본 모의평가집의 해설 및 예시답안은 2011. 7. 18 이후 본교 입학종합정보 홈페이지(www.hanyang.ac.kr/admission) 및 입시홍보자료집 ‘클라우스’ 2011 Summer Vol.36 를 통해 공개합니다. ‘클라우스’ 구독 신청은 홈페이지 회원가입을 통해 가능합니다.

I 한양대학교 서울캠퍼스 I

2012학년도 수시1차 한양우수과학인전형 대비

모의수리사고평가집(2회)

(평가지/모의평가용 답안지)

* 본 자료집에 대한 지적소유권은 한양대학교에 있으며, 본교의 허가없이 무단으로 전재하거나 사용할 수 없습니다.

한양대학교 2012학년도 수시1차 한양우수과학인전형

자 연 계

모 의 수 리 사 고 평 가(2회)

수험번호 (                )     성  명 (              )

수험생 유의사항

1. 답안은 120분 안에 작성하시오.

2. 제목을 쓰지 마시오.

3. 수정 시 검정 볼펜으로 줄을 긋고 다시 쓰시오.

4. 답안지와 문제지 및 연습지를 함께 제출하시오.

5. 다음 경우는 0점 처리될 수 있습니다.

1) 답안을 검정 볼펜으로 작성하지 않은 경우

2) 자신의 신원을 드러내는 불필요한 표기를 한 경우

3) 수정액이나 수정테이프를 사용한 경우

4) 답을 해당 답란에 작성하지 않은 경우

<문제 1>다음 제시문을 활용하여 물음에 답하시오.

평면에 유한개의 직선과 한 원이 주어져 있으면, 주어진 원의 내부에는 주어진 직선 중 어떤 것 위에도 있지 않는 점이 존재한다.

(1) 원 [eqn: O]의 내부에 있는 하나 이상의 유한개의 점으로 이루어진 집합을 [eqn: A]라 하자. [eqn: A]에 속한 점들로부터의 거리가 모두 서로 다르게 되는 점이 원 [eqn: O]의 내부에 있음을 설명하시오.

(2) 위 (1)에서 [eqn: A]의 원소의 개수가 [eqn: n]이고, [eqn: k]는 [eqn: n] 이하의 자연수라고 하자. [eqn: A]에 속하는 점들 중 정확히 [eqn: k]개만 그 내부에 포함하는 원이 원 [eqn: O]의 내부에 있음을 설명하시오.

<문제 2> 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

다음은 [eqn: `n!`]의 값을 함수 [eqn: `f(n)`=`C``n ^{n} e ^{-n} sqrt {n} `]를 이용하여 근사값을 구하려는 과정을 단계별로 나눈 것이다. 여기서 자연수 [eqn: `n`]이 커짐에 따라 극한 [eqn: `{f(n)} over {n!}`]이 [eqn: `1``]에 수렴하도록 상수 [eqn: `C``]를 결정하려 한다.

(1) 음이 아닌 정수 [eqn: `n`]에 대해서 정적분 [eqn: `I _{n} `=` int _{0} ^{{pi } over {2}} {} `cos ^{n} x`dx`]를 정의하자.

[eqn: `n` >= `2`]인 경우, 점화식 [eqn: `I _{n} `=`A(n)I _{n-2} `]가 만족되도록 [eqn: `A(n)`]을 [eqn: `n`]에 대한 함수로 표현하시오.

(2) 모든 [eqn: `n` >= `1`] 에 대해서 부등식 [eqn: `I _{2n-1} ` >= `I _{2n} ` >= `I _{2n+1} `]이 성립함을 보이시오.

(3) 위 (2)에 의해 부등식 [eqn: `1` >= ` {I _{2n}} over {I _{2n-1}} ` >= ` {I _{2n+1}} over {I _{2n-1}} `]이 성립한다. [eqn: `n!`=`C_{n}``n ^{n} e ^{-n} sqrt {n} `]로 놓으면 [eqn: `C`=` lim _{n -> INF } {} `C _{n} `]이다. 이 관계식을 이용하면 [eqn: ` sqrt {{I _{2n}} over {I _{2n-1}}} `]은 어떤 상수 [eqn: ` alpha `]로 수렴하는 [eqn: `n`]에 관한 함수 [eqn: ` alpha_n `]에 대해 [eqn: ` sqrt {{I _{2n}} over {I _{2n-1}}} `=` {alpha_n } over {C_{n}} `]로 표현되고 [eqn: ` sqrt {{I _{2n+1}} over {I _{2n-1}}} `]은 [eqn: `n`]에 대한 함수 [eqn: `p(n)`]으로 표현된다. 이 때, [eqn: ` alpha `]와 [eqn: `p(n)`]을 구하시오.

(4) 위 (3)에서 부등식 [eqn: `1` >= ` {alpha_n } over {C_{n}} ` >= `p(n)`] 이 성립한다. 극한 [eqn: ` lim _{n -> INF }`p(n)`]을 구하여 우리가 구하고자 하는 상수 [eqn: `C``]를 결정하시오.

한양대학교 2012학년도 수시1차
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