[문제 1] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

다음은 이차정사각행렬의 집합 [eqn: L`=` LEFT { LEFT . ` {pmatrix{``1&```0`#``k&```1`}} ` RIGHT | ``k는``실수 RIGHT }]에 대한 성질을 나열한 것이다.

<가> [eqn: A` IN `L]이면, [eqn: A ^{-1} IN `L]이다.

<나> [eqn: A,`B`` IN `L]이면, [eqn: AB`=BA]이다.

<다> [eqn: A,`B`` IN `L]이면, [eqn: LEFT ( A-B` RIGHT ) ^{2} =O`]이다.  (단, [eqn: O`]는 영행렬)

1-1. [eqn: A` IN `L]이면, [eqn: B ^{2} =A]인 [eqn: B``]가 집합 [eqn: L]의 원소임을 보이시오. [5점]

[풀이]

임의의 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: B`=` {pmatrix{`1&````0`#`k/2&````1`}}]라 하면, [eqn: B``in`L]이고

[eqn: B ^{2} `=` {pmatrix{`1&````0`#`k/2&````1`}} {pmatrix{`1&````0`#`k/2&````1`}} `=` {pmatrix{`1&````0`#`k&````1`}}]이다.

따라서 임의의 [eqn: A`=` {pmatrix{`1&````0`#`k&````1`}} ``in`L]에 대하여, [eqn: A=B ^{2}]인 [eqn: B``in`L]가 존재한다. ...................................... [5점]

1-2. [eqn: A`=` {pmatrix{`1&```0`#`2&```1`}}], [eqn: B`=` {pmatrix{`1&```0`#`3&```1`}}], [eqn: C`=` {pmatrix{`1&```2`#`3&```4`}}]일 때, 다음을 만족하는 이차정사각행렬 [eqn: X`,``Y`]를 구하시오. [10점]

[eqn: AX`+BY`=C],  [eqn: BX`-AY`=O]

[풀이]

각각의 행렬 방정식의 양변에 [eqn: B]와 [eqn: A]를 곱하면,

[eqn: BAX`+B ^{2} Y`=BC]

[eqn: ABX`-A ^{2} Y`=O]

첫째 식에서 둘째 식을 빼면, [eqn: A,`B`` IN `L]이므로 제시문 <나>에 의해

[eqn: LEFT ( B ^{2} +A ^{2} RIGHT ) Y=BC]  ..................................................... [5점]

한편, 제시문 <다>에 의해 [eqn: LEFT ( A-B` RIGHT ) ^{2} =O`]이므로 [eqn: A ^{2} +B ^{2} `=2AB`]. 따라서

[eqn: 2BAY=BC]

제시문 <가>에 의해,

[eqn: Y= {1} over {2} A ^{-1} C`= {1} over {2} {pmatrix{```````1&````0`#-2&````1`}} {pmatrix{`1&````2`#`3&````4`}} `=` {1} over {2} {pmatrix{`1&````2`#`1&````0`}}]

마찬가지로,

[eqn: X= {1} over {2} B ^{-1} C`= {1} over {2} {pmatrix{```````1&````0`#-3&````1`}} {pmatrix{`1&````2`#`3&````4`}} `=` {1} over {2} {pmatrix{`1&```````2`#`0&-2`}}]. .......................... [10점]

1-3. 임의의 [eqn: A` IN `L`]에 대하여, 행렬 방정식 [eqn: X ^{2} -AX-XA`-E``=O``]이 적어도 2개의 실행렬 [eqn: X`]를 해로

가짐을 보이시오. (단, [eqn: E`]는 단위행렬이며, 실행렬은 성분이 실수인 행렬을 의미함) [15점]

[풀이]

임의의 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: A`=` {pmatrix{`1&````0`#`k&````1`}}]라 하자.

