2014학년도 인하대학교 모의 논술고사 (자연계)

수시 1차 수학과학우수자전형

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■ 일반 유의사항

1. 시험시간은 120분, 배점은 수학이 60점, 과학이 40점입니다. 단, 수학은 필수이며 과학은 물리(20점), 화학(20점), 생물(20점) 중에서 2과목 선택입니다.

2. 각 문항의 답안은 반드시 해당 답안 공간에 작성하시오.

3. 답안을 구상할 때 문제지의 여백이나 또는 문제지 내의 연습장을 사용하시오.

4. 답안을 작성할 때 반드시 흑색 필기구만을 사용하시오(연필, 샤프 사용 가능, 싸인펜 불가).

5. 답안을 정정할 때 두 줄을 긋고 정정하시오(수정액, 수정 테이프, 지우개 사용 가능).

※ 답안지는 절대 교체할 수 없습니다.

■ 답안 작성 유의사항

1. 제목은 쓰지 말고, 논제 번호를 명시한 후 답안을 작성하시오.

2. 제시된 분량을 지키시오.

3. 제시문의 문장을 그대로 옮기지 마시오.

4. 수험번호, 성명 등 신상에 관련된 사항을 답안 공간이나 답안지의 여백에 드러내지 마시오.

5. 풀이의 과정을 순차적으로 서술하되, 필요한 경우에 수식 및 그림을 사용할 수 있으며, 수식은 반드시 문장 속에 포함 시키시오.

2014학년도 인하대학교 수시 1차 수학과학우수자전형 모의 논술고사 (자연계)

수학 필수 : 60점

[문제 1] (20점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가)  서로 다른 [eqn: n``]개 중에서 [eqn: r``]개를 택하여 한 줄로 나열하는 것을 [eqn: n``]개에서 [eqn: r``]개를 택하는 순열이라 한다. 이 순열의 수를 기호로 [eqn: {} _{n} P _{r} ``]와 같이 나타내고 다음과 같이 계산한다.

[eqn: {} _{n} P _{r} =n(n-1)(n-2) CDOTS (n-r+1)```(0<r LEQ n)`]

(나)  서로 다른 [eqn: n``]개 중에서 순서를 생각하지 않고 [eqn: r``]개를 택하는 것을 [eqn: n``]개에서 [eqn: r``]개를 택하는 조합이라 한다. 이 조합의 수를 기호로 [eqn: {} _{n} C _{r} ``]와 같이 나타내고 다음과 같이 계산한다.

[eqn: {} _{n} C _{r} = {{} _{n} P _{r}} over {r`!} ```(0<r LEQ n)`]

여기서 [eqn: r`!``]는 1에서 [eqn: r`]까지의 모든 자연수의 곱이다.

(※) 6명의 사람이 있다. 이 사람들을 분할하는 여러 가지 상황에 대하여 그 분할 방법의 수를 생각해 보자.

(1-1) 6명의 사람들을 세 개의 조로 나누는 방법의 수를 구하시오. 단, 각 조에는 적어도 한 명이 포함되어 있다. (10점)

(1-2) 6명의 사람들을 세 개의 방 [eqn: rm A,``B,``C``]에 빈 방이 없게 배치하는 방법의 수를 구하려 한다. “각 방에 적어도 한 명씩은 들어가야 하므로 6명 중 3명을 뽑아 각 방에 배치하는 방법의 수는 [eqn: ` _{6} P _{3} `]이고 나머지 3명은 각 방에 임의로 배치되어도 되므로 [eqn: 3 TIMES 3 TIMES 3``]를 곱해 주면, 총 방법의 수는 [eqn: ` _{6} P _{3} `` TIMES 3 ^{3} ```=```3240``]이다.”이 풀이가 옳은지 틀린지를 결정하고, 옳지 않다면 올바른 풀이를 제시하시오. (10점)

[문제 2] (15점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[eqn: y=x]

[eqn: y=x ^{{1} over {4}}]

[eqn: y=x ^{3}]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: O]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

(가)  방정식 [eqn: f(x)=g(x)``]의 근은 두 함수 [eqn: y=f(x)``]와 [eqn: y=g(x)``]의 그래프의 교점의 [eqn: x``]좌표이다.

