2014학년도 수시 1차 수학과학우수자 논술고사 출제의도 및 해설

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[생물] (20점)

1. 출제의도

생물에서는 ‘개체군의 생장’, ‘개체군의 주기적 변동’이 가지는 의미에 대한 제시문을 근거로 개체군의 생장에 영향을 미치는 요인과 개체군 간의 상호작용에 대한 이해를 알아보고자 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석

개체군의 생장과 개체군의 주기적 변동에 대한 설명으로 구성된 제시문을 바탕으로 개체군의 생장에 영향을 미치는 요인과 환경 수용력의 개념, 피식과 포식이 개체군의 주기적 변동에 어떻게 작용하는지에 대한 이해 여부를 묻고자 하였다.

(나) 제시문 해설

제시문 (가)에서는 □생명과학 I□에서 배우는 로지스트형 생장 곡선의 개념을 소개하고, 개체군의 생장 곡선이 S자 모양을 나타내는 이유와 환경 수용력의 개념에 대해 소개하였다. 제시문 (나)에서는 □생명과학 I□에서 배우는 개체군의 주기적 변동을 눈신토끼와 시라소니와의 관계를 통해 설명하고 피식자와 포식자가 어떻게 주기적인 숫자의 변동을 나타내는지를 소개하였다.

(다) 제시문 출처

제시문 (가) : 고등학교 □생명과학 I□ 교과서에서 발췌

제시문 (나) : 고등학교 □생명과학 I□ 교과서에서 발췌 및 일부 창작

3. 논제 해설

논제는 크게 3개의 문제로 이루어져 있으며 [문제 1]은 실험의 목적과 그의 결론을 이해하고 있는지를 묻고자 하였다. 제시문에서 개체군의 생장을 조절하는 여러 요인 중 하나로 먹이의 부족을 제시하였기 때문에 제시문을 제대로 이해하였다면 쉽게 추론이 가능한 문제이다. [문제 2]는 제시문에서 언급한 환경 수용력의 정의에 대한 이해와 출생 수와 사망 수의 차이가 향후 개체 수의 증가, 감소를 결정한다는 사실을 추론할 수 있는지를 묻고자 하였다. [문제 3] 은 학생들에게 익숙한 시간에 따른 피식자와 포식자의 개체 수 변화 그래프에서 시간의 축을 제거하고 피식자와 포식자의 관계만으로 그래프를 구성하였을 때의 상관관계를 묻고자 하였다. EBS 수능특강과 수능완성에 이의 개념을 다루고 있어 (수능특강 p187, 수능완성 p98) EBS 연계를 고려하였다.

4. 평가 기준

• 주어진 제시문을 정확하게 이해하고 이를 바탕으로 각 논제에서 요구하는 문제를 파악하는 능력

• 생명과학 과목에서 다루는 최소한의 기본 개념 – 개체군의 생장과 변동 - 을 이해하고 있는 정도

• 논제에서 요구하는 사항을 정확히 이해하고 기존 지식과 제시문의 내용을 바탕으로 논제의 답을 논리적으로 추론하는 능력

5. 예시 답안

[문제 1]

제시문에 언급한 것처럼 먹이의 부족으로 인해 개체군 생장이 제한될 수 있다. 먹이의 양을 두 배로 한 실험은 개체군 생장의 제한 요인이 먹이의 부족인지를 알아보기 위한 실험이다. 만약 먹이의 양을 두 배로 늘려 다시 키웠을 때 최대 개체 수가 그 전보다 증가한다면 개체군의 생장을 제한하는 요인이 먹이의 부족이라는 것을 알 수 있다. 먹이의 양을 증가시켰음에도 개체군 생장에 변화가 없었다는 것은 개체군 생장의 제한 요인이 먹이의 부족이 아님을 알 수 있다.

[문제 2]

제시문에 언급한 것처럼 환경수용력은 환경이 수용할 수 있는 특정 개체군의 개체수로 서식지 면적을 1개체가 필요로 하는 면적으로 나눈 값이 될 것이다. 따라서 개체군 (가)의 환경 수용력은 90/0.09인 1000마리, 개체군 (나)의 환경 수용력은 135/0.09인 1500마리이다. 개체군 (가)의 초기 개체 수 500은 환경 수용력 아래임으로 개체군 (가)는 개체 수가 1000에 이를 때까지 증가할 것이고, 개체군 (나)의 개체 수는 이미 환경 수용력에 도달했으므로 변하지 않을 것이다. 개체군 (가)가 증가하기 위해서는 출생 수가 사망 수보다 많아야 하므로 ㉠의 값은100 보다 작을 것이며, 개체군 (나)의 개체 수는 변하지 않으므로 출생 수와 사망 수가 같아야 하고 따라서 ㉡의 값은 100일 것이다. 그러므로 ㉡의 값이 ㉠의 값보다 클 것이다.

