2014학년도 인하대학교

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수시모집 1차 논술고사 (자연계열)

[문제 1] 아래의 제시문을 참고하여 다음 질문에 답하시오. (25점)

(가) 좌표공간 상의 두 점 [eqn: A(a _{1} ,`a _{2} ,`a _{3} ),``B``(b _{1} ,`b _{2} ,`b _{3} )`]에 대하여 [eqn: A`]를 시점, [eqn: B`]를 종점으로 하는 공간벡터 [eqn: vec{AB``} `]는 [eqn: vec{AB``} `=`(b _{1} -a _{1} ,`b _{2} -a _{2} ,`b _{3} -a _{3} )`]와 같이 성분으로 나타낼 수 있다.

(나) 좌표공간 상의 세 점 [eqn: A(a _{1} ,`a _{2} ,`a _{3} ),``B``(b _{1} ,`b _{2} ,`b _{3} ),``C``(c _{1} ,`c _{2} ,`c _{3} )`]에 대하여, 내적 [eqn: vec{CA`} ` BULLET vec{CB``} `]는

[eqn: LEFT | vec{C`A`} RIGHT | LEFT | vec{C`B``} RIGHT | `cos`( ANGLE AC`B`)`]

로 정의되며, 그 값은 [eqn: (a _{1} -c _{1} )`(b _{1} -c _{1} )`+`(a _{2} -c _{2} )`(b _{2} -c _{2} )`+`(a _{3} -c _{3} )`(b _{3} -c _{3} )`]과 같다.

(※) 그림과 같이 [eqn: bar{OA`} `=3,``` bar{OB``} `=`2,```cos( ANGLE AOB)`=` {sqrt {6}} over {3} `]인 두 점 [eqn: A,``B``]가 각각 [eqn: xz`]평면과 [eqn: yz`]평면 위에 있다. (단, [eqn: O`]는 원점이고, 점 [eqn: A,`B``]의 좌표성분은 모두 [eqn: 0`] 이상이다.)

[eqn: 3`]

[eqn: O`]

[eqn: B`]

[eqn: A`]

[eqn: z`]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: 2`]

[eqn: alpha `]

[eqn: beta `]

(1-1) 직선 [eqn: OA`]와 [eqn: x`]축이 이루는 각을 [eqn: alpha `], 직선 [eqn: OB``]와 [eqn: y`]축이 이루는 각을 [eqn: beta `]라고 할 때, [eqn: alpha `]와 [eqn: beta `]의 관계식을 구하시오. (단, [eqn: 0`<` alpha ,`` beta `< {pi } over {2} ``]) (10점)

(1-2) 삼각형 [eqn: OAB``]의 [eqn: xy`]평면 위로의 정사영이 직각이등변삼각형일 때, [eqn: A`]의 좌표를 구하시오. (15점)

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수시모집 1차 논술고사 (자연계열)

[문제 2] 아래의 제시문을 참고하여 다음 질문에 답하시오. (25점)

(가) 함수 [eqn: f(x)`]와 실수 [eqn: a`]에 대하여 극한값

[eqn: ` lim _{DELTA x` -> `0} {{f(a+ DELTA x)`-`f(a)} over {DELTA x}} `=` lim _{x` -> `a} {{f(x)-f(a)} over {x-a}}]

이 존재할 때, 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=a`]에서 미분가능이라 하고, 이 극한값을 [eqn: f`` prime (a)`]로 표현한다.

(나) 함수 [eqn: f(x)`]가 구간 [eqn: [a,`b]`]에서 연속이고 구간 [eqn: (a,`b)`]에서 미분가능하면

[eqn: {f(b)`-`f(a)} over {b`-`a} `=`f`` prime (c)`]

인 [eqn: c`]가 [eqn: a`]와 [eqn: b`] 사이에 적어도 하나 존재한다. 이를 평균값의 정리라 한다.

(※) 실수 집합 전체에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]가 있다.

(2-1) 다음의 필요충분조건을 증명하시오. (15점)

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: LEFT | `f`` prime (x)` RIGHT | ` LEQ `1`]이다.

[eqn: LRARROW `] 모든 실수 [eqn: s,`t`]에 대하여 [eqn: LEFT | `f(s)-f(t)` RIGHT | ` LEQ ` LEFT | `s-t` RIGHT | `]이다.

