2014학년도 수시 1차 자연계열 논술고사 출제의도 및 해설

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[문제 1] (25점)

1. 출제의도

공간좌표와 벡터의 내적을 이용하여 기본적인 공간기하문제를 해결할 수 있는지 평가한다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석

주어진 조건으로부터 점의 좌표를 계산하고 벡터의 내적을 이용하여 관계식을 유도하면 된다.

(나) 제시문 해설

□기하와 벡터□ 교과서의 공간 벡터와 벡터의 내적에 관한 기본적인 내용이다.

(다) 제시문 출처

제시문 (가) : □기하와 벡터□ 교과서, (주)교학사, 141쪽

제시문 (나) : □기하와 벡터□ 교과서, (주)교학사, 146쪽

3. 논제 해설

주어진 상황에서 두 각의 관계를 구하고, 추가적인 조건을 더했을 때 이 각을 구하고 이로부터 주어진 점의 좌표를 계산하는 문제이다.

4. 평가 기준

• 공간벡터, 벡터의 내적 등을 이해하고 있는 정도

• 논제에서 요구하는 사항을 정확히 이해하고 기존 지식과 제시문의 내용을 바탕으로 논제의 답을 논리적으로 추론하는 능력

5. 예시 답안

(1-1)

주어진 조건으로부터 두 점 [eqn: A,`B``]의 좌표를 구하면

[eqn: A(3`cos` alpha ,`0,`3`sin` alpha ),``B(0,`2`cos` beta ,`2`sin` beta )`]

이다. 제시문 (나)의 내적의 정의를 이용하면

[eqn: 6`sin alpha `sin beta `= vec{OA`} ` BULLET vec{OB``} `=` LEFT | vec{OA`} RIGHT | LEFT | vec{OB``} RIGHT | `cos( ANGLE AOB)`=2 sqrt {6}]

이므로 [eqn: sin` alpha `sin` beta `= {sqrt {6}} over {3} `]이다.

(1-2)

(1-1)의 결과와 문제의 조건으로부터 다음을 얻는다.

[eqn: {cases{sin` alpha `sin` beta `= {sqrt {6}} over {3}&#3`cos` alpha =2`cos` beta `&}} `][eqn: LRARROW] [eqn: {cases{sin ^{2} ` alpha `sin ^{2} ` beta `= {2} over {3}&#9`cos ^{2} ` alpha =4`cos ^{2} ` beta `&}} `][eqn: LRARROW `] [eqn: {cases{(1-cos ^{2} ` alpha )(1-cos ^{2} ` beta )`= {2} over {3}&#{9} over {4} `cos ^{2} ` alpha =`cos ^{2} ` beta `&}} `]

[eqn: RARROW `````(1-cos ^{2} alpha )(1- {9} over {4} `cos ^{2} alpha )= {2} over {3} ````` RARROW `````27`cos ^{4} alpha `-`39`cos ^{2} alpha `+`4=0# # ` RARROW `````(9`cos ^{2} alpha -1)(3`cos ^{2} alpha -4)=0# # THEREFORE ```cos ^{2} alpha = {1} over {9}]

이다. 따라서 [eqn: A`]의 좌표는 [eqn: A(3`cos` alpha ,`0,`3`sin` alpha )`=A(1,`0,`3 sqrt {1- {1} over {9}} )=`A(1,`0,`2 sqrt {2} )`]이다.

[문제 2] (25점)

1. 출제의도

미분의 개념과 평균값의 정리의 활용에 대한 문제이다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석

평균변화율과 순간변화율(미분)에 대한 이해 능력을 측정한다. 또한 평균값의 정리를 적용하고, 여러 가지 부등식의 해결 능력을 측정한다.

(나) 제시문 해설

□수학 II□ 교과서의 미분가능성과 평균값의 정리에 관한 기본적인 내용이다.

(다) 제시문 출처

제시문 (가) : □수학 II□ 교과서, 좋은책 신사고, 120쪽

제시문 (나) : □수학 II□ 교과서, 좋은책 신사고, 158쪽

3. 논제 해설

평균변화율과 순간변화율의 관계를 평균값의 정리를 통하여 설명하는 문제이다. 또한, 적당한 조건이 주어졌을 때, 앞의 결과를 활용하여 부등식을 증명하는 문제이다.