[문제 3]

제시문에서 언급했듯이 피식자가 증가하면 포식자가 증가하고, 피식자가 감소하면 포식자도 감소하므로 그림 2에서 A가 피식자, B가 포식자임을 알 수 있다. 시간의 축을 제거하고 X축을 포식자, Y축을 피식자의 개체 수로 놓았을 때, Y축의 피식자가 개체 수가 증가함에 따라 X축의 포식자 개체 수가 증가하고, 이러한 포식자 개체 수의 증가가 피식자 개체 수의 감소를 유도하는 상관관계를 가지는 ⑧번이 가장 적절한 그래프이다.

2014학년도 수시 1차 수학과학우수자 논술고사 출제의도 및 해설

[화학] (20점)

1. 출제의도

고등학교 □화학 I□ 교과서의 중요한 부분을 차지하는 화학 결합, 전자쌍 반발 이론 및 산화-환원 반응을 주 소재로 삼았다. 즉, 루이스의 전자쌍 공유 개념과 옥텟 규칙에 근거하여 공유 결합을 이해하고, 루이스의 전자점식에서 출발하여 전자쌍 반발 이론으로 분자의 모양을 예측하며, 전기 음성도 개념을 적용하여 화합물 내의 원자에 산화수를 부여하고 이를 바탕으로 산화-환원 반응 여부를 추론하고 판단하는 능력을 측정하려 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석

화학 결합, 전자쌍 반발 이론 및 산화-환원 반응을 주제로 삼았다. 원자들이 전자쌍을 공유하여 공유결합을 형성하며 이 때 옥텟 규칙을 만족하는 분자가 안정함을 이해하고, 옥텟 규칙과 원자가 전자의 수를 바탕으로 루이스 전자점식을 나타내며, 여기에서 출발하여 전자쌍 반발 이론으로 분자의 모양을 예측하고, 전자점식과 전기 음성도 개념을 활용하여 원자의 산화수를 부여하고 이의 변화 여부로부터 산화-환원 반응을 판단하는 것이 이 문제의 핵심 내용이다.

(나) 제시문 해설

제시문 (가)에서는 전자쌍 공유에 의한 공유 결합을 모식적으로 나타내는 루이스의 전자점식을 나타내는 방법을 소개하였다. 이 내용은 고등학교 □화학 I□ 교과서의 내용을 거의 그대로 옮겨 놓은 것이다. 제시문 (가)의 내용은 [문제 1]에서 주어진 분자들의 루이스 전자점식을 나타내는 데 직접적으로 활용되며, 이 전자점식이 [문제 2]와 [문제 3]의 해결에도 그대로 이용되므로 이 문항의 출발점인 동시에 핵심적 내용이다. 제시문 (나)는 전자쌍 반발 이론을 상세히 소개하였다. 이 내용 역시 고등학교 □화학 I□ 교과서의 내용을 그대로 옮긴 것이다. 제시문 (나)의 내용은 [문제 2]를 해결하는 데 직접적으로 활용된다. 제시문 (다)는 산화-환원 반응의 정의와 산화-환원 반응에서 전자의 이동을 추적하는 수단인 산화수를 정의하고 그 값을 구하는 방법을 상세히 소개하였다. 이 내용은 [문제 3]을 해결하는 데 활용된다.

(다) 제시문 출처

제시문 (가) : 여러 고등학교 □화학 1□ 교과서의 내용에 포함되어 있는 ‘화학 결합’ 부분에 상세히 소개하고 있는 내용을 거의 그대로 옮겨 놓은 것이다. 참고한 고등학교 교재는 다음과 같다. 고등학교 □화학 1□ 교과서, 교학사, 144-163쪽, 천재교육, 141-145쪽, 비상교육, 141-143쪽.

제시문 (나) : 분자의 모양을 예측하는 전자쌍 반발 이론으로 고등학교 □화학 1□ 교과서에 기술된 내용을 거의 그대로 옮겼다. 참고한 고등학교 교재는 다음과 같다. 고등학교 □화학 1□ 교과서, 교학사, 176-180쪽, 천재교육, 151-154쪽, 비상교육, 157-161쪽.

