논술고사 기출문제

덕성여자대학교 입학관리과

덕성여자대학교 논술고사 기출문제 (자연)

< 2008학년도>

아래의  문제에  답하시오.

<그림 1>

․

․

․

[eqn: D]

[eqn: E]

[eqn: O]

[eqn: Q]

[eqn: {r} over {2}]

[eqn: {r} over {2}]

[eqn: {r} over {2}]

[eqn: {r} over {2}]

반지름이 [eqn: r]인 원 [eqn: Q]가 있다.

(1) [eqn: Q]의 내부에 반지름이 각각 [eqn: {r} over {2}]인 두 원들을 다음 <그림1>과 같이 겹치지 않게 넣었다. (여기에서 선분 [eqn: bar{DE``}]는 [eqn: Q]의 지름이고 [eqn: O]는 [eqn: Q]의 중심이다.) 이 두 원들을 [eqn: Q]의 내부에 다른 형태로 겹치지 않게 넣을 수 있겠는가? 가능하다면 예를 들고, 아니라면 그 근거를 수학적으로 논술하시오.

(2) [eqn: Q]의 내부에 반지름이 각각 [eqn: {r} over {2}]인 세 원들을 겹치지 않게 넣을 수 있는가? 가능하다면 예를 들고, 아니라면 그 근거를 수학적으로 논술하시오.

※ 해설 ※

풀이 기법 자체는 난이도가 높지 않을 수 있다. 많은 수학문제들의 풀이법을 단순히 익혀서는 체득할 수 없는, 결론에 도달하기까지의 수학적, 논리적 전개에 대한 이해 정도를 측정하는 데 주안점을 두었다. 이 문제는, 구체적인 문제 풀이보다도 결론을 이끌어내기까지의 수학적, 논리적 사고의 유무에 초점을 맞추어야 한다.

< 답안 예시 >

예시답안은 다양한 방법 중 한 가지 예이므로, 구체적 논리 전개는 조금씩 달라질 수 있다. 다른 방법이더라도 채점은 그 논리적 완비성을 기준으로 한다.

(1) 가능하지 않다:

가능하다고 가정하자. 먼저 [eqn: Q]의 반지름이 [eqn: r]이고 내부에 있는 원의 반지름이 [eqn: {r} over {2}]이므로, [eqn: Q]의 내부에 있는 반지름 [eqn: {r} over {2}]인 원은 [eqn: Q]에 접하지 않을 경우 [eqn: Q]의 중심을 그 내부에 포함해야만 한다. 따라서 반지름 [eqn: {r} over {2}]인 두 원은 모두 [eqn: Q]에 접하여만 하고, 결국 <그림2>와 같은 형태가 가능하여야 한다.

<그림 2>

․

[eqn: O]

[eqn: Q]

․

․

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: Q]의 중심을 [eqn: O], 내부의 두 원의 중심을 각각 [eqn: A], [eqn: B]라고 하면 삼각형 [eqn: ABO]에서 [eqn: bar{AB``} `=` {r} over {2} + {r} over {2} `=` bar{AO``} `+` bar{BO``}]가 되므로 모순이다. 따라서 <그림1>과 다른 형태는 가능하지 않다.

(2) 가능하지 않다:

가능하다고 가정하자. [eqn: Q]의 내부에 반지름이 각각 [eqn: {r} over {2}]인 세 원의 중심을 각각 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]라고 하자. (1)의 결론에 의하여 [eqn: Q]의 중심 [eqn: O]가 선분 [eqn: bar{AB``}]의 중점이 되므로, <그림3>과 같이 삼각형 [eqn: ABC]는 이등변삼각형이 되고 삼각형 [eqn: AOC]는 직각삼각형이 된다.

<그림 2>

[eqn: Q]

․

[eqn: O]

․

․

[eqn: A]

[eqn: B]

․

[eqn: C]

그런데 [eqn: bar{AO``} `=` bar{CO``} `=` {r} over {2}], [eqn: bar{AC``} `=`r]인데, 피타고라스의 정리에 의하여 [eqn: bar{AC``} `=` sqrt {bar{AO``} ^{2} `+` bar{CO``} ^{2}} `=` {r} over {sqrt {2}}]이어야 하므로 모순이다. 따라서 [eqn: Q]의 내부에 반지름이 각각 [eqn: {r} over {2}]인 세 원들을 겹치지 않게 넣을 수 없다.

< 2008학년도 >

다음의 제시문을 읽고 아래의 문제에 답하시오.

프랙털은 부분이 전체를 닮은 자기유사성을 특징으로 갖는 도형으로서 1975년 만델브로트에 의하여 이름이 지어졌다. 칸토어의 집합, 코흐 곡선, 시어핀스키 삼각형 등은 인공적인 프랙털의 예이며, 인간의 폐와 대뇌, 식물의 가지와 잎, 토성의 고리 등은 자연에서 찾아 볼 수 있는 프랙털의 예이다.

