[문제 1] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 수열 [eqn: ` LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} `=2]이고, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a _{n+1} `=`2`a _{n`} `+`(-1) ^{n} ``3]을 만족시킨다.

<나> [eqn: S _{n} =`a _{1`} +a _{2} +` CDOTS `+a _{n`}] ([eqn: n=1,`2,`3,`...])으로 정의한다.

<다> [eqn: log _{`10} `5`]의 값은 약 [eqn: 0.6990]이다.

1-1.  [eqn: b _{n} =``a _{n`} `+(-1) ^{n`}]일 때, [eqn: `b _{1`}]의 값과 [eqn: `b _{n`}]에 대한 점화식을 구하시오. [10점]

[풀이]

[eqn: `b _{1`} ````=`a _{1} `+`(-1)=`2-1=1] ............................................................................................................ [5점]

그리고 [eqn: a _{n} =``b _{n`} `-`(-1) ^{n`} `````]이므로  [eqn: a _{n+1} `-`2`a _{n} `-3(-1) ^{n} `=`b _{n+1} -(-1) ^{n+1} -2b _{n} +2(-1) ^{n} -3(-1) ^{n}` =`b _{n+1} -2b _{n}]이다.

따라서  [eqn: `b _{n`} ````]에 대한 점화식은 [eqn: b _{n+1} =2b _{n}] 이다. .............................................................................. [10점]

1-2.  [eqn: a _{m} `>`10 ^{50}]을 만족하는 자연수 [eqn: m]의 최솟값을 구하시오. [10점]

[풀이]

[eqn: b _{1} `=`1]와 [eqn: b _{n+1} =2b _{n}]로부터 [eqn: `b _{n`} `=`2 ^{n-1} `]를 얻는다. 따라서 [eqn: `a _{m} `=`2 ^{m-1} `-(-1) ^{m}]을 얻는다.

[eqn: log _{10} 5` DOTEQ 0.6990]이고, [eqn: log _{10} 2=1-log _{10} 5]이므로 [eqn: log _{10} 2 DOTEQ 0.3010]이다.

따라서 [eqn: log _{10} `a _{m} `]의 값은 약 [eqn: (m-1)TIMES 0.3010]이고 [eqn: log _{10} `10 ^{50} `=50`]이므로

[eqn: m`]은  [eqn: (m-1)` TIMES 0.3010`>`50]을 만족하는 최소 자연수라 할 수 있다.

따라서, [eqn: {50} over {0.3010} DOTEQ 166.11]이므로 [eqn: m`]은 [eqn: 168]이다. .............................................................................. [10점]

1-3.  [eqn: a _{2015}]와 [eqn: S _{2014}]의 크기를 비교하시오. 즉, [eqn: a _{2015} `>`S _{2014}], [eqn: a _{2015} `=`S _{2014}], [eqn: a _{2015} `<`S _{2014} `]를 판별하시오. [10점]

[풀이]

[eqn: S _{n} =`a _{1`} +a _{2} +` CDOTS `+a _{n`} ````(n=1,2,3,...)]로 정의되므로

[eqn: S _{2014} `=`a _{1} `+a _{2} `+` CDOTS `+a _{2014}]

[eqn: =(2 ^{0} `+1)+(2 ^{1} `-1)`+` CDOTS `+(2 ^{2013} `-1)]

[eqn: =2 ^{0} `+2 ^{1} `+` CDOTS `+2 ^{2013} `=2 ^{2014} `-1]

한편, [eqn: a _{2015} `=`2 ^{2014} `+1`] 이므로, [eqn: a _{2015} `>`S _{2014}] 이다. ............................................................................. [10점]

[문제 2] 다음 제시문 <가>∼<라>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> [문제 2]에서는 모든 함수가 미분가능하고, 도함수가 연속이다.

<나> 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: H(x)= int _{alpha} ^{g(x)} {f(t)dt}]라 할 때, [eqn: d over {dx} H(x) =f(g(x))g'(x)]가 성립한다.

(단, [eqn: alpha]는 상수)

<다> 어떤 함수 [eqn: h(x)]가 직선 [eqn: x= beta]에 대하여 대칭이면 [eqn: h(x)=h(2 beta -x)]를 만족한다.

<라> 어떤 함수가 원점대칭이며 역함수가 존재하면 역함수도 원점대칭이다.

2-1. 음이 아닌 실수 전체에서 정의된 [eqn: g(x)]의 역함수를 [eqn: f(x)]라 하자.