제시문 (다) : 전기 음성도의 개념 및 주기성, 산화수의 정의 및 산화수를 이용한 산화-환원 반응 판단에 관한 내용으로 역시 고등학교 □화학 1□ 교과서에 기술된 내용을 거의 그대로 옮겼다. 참고한 고등학교 교재는 다음과 같다. 고등학교 □화학 1□ 교과서, 교학사, 102-103쪽, 206-217쪽, 천재교육, 114쪽, 183-195쪽, 비상교육, 113쪽, 197-205쪽.

3. 논제 해설

[문제 1]은 주어진 반응에 참여하는 반응물과 생성물의 루이스 전자점식을 쓰는 문제인 데, 이 문제의 답은 [문제 2]와 [문제 3]의 풀이에 필수적인 것이다. 제시문 (가)에 루이스 전자점식을 쓰는 과정을 상세히 제시하였으므로 그대로 따라가면 된다. 전자점식에 표시할 원자가 전자의 수는 주어진 주기율표에서 해당 원소의 족을 찾아 확인한다. 주기율표를 참고하면 F, B, N, H의 원자가 전자의 수는 각각 7개, 3개, 5개, 1개이다. 이를 이용하여 각 화합물의 원자가 전자의 총 수를 알 수 있고, 이후 단계는 제시문 (가)의 과정을 따라 가면 쉽게 전자점식을 쓸 수 있다. 고등학교 □화학 I□ 교과서에 전자점식을 쓰는 과정이 많은 예와 함께 자세히 소개되어 있고, 문제에 등장하는 화합물들의 전자점식도 실려 있다.

[문제 2]는 [문제 1]의 답과 제시문 (나)에 설명한 전자쌍 반발 이론을 이용하여 분자의 모양을 예측하고 결합각을 추론하는 문제이다. 제시문 [나]에 전자쌍 반발 이온을 자세히 설명하였으므로 [문제 1]에서 전자점식을 올바로 쓴 수험생이면 누구나 바로 기본적인 기하학적 구조를 예측할 수 있다. 비공유 전자쌍이 있는 경우에 나타나는 기본 기하학적 구조로부터의 변형도 제시문에 설명되어 있다. 따라서 NH3 분자에서 결합각이 109.5[eqn: DEG]보다 작을 것임을 쉽게 알 수 있다.  F3B-NH3의 경우에 대해서는 문제의 조건에서 모든 공유 전자쌍 간의 반발은 같다고 가정하였으므로 모든 결합각이 정사면체 구조의 각인 109.5[eqn: DEG]가 될 것임을 쉽게 추론할 수 있다. 이 내용도 고등학교 □화학 I□ 교과서에 많은 예와 함께 자세히 소개되어 있고, 문제에 등장하는 화합물들의 구조도 소개되어 있다.

[문제 3]은 전기 음성도를 이용하여 반응물과 생성물에 들어 있는 원자들의 산화수를 구하고 이를 바탕으로 산화-환원 반응 여부를 판단하는 문제이다. F, B, N의 전기 음성도 순서는 같은 주기의 주족 원소의 전기 음성도는 원자번호가 증가함에 따라 증가하므로 주어진 주기율표로부터 쉽게 알 수 있고 산화수 순서는 B<N<F 순이다. 또 문제에서 N의 전기 음성도는 H 보다 크다고 하였다. 제시문 (다)에 제시된 산화수의 정의와 [문제 1]에서 구한 전자점식을 사용하면 모든 원자의 산화수를 쉽게 구할 수 있다. B-N 결합을 제외하고는 ‘산화수 규칙’을 사용하여도 좋다.

4. 평가 기준

• 주기율표로부터 각 원소의 원자의 원자가 전자의 수를 알아내는 능력

• 주어진 원자가 전자와 옥텟 규칙을 이용하여 루이스 전자점식을 쓰는 능력

• 전자점식으로부터 중심 원자의 전자쌍의 수를 구하고 이로부터 분자의 기본 기하학적 구조를 추론하는 능력

• 전자쌍의 종류에 따른 반발력의 차이에 의한 결합각의 변화를 추론하는 능력

• 전자점식과 산화수의 정의로부터 화합물 내의 각 원자의 산화수를 부여하는 능력

• 반응 전과 반응 후 반응물과 생성물이ㅔ 포함된 원자의 산화수 변화로부터 산화-환원 반응을 판단하는 능력

• 주어진 정보를 종합하여 올바른 답을 추론하고 논리적으로 기술하는 능력

5. 예시 답안

[문제 1]

화학식에 포함된 각 원자의 원자가 전자의 수:

H – 1개, B – 3개, N – 5개, F – 7개

따라서 각 분자의 원자가 전자 수의 합은 BF3 : 24개, NH3 : 8개, F3B-NH3: 32개.