<그림 1>에서 보는 것처럼 주어진 선분을 3등분하여 중간의 [eqn: {1} over {3}]을 제외하여 2개의 선분을 얻고(1단계), 다음 단계에서는 이전 단계에서 얻은 각 선분을 다시 각각 3등분하여 중간의 [eqn: {1} over {3}]씩을 제외한다. 이러한 반복 알고리듬을 무한히 적용하여 얻은 집합을 칸토어 집합이라고 한다.

<그림 1>

<그림 2>

<그림 2>에서 보는 것처럼 왼쪽 열의 도형을 2배로 확대하면 오른쪽 열의 도형을 얻는데 이 때 각각 2, 4, 8개의 단위도형이 필요하다. 이 각각의 경우가 1, 2, 3 차원에 해당하는데,

[eqn: (배율) ^{차원`} =단위도형의```수]

를 만족하므로 더 일반적인 집합에 대해서도 다음과 같이 차원을 정의할 수 있다.

[eqn: 차원=log _{배율} 단위도형의```수= {log```단위도형의```수} over {log``배율}]

프랙털에 대해서도 차원을 위와 같이 정의하고 프랙털 차원이라고 한다.

예를 들어, 위에서 정의한 칸토어 집합을 3배로 확대하여 얻어진 집합은 원래 칸토어 집합 2개로 만들 수 있으므로, 칸토어 집합의 프랙털 차원은 [eqn: {log``2} over {log``3} APPROX 0.6309]이다. ([eqn: log```2=0.3010``,```log``3`=0.4771]로 계산한다.)

[문제] <그림 3>에서와 같이 길이가 1 m인 선분을 3등분하여 가운데 선분의 두 배를 위로 구부려 올려, 원래 선분의 [eqn: {1} over {3}]인 선분 4개로 이루어진 꺾인 선분을 만들고(1단계), 다음 단계에서는 이전 단계에서 얻은 4개의 선분들 각각에 대하여 이 작업을 반복한다. 이 과정을 무한히 반복하여 얻은 도형을 코흐 곡선이라고 한다.

<그림 3>

(1) n번째 단계에서 얻은 꺾인 선분 전체의 길이를 구하는 방법을 설명하고, 몇 번째 단계에서부터 이 길이가 1광년([eqn: 10^16]m로 계산)보다 크게 되겠는지 설명하시오.

(2) 코흐 곡선의 프랙털 차원을 구하는 방법을 설명하시오. ([eqn: log```2=0.3010``,```log``3`=0.4771]로 계산한다.)

※ 해설 ※

이 문제의 출제의도는 다음과 같다.

(1) 수학의 중요한 알고리듬의 하나인 반복을 이해하고 있는지 알아본다.

(2) 문제 해결을 위하여 계산하는데 로그를 이용하고 로그의 성질을 적용할 수 있는지 알아본다.

(3) 지문에 주어진 새로운 개념인 프랙털 차원을 이해하여 구체적인 경우에 적용할 수 있는지 알아본다.

문제 (1)의 첫 번째 부분은 위 표를 참고로 하여 전체의 길이를 구하는 방법을 설명하고 있는지, 문제 (1)의 두 번째 부분 정확한 답을 요구하는 문제가 아니므로 129라는 답을 얻는 것과 무관하게 논리의 전개에 주안점을 두고 있다.

문제 (2)는 지문에서 설명된 프랙털 차원의 정의를 이해하고 주어진 예에 적용할 수 있는 지를 확인하고자 하였다.

풀이 예시:

(1)

단계	개수	선분	전체길이
1 2 ․ ․ ․	[eqn: 4=4 ^{1}] [eqn: 4 ^{2}] ․ ․ ․	[eqn: {1} over {3}] [eqn: {1} over {3 ^{2}}] ․ ․ ․	[eqn: {4} over {3}] [eqn: LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2}] ․ ․ ․
[eqn: n]	[eqn: 4 ^{n}]	[eqn: {1} over {3 ^{n}}]	[eqn: LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{n}]

[eqn: LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{n} >10 ^{16}]인 최소 정수 [eqn: n]을 구하자.

[eqn: n(log4-log3)>16]

[eqn: n(2log2-log3)>16]

[eqn: log2=0.3010,`log3=0.4771]으로 계산하면

[eqn: n> {16} over {0.1249} APPROX 128.1]

즉, 129단계부터 전체 길이가 1광년 이상이   된다.

(2) 코흐 곡선을 3배로 확대하여 얻어진 집합은 원래 코흐 곡선 4개를 만들 수 있으므로 코흐 곡선의 프랙털 차원은 [eqn: {log``4} over {log``3} = {2`log``2} over {log``3} APPROX 1.2618] 이다.

< 2009학년도 >

다음의  제시문을  읽고  아래의  문제에  답하시오.

