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한양대학교 2012학년도 수시2차 논술고사(모의)

자 연 계

논  술  고  사

수험번호 (                )     성  명 (              )

수험생 유의사항

1. 답안은 120분 안에 <논술>을 작성하시오.

2. 제목을 쓰지 마시오.

3. 수정 시 검정 볼펜으로 줄을 긋고 다시 쓰시오.

4. 답안지와 문제지를 함께 제출하시오.

5. 다음 경우는 0점 처리될 수 있습니다.

1) 답안을 검정 볼펜으로 작성하지 않은 경우

2) 자신의 신원을 드러내는 불필요한 표기를 한 경우

3) 수정액이나 수정테이프를 사용한 경우

4) 답을 해당 답란에 작성하지 않은 경우

<논술 1> 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 주어진 두 개의 0 아닌 실 계수 다항식 [eqn: p(x)], [eqn: s(x)]에 대하여

[eqn: p(x)=q(x)s(x)+r(x)]

를 만족하는 실 계수 다항식 [eqn: q(x),`r(x)]가 존재한다. 단, [eqn: r(x)=0]이거나 [eqn: r(x)]의 차수는 [eqn: g(x)]의 차수보다 작다. 이 때, [eqn: r(x)=0]이면 [eqn: s(x)]는 [eqn: p(x)]의 약수라 부르고, [eqn: p(x)]는 [eqn: s(x)]의 배수라 부른다.

(나) 행렬 [eqn: A= pmatrix{a _{11}&a _{12}&a _{13}#a _{21}&a _{22}&a _{23}#a _{31}&a _{32}&a _{33}}]는

[eqn: A ^{3} -(a _{11} +a _{22} +a _{33} )A ^{2} +(a _{22} a _{33} -a _{23} a _{32} +a _{11} a _{22} -a _{12} a _{21} +a _{11} a _{33} -a _{13} a _{31} )A# # `````````````````````````````+(a _{11} a _{23} a _{32} +a _{12} a _{21} a _{33} +a _{13} a _{31} a _{22} -a _{11} a _{22} a _{33} -a _{12} a _{23} a _{31} -a _{13} a _{21} a _{32} )E=O]

을 만족하고, 이를 케일리-해밀턴 정리라 한다. 단, [eqn: E= LEFT ( matrix{1&0&0#0&1&0#0&0&1} RIGHT ) ,] [eqn: O= LEFT ( matrix{0&0&0#0&0&0#0&0&0} RIGHT )].

(다) 실 계수 다항식 [eqn: p(x)=a _{n} x ^{n} + CDOTS +a _{1} x+a _{0}]와 [eqn: 3 TIMES 3] 행렬 [eqn: A]에 대해,

[eqn: p(A)=a _{n} A ^{n} + CDOTS +a _{1} A+a _{0} E]

로 정의한다. 이 때, [eqn: p(A)=O]이 되는 다항식 [eqn: p(x)]중 차수가 가장 낮고 최고차항의 계수가 1인

다항식을 [eqn: A]의 최소다항식이라 한다.

(1) [eqn: 3 TIMES 3] 행렬 [eqn: A]의 최소다항식이 [eqn: p(A)=O]을 만족하는 모든 실 계수 다항식 [eqn: p(x)]의 약수임을 제시문 (가)를 이용하여 설명하시오.

(2) 위 (1)의 결과를 이용하여 행렬 [eqn: A= pmatrix{1&0&0#0&1&0#0&1&2}]의 최소다항식을 구하시오.

다음 면에 계속 ☞

<논술 2> 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 기주는 학교에서 미술시간에 찰흙으로 둥근 공을 만든 후, 칼로 평평하게 잘라보았더니 단면의 테두리 모양이 항상 원이 됨을 관찰하였다.

(나) 기주는 학교에서 수학시간에 반지름이 1이고 중심이 원점인 구의 방정식은 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =1]로 주어진다는 것을 공부하였다. 이 구와 평면 [eqn: y=z]가 만나는 공통 부분을 구하기 위하여, 두 방정식을 연립하여 구하여 보았더니, [eqn: x ^{2} +2y ^{2} =1]이라는 타원의 방정식을 얻게 되어 구를 평면으로 자른 단면의 테두리 모양이 타원이 나올 수도 있을까라는 의문을 가지게 되었다.

(다) 평면 [eqn: alpha]밖의 한 점 [eqn: P]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발 [eqn: P``']을 점 [eqn: P]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영이라고 한다. 또, 도형 [eqn: F]의 각 점에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발들로 이루어진 도형 [eqn: F``']을 도형 [eqn: F]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영이라고 한다. 두 도형 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]일 때, 평면 [eqn: alpha] 위에 있고 넓이가 [eqn: S]인 도형의 평면 [eqn: beta] 위로의 정사영의 넓이 [eqn: S``']은 [eqn: S`` prime =S```cos` theta]로 주어진다.

(1) 제시문  (가)와  (나)에서 기주가 봉착하게 되는 모순이 어떤 오류에서 비롯된 것인지 논하시오.

(2) 부등식 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} LEQ 1]로 주어지는 속이 꽉 찬 공을 생각하자. 또한 세 점 [eqn: (1,0,0),`(0,1,0),`(0,0,1)]을 지나는 평면을 생각하자. 제시문  (다)를 참고하여, 이 평면과 공의 공통부분을 [eqn: xy]-평면에 정사영했을 때 얻게 되는 도형에 관해 논하고, 이 도형의 면적을 구하시오.