이 전자들을 모두 사용하여 반응물과 생성물 분자의 루이스 전자점식을 나타내면 아래 그림과 같다. (BF3는 옥텟 규칙의 예외에 해당하는 분자이지만, 아래 괄호 속의 전자점식과 같이 나타낼 수도 있다.)

또는 ()

[문제 2]

[문제 1]의 루이스 전자점식을 보면

[eqn: CIRC]BF3 분자의 중심 원자인 B 원자는 전자쌍이 3개이며, 세 개 모두 공유 전자쌍이다. 따라서 세 개의 공유 전자쌍은 평면에서 120[eqn: DEG]각도로 배향되며 마찬가지로 세 B-F 결합도 120[eqn: DEG]각도로 배향된다. 따라서 F-B-F 결합각은 120[eqn: DEG]이다.(그림으로 그려서 나타내어도 OK.)

[eqn: CIRC]NH3 분자의 중심 원자인 N 원자는 전자쌍이 4개이므로 기본적인 기하학적 배치는 정사면체 배열이다. 그러나 그 중 하나는 비공유(고립) 전자쌍이므로 제시문 (나)에서 설명한 바와 같이 공유 전자쌍보다 더 큰 반발력을 나타낸다. 따라서 H-N-H 각은 정사면체 구조의 각도 109.5[eqn: DEG]보다 약간 작은 각도를 가질 것이다.(정확한 각도는 전자쌍 반발 이론으로는 알 수 없다. 실험적으로 측정된 각도는 107.5[eqn: DEG])

[eqn: CIRC]F3B-NH3의 두 중심 원자 B와 N은 전자쌍을 각각 4개 가지고 있으며, 네 쌍은 모두 공유 전자쌍이다. 또 문제에서 모든 공유 전자쌍 간의 반발력은 같다고 가정하였으므로 이 분자 내의 모든 결합각은 정사면체 구조에 해당하는 109.5[eqn: DEG]일 것이다.

따라서 가장 작은 결합각을 갖는 분자는 NH3이다.

[문제 3]

같은 주기의 주족 원소는 원자 번호가 증가함에 따라 전기 음성도가 증가하므로 전기 음성도 순서는 B<N<F 순이다. 또 문제에서 N의 전기 음성도는 H보다 크다고 하였다. 제시문 (다)에서 제시된 것과 같이 산화수는 전기 음성도가 큰 원자가 공유된 전자를 모두 갖는다고 가정하고 부여한 전하이다. 따라서 [문제 1]의 전자점식에 이 전기 음성도 순서를 사용하여 각 원자에 전자를 배정하면 아래 그림과 같으며, 따라서 각 원자의 산화수는 표기와 같다.

+  →

반응 전과 후의 산화수를 비교해보면 산화수의 변화가 있는 원자가 없다.  따라서 이 반응은 산화-환원 반응이 아니다.(따라서 산화제도 없다)

* 산화수 규칙을 사용하여 반응물에 들어 있는 원자들의 산화수를 정하여도 OK. 단, 생성물 중의 B와 N 원자의 산화수는 제시문의 산화수 정의를 사용하여 결정하여야 한다.

2014학년도 수시 1차 수학과학우수자 논술고사 출제의도 및 해설

[물리] (20점)

1. 출제의도

고등학교 □물리 I□ 교과서의 ‘정보와 통신’ 단원에서 다루고 있는 소리, 공명, 화음에 대한 내용을 소재로 하여 관에서 공기의 진동과 관련된 문제를 출제하고 이를 통해 물리학적 문제에 대한 해결 능력을 평가하고자 하였다. 제시문에서는 관에서 정상파의 파동이 형성되어 고유진동수에서 공명 현상이 일어날 조건, 관을 악기로 활용할 경우 평균율 음계와 진동수의 관계를 설명하였다. 제시문의 내용에 대한 이해를 바탕으로 물이 채워져 있는 관에서 공기 기둥의 진동에 의한 정상파 형성의 조건을 도출하고 공기 기둥의 높이, 고유 진동수와 파장, 음계와의 관계에 올바르게 추론하여 문제를 해결할 수 있는 능력을 평가할 목적으로 출제하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석