추석에 서울에서 지방으로 귀향길에 오르는 사람들이, 고속도로를 이용하여 각자의 고향까지 자가용으로 가는 데 걸리는 예상 운전시간을 알고 싶어 한다. 서울에서 고향까지의 거리를 [eqn: x](단위: km)라 하고, 이때 고향까지 도착하는 데 걸리는 시간을 [eqn: y](단위: 분)라 하면, “[eqn: y]는 원점을 지나는 [eqn: x]의 일차함수”라고만 알려져 있고 그 구체적인 함수식은 알려져 있지 않다. 이 일차함수를 찾아내기 위하여 세 사람으로부터 다음의 자료를 얻었다.

[eqn: LEFT { (x_1 ,y_1 ), ~(x_2 , y_2 ), ~(x_3 ,y_3 ) RIGHT }]

여기서 [eqn: (x_i ,y_i )]는 [eqn: i] 번째 사람의 고향까지의 거리 [eqn: x_i]와 고향까지 걸리는 시간 [eqn: y_i]이다. 하지만, 여러 가지 이유(휴게소에서 머무는 횟수와 시간의 차이, 기상 상태의 차이, 개인의 운전 속도의 차이 등)로 이 세 사람의 자료들이 한 직선 위에 있지 않고 벗어나 있다. 철수와 영희는 이 자료를 이용하여 각자가 생각한 합리적인 방법으로 원점을 지나는 일차함수를 구해보고자 한다. 단, [eqn: (x_i , y_i )]들이 원점과 이루는 각은 모두 다르다고 하자.

[문제 1] 철수는 이 일차함수를 구하기 위하여, “자료와의 차의 제곱의 합을 최소로 하는 일차함수”를 찾는 것이 합리적이라 생각하여 이 방법으로 일차함수를 찾기로 하였다. 이 일차함수를 구하는 과정과 결과를 제시하시오. (25%)

[문제 2] 영희는 철수가 제시한 방법에서 자료와의 차의 제곱을 최소로 하는 일차함수를 찾는 것은 그 차의 제곱을 이용하는 것이기에 불합리하다 생각하여, “자료와의 차의 절대값의 합을 최소로 하는 일차함수”를 찾는 것이 합리적이라 생각하였다. 이 일차함수를 구하는 과정과 결과를 제시하시오. (25%)

[문제 3] 만약 한 자료 [eqn: (x_4 , y_4 )]가 추가적으로 얻어졌다면, 영희의 방법으로 구한 결과는 어떤 변화를 가지게 되는지 [문제 2]의 결과와 비교 설명하시오. 단, 네 자료는 원점과 이루는 각이 모두 다르다고 하자. (25%)

[문제 4] 추가되어진 네 번째 자료는 자료 수집․입력 과정에서 실수로 분 단위의 자료가 아닌 시 단위의 자료로 입력되어 실제 자료의 60분의 1로 축소된 결과가 입력되었다고 하자. 이 사실을 모르는 경우에 철수의 방법과 영희의 방법 중 어느 방법으로 일차함수를 구하는 것이 구해진 일차함수의 신빙성을 보장하기에 좋은지에 대하여 논하시오. (25%)

< 해설 >

[문제 1] [eqn: S(a)=(y_1 -ax_1 )^2 +(y_2 -ax_2 )^2 +(y_3 -ax_3 )^2]라 두면 [eqn: S(a)]를 최소로 하는 지점 [eqn: a]를 찾음. [eqn: S(a)]는 극소점을 가지는 [eqn: a]의 이차함수이므로

[eqn: S^prime (a)=2a(x_1 ^2 +x_2 ^2 +x_3^2 )-2(x_1 y_1 +x_2 y_2 +x_3 y_3 )=0]이 되는

[eqn: a*={x_1 y_1 +x_2 y_2 +x_3 y_3 } over {x_1 ^2 +x_2 ^2 +x_3^2 }]이 최소지점이고, [eqn: therefore y=a*x].

※ 별해: [eqn: S(a)]를 다음과 같이 완전제곱으로

[eqn: S(a)=(x_1 ^2 +x_2 ^2 +x_3^2 ) left (a- {x_1 y_1 +x_2 y_2 +x_3 y_3 } over {x_1 ^2 +x_2 ^2 +x_3^2}right )^2 +(y_1^2 +y_2^2 +y_3^2 )-left({x_1 y_1 +x_2 y_2 +x_3 y_3 } over {x_1 ^2 +x_2 ^2 +x_3^2}right)^2]

변형 후 최소가 되는 [eqn: a*]를 구해도 됨.

확인내용) ① 자료와 미지(unknown)의 일차함수와의 차의 제곱의 합을 생각할 수 있는가?

② 일차함수와의 차의 제곱의 합을 최소로 하는 지점을 찾는 타당한 방법을 알고 있는가?