4. 평가 기준

• 미분가능, 평균값의 정리 등 미적분의 기본 개념을 이해하고 있는 정도

• 논리적 사고 능력 및 기본적 계산 능력

• 논제에서 요구하는 사항을 정확히 이해하고 기존 지식과 제시문의 내용을 바탕으로 논제의 답을 논리적으로 서술하는 능력

5. 예시 답안

(2-1)

([eqn: RARROW]) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: LEFT | f``'(x) RIGHT | ` LEQ `1`]이라 가정하자.

함수 [eqn: f`]가 실수 전체에서 미분가능하므로 제시문 (나)의 평균값 정리에 의해

[eqn: {f(s)-f(t)} over {s-t} `=`f`'(c)`]를 만족하는 [eqn: c`]가 존재한다. 따라서

[eqn: LEFT | f(s)-f(t) RIGHT | `=` LEFT | f` prime (c)`(s-t) RIGHT | `= LEFT | f`'(c) RIGHT | ` LEFT | s-t RIGHT | ` LEQ ` LEFT | s-t RIGHT |]

가 성립한다.

([eqn: LARROW]) 모든 실수 [eqn: s,`t`]에 대하여 [eqn: LEFT | f(s)-f(t) RIGHT | ` LEQ ` LEFT | `s-t` RIGHT | `]이라 가정하자.

그러므로 모든 [eqn: h`]에 대하여 [eqn: LEFT | f(x+h)-f(x) RIGHT | ` LEQ ` LEFT | x+h-x RIGHT | = LEFT | h RIGHT | `]이다. 따라서

[eqn: -1` LEQ ` {f(x+h)-f(x)} over {h} ` LEQ `1``]이다. 이 부등식의 각 항에 [eqn: lim _{h` -> `0} {} ``]을 취하면

[eqn: -1` LEQ ` lim _{h` -> `0} {{f(x+h)-f(x)} over {h}} ` LEQ `1``]이고 [eqn: f`]가 실수 전체에서 미분가능한 함수이므로

[eqn: -1` LEQ `f`'(x)` LEQ `1``], 즉 [eqn: LEFT | f``'(x) RIGHT | ` LEQ `1`]이다.

(2-2)

[eqn: LEFT | f``'(x) RIGHT | ` LEQ `1`]이므로 [eqn: LEFT | f(x)-f(0) RIGHT | ` LEQ ` LEFT | x-0 RIGHT | `]이고 따라서 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT | ` LEQ ` LEFT | x RIGHT | `]이다.

[eqn: a` LEQ `b`]임을 가정하자.

(풀이1)

[eqn: g(x)=x ^{{2} over {3}} `f(x ^{{1} over {3}} )`]이라 두면 [eqn: x != 0`]이면 [eqn: g``'(x)`]가 존재하는 것은 당연하고, [eqn: x=0`]에서 [eqn: lim _{x`-> `0} {{g(x)-g(0)} over {x-0} `=` lim _{x`-> `0} {{f(x ^{{1} over {3}} )} over {x ^{{1} over {3}}} `=`f`'(0)}} `]이므로 [eqn: g(x)`]는 실수 전체에서 미분가능하다.

또한 [eqn: LEFT | g`` prime (x) RIGHT | `= LEFT | ` {2} over {3} x ^{- {1} over {3}} f(x ^{{1} over {3}} )`+`x ^{{2} over {3}} `f`'(x ^{{1} over {3}} )` {1} over {3} x ^{- {2} over {3}} ` RIGHT | `LEQ ` {2} over {3} ` LEFT | x RIGHT | ^{- {1} over {3}} ` LEFT | x RIGHT | ^{{1} over {3}} `+` {1} over {3} `=1]이다. 따라서, (2-1)에 의해 [eqn: LEFT | b ^{2} `f(b)-a ^{2} f(a) RIGHT | `=` LEFT | g(b ^{3} )-g(a ^{3} ) RIGHT | ` LEQ ` LEFT | b ^{3} `-a ^{3} RIGHT |]이 성립한다.