[eqn: int _{0} ^{g(x)} {f(t)dt} `=`x-ln(x+1)]을 만족할 때, [eqn: g(x)]를 구하시오. (단, [eqn: g(0)=0]) [10점]

[풀이]

[eqn: int _{0} ^{g(x)} {f(t)dt} `=`x-ln(x+1)]의 양변을 미분하면 제시문 <나>에 의하여 [eqn: f(g(x))g prime (x)= x over {x+1}]이고,

[eqn: f]가 [eqn: g]의 역함수이므로 [eqn: f(g(x))=x]가 된다.

따라서 [eqn: g prime (x)= 1 over {x+1}]임을 알 수 있다.

[eqn: g(0)=0]이므로 [eqn: g(x)=ln(x+1)]이다. ................................................................................... [10점]

2-2. 함수 [eqn: p(x),```q(x)]에 대하여, [eqn: p(x)]는 [eqn: x= {a} over {2}]에 대칭이고 [eqn: q(x)+q(a-x)=k]가 성립할 때, [eqn: int _{0} ^{a} {p(x)q(x)dx} `=`k int _{0} ^{{a} over {2}} {p(x)dx}]임을 보이시오. (단, [eqn: a != 0]이고 [eqn: k]는 상수) [10점]

[풀이]

[eqn: int _{0} ^{a} {} p(x)q(x)dx= int _{0} ^{{a} over {2}} {} p(x)q(x)dx+ int _{{a} over {2}} ^{a} {} p(x)q(x)dx]                    (1) ................................ [5점]

제시문 <다>와 주어진 조건을 이용하면 식 (1)의 우변의 두 번째 항은

[eqn: int _{{a} over {2}} ^{a} {} p(x)q(x)dx= int _{{a} over {2}} ^{a} {} p(a-x)[k-q(a-x)]dx]                        (2)

이제, [eqn: t=a-x]로 놓으면 [eqn: dt=`-dx]이므로 식 (2)의 우변은 다음과 같이 된다.

[eqn: int _{{a} over {2}} ^{a} {} p(a-x)[k-q(a-x)]dx`=`- int _{{a} over {2}} ^{0} {} p(t)[k-q(t)]dt]

[eqn: =k int _{0} ^{{a} over {2}} {} p(x)dx- int _{0} ^{{a} over {2}} {} p(x)q(x)dx]          (3)

(3)을 (1)식의 우변 두 번째 항에 대입하면 결과를 얻는다. .................................................... [10점]

2-3. 함수 [eqn: r: VecR `` -> `` VecR]이 일대일대응이며 원점대칭이고 [eqn: r(2)=1]이라 하자.

[eqn: r(x)]의 역함수를 [eqn: s(x)]라 할 때, [eqn: int _{-1} ^{1} {s` prime (x)(x+1)dx}]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: r(x)]는 일차함수가 아님) [15점]

[풀이]

부분적분법에 의하여

[eqn: int _{-1} ^{1} {s` prime (x)(x+1)dx} ``=`(x+1) LEFT . s(x) RIGHT | _{-1} ^{1} - int _{-1} ^{1} {} s(x)dx]                 (1)  .............................. [5점]

[eqn: r]가 원점에 대하여 대칭이므로 제시문 <라>로부터 [eqn: r]의 역함수 [eqn: s]는 원점대칭이다.

따라서 식 (1)에서 [eqn: int _{-1} ^{1} {} s(x)dx=0]이다.

주어진 조건에서 [eqn: r(2)=1]이므로 [eqn: s(1)=2]이며, 제시문 <다>로부터 [eqn: s(-1)=-2]임을 알 수 있다.

그러므로 식 (1)의 첫 번째 항의 값은 [eqn: (1+1)s(1)-(1-1)s(-1)=4]가 된다.

[eqn: int _{-1} ^{1} {s prime (x)(x+1)dx} `=`4] .......................................................................................................... [15점]

[문제 3] 다음 제시문 <가>∼<라>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 원점이 중심이고 반경 [eqn: r]인 원 위에 놓여 있는 점 [eqn: rm C]는 다음과 같이 표현된다.

[eqn: 120 ^{DEG }]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm D]

[eqn: rm C it (r`cos` theta ,`r`sin` theta )]

[eqn: theta]

[eqn: rmO]

<나> 구와 접하는 평면 위의 모든 벡터는 구의 중심과 접점을 연결한 벡터와 수직이다.