[문제 2] [eqn: D_3 (a)=|y_1 -ax_1 |+|y_2 -ax_2 |+|y_3 -ax_3 |]라 두면 [eqn: D_3 (a)]를 최소로 하는 [eqn: a]를 찾음. 만약, [eqn: y_1 over x_1 < y_2 over x_2 < y_3 over x_3]라 두면(세 점이 원점과 이루는 각이 모두 다르므로 세 기울기의 등호는 없음),

[eqn: D_3 (a)= cases{(y_1 +y_2 +y_3 )-a(x_1 +x_2 +x_3 ),~~ & a le y_1 over x_1 # (-y_1 +y_2 +y_3 )-a(-x_1 +x_2 +x_3 ),~~ & y_1 over x_1 < a le y_2 over x_2 # (-y_1 -y_2 +y_3 )-a(-x_1 -x_2 +x_3 ),~~ & y_2 over x_2 < a le y_3 over x_3 # (-y_1 -y_2 -y_3 )-a(-x_1 -x_2 -x_3 ),~~ & a > y_3 over x_3 }]

[eqn: (-y_1 +y_2 +y_3 )-a(-x_1 +x_2 +x_3 )]

[eqn: (y_1 +y_2 +y_3 )-a(x_1 +x_2 +x_3 )]

[eqn: (-y_1 -y_2 +y_3 )-a(-x_1 -x_2 +x_3 )]

[eqn: (-y_1 -y_2 -y_3 )-a(-x_1 -x_2 -x_3 )]

[eqn: a]

[eqn: D_3 (a)]

[eqn: y_1 over x_1]

[eqn: y_2 over x_2]

[eqn: y_3 over x_3]

[eqn: D_3 (a)]를 최소로 하는 [eqn: a*= y_2 over x_2]. [eqn: therefore]일반적으로 [eqn: a*={rm median}( y_1 over x_1 , y_2 over x_2 , y_3 over x_3 )] 즉, 원점과 이루는 세 점의 각 중 그 크기가 가운데인 값이고 구해진 일차직선은 [eqn: y=a*x].

확인내용) ① 자료와 미지의 일차함수와의 차의 절대치의 합을 생각할 수 있는가?

② 일차함수와의 차의 절대치의 합을 최소로 하는 지점를 적절한

방법(타당한 설명도 가능)을 사용하여 정확히 구할 수 있는가?

[문제 3] 만약 [eqn: y_1 over x_1 < y_2 over x_2 < y_3 over x_3 < y_4 over x_4]라 하고, [eqn: D_4 (a)=D_3 (a)+|y_4 -ax_4 |]라 두면

[eqn: -y_1 -y_2 +y_3 +y_4]

[eqn: y_4 over x_4]

[eqn: y_3 over x_3]

[eqn: y_2 over x_2]

[eqn: y_1 over x_1]

[eqn: a]

[eqn: D_4 (a)]

[eqn: D_4 (a)]를 최소로 하는 [eqn: a*= left{a: y_2 over x_2 le a le y_3 over x_3 right }]. [eqn: therefore]일반적으로 [eqn: a*]는 원점과 이루는 네 점의 각 [eqn: y_i over x_i , (i=1,cdots,4)]중 그 크기가 가운데인 두 값 사이의 모든 값이고 구해진 일차직선은 [eqn: y=a*x].

세 점인 경우에 [문제 2]에서 구한 일차직선은 유일하나, 네 점인 경우는 구해진 직선은 무수히 많다. 일반적으로 홀수 개의 자료는 구해진 직선이 유일하나, 짝수 개인 경우는 구해진 직선이 무수히 많다.

확인내용) ① 미지의 일차함수와의 차의 절대치의 합을 최소로 하는 지점를 적절한

방법(타당한 설명도 가능)으로 정확히 구할 수 있는가?

② [문제 2]에서 구한 최소 지점은 유일하고, [문제 3]에서 구한 최소 지점은  무수히 많음을 설명하였는가? (일반적으로 홀수 개 자료인 경우는 유일, 짝수 개의 자료인 경우는 무수히 많음을 설명하지 않아도 무방)

[문제 4] 자료가 [eqn: LEFT { (x_1 ,y_1 ), ~(x_2 , y_2 ), ~(x_3 ,y_3 ), (x_4 , y_4 ) RIGHT }]인 경우에 철수의 방법으로 구한 일차직선의 기울기는 [eqn: a*={sum_{i=1}^4 x_i y_i} over {sum_{i=1}^4 x_i^2}]이므로, 분으로 입력되어야 할 자료가 그 값의 60분의 1로 줄어든 시의 값인 [eqn: y_4]를 사용함으로써 [eqn: a*]에 큰 영향을 미친다. 하지만, 영희의 방법으로 구한 일차직선의 기울기는 원점과 이루는 네 점의 각 [eqn: y_i over x_i , (i=1,cdots,4)]중 그 크기가 가운데인 두 값에만(기울기의 크기 순이 더 중요) 의존함으로 이상치 자료(원점과 이루는 각이 매우 작거나 큰 경우)에 영향을 철수의 방법보다 덜 받을 수 있다. 따라서, 이런 경우(이상치 자료가 있는 경우)에 영희의 방법을 선택하는 것이 신빙성을 높일 수 있을 가능성이 크다고 할 수 있다.

확인내용) 철수의 방법으로 구한 일차직선의 기울기는 잘못 입력된 자료에 크게 영향을 받으며, 영희의 방법으로 구한 일차직선의 기울기는 상대적으로 철수의 방법으로

구해진 기울기보다 그 자료에 영향을 덜 받는다는 것을 설명할 수 있는가?