	한양대학교 2012학년도 수시2차 논술고사(모의)
	자 연 계	논술 출제 방향 및 의도, 예시 답안

1. 출제방향

1) 각 문제의 제시문은 고등학교 교과과정의 수학에 속하는 개념을 정확히 이해하고 있으면 충분히 이해가능한 내용으로써, 고등학교 수준의 수학지식과 그 지식을 활용하는 능력을 평가한다.

2) 단순히 문제풀이 위주로만 학습한 것이 아니라 고등학교 수학에 나오는 여러 개념을 깊이 있게 생각하고 이해한 학생들이 해결할 수 있는 문제를 출제함으로써 논리적 분석력을 평가한다.

3) 해결을 위해서는 창의적 발상이 필요한 질문을 포함시켰다. 단순히 주입식으로 수학을 학습한 것이 아니라 스스로 문제를 해결하는 능력을 키운 학생들이 해결할 수 있는 문제가 되도록 함으로써 창의적 사고력을 평가한다.

2. 출제 의도 및 목적

(1) <문제 1>의 출제 의도

이 문제는 다항식의 나누기를 활용하여 주어진 행렬의 최소다항식을 구하는 문제로, 고등학교 교육과정에서 배운 다항식의 나눗셈의 의미를 명확히 이해하고 있는지 확인하고, 제시문을 통해 최소다항식의 개념과 성질을 잘 이해하고 있는지, 행렬의 케일리-해밀턴 정리가 갖고 있는 의미를 파악하고 있는지를 알아보려는 문제이다. 또한 학생들 스스로 구체적인 문제를 교육과정에서 배운 수학 지식에 적용하여 해결하는 과정과 논리적 구성과정을 동시에 살펴보고자 한다.

(2) <문제 2>의 출제 의도

원, 타원, 쌍곡선 등 이차곡선과 공간도형의 위치관계를 잘 파악하고 있는지 평가하고자 한다. 수식으로부터 주어진 식이 의미하는 공간도형을 잘 이해하고 서술할 수 있는지의 능력을 측정하고자 하며, 공간도형의 정사영의 개념을 잘 숙지하고 있는지를 평가하고자 한다.

3. 평가 내용

(1) <문제 1>의 평가내용:

① 다항식의 나눗셈과 행렬의 최소다항식의 개념 이해도를 평가

② 행렬의 케일리-해밀턴 정리가 갖는 의미 이해여부를 평가

③ 문제 해결 완성도 평가

(2) <문제 2>의 평가내용:

① 공간도형의 위치관계에 관한 이해여부 평가

② 수식으로 주어지는 공간도형과 수식간의 상호 관계 이해여부 평가

③ 공간도형의 정사영의 개념에 관한 이해여부 평가

4. 예시 답안

(1) <문제 1>의 예시답안

(1) 행렬 [eqn: A]의 최소다항식을 [eqn: m(x)]라 하면

[eqn: p(x)=q(x)m(x)+r(x)]

를 만족하는 실 계수 다항식 [eqn: q(x),`r(x)]가 존재한다. 단, [eqn: r(x)=0] 이거나 [eqn: r(x)]의 차수는 [eqn: m(x)]의 차수보다 작다. 따라서

[eqn: O=p(A)=q(A)m(A)+r(A)=r(A).]

결국, 최소다항식의 정의에 의해 [eqn: r(x)=0]이어야 한다.

(2) 문제 (1)과 제시문 (나)로부터 행렬 [eqn: A]의 최소다항식은

[eqn: x ^{3} -4x ^{2} +5x+2=(x-1) ^{2} (x-2)]

의 약수임을 알 수 있다. 또한, 간단한 계산을 통해

[eqn: A-I != O,```A-2I != O,``(A-I)(A-2I)=O]

임을 알 수 있다. 따라서, 행렬 [eqn: A]의 최소다항식은 [eqn: (x-1)(x-2)=x ^{2} -3x+2] 이다.

(2) <문제 2>의 예시답안

1) 기주가 얻은 식은 구와 평면의 공통부분에 놓인 점의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 만족하는 식이므로 공통부분을 [eqn: xy]-평면에 정사영한 도형이 만족하는 식이 된다.

2) 세 점 [eqn: (1,0,0),`(0,1,0),`(0,0,1)]을 지나는 평면의 방정식은 [eqn: x+y+z=1]로 주어진다. 이 평면과 [eqn: xy]-평면이 이루는 각을 [eqn: theta]라 놓으면, [eqn: `cos` theta]의 값은 [eqn: {1} over {sqrt {3}}]이 된다. 한편 평면 [eqn: x+y+z=1]과 공의 공통부분은 중심이 [eqn: ( {1} over {3} , {1} over {3} , {1} over {3} )]이고 반지름이 [eqn: {sqrt {6}} over {3}]인 원의 테두리와 내부영역이 된다. 따라서 이 영역을 [eqn: xy]-평면에 정사영시킨 부분은 타원이 되며, 이 타원의 면적은 원의 넓이와 [eqn: ``cos` theta]의 곱이 되므로 [eqn: {2 sqrt {3}} over {9} pi]가 된다.