(나)  오른쪽 그림과 같이 멱함수 [eqn: y=x ^{r} ``(x>0,``r>0)`]의 그래프는 점 [eqn: (1,`1)`]을 지나고 [eqn: lim _{x` -> `+0} {`x ^{r}} `=0`], [eqn: lim _{x` -> ` INF } {`x ^{r} `} = INF `]이다. 또한 [eqn: r`]의 범위에 따라 그래프의 모양이 다른데, [eqn: r=1`]일 때는 직선 [eqn: y=x`]이지만 [eqn: 0<r<1``]일 때는 아래로 오목하고 [eqn: r>1`]일 때는 위로 오목하다. 한편 [eqn: 0<x<1,``p>q``]이면 [eqn: x ^{p} <x ^{q} ``]이고 [eqn: x>1,``p>q``]이면 [eqn: x ^{p} >x ^{q} ``]이다.

(2-1) 방정식 [eqn: e ^{x} =x ^{r} ``(x>0)``]의 근의 개수가 [eqn: 0,1,2]가 되도록 하는 양수 [eqn: r]의 값의 범위를 각각 구하시오. (15점)

[문제 3] (25점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가)  톨레미(영어명 Ptolemy, 원명 프톨레마이오스(Ptolemaios), AD 90-168)는 이집트 알렉산드리아에서 활동한 그리스계 수학자로서, 그는 역사상 가장 위대한 저서 중 하나인 알마게스트(Almagest)의 저자이다.

다음은 유명한 톨레미의 정리이다.

원에 내접하는 사각형 [eqn: rm ABCD`]에 대하여

서로 마주보고 있는 두 변의 쌍의 길이의 곱의 합은 두 대각선의 길이의 곱과 같다.

[eqn: rm bar{AB} CDOT bar{CD} ``+`` bar{AD} CDOT bar{BC} ```=``` bar{AC} CDOT bar{BD}]

[eqn: rm A`]

[eqn: rm D`]

[eqn: rm B`]

[eqn: rm C`]

(나)  삼각형 [eqn: rm ABC`]에 대하여 [eqn: {rm bar{BC}} ```=```a,````{rm bar{AC}} ```=```b,````{rm bar{AB} }```=```c`]라 하고, 이 삼각형의 내접원이 변 [eqn: rm AC,```AB``]와 접하는 점을 각각 [eqn: rm E,```F``]라 할 때, 등식 [eqn: {rm bar{AE} ```=``` bar{AF}} ```=``` {1} over {2} (b+c-a)]가 성립함은 쉽게 알 수 있다.

[eqn: rm C`]

[eqn: rm B`]

[eqn: rm A`]

[eqn: rm F`]

[eqn: rm E`]

[eqn: c`]

[eqn: b`]

[eqn: a`]

(다)  삼각형 [eqn: rm ABC``]의 내심 [eqn: rm I``]는 세 내각의 이등분선의 교점이고, 삼각형 [eqn: rm ABC``]의 외심 [eqn: rm O``]는 세 변의 수직이등분선의 교점이다.

(라)  아래 그림과 같이 삼각형 [eqn: rm ABC``]의 내심을 [eqn: rm I``]라 하고 외심을 [eqn: rm O``]라 하자. 그리고 두 점 [eqn: rm X,``Y``]는 등식 [eqn: rm bar{AX} `+` bar{AY} ```=``` bar{BC}`]을 만족하는 각각 반직선 [eqn: rm vec{AC}`], [eqn: rm vec{AB} `] 위에 있는 점이라고 하자. 반직선 [eqn: rm vec{AI}`]가 삼각형 [eqn: rm ABC``]의 외접원과 만나는 점을 [eqn: rm S``]라 하고, 삼각형 [eqn: rm AXY`]의 외접원이 선분 [eqn: rm AS``]와 만나는 점을 [eqn: rm P``]라 하자.

[eqn: rm A`]

[eqn: rm O`]

[eqn: rm P`]

●

[eqn: rm X`]

[eqn: rm S`]

[eqn: rm C`]

[eqn: rm I``]

[eqn: rm Y`]

[eqn: rm B`]

●

●

●

●

●

●

●

●

(3-1)  제시문 (가)의 그림에서 선분 [eqn: rm AC``]가 [eqn: rm ANGLE BAD``]의 이등분선이고, [eqn: {rm ANGLE BAD}``=` alpha ``]라 할 때, 제시문 (가)에 근거하여 다음 등식이 성립함을 보이시오. (7점)

[eqn: {rm bar{AB} `+` bar{AD} ```=```2` bar{AC}} ``cos` LEFT ( {alpha } over {2} RIGHT )]

(3-2)  제시문 (라)의 경우에 다음 등식이 성립함을 보이시오. (8점)