< 2009학년도 >

아래의  문제에  답하시오.

밑면의 반지름이 [eqn: r], 높이가 [eqn: 2 sqrt {3} `r] 인 원기둥 형태의 컵에 물이 담겨져 있다.

[문제 1] 이 컵을 [eqn: 30^circ] 기울였을 때부터 물이 흘러나오기 시작했다. 컵 안에 있었던 물의 부피는 얼마인가?(33.3...%)

[문제 2] 컵 안에 남아 있는 물의 부피 [eqn: V]를 컵을 기울인 각도 [eqn: theta] ([eqn: 30^circ leq theta leq 90^circ])로 표현하시오.(33.3...%)

[문제 3] 컵을 [eqn: 30^circ]부터 [eqn: 60^circ]까지 서서히 기울일 때, 시간 당 일정량의 물이 쏟아지도록 하기 위하여 각도 [eqn: theta]가 만족하여야 할 조건에 대하여 논하시오.(33.3...%)

< 해설 >

[문제 1]

[eqn: 30 ^{circ}] 기울였을 때, 컵의 밑면으로부터 물의 높이는 가장 높은 곳이 [eqn: 2 sqrt {3} ``r], 가장 낮은 곳이 [eqn: 2 sqrt {3} ``r-2r`tan30 ^{CIRC } = LEFT ( 2 sqrt {3} - {2} over {sqrt {3}} RIGHT ) `r= {4r} over {sqrt {3}}]이다. 이 때 물의 부피는 밑면의 반지름이 [eqn: r], 높이가 [eqn: {2 sqrt {3} ``r+ {4r} over {sqrt {3}}} over {2} = {5r} over {sqrt {3}}]인 원기둥의 부피와 같으므로, [eqn: V= {5r} over {sqrt {3}} CDOT pi r ^{2} = {5 pi r ^{3}} over {sqrt {3}}]이다.

[문제 2]

(1) [eqn: 30^circ leq theta leq 60^circ]일 경우:

문제 1과 같은 방법으로 하면 부피는

[eqn: V= {2 sqrt {3} ``r+(2 sqrt {3} ``r-2r`tan theta )} over {2} CDOT pi r ^{2} = LEFT ( 2 sqrt {3} -tan theta RIGHT ) ` pi r ^{3}]이다.

(2) [eqn: 60 ^{CIRC } LEQ theta LEQ 90 ^{CIRC }]일 경우:

컵의 밑면을 포함하는 평면에서 컵의 밑면의 중심을 원점, 수면이 컵의 밑면과 이루는 선분과 수직한 직선을 [eqn: x]축으로 잡자. 물이 컵의 밑면과 이루는 도형의 [eqn: x]좌표가 [eqn: -r] 에서부터 [eqn: 2 sqrt {3} ``r`cot theta -r= LEFT ( 2 sqrt {3}` cot theta -1 RIGHT ) `r] 까지이고, [eqn: x]축에 수직인 평면과 물이 이루는 도형은 밑변이 [eqn: 2sqrt{r^2 - x^2}], 높이가 [eqn: {2 sqrt {3} ``r} over {2 sqrt {3} `r`cot theta } LEFT { (2 sqrt {3} `cot theta -1)`r-x RIGHT } =(2 sqrt {3} -tan theta )`r`-x`tan theta]인 직사각형이 되므로, 물의 부피는

[eqn: V & = & int _{-r} ^{(2 sqrt {3} `cot theta -1)`r} {2 sqrt {r ^{2} -x ^{2}}} CDOT LEFT { (2 sqrt {3} -tan theta )`r-x`tan theta RIGHT } ``dx# & = & 2(2 sqrt {3} -tan theta )`r int _{-r} ^{(2 sqrt {3} `cot theta -1)`r} {sqrt {r ^{2} -x ^{2}}} ``dx+tan theta int _{-r} ^{(2 sqrt {3} `cot theta -1)`r} {sqrt {r ^{2} -x ^{2}}} CDOT (-2x)``dx]

이다. [eqn: x=r cos{u}], [eqn: dx = -r sin{u}``du]로 치환하면

[eqn: int _{-r} ^{(2 sqrt {3} `cot theta -1)`r} {sqrt {r ^{2} -x ^{2}}} ``dx & = & int _{pi } ^{arccos(2 sqrt {3} `cot theta -1)} {sqrt {r ^{2} -r ^{2} cos ^{2} u}} CDOT (-r`sinu)``du# & = & -r ^{2} int _{pi } ^{arccos(2 sqrt {3} `cot theta -1)} {sin ^{2} u} ``du# & = & - {r ^{2}} over {2} int _{pi } ^{arccos(2 sqrt {3} `cot theta -1)} {LEFT { 1-cos(2u) RIGHT }} ``du# & = & - {r ^{2}} over {2} LEFT [ u- {1} over {2} `sin(2u) RIGHT ] _{pi } ^{arccos(2 sqrt {3} `cot theta -1)}# & = & - {r ^{2}} over {2} LEFT { arccos(2 sqrt {3} `cot theta -1)- pi - {1} over {2} `sin LEFT ( 2`arccos(2 sqrt {3} `cot theta -1) RIGHT ) RIGHT }]

