I 한양대학교 서울캠퍼스 I

2012학년도 수시1차 학업우수자(의예과)전형 대비

수리사고평가 모의평가집(2회)

(평가지침 및 예시답안)

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	한양대학교 2012학년도 수시1차 학업우수자(의예과)전형
	자 연 계	모의수리사고평가(2차) 출제 방향 및 의도, 예시 답안

1. 출제방향

(1) 고등학교 교과과정의 수학에 속하는 개념의 정확한 이해와 고등학교 수학을 통해 습득한 논리적 추론능력을 평가한다.

(2) 각 문제마다 하나의 주제를 중심으로 서로 연관되어 있는 다수의 소문항을 제시함으로써 논리적 추론 능력을 효율적으로 평가한다.

(3) 해결을 위해서는 창의적 발상이 필요한 질문을 포함시켰다. 단순히 주입식으로 수학을 학습한 것이 아니라 스스로 문제를 해결하는 능력을 키운 학생들이 해결할 수 있는 문제가 되도록 함으로써 창의적 사고력을 평가한다.

2. 출제 의도 및 목적

<문제 1>

간단한 기하학적 사실을 제시하고 그것을 근거로 논리적으로 사고할 수 있는 능력이 있는가를 평가하려는 의도로 출제하였다. 단순히 논리적으로 유효한 추론을 하는 능력 뿐만 아니라 자신의 생각을 간결하고 분명하게 정리하는 능력이 있는가를 평가하고자 하였다.

<문제 2>

이 문제는 주어진 함수의 성질을 이용하여 한 집합의 성질로부터 다른 집합의 성질을 이끌어 낼 수 있는 지를 확인한다. 고등학교 교육과정에서 배운 이항연산의 성질을 명확히 이해하고 이를 활용할 수 있는지를 확인하는 문제이다. 복소수의 극형식 표현과 함수의 대응관계를 통해 행렬에서 유사한 표현을 만들 수 있는지를 확인한다.

3. 평가 내용

<문제 1>

(1) 두 점으로부터 거리가 같은 점들의 집합이 직선을 이룬다는 것에 착안하는가.

(2) 한 쌍의 점에 의해서 결정되는 어떤 직선에도 속하지 않는 점은 주어진 모든 점으로부터의 거리가 다르다는 것에 착안하는가.

(3) 주어진 원에 포함되고 주어진 점 중 정확히 [eqn: k]개를 포함하도록 중심과 반지름을 적절히 택하였는가.

(4) 자신의 착상의 핵심을 정확히 파악하고 생각을 간결하고 정확하게 표현하였는가.

<문제 2>

(1) 함수의 이해

(2) 이항연산의 성질 이해

(3) 복소수의 극형식 이해

4. 예시 답안

<문제 1>

(1) 원의 내부에 주어진 서로 다른 두 점을 택하면, 그 두 점으로부터 거리가 같은 평면 위의 모든 점의 집합은 직선을 이룬다. 주어진 점 중 서로 다른 두 점을 택하는 방법이 유한개이므로, 이와 같이 주어진 직선도 유한개이다. 제시문에 의해 원 [eqn: O]의 내부에는 이들 직선 중 어느 것에도 속하지 않는 점이 적어도 하나 존재한다. 그 점이 바로 주어진 점들과의 거리가 모두 다른 점이다.

(2) 원 [eqn: O]의 중심을 [eqn: C```]라 하고 반지름을 [eqn: r]이라 하자. 주어진 점 중 하나를 [eqn: P]라 하면 [eqn: CP < r]이므로, [eqn: r- CP] 중 가장 작은 수를 [eqn: s]라 하면 [eqn: s]는 양수이다. 중심이 [eqn: C]이고 반지름이 [eqn: s]인 원 [eqn: O`']을 택하면 첫째 문제의 풀이와 마찬가지로 하여 원 [eqn: O`']의 내부에 주어진 점들과 거리가 모두 다른 점 [eqn: D]가 존재한다. 주어진 점들을

[eqn: DP_1 < DP_2 < cdots < DP_n]

이 성립하도록 [eqn: P_1 , P_2 , cdots, P_n]이라 부르기로 하자.

만약 [eqn: k <n]이면, [eqn: t]를 [eqn: DP_k < t <DP_k+1]이도록 택해서 중심이 [eqn: D] 반지름이 [eqn: t]인 원을 [eqn: O`'']이라 하면 [eqn: O`'']의 내부에는 주어진 점 중 정확히 [eqn: k]개가 있게 된다. 또한

[eqn: CD+t< s +(r-s)=r]

이므로 원 [eqn: O`'']은 중심이 [eqn: C] 반지름이 [eqn: r]인 원, 즉 원 [eqn: O]의 내부에 있다.

만약 [eqn: k=n]이면 중심이 [eqn: C] 반지름이 [eqn: 1- s]와 [eqn: r] 사이에 있는 원을 택하면 된다.