(풀이2)

(i) [eqn: 0<a<b`] 또는 [eqn: a<b<0`]인 경우

[eqn: LEFT | b ^{2} `f(b)-a ^{2} f(a) RIGHT | ` & =` LEFT | b ^{2} (f(b)-f(a))+(b ^{2} -a ^{2} )f(a) RIGHT |# & LEQ `b ^{2} ` LEFT | f(b)-f(a) RIGHT | `+` LEFT | b ^{2} -a ^{2} RIGHT | LEFT | f(a) RIGHT |# & LEQ `b ^{2} `(b-a)`+`(b ^{2} -a ^{2} )`a`=`b ^{3} `-`a ^{3}]

(ii) [eqn: a<0<b`]인 경우

[eqn: LEFT | b ^{2} `f(b)-a ^{2} f(a) RIGHT | ` & LEQ LEFT | b ^{2} `f(b) RIGHT | `+` LEFT | a ^{2} `f(a) RIGHT |# & LEQ `b ^{2} LEFT | b RIGHT | `+` LEFT | a ^{2} RIGHT | LEFT | a RIGHT | `=``b ^{3} `-`a ^{3}]

(풀이3)

[eqn: LEFT | b ^{2} f(b)-a ^{2} f(a) RIGHT | ` & =` LEFT | int _{a} ^{b} {{d} over {dx} LEFT ( x ^{2} f(x) RIGHT ) `dx`} RIGHT |# & LEQ ` int _{a} ^{b} {LEFT | {d} over {dx} LEFT ( x ^{2} f(x) RIGHT ) ` RIGHT | `dx`} `=` int _{a} ^{b} {LEFT | (2xf(x)+x ^{2} `f`` prime (x) RIGHT | `dx}# & LEQ int _{a} ^{b} {LEFT { 2` LEFT | x RIGHT | LEFT | f(x) RIGHT | `+` LEFT | x RIGHT | ^{2} LEFT | f` prime (x) RIGHT | ` RIGHT } `dx}# & LEQ int _{a} ^{b} {LEFT { 2` LEFT | x RIGHT | ^{2} `+` LEFT | x RIGHT | ^{2} RIGHT } `dx} `= int _{a} ^{b} {3`x ^{2} `dx} `=b ^{3} -a ^{3}]

[문제 3] (25점)

1. 출제의도

(3-1)은 지수법칙과 이항정리의 활용 능력을 측정한다. (3-2)와 (3-3)은 단순한 계산 보다는 논리적 사고와 서술을 평가하고자 하였다. (3-2)는 주어진 주어진 문제가 묻는 바를 이해하면 어렵지 않게 풀 수 잇고 (3-3)은 제시문 (나)의 뜻과 문제가 묻는 바를 이해한 후 본 문제에 제시문 (나)를 적용하면 된다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석

(3-2)와 (3-3)은 주어진 문제를 잘 이해하는지, 논리적으로 사고하고 그 내용을 서술할 수 있는지 등 수험생의 기본적인 논리적 사고 능력을 평가하는 문제이다. 지수함수, 이항정리, 수열의 수렴 등을 포함하고 있다.

(나) 제시문 해설

제시문 (가)는 □적분과 통계□ 교과서에 나오는 이항정리이다. 제시문 (나)는 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]이 [eqn: lim _{n`-> ` INF } {{b _{n+1}} over {b _{n}}} `=`r`]을 만족하면 이 수열은 등비수열과 유사해 진다는 내용이다.

(다) 제시문 출처 :

제시문 (가) : □적분과 통계□ 교과서에서 발췌

제시문 (나) : 창작

3. 논제 해설

(3-1)은 제시문 (가)에서 주어진 이항정리를 이용하여 주어진 등식을 증명하는 문제이다. (3-2)는 우선 문제가 물어보는 내용을 이해하고 (3-1)의 등식을 이용하여 [eqn: a=4`]일 때는 이 부등식을 만족함을 보이고 [eqn: a=3`]일 때는 실제로 [eqn: n=5`]일 때의 값을 비교하여 풀이를 완성하는 문제이다. (3-3)은 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{{} _{2n+2} C _{n+1}} over {{} _{2n} C _{n}}} `=`4`]라는 사실과 제시문 (나)에서 주어진 내용을 그대로 적용하면 되는 문제이다.

4. 평가 기준

• 지수법칙과 이항정리를 이해하고 있는 정도

• 주어진 제시문을 정확하게 이해하고 이를 바탕으로 각 논제에서 요구하는 문제를 파악하는 능력

• 논리적 사고 능력 및 기본적 계산 능력

• 논리적으로 서술하는 능력

5. 예시 답안

(3-1)

[eqn: 4 ^{n} `=`(1+1) ^{2n} `=`` _{2n} C _{0} + _{2n} C _{1} +` CDOTS `+ _{2n} C _{n} +` CDOTS `+ _{2n} C _{2n} `]

(3-2)