[eqn: X ^{2} -AX-XA`-E`=X ^{2} -AX-XA``+A ^{2} -A ^{2} -E`]............... [5점]

제시문 <나>, <다>에 의해 [eqn: LEFT ( A-E` RIGHT ) ^{2} =O`]이므로, [eqn: A ^{2} +E`=2A`]이다. 따라서

[eqn: X ^{2} -AX-XA`-E`= LEFT ( X-A RIGHT ) ^{2} -2A`=O`] .................... [10점]

그러므로 [eqn: LEFT ( X-A RIGHT ) ^{2} =2A]. 한편 문제 1-1에 의해서, [eqn: B`=` {pmatrix{`1&````0`#`k/2&````1`}}]라 놓으면,

[eqn: X`=A`± sqrt {2} B``] 또는 [eqn: X`= {pmatrix{1± sqrt {2}&```0`#LEFT ( 1± sqrt {2} /2 RIGHT ) k&```1± sqrt {2} `}} ``] ........................... [15점]

[문제 2] 다음 제시문 <가>∼<다>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 실수에서 정의된 연속함수 [eqn: q(x)]에 대해 다음 식이 성립한다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF `} {` sum _{k=1} ^{n} `q LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) {1} over {n} `= int _{0} ^{1} {q(x)dx}}]

<나> 이산확률변수 [eqn: X]의 확률분포는 다음 형태로 주어진다. (단, [eqn: p _{i} GEQ 0])

[eqn: X]	[eqn: x _{1}]	[eqn: x _{2}]	[eqn: x _{3}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: x _{n}]	계
[eqn: P(X=x)]	[eqn: p _{1}]	[eqn: p _{2}]	[eqn: p _{3}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: p _{n}]	[eqn: sum _{} ^{} `p _{i} =1]

<다> 함수 [eqn: f(x)=log _{2} `x`] ([eqn: x GEQ 1])의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 수열 [eqn: LEFT { b _{m} RIGHT }]을 다음과 같이 정의한다.

[eqn: b _{m} =` lim _{n` -> ` INF `} {` sum _{k=1} ^{n}} ``g LEFT ( {n+mk-k} over {n} RIGHT ) {m-1} over {n}]  (단, [eqn: m]은 자연수)

2-1. 제시문 <다>에서 정의된 수열 [eqn: LEFT { b _{m} RIGHT }]의 일반항이 [eqn: b _{m} = {2 ^{m} -2} over {ln2}]임을 보이시오. [10점]

[풀이]

함수 [eqn: f(x)=log _{2} x`(x GEQ 1)] 의 역함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: g(x)=2 ^{x}] 이다. .....................................................[5점]

제시문 <가>와 <다>로부터 다음을 얻는다.

[eqn: b _{m} = lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} ```} g LEFT ( {n+mk-k} over {n} RIGHT ) ` {m-1} over {n}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} `} g LEFT ( 1+ {(m-1)k} over {n} RIGHT ) {m-1} over {n}]

[eqn: = int _{1} ^{m} {g(x)dx}]

[eqn: = int _{1} ^{m} {2 ^{x} dx`} `=` LEFT . {2 ^{x}} over {ln2} RIGHT | _{`1} ^{m} `=` {2 ^{m} -2} over {ln2}] .......................................................................................... [10점]

2-2. 제시문 <다>에서 정의된 수열 [eqn: LEFT { b _{m} RIGHT }]으로부터 수열 [eqn: LEFT { a _{m} RIGHT }]의 일반항을 [eqn: a _{m} =`c(b _{m+1} -b _{m} )]으로 정의한다.

확률변수 [eqn: X`]의 확률분포가 다음과 같이 주어질 때, 양의 상수 [eqn: c]를 구하시오. [10점]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2~]	[eqn: 3]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 100]	계
[eqn: P(X=x)]	[eqn: {1} over {a _{1}}]	[eqn: {1} over {a _{2}}]	[eqn: {1} over {a _{3}}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {1} over {a _{100}}]	[eqn: 1]

[풀이]

[eqn: a _{m} =`c(b _{m+1} -b _{m} )]

[eqn: =` {c(2 ^{m+1} -2 ^{m} )} over {ln2`} `=`c {2 ^{m}} over {`ln2}]을 얻고

[eqn: {1} over {a _{m}}]이 확률변수이기 위하여는 [eqn: ` sum _{1} ^{100} {1} over {a _{m}} `=`1]을 만족해야 한다.