(2-2) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: LEFT | `f`` prime (x)` RIGHT | ` LEQ `1`]이고 [eqn: f(0)=0`]일 때, 모든 실수 [eqn: a,`b`]에 대하여

[eqn: LEFT | `b ^{2} `f(b)-a ^{2} `f(a)` RIGHT | ` LEQ ` LEFT | `b ^{3} -a ^{3} ` RIGHT | `]

임을 보이시오. (10점)

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수시모집 1차 논술고사 (자연계열)

[문제 3] 아래의 제시문을 참고하여 다음 질문에 답하시오. (25점)

(가) 식 [eqn: (a+b) ^{n} `]을 전개하면

[eqn: (a+b) ^{n} `=` _{n} C _{0} `a` ^{n} `+` _{n} C _{1} `a` ^{n-1} `b`+` CDOTS `+` _{n} C _{r} `a ^{n-r} `b ^{``r} `+` CDOTS `+` _{n} C _{n} `b ^{`n} `=` sum _{r=0} ^{n} ` _{n} C _{r} `a ^{`n-r} ``b ^{``r} `]

이 된다. 이것을 이항정리라 한다.

(나) 양의 실수의 수열 [eqn: LEFT { `b _{n} ` RIGHT } `]이 어떤 양의 실수 [eqn: r`]에 대하여 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{b _{n+1}} over {b _{n}}} `=`r`]을 만족한다면, 그것은 [eqn: n`]이 커짐에 따라 [eqn: b _{n+1} `]이 [eqn: r`b _{n} `]과 가까워진다는 뜻이므로 수열 [eqn: LEFT { `b _{n} ` RIGHT } `]은 공비가 [eqn: r`]인 등비수열과 가까워진다. 따라서, 만일 [eqn: 0`<`R`<`r`]이라면, [eqn: R ^{`N} ``<`b _{N} ``]을 만족하는 양의 정수 [eqn: N``]이 존재하게 된다.

(3-1) 모든 양의 정수 [eqn: n`]에 대하여 등식 [eqn: 4` ^{n} `=` _{2n} C _{0} + _{2n} C _{1} +` CDOTS `+ _{2n} C _{n} +` CDOTS `+ _{2n} C _{2n} `]이 성립함을 보이시오. (5점)

(3-2) 모든 양의 정수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a ^{n} ``>` _{2n} C _{n} `]이 성립하는 양의 정수 [eqn: a`]값 중 가장 작은 값을 구하시오. (10점)

(3-3) 모든 양의 정수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a ^{n} ``>` _{2n} C _{n} `]이 성립하는 양의 실수 [eqn: a`]값 중 가장 작은 값을 구하시오. (10점)

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[문제 4] 아래의 제시문을 참고하여 다음 질문에 답하시오. (25점)

행렬 [eqn: A= {pmatrix{a&``b#c&``d}} ``]에 대하여 [eqn: ad-bc` != `0`]이면 행렬 [eqn: A`]는 역행렬 [eqn: A` ^{-1} `]를 갖고 [eqn: A` ^{-1} `=` {1} over {ad-bc} ` {pmatrix{```````d&``-b#-c&```````````a`}} `]이다. 또한, 행렬 [eqn: A`]가 역행렬을 가질 때 [eqn: AB``=`O``](영행렬)이면 [eqn: B``=`O`]이다.

(※) [eqn: A _{n} `=` {pmatrix{cos` {2 pi } over {n}&````-sin` {2 pi } over {n}#sin` {2 pi } over {n}&`````````````cos` {2 pi } over {n}}} `]라 하면 [eqn: A _{n} ^{`n} `=` {pmatrix{1&``0#0&``1}} =E`]이다. 양의 정수 [eqn: n` GEQ `2`]에 대하여,

(4-1) [eqn: E`+A _{n} `+`A _{n} ^{2} `+` CDOTS `+A _{n} ^{n-1} `]을 구하시오. (5점)

(4-2) [eqn: B _{n} `=`A _{n} +2A _{n} ^{2} `+` CDOTS `+`(n-1)A _{n} ^{n-1} `]을 구하시오. (10점)

(4-3) [eqn: C _{n} = {A _{n} +2A _{n} ^{2} +` CDOTS `+(n-1)A _{n} ^{n-1}} over {1+2+` CDOTS `+`(n-1)} `=` {2} over {n(n-1)} `B _{n} `= {pmatrix{a _{n}&``b _{n}#c _{n}&``d _{n}}}]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`b _{n}} `]과 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`(a _{n`} d _{n`} -b _{n`} c _{n} )} `]을 구하시오. (10점)

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수시모집 1차 논술고사 연습장

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