이고, [eqn: v=r ^{2} -x ^{2}], [eqn: dv=-2x``dx]로 치환하면

[eqn: int _{-r} ^{(2 sqrt {3} `cot theta -1)`r} {sqrt {r ^{2} -x ^{2}}} CDOT (-2x)``dx &=& int_{0}^{r^2 -(2sqrt{3}`cot{theta}-1)^2 `r^2}{v^{{1}over{2}}``dv} = left[ {2}over{3} v^{{3}over{2}} right]_{0}^{r^2 -(2sqrt{3}`cot{theta}-1)^2 `r^2} # &=& {2}over{3} left{ r^2 -(2sqrt{3}`cot{theta}-1)^2 `r^2 right}^{{3}over{2}} # &=& {2}over{3} {sqrt{4(sqrt{3}`cot{theta}-3`cot^2{theta})`r^2}}^{3} # &=& {16}over{3} {sqrt{sqrt{3}`cot{theta}-3`cot^2{theta} }}^{3}``r^3]

이므로, 부피는

[eqn: V & = & -2(2sqrt{3}-tan{theta})`r cdot{r ^{2}} over {2} LEFT { arccos(2 sqrt {3} `cot theta -1)- pi - {1} over {2} `sin LEFT ( 2`arccos(2 sqrt {3} `cot theta -1) RIGHT ) RIGHT } # && + tan{theta} cdot {16}over{3} {sqrt{sqrt{3}`cot{theta}-3`cot^2{theta}}}^3 ``r^3]

이다.

[문제 3]

[eqn: V= LEFT ( 2 sqrt {3} -tan theta RIGHT ) ` pi r ^{3}]의 시간 [eqn: t]에 대한 미분이 일정하여야 하므로, 시간의 함수로서 각도 [eqn: theta]는 [eqn: {dV} over {dt} = LEFT ( -sec ^{2} theta CDOT {d theta } over {dt} RIGHT ) ` pi r ^{3} =-c], 즉 [eqn: {d theta } over {dt} = {c} over {pi r ^{3}} ``cos ^{2} theta] ([eqn: c]는 양의 상수)를 만족하여야 한다.

< 2010학년도 >

1.   아래의 문제에  답하시오.

[문제 1] (그림 1)과 같이 서로 외접하는 두 원의 면적의 합이 일정하다고 한다. 이 두 원의 중심들 사이의 거리가 최대가 될 때, 두 원의 반지름들은 어떠한 관계를 가지는지 설명하시오. (33.3...%)

(그림 1)

[문제 2] (그림 2)와 같이 서로 외접하는 세 원의 면적의 합이 일정하다고 한다. 이 세 원의 중심들 사이의 거리의 합이 최대가 될 때, 세 원의 반지름들은 어떠한 관계를 가지는지 설명하시오. (33.3...%)

(그림 2)

[문제 3] [그림 2]와 같이 서로 외접하는 세 원의 면적의 합이 일정하다고 한다. 이 세 원의 중심들을 꼭지점으로 하는 삼각형의 면적이 최대가 될 때, 세 원의 반지름들은 어떠한 관계를 가지는지 설명하시오. (참고: 세 변의 길이가  인 삼각형의 면적은,  로 놓았을 때  이다.) (33.3...%)

< 해설 >

[문제 1] 두 원의 반지름을 각각  라고 하자. 두 원의 면적의 합은  이므로,  으로 놓자. 임의의 실수  에 대하여  이고, 등호는  일 때 성립하므로,

,

즉  이고, 등호는 일 때 성립한다. 두 원의 중심들 사이의 거리가 이므로, 이 거리가 최대가 될 때 두 원의 반지름은 같다.

[문제 2] 세 원의 반지름을 각각  라고 하자. 세 원의 면적의 합은  이므로,  으로 놓자. 임의의 실수  에 대하여  이고, 등호는  일 때 성립하므로,

즉  이고, 등호는  일 때 성립한다. 세 원의 중심들 사이의 거리의 합이  이므로, 세 원의 중심들 사이의 거리의 합이 최대일 때 세 원의 반지름은 모두 같다.

[문제 3] [문제 2]에서와 같이  으로 놓자. 세 원의 중심들을 꼭지점으로 하는 삼각형의 세 변의 길이들이  이므로, 이 삼각형의 면적 는

이다.

[eqn: S ^{4} & =(x+y+z) ^{2} (xyz) ^{2} =(x+y+z) ^{2} LEFT ( root {3} of {xyz} RIGHT ) ^{6} LEQ (x+y+z) ^{2} LEFT ( {x+y+z} over {3} RIGHT ) ^{6}# & = {1} over {3 ^{6}} LEFT { (x+y+z) ^{2} RIGHT } ^{4} = {1} over {3 ^{6}} LEFT ( x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +2xy+2yz+2zx RIGHT ) ^{4}# & LEQ {1} over {3 ^{6}} LEFT { x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +(x ^{2} +y ^{2} )+(y ^{2} +z ^{2} )+(z ^{2} +x ^{2} ) RIGHT } ^{4}# & = {1} over {3 ^{6}} LEFT { 3(x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} ) RIGHT } ^{4} = {1} over {9} r ^{8} ,]

즉  이고, 등호는  일 때 성립한다.