물이 적당히 채워져 있는 한 쪽이 열려 있는 관에서 관의 윗부분과 물의 표면 사이에서 형성되는 공기 기둥의 진동에 의하여 정상파가 형성될 때, 공기 기둥의 높이와 고유 진동수의 관계, 정상파 형성의 조건과 공명 파장과의 관계, 공기 기둥의 높이와 평균율 음계와의 관계에 대한 문제들을 주제로 하였다.

(나) 제시문 해설

제시문 (가)에서는 관에서 정상파의 파동이 형성될 조건을 설명하였다. 양쪽이 모두 열려 있는 관과 한쪽만 열려 있는 관에서 정상파가 형성될 때 관의 길이와 파장, 진동수의 관계 등을 나타내었다. 제시문 (나)에서는 악기에서 음정과 음계, 음의 진동수에 대해서 설명하였고, 특히 평균율 음계에서 12음계의 각 음과 진동수와의 관계를 구체적으로 나타내었다. 본 제시문의 내용들과 주요 개념들은 고등학교 □물리 1□ 교과서에 대부분 포함되어 있어서 학생들의 제시문의 내용들을 이해하는 데 있어러 어려움이 없을 것으로 예상한다.

(다) 제시문 출처

고등학교 □물리 1□ 교과서를 기초로 한 발췌

3. 논제 해설

본 논제에서는 물이 적당히 채워져 있는 관에서 관의 윗부분과 물의 표면 사이에서 형성되는 공기 기둥의 진동에 의하여 정상파가 형성되는 비교적 단순한 상황을 다루고 있으며 3개의 문제들로 구성되어 있다. [문제 1]은 공기 기둥의 높이와 기본 진동의 고유 진동수를 구하는 문제이다. [문제 2]는 관의 외부에 소리굽쇠를 진동시켰을 때 공명 현상이 나타나는 공기 기둥의 높이에 대한 조건으로부터 소리굽쇠 소리의 파장을 구하는 문제이다. [문제 3]은 문제에서 주어진 조건을 바탕으로 특정 공기 기둥의 높이에서 평균율 음계의 어떤 음이 들리게 될 지를 구하는 문제이다.

4. 평가 기준

• 관에서 정상파가 형성되기 위한 조건에 대한 이해의 정도

• 공기 기둥의 높이, 고유 진동수와 파장, 음계와의 관계를 논리적으로 추론할 수 있는 능력

• 문제 해결을 위한 수학적 모델과 방정식을 제대로 세울 수 있는 능력

• 방정식을 바르게 풀어서 논제에서 요구하는 정답을 도출할 수 있는 능력

5. 예시 답안

[문제 1]

한 쪽이 막힌 관에서 정상파가 형성될 조건에 해당하므로, [eqn: d`=`{n`lambda _{n}} over 4`]을 만족한다. 기본 진동은 [eqn: n`=`1`]인 경우에 해당하므로 [eqn: lambda `=`4`d`]이다.

또한 [eqn: f`=` {v} over {lambda }]로부터 기본 진동의 진동수는 [eqn: f`=`` v over 4d `]가 된다.

[문제 2]

한 쪽이 닫힌 관에서 큰 소리가 들리는 공명 조건은 [eqn: d`=`{n`lambda _{n}} over 4`]을 만족하므로, 소리굽쇠의 파장은 [eqn: lambda =` {4`d} over {n} `]로 주어진다. ([eqn: n`]은 1 이상의 홀수)

[eqn: n`]은 홀수이므로, [eqn: d`=`15` rm cm`]일 때 [eqn: n`=`m`]배 공명이 일어났다고 하면, [eqn: d`=`25` rm cm`]일 때에는 [eqn: n`=`m`+`2`]배 공명이 일어난다. 즉, [eqn: lambda`=`{4 TIMES 15` rm cm it} over {m`} `=` {4 TIMES 25` rm cm it} over {m`+`2}]가 된다.

위 식을 풀면 [eqn: m`=`3`]이 얻어지고, 따라서 소리굽쇠의 파장은 [eqn: lambda `=` {4 TIMES 15 rm cm it} over {3} `=`20` rm cm`]가 된다.

