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한양대학교 2012학년도 수시1차 한양우수과학인

자연계

수 리 사 고 평 가(모의)

수험번호 (                )     성  명 (              )

수험생 유의사항

1. 답안은 120분 안에 작성하시오.

2. 제목을 쓰지 마시오.

3. 수정 시 검정 볼펜으로 줄을 긋고 다시 쓰시오.

4. 답안지와 문제지 및 연습지를 함께 제출하시오.

5. 다음 경우는 0점 처리될 수 있습니다.

1) 답안을 검정 볼펜으로 작성하지 않은 경우

2) 자신의 신원을 드러내는 불필요한 표기를 한 경우

3) 수정액이나 수정테이프를 사용한 경우

4) 답을 해당 답란에 작성하지 않은 경우

<문제 1> 다음 제시문을 읽고 문제에 답하시오.

어떤 구간에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 구간의 끝점이 아닌 모든 실수 [eqn: x``]에 대해 부등식 [eqn: f'' (x)<0``]을 만족한다.

(1) 직선 [eqn: y=cx +d``]가 곡선 [eqn: y=f(x)``]의 끝점이 아닌 점에서의 접선이면, [eqn: f(x)``]의 정의역에 속하는 모든 실수 [eqn: x``]에 대해 부등식

[eqn: f(x) LEQ cx+d]

가 성립함을 설명하시오.

(2) 위 (1)의 부등식을 사용하여 임의의 양의 정수 [eqn: n``]과 [eqn: f(x)``]의 정의역에 속하는 임의의 실수

[eqn: a_1 , ``a_2 ,``ldots,``a_n ``]에 대해 부등식

[eqn: f({a _{1} + a _{2} + cdots+a_n} over {n}) GEQ { 1} over { n}(f(a_1 )+f(a_2 )+cdots+ f(a_n ) )]

이 성립함을 설명하시오. 등식이 성립할 조건은 무엇인가?

(3) 위 (2)의 부등식을 사용하여 임의의 양의 정수 [eqn: n``]과 임의의 양수 [eqn: a_1 , ``a_2 ,``ldots,``a_n ``]에 대해 부등식

[eqn: {a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n}} over {n} GEQ root {n} of {a_1 a_2 cdots a_n }]

이 성립함을 설명하시오. 등식이 성립할 조건은 무엇인가?

다음 면에 계속 ☞

<문제 2> 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

함수 [eqn: f: left(- {pi } over {2} , {pi } over {2} right)` -> (-infty,infty)]는 일대일 대응이고, 다음 등식

[eqn: f(x+y)= {f(x)+f(y)} over {1-f(x) CDOT f(y)} ,~~(- {pi } over {2} <x,``y< {pi } over {2} )]

을 만족한다.

(1) 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }_n=1^infty]이 점화식 [eqn: a_1 = a_2 =1], [eqn: a_n+1 = a_n + a_n-1 ```` (n ge 2)]을 만족할 때, 임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여 관계식

[eqn: a_{2n-1} a_{2n+1} = a_{2n}^2 + 1]

이 성립함을 보이시오.

(2) [eqn: LEFT { a_n RIGHT }_n=1^infty]은 위 (1)에서 주어진 수열일 때, 모든 양의 정수 [eqn: n]에 대하여 함수 값

[eqn: f left(f^{-1} left( {1} over {a _{2n+1}} right)+ f^{-1} left( {1} over {a _{2n+2}} right) right)]

은 무엇인가?

	한양대학교 2012학년도 수시1차 한양우수과학인
	자 연 계	수리사고평가(모의) 출제 방향 및 의도, 예시 답안

1. 출제방향

(1) 고등학교 교과과정의 수학에 속하는 개념의 정확한 이해와 고등학교 수학을 통해 습득한 논리적 추론능력을 평가한다.

(2) 각 문제마다 하나의 주제를 중심으로 서로 연관되어 있는 다수의 소문항을 제시함으로써 논리적 추론 능력을 효율적으로 평가한다.

(3) 해결을 위해서는 창의적 발상이 필요한 질문을 포함시켰다. 단순히 주입식으로 수학을 학습한 것이 아니라 스스로 문제를 해결하는 능력을 키운 학생들이 해결할 수 있는 문제가 되도록 함으로써 창의적 사고력을 평가한다.