(참고:  이므로,  일 때 [eqn: root {3} of {xyz} LEQ {x+y+z} over {3}].)

따라서 세 원의 중심을 꼭지점으로 하는 삼각형의 면적이 최대일 때, 세 원의 반지름은 모두 같다.

※ 예시답안에서 제시된 풀이 외에도, 미분을 사용하는 방법도 가능

아래의  문제에  답하시오.

[문제 1] 극한 이 존재하는가? 만일 존재한다면 그 값을 구하시오. (참고: ) (33.3...%)

[문제 2]  일 때,  의 최소값을 구하시오. (33.3...%)

[문제 3]  일 때, 의 최소값과  의 최소값의 크기를 비교하시오. (33.3...%)

< 해설 >

[문제 1]  이므로,  이다.

[문제 2]  라고 놓으면,  이다.  이고,  일 때 ,  일 때  이므로, 함수  는  일 때 감소,  일 때 증가한다. 따라서  일 때  은  에서 최소값  을 가진다.

[문제 3]  라고 놓으면,

이므로  의 최소값은  보다 작다.  과  의 최소값  을 비교하면,

즉  이다. 따라서  일 때  의 최소값은  의 최소값보다 작다.

< 2011학년도 >

다음 물음에 답하시오

<문제 1> 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{ n}=1 +{1 } over {2 }+{1 } over {3 }+ CDOTS+ { 1} over { n}]이라 하자. 수열 [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]은 수렴하는지 또는 발산하는지를 밝히고 이를 증명하시오.(50%)

<문제 2> 다음 극한값을 구하시오.(50%)

[eqn: lim _{ n->inf} { { 1} over {n } left(1 +{1 } over {2 }+{1 } over {3 }+ CDOTS+ { 1} over { n}right)]

< 해설 >

<문제 1>

[eqn: a_{n}=1+ { 1} over {2 }+{ 1} over {3 }+ CDOTS+ { 1} over {n }]

[eqn: m]을 [eqn: 2^m LEQn<2 ^{ m+1}]을 만족하는 자연수라 하자.

[eqn: a_{n}=1+ { 1} over {2 }+{ 1} over {3 }+ CDOTS+ { 1} over {n }]>[eqn: 1+ {1} over {2} +( {1} over {4} + {1} over {4} )+( {1} over {8} + {1} over {8} + {1} over {8} + {1} over {8} )+ CDOTS +( {1} over {2 ^{m}} + {1} over {2 ^{m}} + CDOTS + {1} over {2 ^{m}} )]

[eqn: =1+ { 1} over {2 }+{ 1} over {2 }+ CDOTS+{ 1} over {2 }=1+ { m} over {2 }]

[eqn: { n->inf} { }]일 때 [eqn: { 1+ {m} over {2 } ->inf} { }] 이므로 [eqn: lim _{n ->inf} {a _{n } }= INF], 즉 발산 한다.

<문제 2>

위 그림으로부터 다음과 같은 사실을 알 수 있다.

[eqn: 1+ { 1} over { 2}+ CDOTS + { 1} over { n} < int _{ 1} ^{ n} { { 1} over { x} }dx~+1= ln~x RIGHT | _1^{n }+1=1+ ln~ n]

따라서

[eqn: 0< { 1} over { n}left(1+ { 1} over { 2}+ CDOTS + { 1} over { n} right) < { 1+ ln~n} over { n} = { 1} over { n}+ { ln~n} over { n}]

이 된다. 로피탈정리에 의하여

[eqn: lim _{ n->inf} { { ln ~n} over {n } }= lim _{ n->inf} { { 1} over {n } }=0]

이기 때문에 다음을 얻을 수 있다.

[eqn: lim _{ n->inf} { { 1} over { n}left(1+ { 1} over { 2}+ CDOTS + { 1} over { n} right)}=0]

다음  제시문을  읽고  아래의  문제에  답하시오.

점 A와 점 B가 각각 좌표평면 위의 점(-[eqn: a], 0)과 점(0, -[eqn: b]) (여기서 [eqn: a>0], [eqn: b>0])에 있다고 하자. 두 점이 동시에 양의 방향으로 A는 1 단위의 속도로 움직이고 B는 2 단위의 속도로 움직인다고 하자.