(3-1)에 의해 [eqn: 4 ^{n} `=` _{2n} C _{0} + _{2n} C _{1} +` CDOTS `+ _{2n} C _{n} +` CDOTS `+ _{2n} C _{2n} `>` _{2n} C _{n} `]이 성립한다. 이제 [eqn: a=3`]인 경우는 모든 [eqn: n`]에 대해 [eqn: 3 ^{n} `]이 [eqn: {} _{2n} C _{n} `] 보다 크지 않음을 보이자. [eqn: n=5`]일 때, [eqn: 3 ^{5} `=`243,`` _{10} C _{5} `=`252`]이므로 [eqn: 3 ^{5} `<` _{10} C _{5} `]. 즉, 모든 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a ^{n} `]이 [eqn: {} _{2n} C _{n} `] 보다 크게 되는 최소의 자연수는 [eqn: 4`]이다.

(3-3)

답은 [eqn: 4`]이다. [eqn: 0<a<4`]이라면, [eqn: n`]이 충분히 클 때 [eqn: a ^{n} `]이 [eqn: {} _{2n} C _{n} `] 보다 작음을 보이면 된다. 수열 [eqn: b _{n} `=` _{2n} C _{n} `]에 대하여 [eqn: lim _{n`-> ` INF } {{b _{n+1}} over {b _{n}} `}]을 계산해 보면

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{b _{n+1}} over {b _{n}} `} `=` lim _{n` -> ` INF } {{{(2n+2)`!} over {(n+1)`!`(n+1)`!}} over {{(2n)`!} over {n`!`n`!}} `=` lim _{n` -> ` INF } {{(2n+2)(2n+1)} over {(n+1)(n+1)} `=`4`}}]

이다. 따라서 제시문 (나)에 의해 만일 [eqn: a`<`4`]이라면 충분히 큰 [eqn: n`]에 대해 [eqn: a` ^{n} `<`b _{n} `]이 성립하게 된다. 따라서 최솟값은 4가 된다.

[문제 4] (25점)

1. 출제의도

함수 [eqn: f(x)=1-x ^{n} `]의 인수분해 식

[eqn: f(x)=1-x ^{n} =(1-x)(1+x+x ^{2} + CDOTS +x ^{n-1} )]

에서 곱셈의 항등원 [eqn: 1`]은 단위행렬 [eqn: E``]로, 미지수 [eqn: x`]는 삼각함수를 성분으로 갖는 [eqn: 2 TIMES 2`] 행렬로 바꾸었을 때, 이와 연관된 멱 행렬들의 합을 구하는 능력 및 삼각함수와 연관된 극한값을 구하는 능력 등을 평가한다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석

(4-1)은 항등식 [eqn: 1-x ^{n} =(1-x)(1+x+x ^{2} + CDOTS +x ^{n-1} )]을 이용하여 행렬의 곱 및 역행렬의 존재 등 기본적인 행렬의 개념 등을 알고 있는가를 파악하는 문제이다. (4-2)는

[eqn: S=x+2x ^{2} + CDOTS +(n-1)x ^{n-1} `]

의 값을 구하는 방법을 이용하여 두 행렬의 곱이 0일 때의 상황을 제시문의 내용을 이용하는 문제로서 역행렬을 구하는 과정에서 삼각함수의 2배각 공식과 연관된 계산력을 요구한다. (4-3)은 삼각함수와 연관된 기본적인 극한 문제이다.

(나) 제시문 해설

제시문은 고등학교 □수학 I□ 교과서에 나오는 역행렬과 행렬방정식에 관한 내용이다.

(다) 제시문 출처 :

제시문 : □수학 I□ 교과서에서 발췌

3. 논제 해설

(4-1)은 [eqn: (E-A _{n} )(E+A _{n} +A _{n} ^{2} + CDOTS +A _{n} ^{n-1} )=E-A _{n} ^{n} `=O``]임을 확인하고 행렬 [eqn: E-A` _{n} `]이 역행렬을 갖는다는 사실과 제시문을 이용하여 [eqn: E+A _{n} +A _{n} ^{2} + CDOTS +A _{n} ^{n-1} `=O``]임을 보이는 문제이다. (4-2)는 [eqn: S=x+2x ^{2} + CDOTS +(n-1)x ^{n-1} `]의 값을 구하는 방법을 이용하여 행렬 [eqn: B _{n} =A _{n} +2A _{n} ^{2} + CDOTS +(n-1)A _{n} ^{n-1} `]을 구하는 문제이다. 여기서 행렬 [eqn: E-A` _{n} `]의 역행렬을 구해야 하고 그 과정에서 삼각함수의 이배각 공식을 활용한다. (4-3)은 삼각함수와 연관된 극한  [eqn: ` lim _{n` -> ` INF } {{cot {pi } over {n}} over {n-1}} ,`` lim _{n` -> ` INF } {{cosec ^{2} {pi } over {n}} over {(n-1) ^{2}}} `]을 구하는 문제이다.