2. 출제 의도 및 목적

(1) <문제 1>의 출제 의도:

이 문제는 지식의 측면에서는 미분계수의 부호와 함수의 증감 사이의 관계를 알고 있는가, 실수체에서의 부등식의 성질을 잘 이용하고 능숙하게 다룰 수 있는가, 로그함수의 성질을 잘 이해하고 있는가를 평가하기 위한 것이다. 또한 이 문제는 그 질문들이 단지 묻는 역할을 할 뿐 아니라 다음 질문을 해결하기 위해 필요한 정보를 제공하고 있는데, 새로운 정보를 활용하여 문제를 해결할 수 있는 순발력을 평가하려는 의도로 출제하였다.

(2) <문제 2>의 출제 의도:

이 문제는 점화식으로 주어진 수열의 관계식과 어떤 관계식을 만족하는 함수에 대하여 함수 값을 구하는 문제로 고등학교 교육과정에서 배운 함수와 수열의 뜻과 의미를 명확히 이해하고 있는지 확인하고, 수열의 관계식과 함수의 관계식을 이용하여 함수 값을 올바로 구할 수 있는 능력을 알아보는 문제이다. 주어진 수열의 점화식으로부터 문제의 관계식을 구하기 위하여 수학적 귀납법을 올바로 사용하여 증명하는 능력을 확인하고, 주어진 함수의 관계식을 이해하고 수학적 분석을 통하여 수학적 해결능력을 점검한다. 앞서 구한 수열의 관계식으로부터 함수 값을 구하기 위하여 교육과정에서 배운 역함수와의 관계에 적용하여 이의 해결과정과 올바른 논리적 전개과정을 동시에 살펴보고자 한다.

3. 평가 내용

(1) <문제 1>의 평가내용:

① 접선의 접점을 그 [eqn: x]좌표로 표현하는데 착안하는가.

② [eqn: f'' (x)<0``]이라는 조건으로부터 도함수 [eqn: f'(x)]이 감소함수라는 것을 파악하는가.

③ 접점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: x={a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n}} over {n}]인 접선을 도입하는데 착안하는가.

➃ 등식이 성립하는 경우를 충분한 근거를 제시하며 진술하였는가.

⑤ 로그함수를 도입하는데 착안하였는가.

⑥  [eqn: {a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n}} over {n} GEQ root {n} of {a_1 a_2 cdots a_n }]라는 결론에 도달하기 위해 함수 [eqn: ln``]이 증가함수라는 것을 사용하였는가.

(2) <문제 2>의 평가내용:

① 점화식으로 주어진 수열의 이해도를 평가

② 수학적 귀납법을 올바로 사용하는지를 평가

③ 함수의 관계식 이해여부를 평가

➃ 문제 해결 완성도 평가

4. 예시 답안

<문제 1>의 예시답안:

(1) 접선의 접점의 [eqn: x``]좌표값을 [eqn: m``]이라 하면 [eqn: c=f'(m)]이고 [eqn: d=f(m)-f prime (m)m].

함수 [eqn: g(x)``]를 [eqn: g(x)=f(x)-cx-d``]라 두자. 그러면 [eqn: g'' (x)=f'' (x) <0]. 따라서 [eqn: g' (x)]는 감소함수.

또한 [eqn: g' (m) = f'(m) -c=0``]이므로 [eqn: g(x)]의 증감표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: m]	[eqn: cdots]
[eqn: g'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g(x)]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 0]	[eqn: SEARROW]

그러므로 [eqn: g(x) LEQ 0] 즉 [eqn: f(x) LEQ cx +d].

(2) [eqn: m={a _{1} + a _{2} + cdots+a_n} over {n}]이라 두면 [eqn: (m, f(m))]에서의 접선의 방정식 [eqn: y=cx +d``]은

[eqn: c=f' (m), ````d=f(m)-f'(m)m]

으로 주어진다. 구간에 속하는 모든 [eqn: x``]에 대해 [eqn: f(x) LEQ cx +d``]이므로

[eqn: {cases{f(a _{1} ) LEQ ca _{1} +d&#f(a _{2} ) LEQ ca _{2} +d&#`````````````````````` CDOTS &#f(a _{n} ) LEQ ca _{n} +d&}}]

그런데, [eqn: (ca_1 +d)+(ca_2 +d)+ cdots +(ca_n +d)=c(a_1 +a_2 +cdots +a_n )+nd=nf(m)].

따라서 [eqn: {1} over {n} (f(a _{1} )+f(a _{2} )+ CDOTS +f(a _{n} )) leq f( {a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n}} over {n} )].

이 부등식에서 등식이 성립하기 위해서는[eqn: f(a_i )= ca_i +d``]가 모든 [eqn: i=1, 2, ..., n]에 대해 성립해야 하는데,

위 (1)의 논의를 다시 살펴보면, 등식이 성립하는 경우는 [eqn: x=m``]인 경우 뿐이므로, 모든 [eqn: i``]에 대해 [eqn: a_i =m]인 경우 뿐이다.