[문제 3]

기본 진동일 때 [eqn: f`=` {v} over {4`d}]이므로 공기 기둥의 높이와 진동수는 반비례한다.

‘라’음의 기본 진동수를 [eqn: f`], [eqn: d`=`16` rm cm`]일 때의 기본 진동수를 [eqn: 2^x f]로 두면,

[eqn: {20 `rm cm} over {16 `rm cm} `=`{ 2^x f} over f `=`2^x `]이다.

위 식의 양변에 상용로그를 취하면,

좌변은 [eqn: log {20 `rm cm} over {16 `rm cm} `=log 5over4 `=`log5 `- `2log2` = `1`-`3times 0.3 `=`0.1] 이고

우변은 [eqn: log `2^x `=`x `log`2 `=`0.3 `x`]가 된다.

따라서 [eqn: 0.3 `x`=`0.1`]로부터 [eqn: x`=`1 over 3]이 얻어진다.

제시문에서 ‘도#’음이 [eqn: x`=`4 over 12 `=`1over3 `]에 해당하므로, [eqn: d`=`16` rm cm`]에서는‘도#’음이 들리게 된다.

2014학년도 수시 1차 수학과학우수자 논술고사 출제의도 및 해설

[수학] (60점)

[문제 1] (30점)

1. 출제의도

(1-1)은 Stewart 정리를 증명하는 것으로, 피타고라스 정리 또는 코사인 제2법칙 등을 이용하여 기본적인 기하적 계산을 할 수 있는지를 측정한다. (1-2)는 정적분의 정의를 이용하여 무한 합의 계산을 할 수 있는지를 평가한다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석

(1-1)은 Stewart 정리를 증명하는 것으로, 여러 가지 방법으로 이 문제를 해결할 수 있다. 대표적인 방법으로는 피타고라스 정리를 이용하는 것과 코사인 제2법칙을 이용하는 것인데, 계산이 크게 복잡하지는 않다. (1-2)는 주어진 무한 합의 계산을 정적분 계산으로 전환하여 완성하는 문제이다.

(나) 제시문 해설

[문제 1]은 별도의 제시문을 주지 않았다.

(다) 제시문 출처

없음

3. 논제 해설

(1-1)은 피타고라스 정리 또는 코사인 제2법칙을 적용하여 주어진 등식이 성립하는 것을 보이는 문제로 이것은 원래 Stewart 정리라고 불린다. (1-2)는 Stewart 정리를 이용하여 [eqn: d _{k} ^{``2} `]의 값들을 구해 무한 합에 대입한 후, 무한 합의 값을 정적분의 정의를 통하여 구하는 문제이다.

4. 평가 기준

• 피타고라스 정리, 코사인 제2법칙, 정적분의 정의를 이해하고 있는 정도

• 피타고라스 정리, 코사인 제2법칙, 정적분의 정의를 활용하는 능력

• 기본적 계산 능력

5. 예시 답안

(1-1)

[eqn: C``]에서 [eqn: AB``]에 내린 수선의 발을 [eqn: H``]라 하고 [eqn: bar{CH``} `=`h,`` bar{HD`} `=`x`]라 하자. 이제 피타고라스 정리를 쓰면 [eqn: x ^{2} +h ^{2} =d ^{``2} `]과

[eqn: (x+n) ^{2} +h ^{2} =b ^{2} `] --- ⓵     [eqn: (m-x) ^{2} +h ^{2} =a ^{2} `] --- ②

를 얻는다. 이제

[eqn: a ^{2} n+b ^{2} m &=n(m-x) ^{2} +nh ^{2} +m(x+n) ^{2} +mh ^{2}# &=nm ^{2} +nx ^{2} +nh ^{2} +mx ^{2} +mn ^{2} +mh ^{2}]

이 되고 한편,

[eqn: c(d ^{2} +mn)=(m+n)(x ^{2} +h ^{2} +mn)=mx ^{2} +mh ^{2} +m ^{2} n+nx ^{2} +nh ^{2} +mn ^{2}]

이 되어 주어진 등식을 얻는다.