[eqn: rm bar{AI} `+` bar{AP} ```=``` bar{AS} `]

(3-3)  제시문 (라)의 경우에 문제 (3-2)의 결과를 이용하면 [eqn: rm bar{OI} ```=``` bar{OP} `]임을 알 수 있다. 따라서, 점 [eqn: rm X,``Y``]가 등식 [eqn: rm bar{AX} `+` bar{AY} ```=``` bar{BC} `]를 만족하면서 반직선 [eqn: rm vec{AC}`], [eqn: rm vec{AB} `] 위를 움직일 때  점 [eqn: rm P`]는 일정한 점이다.  [eqn: rm ANGLE BAC it ``=`` theta `]인 삼각형 [eqn: rm ABC`]에 대하여, [eqn: rm bar{AX} `]의 길이가 [eqn: x`]일 때 [eqn: rm bar{PX} `]의 길이를 [eqn: f(x)]라고 하자. 이때, 극한

[eqn: lim _{x`` -> `+0} {{{rm bar{AP}} `-f(x)} over {x}} ``]

의 값을 [eqn: theta]의 식으로 나타내시오. (10점)

물리 선택 : 20점

※ 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

(가)  외력이 작용하지 않으면 물체들의 총 운동량은 항상 일정하게 유지되는데, 이를 운동량 보존의 법칙이라고 한다. 하나의 물체가 두 물체로 분열할 때에도 외부로부터 작용하는 힘이 없으면 분열 전후에 총 운동량은 보존된다. 예를 들어 정지해 있는 물체가 질량이 [eqn: m _{A} `,``m _{B} ```]인 두 물체로 분열하는 경우, 운동량 보존 법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있다

[eqn: 0```=```m _{A} ` bold{v _{A}} `+`m _{B} ` bold{v _{B}} `]

여기서 [eqn: bold{v _{A}} `,`` bold{v _{B}} ```]는 각각 분열 후 물체 [eqn: m _{A} `,``m _{B} `]의 속도이다. 따라서 두 물체의 속력의 비는 다음과 같다.

[eqn: LEFT | {bold{v _{A}}} over {bold{v _{B}}} RIGHT | ```=``` {m _{B}} over {m _{A}}]

즉, 분열된 두 물체의 속력은 질량에 반비례하게 된다.

(나)  아인슈타인의 상대성 이론에 의하면 질량과 에너지는 동등하다. 질량이 [eqn: m``]인 물체는 [eqn: E```=```m`c ^{2} ``]으로 주어지는 에너지를 갖는다. 여기서 [eqn: c``]는 빛의 속력이다. 핵분열이나 핵융합과 같은 핵반응의 전후에는 핵자들의 질량이 줄어드는 질량 결손이 발생하는데, 이 때 질량-에너지 등가 원리에 의해서 질량 결손에 해당하는 만큼의 에너지가 발생한다. 예를 들어, 질량-에너지 등가 원리를 이용하여 1 원자질량단위([eqn: rm u])의 에너지를 환산하면 다음과 같다.

[eqn: E``=``(1` rm u`)`c ^{2} ``=``1.660`` TIMES 10 ^{-27} `` rm kg`` TIMES (2.998 TIMES 10 ^{8} `` rm m/s) ^{2} ``=``1.492 TIMES 10 ^{-10} ` rm J``=``931.5`` rm MeV]

(다)  원자 번호가 높은 원자핵은 전기적 반발력이 증가하여 핵이 불안정해지고 자연 붕괴가 일어날 가능성이 높아지게 된다. 방사성 원소가 붕괴하면서 헬륨의 원자핵인 [eqn: alpha ``]입자를 방출하는 경우를 [eqn: alpha] 붕괴라고 한다. 질량수가 [eqn: A``]이고 원자 번호가 [eqn: Z``]인 어떤 핵자 [eqn: rm X``]가 [eqn: alpha] 붕괴하여 새로운 핵자 [eqn: rm Y``]로 변할 때의 핵반응식은 다음과 같다.

[eqn: {} _{Z} ^{A} ` rm X it `` -> `` _{Z-2} ^{A-4} ` rm Y``+`` _{2} ^{4} `He``( alpha ``입자)][eqn: ^AX]

핵자 [eqn: rm X,`Y`]와 [eqn: alpha `]입자의 질량을 각각 [eqn: m _{rm X it}], [eqn: m _{rm Y it}], [eqn: m _{alpha } ``]라고 하면, 이 핵반응 과정에서 질량 결손 [eqn: DELTA m`]은 다음과 같다.