이것은 [eqn: a_1 = a_2 = cdots = a_n ``]과 동치. 즉 등식이 성립하는 경우는 [eqn: a_1 = a_2 = cdots = a_n ``]일 때 뿐이다.

(3) [eqn: f(x) = ln `x ``]라 두면 [eqn: f(x)``]는 구간 [eqn: (0, infty )]에서 정의되고 [eqn: f'(x) = { 1} over {x }``], [eqn: f'' (x)= - { 1} over { x^2 }<0``]을 만족한다.

따라서 위 (2)에 의해

[eqn: ln {a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n}} over {n} GEQ {1} over {n} (ln`a _{1} +ln`a _{2} + CDOTS +ln`a _{n} )]

그런데 [eqn: {1} over {n} (ln`a _{1} +ln`a _{2} + CDOTS +ln`a _{n} ) = ln `(a_1 a_2 cdots a_n )^{{ 1}over{n }}]이고 함수 [eqn: ln``]은 증가함수이므로

[eqn: {a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n}} over {n} GEQ root {n} of {a_1 a_2 cdots a_n }].

또한 위 (2)에 의해 등식이 성립하는 경우는 [eqn: a_1 = a_2 = cdots = a_n ``]일 때 뿐이다.

<문제 2>의 예시답안:

(1) 수학적 귀납법을 사용하여 [eqn: a_{2n-1} a_{2n+1} = a_{2n}^2 + 1 ~ (n ge 1)] 을 증명하자.

[eqn: n=1]인 경우

[eqn: a _{1} a _{3} =a _{1} (a _{2} +a _{1} )=a _{1} a _{2} +a _{1} ^{2} =1 CDOT 1+1 ^{2} =2],

[eqn: a_1 ^2 + 1 = 1^2 + 1 = 2]

이므로,  [eqn: a_1 a_3 = a_1 ^2 + 1] 이 성립한다.

[eqn: n=k-1]일 때 성립한다고 가정하자. 그러면

[eqn: a _{2k-1} CDOT a _{2k+1} & =a _{2k-1} CDOT (a _{2k} +a _{2k-1} )# & =a _{2k-1} CDOT a _{2k} +(a _{2k-3} +a _{2k-2} ) CDOT a _{2k-1}# & =a _{2k-1} CDOT a _{2k} +a _{2k-3} CDOT a _{2k-1} +a _{2k-2} CDOT a _{2k-1}# & =a _{2k-1} CDOT a _{2k} +a _{2k-2} ^{2} +1+a _{2k-2} CDOT a _{2k-1}# & =a _{2k-1} CDOT a _{2k} +a _{2k-2} CDOT (a _{2k-2} +a _{2k-1} )+1# & =a _{2k-1} CDOT a _{2k} +a _{2k-2} CDOT a _{2k+1}# & =(a _{2k-1} +a _{2k-2} ) CDOT a _{2k+1}# & =a _{2k} ^{2} +1]

이므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여  [eqn: a_{2n-1} a_{2n+1} = a_{2n}^2 + 1]이 성립한다.

(2) 함수 [eqn: f]는 임의의 실수 [eqn: x,~y ~ in (- pi over 2 , pi over 2 )]에 대하여

[eqn: f(x+y)={f(x) + f(y) } over {1- f(x) cdot f(y)}]

이 성립하므로, 임의의 자연수  [eqn: n]에 대하여

[eqn: f` LEFT ( f ^{-1} ( {1} over {a _{2n+1}} )+f ^{-1} ( {1} over {a _{2n+2}} ) RIGHT ) ` & = {{1} over {a _{2n+1}} + {1} over {a _{2n+2}}} over {1- {1} over {a _{2n+1}} CDOT {1} over {a _{2n+2}} `} = {a _{2n+1`} +`a _{2n+2}} over {a _{2n+1`} CDOT a _{2n+2} -1} # &= {a_{2n+1} +` a_{2n+2}} over {a_{2n+1} cdot (`` a _{2n+3} -` a_{2n+1} `)-1} # &= {a_{2n+1} `+` a_{2n+2}} over {a_{2n+1} CDOT a_{2n+3} -` a_{2n+1} ^{2} -1} # &= {a _{2n+1} +a_{2n+2}} over {a_{2n+2} ^{2} +1- a _{2n+1} ^{2} -1} # &= {a_{2n+1} + a_{2n+2}} over {(` a_{2n+2} + a_{2n+1} `) cdot (` a_{2n+2} - a_{2n-1} `)} # &= {1} over {a_{2n+2} -` a_{2n-1}} = 1 over a_2n]

이다.