4. 평가 기준

• 역행렬, 삼각함수의 기본 공식 등을 이해하고 있는 정도

• 주어진 제시문을 정확하게 이해하고 이를 바탕으로 각 논제에서 요구하는 문제를 파악하는 능력

• 논리적 사고 능력 및 계산 능력

• 논리적으로 서술하는 능력

5. 예시 답안

(4-1)

[eqn: (E`-`A _{n} )`(E`+`A _{n} `+`A _{n} ^{2} `+` CDOTS `+`A _{n} ^{n-1} )`=`E``-`A _{n} ^{n} `=E``-`E`=`O``]이다.

[eqn: E``-`A _{n} = {pmatrix{1-cos` {2 pi } over {n}&``sin` {2 pi } over {n}#-sin` {2 pi } over {n}&1-cos` {2 pi } over {n}}} `]이고,

[eqn: LEFT ( 1-cos {2 pi } over {n} RIGHT ) ^{2} +sin ^{2} ` {2 pi } over {n} `=2 LEFT ( 1-cos` {2 pi } over {n} RIGHT ) `=`4`sin ^{2} ` { pi } over {n} ` != 0`] ([eqn: BECAUSE ``n` GEQ 2])

이므로 [eqn: E-A _{n} `]은 역행렬을 갖는다. 따라서 제시문에 의해

[eqn: E`+`A _{n} `+`A _{n} ^{2} `+` CDOTS `+`A _{n} ^{n-1} `=`O``].

(4-2)

[eqn: B _{n} `=E`B _{n} =A _{n} +2A _{n} ^{2} +`3A _{n} ` ^{3} `+` CDOTS `+(n-1)A _{n} ^{n-1} `] --- ①

[eqn: A _{n} `B _{n} `=`A _{n} ^{2} +2A _{n} ^{3} +` CDOTS `+`(n-2)A _{n} ^{n-1} +(n-1)A _{n} ` ^{n} `] --- ②

①에서 ②를 빼면

[eqn: (E`-A _{n} )B _{n} ` & =A _{n} +A _{n} ^{2} +` CDOTS `+A _{n} ^{n-1} -(n-1)E``# & =`(E`+A+A ^{2} +` CDOTS `+A ^{n-1} )-nE```=`-nE``]

따라서

[eqn: B _{n} =-n`(E-A _{n} ) ^{-1} &=`-n` {1} over {4`sin ^{2} {pi } over {n}} ` {pmatrix{1-cos` {2 pi } over {n}&-sin` {2 pi } over {n}#sin` {2 pi } over {n}&1-cos` {2 pi } over {n}}}# &=`- {n} over {2} `` {pmatrix{1&-cot` {pi } over {n}#cot` {pi } over {n}&1}}]

(4-3)

[eqn: C _{n} = {2} over {n(n-1)} `B _{n} `=`- {1} over {n-1} ` {pmatrix{1&``-cot {pi } over {n}#cot {pi } over {n}&```1}} `], [eqn: b _{n} = {1} over {n-1} `cot` {pi } over {n} ``]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {b _{n}} `= lim _{n` -> ` INF } {{cot` {pi } over {n}} over {n-1}} `=` lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n-1} {cos {pi } over {n}} over {sin {pi } over {n}}} `=`` lim _{n` -> ` INF } {{cos {pi } over {n}} over {n`sin {pi } over {n} -sin {pi } over {n}}} =` {1} over {pi -0} `=` {1} over {pi } ``].

한편 [eqn: a _{n} `d _{n} `-`b _{n} `c _{n} `=` {1} over {(n-1) ^{2}} LEFT ( 1+cot ^{2} ` {pi } over {n} RIGHT ) `= {cosec ^{2} {pi } over {n}} over {(n-1) ^{2}} = LEFT ( {1} over {(n-1)`sin {pi } over {n}} RIGHT ) ` ^{2}]이므로

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {`(a _{n} `d _{n} `-`b _{n} `c _{n} )= {1} over {pi ^{2}} `}].