한편,

[eqn: sum _{1} ^{100} {1} over {a _{m}} = {1} over {c} sum _{1} ^{100} {`ln2} over {`2 ^{m}}]

[eqn: =` {1} over {c} `ln2 sum _{1} ^{100} {1} over {`2 ^{m}} = {1} over {c} `ln2` LEFT ( 1- {1} over {2 ^{100}} RIGHT )]이므로,

[eqn: c=``ln2 LEFT ( 1- {1} over {2 ^{100}} RIGHT )]를 얻는다. .................................................................................................... [10점]

2-3. 문제 2-2에서 정의된 확률변수 [eqn: X]의 기댓값 [eqn: E(X)]를 구하시오. [15점]

[풀이]

[eqn: a _{m} = LEFT ( 1- {1} over {2 ^{100}} RIGHT ) `2 ^{m}]이므로 [eqn: ` {1} over {a _{m}} = {1} over {LEFT ( 1- {1} over {2 ^{100}} RIGHT ) `2 ^{m}}]을 얻고

기댓값 [eqn: E(X)]는 [eqn: E(X)= sum _{k=1} ^{100} k {1} over {a _{k}}]이고,

[eqn: sum _{k=1} ^{100} k {1} over {a _{k}} `=` {2 ^{100}} over {2 ^{100} -1} ` sum _{k=1} ^{100} `k` {1} over {2 ^{k}}]

[eqn: `=`` {2 ^{100}} over {2 ^{100} -1} sum _{k=1} ^{100} {k} over {2 ^{k}}]

따라서 [eqn: E(X)= {2 ^{100}} over {2 ^{100} -1}sum _{k=1} ^{100} {k} over {2 ^{k}}] ............................................................................................... [5점]

한편, [eqn: S= sum _{k=1} ^{100} {k} over {2 ^{k}} = {1} over {2} + {2} over {2 ^{2}} + {3} over {2 ^{3}} + {4} over {2 ^{4}} + CDOTS + {100} over {2 ^{100}}] 이므로

[eqn: S- {1} over {2} S= {1} over {2} + {1} over {2 ^{2}} + {1} over {2 ^{3}} + {1} over {2 ^{4}} + CDOTS + {1} over {2 ^{100}} - {100} over {2 ^{101}}]

[eqn: S=2- {1} over {2 ^{99}} - {100} over {2 ^{100}}]

[eqn: E(X)= {2 ^{100}} over {2 ^{100} -1} LEFT ( 2- {1} over {2 ^{99}} - {100} over {2 ^{100}} RIGHT )]  .......................................................................................... [15점]

[문제 3] 다음 제시문 <가>, <나>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 두 공간벡터 [eqn: vec{a} `], [eqn: vec{b} `]의 내적은 다음을 만족한다.

(1) 영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: vec{a} `], [eqn: vec{b} `]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때,

[eqn: vec{a} CDOT vec{b} ``=` LEFT | vec{a} RIGHT | LEFT | vec{b} RIGHT | cos theta]

(2) [eqn: LEFT | vec{a} CDOT vec{b} RIGHT | ` LEQ LEFT | vec{a} RIGHT | LEFT | vec{b} RIGHT |]

<나> 아래 그림과 같이 구 [eqn: LEFT ( x-x _{0} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-y _{0} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-z _{0} RIGHT ) ^{2} =r ^{2} `]의 외부에 점 [eqn: rm A it LEFT ( x _{1} ,`y _{1} ,`z _{1} RIGHT )]가 있다.