<문제 2>

(1) 우선 행렬 [eqn: A= pmatrix{a _{1}&```-a _{2}#a _{2}&``````````a _{1}} ,`B= pmatrix{b _{1}&```-b _{2}#b _{2}&``````````b _{1}} ` IN `S]에 대해

[eqn: A+B= pmatrix{a _{1} +b _{1}&````-a _{2} -b _{2}#a _{2} +b _{2}&```````````a _{1} +b _{1}} `], [eqn: AB= pmatrix{a _{1} b _{1} -a _{2} b _{2}&````-a _{1} b _{2} -a _{2} b _{1}#a _{1} b _{2} +a _{2} b _{1}&```````````a _{1} b _{1} -a _{2} b _{2}} `]

로 집합 [eqn: S]의 원소이다. 이때

[eqn: f(A+B)=f pmatrix{a _{1} +b _{1}&````-a _{2} -b _{2}#a _{2} +b _{2}&```````````a _{1} +b _{1}} `=`a _{1} +b _{1} +i(a _{2} +b _{2} )=a _{1} +ia _{2} +b _{1} +ib _{2} =f(A)+f(B)] 이고,

[eqn: f(AB)=f pmatrix{a _{1} b _{1} -a _{2} b _{2}&````-a _{1} b _{2} -a _{2} b _{1}#a _{1} b _{2} +a _{2} b _{1}&```````````a _{1} b _{1} -a _{2} b _{2}} `=`a _{1} b _{1} -a _{2} b _{2} +i(a _{1} b _{2} +a _{2} b _{1} )=(a _{1} +ia _{2} )(b _{1} +ib _{2} )=f(A)f(B).]

만약 [eqn: f(A)=`a _{1} +ia _{2} =b _{1} +ib _{2} =f(B)]라면, [eqn: a _{1} =b _{1}]이고 [eqn: a _{2} =b _{2}]이다. 즉, [eqn: A=B]. 따라서 함수 [eqn: f]는 1-1 함수이다. 또한, 임의의 복소수 [eqn: x+iy]에 대해

[eqn: f LEFT ( matrix{x&```-y#y&````````x} RIGHT ) =`x+iy].

따라서 함수 [eqn: f]는 [eqn: S]에서 [eqn: C]위로의 함수이다. 결국, 함수 [eqn: f]는 [eqn: S]에서 [eqn: C]로의 일대일 대응이다.

임의의 세 복소수 [eqn: z _{1} ,z _{2} ,z _{3}]에 대해 [eqn: f(A)=z _{1} ,``f(B)=z _{2} ,``f(C)=z _{3}]인 집합 [eqn: S]의 행렬 [eqn: A,`B,`C]가 존재한다.

따라서

[eqn: (z _{1} z _{2} )z _{3} =(f(A)f(B))f(C)=f(AB)f(C)# ```````````````````````````````=f((AB)C)=f(A(BC))=f(A)f(BC)=f(A)(f(B)f(C))=z _{1} (z _{2} z _{3} ).]

(2) 집합 [eqn: S ^{1}]의 두 원소 [eqn: A= pmatrix{a _{1}&```-a _{2}#a _{2}&``````````a _{1}} ,`B= pmatrix{b _{1}&```-b _{2}#b _{2}&``````````b _{1}} `]에 대해

[eqn: |AB|=(a _{1} b _{1} -a _{2} b _{2} ) ^{2} +(a _{1} b _{2} +a _{2} b _{1} ) ^{2} =a _{1} ^{2} b _{1} ^{2} +a _{2} ^{2} b _{2} ^{2} +a _{1} ^{2} b _{2} ^{2} +a _{2} ^{2} b _{1} ^{2} =(a _{1} ^{2} +a _{2} ^{2} )(b _{1} ^{2} +b _{2} ^{2} )=|A||B|=1]

이므로 [eqn: S ^{1}]은 행렬의 곱에 대해 닫혀있다. 마지막으로 임의의 행렬 [eqn: pmatrix{x&```-y#y&``````````x} IN S]에 대해, 만약 [eqn: x=y=0]이면

[eqn: pmatrix{x&```-y#y&``````````x} = pmatrix{0&0#0&0} =0 TIMES pmatrix{1&0#0&1}]

으로, 만약 [eqn: x,y]중 적어도 하나는 0이 아니라면

[eqn: pmatrix{x&```-y#y&``````````x} = {1} over {sqrt {x ^{2} +y ^{2}}} pmatrix{{x} over {sqrt {x ^{2} +y ^{2}}}&{-y} over {sqrt {x ^{2} +y ^{2}}}#{y} over {sqrt {x ^{2} +y ^{2}}}&`````` {x} over {sqrt {x ^{2} +y ^{2}}}}]

로 나타낼 수 있다. 이 때 행렬

[eqn: pmatrix{1&0#0&1}]과 [eqn: pmatrix{{x} over {sqrt {x ^{2} +y ^{2}}}&{-y} over {sqrt {x ^{2} +y ^{2}}}#{y} over {sqrt {x ^{2} +y ^{2}}}&`````` {x} over {sqrt {x ^{2} +y ^{2}}}}]

은 [eqn: S ^{1}]의 원소이다.