<다> 아래 그림에서 원점 위에 놓여 있는 구 [eqn: S``]는 [eqn: xy]평면에 접한다. 구 [eqn: S``]와 접하는 또 다른 평면

[eqn: alpha]는 [eqn: xy]평면과 직선 [eqn: l`:`y`= sqrt {3} ,``z`=`0`]에서 만난다.

<라> 아래 그림에서 평면 [eqn: beta]는 [eqn: xy]평면과 평면 [eqn: alpha] 사이의 각을 이등분하며 직선 [eqn: l:y= sqrt {3} ,``z=0`]에서 만난다.

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: xy]평면

[eqn: rm P]

[eqn: rm A]

[eqn: rm O]

[eqn: l]

[eqn: `(0, sqrt {3} ,`0)]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: z]

[eqn: S]

3-1. 제시문 <가>에 주어진 원에서 선분 [eqn: bar{rmOC}]를 선분 [eqn: bar{rmOD}]로 옮기는 일차변환을 이차정사각행렬로

나타내시오. [10점]

[풀이]

선분 [eqn: bar{rmOC}]를 선분 [eqn: bar{rmOD}]로 옮기는 일차변환은 원의 중심에 대한 회전변환이다.

이 때, 회전각도는 [eqn: {2 pi } over {3}] 이므로 [eqn: - {2pi } over {3}]만큼 회전변환하는 것이다.

그러므로 회전변환은 [eqn: {pmatrix{- {1} over {2}&``````` {sqrt {3}} over {2}#- {sqrt {3}} over {2}&- {1} over {2}}}]이다. ............................................................................... [10점]

3-2. 제시문 <다>에 주어진 구 [eqn: S``]의 중심좌표는 [eqn: rmA(0,`0,`1)]이다. 이를 이용하여 구 [eqn: S``]와 평면 [eqn: alpha `]가

접하는 접점 [eqn: rmP]의 좌표와 평면 [eqn: alpha `]의 법선벡터를 구하시오. [15점]

[풀이]

제시문 <나>로부터 구와 평면 [eqn: beta]의 접점[eqn: rmP]는 [eqn: (0,`cos` theta ,`sin` theta +1)]로 놓을 수 있다.

직선 [eqn: l`:`y`= sqrt {3} ,``z`=`0`]에서 [eqn: y]축 상의 점을 [eqn: rmR]이라 하면 [eqn: rmR(0,` sqrt {3} ,`0)]을 얻는다.

한편, [eqn: vec{rmAP}]와 [eqn: vec{rmRP}]는 수직이므로 [eqn: vec{rmAP} cdot vec{rmRP} =0]으로부터

[eqn: 0 & =1- sqrt {3} `cos` theta +sin` theta # & =1-2sin LEFT ( {pi } over {3} - theta RIGHT )]

따라서 [eqn: theta = {pi } over {6}]이다.

그러므로 접점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,`cos {pi } over {6} ,`sin {pi } over {6} +1 RIGHT ) `=` LEFT ( 0,` {sqrt {3}} over {2} ,` {3} over {2} RIGHT )]이다.  .................................... [10점]

또한, 구의 중심 [eqn: rmA(0,`0,`1)]로부터 접점 [eqn: rmP]까지의 벡터가 법선벡터이므로

평면 [eqn: alpha]의 법선벡터는 [eqn: LEFT ( 0,` {sqrt {3}} over {2} ,` {1} over {2} RIGHT )]이다. ................................................................................. [15점]

3-3. 제시문 <라>에 주어진 평면 [eqn: beta]의 법선벡터를 구하시오. [10점]

[풀이]

[eqn: rm N]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: z]

[eqn: {pi } over {6}]

[eqn: yz] 평면 위에 있는 [eqn: xy]평면의 법선벡터는 원의 중심 [eqn: rm O]에서 점 [eqn: rm N]으로 향하는 벡터 [eqn: (`0,`1)]이다.

이 벡터는 원에서 [eqn: rm N]의 좌표에 대응한다.

[eqn: yz] 평면상에서 평면 [eqn: beta] 의 법선벡터는 [eqn: xy]평면의 법선벡터를 [eqn: - {pi } over {6}] 회전한 원의 좌표에 대응하므로

[eqn: yz] 평면상에서는 [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,` {sqrt {3}} over {2} RIGHT )]이다.

따라서, 평면 [eqn: beta]의 법선벡터는 [eqn: LEFT ( 0,` {1} over {2} ,` {sqrt {3}} over {2} RIGHT )]이다. ................................................................... [10점]