이때 점 [eqn: rmA]에서 구에 그은 접선들의 접점으로 이루어진 원을 포함하는 평면의 법선벡터는

[eqn: vec{n} `= LEFT ( x _{1} -x _{0} ,``y _{1} -y _{0} ,``z _{1} -z _{0} ` RIGHT )]이다.

[eqn: rm A it LEFT ( x _{1} ,`y _{1} ,`z _{1} RIGHT )]

[eqn: rm C it LEFT ( x _{0} ,`y _{0} ,`z _{0} RIGHT )]

3-1. 점 [eqn: rm A LEFT ( sqrt {3} ,` sqrt {6} ,`4` RIGHT )]에서 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =9]에 그은 접선들의 접점으로 이루어진 원을 포함하는 평면의

방정식을 구하시오. [10점]

[풀이]

구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =9]의  중심이 [eqn: rm O LEFT ( 0,`0,`0 RIGHT )]이므로, [eqn: rm vec{OA} it `= LEFT ( sqrt {3} ,` sqrt {6} ,`4` RIGHT )]가 점 [eqn: rm A LEFT ( sqrt {3} ,` sqrt {6} ,`4` RIGHT )]에서 구에 그은 접점으로 이루어진 도형을 포함하는 평면 [eqn: alpha]의 법선벡터가 된다. 따라서, 평면 [eqn: alpha]의 방정식은

[eqn: sqrt {3} x`+ sqrt {6} y+4z+d`=`0] ................................................... [5점]

한편, 구에 그은 접점으로 이루어진 도형위의 한 점을 [eqn: rmP]라 하고, 점 [eqn: rm A]에서 평면 [eqn: alpha]위로 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자.

[eqn: rm A]

[eqn: rm O]

[eqn: rm H]

[eqn: rm P]

[eqn: TRIANGLE rmOPA]는 변의 길이가 [eqn: rm bar{OP} it `=3], [eqn: rm bar{PA} it `=4], [eqn: rm bar{AO} it `=5]인 직각 삼각형이고, [eqn: TRIANGLE rm OHP]는 [eqn: TRIANGLE rmOPA]과 닮은 직각 삼각형이다. 따라서 닮음비에 의해 [eqn: rm bar{OH} it `= {9} over {5}]이므로,

[eqn: rm vec{OH} it `= {9} over {25} LEFT ( sqrt {3} ,` sqrt {6} ,`4` RIGHT )]

점 [eqn: rmH]가 평면 [eqn: alpha]위에 있으므로, [eqn: d=`- {9} over {25} LEFT ( 3+6+16 RIGHT ) `=`-9]

따라서, 구하고자 하는 평면 [eqn: alpha]의 방정식은

[eqn: sqrt {3} x`+ sqrt {6} y+4z`-9`=`0] ................................................... [10점]

3-2. 점 [eqn: rmQ]가 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =r ^{2} `]의 외부에 있다. 구 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: LEFT | vec{rm PQ it} RIGHT |]가 최소가 될 때,

벡터의 연산과 내적을 이용하여 [eqn: vec{rm OP it} `=`t `vec{rm OQ it}]임을 보이시오. (단, [eqn: rmO]는 구의 중심, [eqn: t]는 양의 상수) [10점]

[풀이]

[eqn: vec{rm PQ it} `= vec{rm PO it} `+ vec{rm OQ it} ``]이므로

[eqn: LEFT | rm vec{PQ} RIGHT | ^{2} = LEFT | rm vec{PO} `+` vec{OQ} RIGHT | ^{2} = LEFT | rm vec{PO} RIGHT | ^{2} + LEFT | rm vec{OQ} RIGHT | ^{2} +2` vec{PO} CDOT vec{OQ} `]

[eqn: = LEFT | rm vec{PO} RIGHT | ^{2} + LEFT | rm vec{OQ} RIGHT | ^{2} -2` vec{OP} CDOT vec{OQ} `] ................................... [5점]