(별해1)

[eqn: ANGLE CDB``=` theta `]라 하고, 삼각형 [eqn: CDB`]와 삼각형 [eqn: CDA`]에 대해 각각 코사인 제2법칙을 적용하면,

[eqn: a ^{2} `=`m ^{2} `+`d ^{2} `-`2`m`d`cos` theta `] --- ①

[eqn: b ^{2} `=`n ^{2} `+`d ^{2} `-`2nd`cos`( pi - theta )=n ^{2} `+`d ^{2} +2nd`cos` theta `] --- ②

를 얻는다. 그러면

[eqn: a ^{`2} `n+b ^{`2} `m`&=m ^{2`} n+d ^{`2} `n-2`m`n`d`cos` theta `+`n ^{`2} `m+d ^{`2} `m+2`m`n`d`cos` theta `# # &=(m+n)(d ^{`2} +m`n)`=`c(d ^{`2} `+`m`n)]

이 성립한다.

(별해 2)

[eqn: vec{CA`} `=` vec{b} `,`` vec{CB``} `=` vec{a} `]라 하면

[eqn: vec{CD`} `=` {n} over {m+n} ` vec{a} `+` {m} over {m+n} ` vec{b} `]이고 [eqn: LEFT | vec{CD`} RIGHT | `=`d`]이다.

[eqn: (m+n) ^{2} `d ^{`2} =n ^{2} `a ^{2} `+`m ^{2} `b ^{2} `+`2`m`n` vec{a} ` BULLET vec{b`} `] --- ① 이고

[eqn: 2`m`n` vec{a} ` BULLET vec{b} `=`2m`n`a`b`cos` theta `=`2m`n`a`b` {a ^{2} +b ^{2} -c ^{2}} over {2ab} `=`m`n`(a ^{2} +b ^{2} -c ^{2} )`]

이다. 이것을 ①식에 대입하여 정리하면 주어진 등식을 얻는다.

(1-2)

[eqn: bar{BD _{k}} `= {k} over {n} `c,`` bar{D _{k} A`} `=` {n-k} over {n} `c`]이고 이것을 (2-1)에서 얻은 공식에 대입하면

[eqn: a ^{2} ` {n-k} over {n} `+`b ^{2} ` {k} over {n} `=`d _{k} ^{``2} `+` {k(n-k)} over {n ^{2}} `c ^{2} `]

이다. 따라서

[eqn: P _{n} = {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} d _{k} ^{``2} `&=` {1} over {n} ` sum _{k=1} ^{n} LEFT [ a ^{2} ` LEFT ( 1- {k} over {n} RIGHT ) `+b ^{2} ` {k} over {n} `-` {k(n-k)} over {n ^{2}} `c ^{2} ` RIGHT ]# &= {1} over {n} ` sum _{k=1} ^{n} LEFT [ a ^{2} `-`a ^{2} ` {k} over {n} `+b ^{2} ` {k} over {n} `-`c ^{2} ` {k} over {n} `+`c ^{2} ` LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} ` RIGHT ]]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n` -> ` INF } {P _{n}} ` & = int _{0} ^{1} {(a ^{2} -(a ^{2} -b ^{2} +c ^{2} )`x`+`c ^{2} `x ^{2} `)`dx}# & = {1} over {2} (a ^{2} +b ^{2} -c ^{2} )+ {c ^{2}} over {3} `= {a ^{2}} over {2} + {b ^{2}} over {2} - {c ^{2}} over {6}]

[문제 2] (30점)

1. 출제의도

벡터에 관한 식으로 나타내어진 공간 도형을 이해하고 이에 관한 문제를 해결할 수 있는지 평가한다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석

벡터의 내적 또는 절댓값과 관련된 부등식으로 나타내어지는 도형을 파악하면 된다.

(나) 제시문 해설

벡터에 관한 식으로 주어지는 여러 가지 도형에 관한 정보들을 제시문으로 제공하였다.

(다) 제시문 출처

제시문 (가) : □기하와 벡터□ 교과서, (주)교학사, 141쪽

제시문 (나) : □기하와 벡터□ 교과서, (주)교학사, 160쪽 및 창작

제시문 (다)와 제시문 (라) : 창작

3. 논제 해설

(2-1)과 (2-2)는 주어진 부등식으로 나타내어지는 도형의 겉넓이와 부피를 각각 구하는 문제이다. (2-3)은 주어진 부등식이 나타내는 도형의 부피가 특정한 값을 가지도록 하는 조건을 찾아내는 문제이다.