<문제 1> 두 점 사이의 거리를 [eqn: d]라고 할 때, [eqn: d]를 시간 [eqn: t]의 함수로 나타내시오.(33.3…%)

<문제 2> 두 점이 서로 만나지 않기 위한 [eqn: a]와 [eqn: b]사이의 관계를 구하시오.(33.3…%)

<문제 3> <문제 2>의 관계가 성립할 때 [eqn: d]가 최소가 될 때의 점 A와 점 B의 위치를 구하시오.(33.3…%)

< 해설 >

<문제 1> 시간 [eqn: t]에서의 점 [eqn: A]의 좌표를 [eqn: (x,0)], 점 [eqn: B]의 좌표를 [eqn: (0,y)]라 하자. 그러면

[eqn: x=-a+t,~~~~y=-b+2t, ~~~~(t GEQ0)]

따라서 두 점 [eqn: A]와 [eqn: B] 사이의 거리는 다음과 같다.

[eqn: d=d(t)= sqrt { (-a+t)^2 +(-b+2t)^2} = sqrt { 5t^2 -2(a+2b)t+(a^2 +b^2 )}]

<문제 2> 두 점이 만나지 않는다는 조건은 [eqn: d]의 제곱근 안의 값이 0보다 커야한다는 것이다. 즉

[eqn: 5t^2 -2(a+2b)t+(a^2 +b^2 ) >0]

따라서 [eqn: { D} over { 4}=(a+2b)^2 -5(a^2 +b^2 ) = -4a^2 -b^2 +4ab <0] 또는 [eqn: (2a-b)^2 >0]이다. 따라서 두 점이 만나지 않는 [eqn: a]와 [eqn: b]의 관계는 [eqn: 2a != b]이다.

<문제 3> [eqn: d]의 최소값을 구하는 것은 [eqn: d^2]의 최소값을 구하는 것과 동일하다. [eqn: d^2 (t)=L(t)]라 하자. 이제 [eqn: L(t)]의 최소값을 구하자. 먼저 미분적분법을 이용하여 최소값을 구하자.

[eqn: pile{ L(t)=5t^2 -2(a+2b)t+(a^2 +b^2 ) ~~~~~~~~# L'(t)=10t-2(a+2b)=0~~ RARROW~~t= { a+2b} over { 5} }]

(또는 [eqn: L(t)=5left( t- { a+2b} over { 5}right)^2 + LEFT [ (a^2 +b^2 )- { (a+2b)^2} over { 5} RIGHT ]]를 이용하여도 된다.)

즉, [eqn: t= { a+2b} over { 5}]에서 최소거리가 된다. 따라서 구하고자 하는

[eqn: A]의 좌표는 [eqn: left(-a+ { a+2b} over { 5},0right)=left( { 2b-4a} over { 5},0right)]이고

[eqn: B]의 좌표는 [eqn: left(0,-b+ 2{ a+2b} over { 5}right)=left(0, { 2a-b} over { 5}right)]이다.

다음  제시문을  읽고  아래의  문제에  답하시오.

[eqn: alpha]

[eqn: P]

[eqn: N]

[eqn: M]

좌표 공간의 점 [eqn: P](4, 1, -3)과 평면 [eqn: alpha] : [eqn: 4x+2y-4z=0]위를 움직이는 두 점 [eqn: M], [eqn: N]이 있다. 세 점 [eqn: P, M, N]에 의하여 만들어지는 삼각형 [eqn: PMN]은 한 변의 길이가 8인 정삼각형이다.

<문제 1> 점 [eqn: P]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: H]라 할 때, 선분 [eqn: MH]의 길이를 구하시오.(50%)

<문제 2> 선분 [eqn: MN]에 의하여 평면 [eqn: alpha]에 생성되는 자취의 넓이를 구하시오.(50%)

< 해설>

<문제 1> 점 [eqn: P]와 평면 [eqn: alpha] 사이의 거리 [eqn: { bar { PH} }]는

[eqn: bar{PH} `=` {|4 TIMES 4`+1 TIMES 2+(-3) TIMES (-4)|} over {sqrt {{4 ^{2}} +2 ^{2} +(-4) ^{2}}]

[eqn: = {30} over {6}]

[eqn: =5.]

[eqn: {bar{MN}}]의 중점 [eqn: H']에 대하여 [eqn: bar{PH' } BOT bar { MN}] 이므로

[eqn: bar{PH prime } `=` bar{PM``}sin 60 ^{ CIRC }]

[eqn: =4 sqrt { 3}.]

[eqn: bar{HH prime } = sqrt {( bar{PH'} ) ^{2} -( bar{PH} ) ^{2}}= sqrt { 23}.]

[eqn: bar{PH} BOT alpha],  [eqn: bar { PH'}= bar { MN}] 이므로

[eqn: bar { HH' }BOT bar { MN}] 이다.

[eqn: bar{MH} = sqrt {( bar{HH'} ) ^{2} `+`( bar{MH'} ) ^{2}}]

∝

[eqn: = sqrt {39}.]

<문제 2> 선분 [eqn: MN]이 지나는 영역은 중점이 [eqn: H]이고 반지름의 길이가 각각 [eqn: sqrt { 39}, sqrt { 23}]인 두 원으로 둘러 싸인 부분이므로 구하는 넓이는 [eqn: 39 pi - 23 pi = 16 pi] 이다.