [eqn: d]를 가지고, [eqn: xy]평면과 평행한 단면이 주어진 양의 상수 [eqn: a]에 대하여 영역 [eqn: y GEQ ax ^{2}]을 이루는 용기에, 시간당 일정한 부피의 물을 붓기 시작했다. 수면의 높이와 물을 붓기 시작한 후 흐른 시간과의 관계를 대하여 논하시오. 단, 여기에서 높이는 [eqn: y]좌표 값에 해당한다. (35점)

[eqn: x]

[eqn: y]

[그림1]

[eqn: 0]

[eqn: y=ax ^{2}]

[eqn: d]

[eqn: x]

[그림 1]

문항2) [그림 2]와 같이 곡선 [eqn: y=ax ^{2}] ([eqn: a]는 양의 상수)을 [eqn: y]축을 중심으로 회전하여 얻어진 포물면 용기와 완전한 구형인 풍선이, 높이가 일정한 원에서 서로 접하고 있다. 이 때 풍선의 중심의 높이와 접점들의 높이의 관계에 대하여 논하시오. 풍선이 [그림 2]와 같이 용기에 접한 상태에서 완전한 구형을 유지하면서 점점 바람이 빠지고 있다고 하자. 풍선의 아랫부분이 용기의 바닥에 처음 닿는 순간 풍선의 반지름과, 포물면을 결정하는 상수 [eqn: a]의 관계에 대하여 논하시오. (40점)

[eqn: y]

[eqn: y=ax ^{2}]

[eqn: x]

[eqn: 0]

[그림 2]

문항3) [문제 2]의 상황에서, 용기가 곡선 [eqn: y=ax ^{2}] 대신 곡선 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | ^{{3} over {2}}]을 [eqn: y]축을 중심으로 회전하여 얻어졌다고 하자. 풍선의 아랫부분이 용기의 바닥에 처음 닿는 순간 풍선의 반지름에 대하여 논하시오. (50점)

다음 제시문을 읽고 아래의 문제에 답하시오.

2014학년도 수시1차모집 논술고사(자연)-전공3

모집단의 어떤 특성값 [eqn: alpha]를 모를 때, 모집단으로부터 복원추출로 크기 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 그 표본으로부터 만들어진 [eqn: A]로 모집단의 특성값 [eqn: alpha]를 추정한다. 예를 들면, 모집단의 한 특성값인 모평균 [eqn: mu]를 추정하고자 모집단으로부터 복원추출로 크기 [eqn: n]인 표본을 임의추출하였을 때, 이 표본으로부터 만들어진 표본평균 [eqn: bar{X}] 혹은 표본중앙값 [eqn: M] 등으로 특성값 [eqn: mu]를 추정한다.

특성값 [eqn: alpha]를 추정하는 [eqn: A]의 형태는 다양하다. 특성값 [eqn: alpha]에 대한 [eqn: A]의 추정의 우수성은, 모집단으로부터 복원추출에 의한 임의추출방법으로 추출 가능한 크기 [eqn: n]인 모든 표본들을 생각하였을 때, 각 표본들로부터 만들어진 [eqn: A]들이 [eqn: alpha]가 될 가능성이 높은 것을 기준으로 한다. 그런 의미에서, 다음의 두 조건이 추정의 우수성의 기준들로 사용되고 있다.

[eqn: E(A)=alpha]                                  (1)

작은 [eqn: V(A)]                                 (2)

여기서, [eqn: E(A)]는 [eqn: A]의 기댓값이고, [eqn: V(A)]는 [eqn: A]의 분산이다.

모평균과 표본평균의 예를 들어보자. 모집단의 특성값인 모평균 [eqn: mu]를 추정하고자 모집단으로부터 복원추출로 크기 [eqn: n]인 표본을 임의추출하였을 때, 표본평균 [eqn: bar{X}]는 [eqn: E(bar{X})=mu]와 [eqn: V(bar{X})=sigma^2 /n]을 만족한다. 여기서, [eqn: sigma^2]은 모집단의 분산인 모분산이다. 이때 [eqn: V(bar{X})]는 위 (1)의 조건을 만족하는 [eqn: mu]에 대한 다른 추정들의 분산들과 비교하였을 때 일반적으로 작다는 것이 익히 알려져 있다. 이러한 이유로, 표본평균 [eqn: bar X]는 [eqn: mu] 추정이 우수하다고 평가되고 널리 사용되고 있다.

다음의 모집단 [eqn: left{0,1,2 right}]을 생각하자. 이 모집단의 특성값인 모분산 [eqn: sigma^2]을 추정하기 위하여, 이 모집단으로부터 복원추출로 크기 2인 표본 [eqn: X_1 ,` X_2]을 임의추출하였다.  다음의 물음에 답하시오.

문항1) 모분산 [eqn: sigma^2]의 추정을 위하여 표본으로부터 만들어진 다음의 형태 [eqn: S_1^2 = 1 over 2-1 sum_{i=1}^2 (X_i -bar X )^2]를 사용하고자 한다. [eqn: E(S_1^2 )]과 [eqn: V(S_1^2 )]을 계산하시오. (35점)

문항2) 모분산 [eqn: sigma^2]의 추정을 위하여 표본으로부터 만들어진 다음의 두 형태 [eqn: S_1^2 = 1 over 2-1 sum_{i=1}^2 (X_i -bar X )^2]과 [eqn: S_2^2 = 1 over 2 sum_{i=1}^2 (X_i -bar X )^2]을 생각하자. [eqn: sigma^2]에 대한 [eqn: S_1^2]과 [eqn: S_2^2]의 추정의 우수성에 대해 제시문의 조건 (1)과 (2) 각각을 기준으로 비교 설명하시오. (35점)

문항3) 이 모집단의 모평균 [eqn: mu]을 안다고 할 때, 모분산 [eqn: sigma^2]의 추정을 위하여  표본으로부터 [eqn: mu]를 이용하여 만들어진 다음의 형태 [eqn: S_3^2 =sum_{i=1}^2 k_i (X_i -mu)^2]을 사용하고자 한다.  [eqn: S_3^2]의 [eqn: sigma^2] 추정이 우수하도록, 위 제시문의 조건 (1)을 만족하고 [eqn: S_3^2]의 분산이 최소가 되게 하는 실수 [eqn: k_1]과 [eqn: k_2]를 구하시오. (35점)

다음 제시문을 읽고 아래의 문제에 답하시오.