4. 평가 기준

• 공간벡터, 벡터의 내적, 정사영 등의 기본 개념을 이해하고 있는 정도

• 주어진 제시문을 정확하게 이해하고 이를 바탕으로 각 논제에서 요구하는 문제를 파악하는 능력

• 논제에서 요구하는 사항을 정확히 이해하고 기존 지식과 제시문의 내용을 바탕으로 논제의 답을 논리적으로 서술하는 능력

5. 예시 답안

(2-1)

제시문 (나)에 의해 주어진 조건을 만족하는 [eqn: X``]가 나타내는 도형은 반지름이 [eqn: 1`]인 반쪽 구(경계 포함)이다. 따라서 겉넓이는 [eqn: {1} over {2} (4 pi (1) ^{2} )+ pi (1) ^{2} `=3 pi `]이다.

(2-2)

제시문 (다)에 의해 주어진 조건을 만족하는 [eqn: X``]가 나타내는 도형은 아래 그림과 같이 반지름이 [eqn: 2`]이고 높이가 무한인 원기둥과 [eqn: vec{OB``} `=(1,`2,`2)`]에 수직이고 원점에서 거리가 [eqn: LEFT | vec{OB``} RIGHT | =3`]인 두 평면 [eqn: alpha ,` beta `]에 의해 잘린 도형이다. [eqn: vec{OB``} `]와 [eqn: z`]축이 이루는 각을 [eqn: theta `]라 두면,

[eqn: cos` theta `= {vec{k} ` BULLET vec{OB``}} over {LEFT | vec{k} RIGHT | LEFT | vec{OB``} RIGHT |} `= {2} over {3} `]

이고, [eqn: alpha `]평면과 [eqn: xy`]-평면이 이루는 각이 [eqn: theta `]이므로 [eqn: alpha `]평면과 원기둥이 만나 생기는 도형의 넓이를 [eqn: S``]라 하면 정사영의 법칙에 의해 [eqn: S``cos` theta `=`4` pi `], 즉 [eqn: S=4 pi TIMES {3} over {2} =6 pi]이다. 따라서 구하는 입체의 부피는 [eqn: V=S` TIMES 2 LEFT | vec{OB`} RIGHT | =6 pi TIMES 6=36 pi ``]이다.

[eqn: B`]

[eqn: O`]

[eqn: z`]

[eqn: y`]

▪

▪

[eqn: beta `]

[eqn: alpha `]

[eqn: theta `]

[eqn: x`]

[eqn: 2` LEFT | vec{OB`} RIGHT | `]

(2-3)

먼저 점 [eqn: B``]가 원점인 경우 부피는 0이므로 성립하지 않는다. 점 [eqn: B``]가 원점이 아닌 경우 제시문 (다)에 의해 주어진 조건을 만족하는 [eqn: X``]가 나타내는 도형은 (2-2)에서와 같이 반지름이 1이고 높이가 무한인 원기둥과 [eqn: vec{OB``} `]에 수직이고 원점에서 거리가 [eqn: r= LEFT | vec{OB`} RIGHT | `]인 두 평면 [eqn: alpha ,` beta `]에 의해 잘린 도형이다. [eqn: vec{OB``} `=(x,`y,`z)`]라 하고 [eqn: vec{OB``} `]와 [eqn: z`]축이 이루는 각을 [eqn: theta `]라 두면, [eqn: z=r`cos` theta `]이다. [eqn: alpha `]평면과 [eqn: xy`]-평면이 이루는 각이 [eqn: theta `]이므로 [eqn: alpha `]평면과 원기둥이 만나 생기는 도형의 넓이를 [eqn: S``]라 하면 정사영의 법칙에 의해 [eqn: S``cos` theta `=`` pi `]이다. 문제에서 점 [eqn: X``]가 나타내는 도형의 부피가 [eqn: pi `]라 하였으므로 [eqn: pi =S`` TIMES 2r= {pi } over {cos` theta } `2`r`]로부터

[eqn: r= {cos` theta } over {2} `] --- ①

을 얻는다. ①의 양변에 [eqn: r`]을 곱하여 정리하면 다음을 얻는다.

[eqn: r` ^{2} = {r`cos` theta } over {2} `````` LRARROW `````x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} `=` {z} over {2} ````` LRARROW `````x ^{2} +y ^{2} + LEFT ( z- {1} over {4} RIGHT ) ^{2} `= LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2} `].

따라서 점 [eqn: B``]의 집합은 중심이 각각 [eqn: (0,`0,`± {1} over {4} )`]이고 반지름이 [eqn: {1} over {4} `]인 두 구의 합집합에서 원점을 뺀 것이다.