여기서, [eqn: LEFT | rm vec{PO} RIGHT | ^{2} + LEFT | rm vec{OQ} RIGHT | ^{2} ` it =r ^{2} + LEFT | rm vec{OQ} RIGHT | ^{2} `]의 값은 일정하므로, [eqn: LEFT | vec{rm PQ it} RIGHT |]의 값이 최소가 되기 위해서는, 내적 [eqn: rm vec{OP} CDOT vec{OQ} `]이 최댓값 [eqn: LEFT | rm vec{OP} RIGHT | LEFT | rm vec{OQ} RIGHT |]을 가져야 한다. 따라서 제시문 <가>에 의하여 두 벡터 [eqn: rm vec{OP}], [eqn: rm vec{OQ} `]가 이루는 각이 [eqn: theta `=0]이 된다. 따라서 어떤 상수 [eqn: t>0]에 대하여

[eqn: vec{rm OP it} `=`t vec{rm OQ it}] ........................................................ [10점]

3-3. 세 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,`2,3 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( -2,`1,2 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( -1,`0,1 RIGHT )]가 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =1]의 외부에 있다. 구 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: LEFT | rm vec{PA} `+` vec{PB} `+ vec{PC} RIGHT |]의 최솟값과 이때 점 [eqn: rmP]를 구하시오. [15점]

[풀이]

[eqn: rmC]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmP]

[eqn: rmO]

[eqn: LEFT | rm vec{PA} `+` vec{PB} `+ vec{PC} RIGHT | `=`3` LEFT | {vec{PA} `+` vec{PB} `+ vec{PC}} over {3} RIGHT |]라 쓸 수 있으므로, [eqn: rm ` vec{PD} `=` {vec{PA} `+` vec{PB} `+ vec{PC}} over {3}]라 놓으면,

[eqn: LEFT | vec{rm PD it} RIGHT |]가 최소 일 때, [eqn: LEFT | rm vec{PA} `+` vec{PB} `+ vec{PC} RIGHT |]가 최소가 된다.

한편, [eqn: rm ` vec{OD} `=` {vec{OA} `+` vec{OB} `+ vec{OC}} over {3}]이므로, [eqn: rm ` vec{OD}]는 [eqn: rm TRIANGLE ABC]의 무게 중심의 위치벡터이다. 따라서 점 [eqn: rmD]는 [eqn: rm TRIANGLE ABC]의 무게 중심이다. 즉,

[eqn: rm D it LEFT ( {1-2-1} over {3} ,` {2+1-0} over {3} ,` {3+2+1} over {3} RIGHT ) `= rm D LEFT ( - {2} over {3} ,`1,`2` RIGHT )] ...................... [5점]

이제, [eqn: LEFT | vec{rm PD it} RIGHT |]가 최소가 되기 위해서는, 문제 3-2에 의하여, 어떤 상수 [eqn: t>0]에 대하여

[eqn: vec{rm OP it} `=`t vec{rm OD it}]

점 [eqn: rmP]가 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =1]위에 있으므로,

[eqn: t`= {LEFT | vec{rm OP it} RIGHT |} over {LEFT | vec{rm OD it} RIGHT |} `=` {1} over {sqrt {{4} over {9} +1+4}} `= {3} over {7}]

[eqn: vec{rm PD it} `=` vec{rm PO it} `+ vec{rm OD it} `= LEFT ( 1-t RIGHT ) vec{rm OD it} `]이므로,

[eqn: LEFT | vec{rm PD it} RIGHT | `= {4} over {7} LEFT | vec{rm OD it} RIGHT | `= {4} over {3}]

따라서, [eqn: LEFT | rm vec{PA} `+` vec{PB} `+ vec{PC} RIGHT |]의 최솟값은 [eqn: 4]이다. ........................................................................ [10점]

이때, 점 [eqn: rmP]는 다음과 같다.

[eqn: rm P it LEFT ( - {2} over {7} ,` {3} over {7} ,` {6} over {7} RIGHT )] .............................................................. [15점]