[eqn: DELTA m``=``m _{rm X it} `-m _{rm Y it} `-`m _{alpha }]

따라서 이 핵반응 과정에서 [eqn: DELTA m`c ^{2} ``]에 해당하는 에너지가 방출된다.

(라)  방사성 원소는 자연 붕괴하게 되므로 시간이 지남에 따라 남아 있는 원래 원소의 양이 감소하게 된다. 방사성 원소의 양이 원래 있던 양의 반으로 줄어들 때까지 걸리는 시간을 반감기라고 한다. 아래 그림에서 보듯이 어떤 방사성 원소의 반감기가 [eqn: T``]이고 초기에 존재했던 원소의 개수가 [eqn: N _{0} ``]라고 하면, 붕괴 후 시간 [eqn: t``]가 흐른 후에 남아 있는 원소의 개수 [eqn: N`(t)`]는 다음과 같이 표현된다.

[eqn: N`(t)``=``N _{0} ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{t} over {T}}]

즉, 시간이 [eqn: T``] 만큼 지나면 원래 있던 양의 1/2이 남게 되고, [eqn: 2`T``] 만큼 시간이 지나면 원래 있던 양의 1/4이 남게 된다. 이러한 방사성 원소의 붕괴 현상은 고고학적 연대 측정에 유용하게 활용된다.

(※) 아래 그림과 같이 초기에 정지해 있던 라듐 원자, [eqn: {} _{88} ^{226} ` rm Ra`]가 [eqn: alpha] 붕괴하여 라돈 원자, [eqn: rm Rn`]과 [eqn: alpha ``]입자로 분열되었다. 붕괴 후 [eqn: rm Rn`]과 [eqn: alpha ``]입자는 서로 반대 방향으로 멀어졌으며, 붕괴 과정에서 [eqn: Q``]의 에너지가 방출되었다. 제시문을 참고하여, 아래 문제들에 대한 답안을 작성하시오.

[문제 1] 이 핵반응의 반응식을 완성하시오. (3점)

[문제 2] 라돈의 질량을 [eqn: M``], [eqn: alpha ``]입자의 질량을 [eqn: m``]이라고 할 때, [eqn: alpha ``]입자의 운동에너지를 [eqn: M,``m,``Q```]를 이용하여 나타내시오. (7점)

[문제 3] 라듐, 라돈, [eqn: alpha ``]입자의 질량은 각각 [eqn: 226.0254`` rm u,````222.0176``u,```4.0015``u``]이다. 이 때, [eqn: Q``]를 MeV의 단위로 나타내시오.  (5점)

[문제 4] 라듐 원자의 반감기는 약 1600년이다. 어떤 물체에 존재하는 라듐 원자의 양이 초기에 존재했던 양의 30%로 줄어들려면 대략 몇 년이 걸리겠는가?

(단, [eqn: log`2```=```0.3,````log`3```=```0.5``]로 가정한다.) (5점)

화학 선택 : 20점

※ 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

(가)  일반적으로 원자 반지름은 같은 종류의 두 원자가 결합되어 있을 때 두 원자핵 사이 거리의 반으로 나타낸다. 주기율표에서 여러 가지 원소의 원자 반지름을 비교하면 비교적 규칙적으로 변화함을 알 수 있다. 원자 반지름은 전자껍질 수와 유효핵 전하의 영향을 받는다. 전자껍질 수가 많아지면 원자가 전자가 원자핵에서 멀어지므로 원자 반지름이 커지게 된다. 또, 원자가 전자에 실제로 작용하는 핵 전하인 유효핵 전하가 증가하면 원자핵과 원자가 전자 사이의 정전기적 인력이 증가하여 원자 반지름이 작아지게 된다. 그 결과, 같은 족에서는 원자 번호가 증가할수록 전자껍질 수가 증가하여 핵과 원자가 전자와의 거리가 멀어지므로 원자 반지름이 증가한다. 같은 주기에서는 전자껍질 수가 같지만 원자 번호가 증가할수록 원자가 전자의 유효핵 전하가 증가하므로 원자 반지름이 감소한다.

(나)  중성 원자가 전자를 잃고 양이온이 되면 원자인 경우보다 반지름이 작아진다. 반대로 전자를 얻어 음이온이 되면 최외각 껍질에 전자 수가 많아져 전자 사이의 반발력이 증가하므로 원자일 때보다 반지름이 커진다. 이온의 반지름도 원자 반지름과 같은 주기성을 나타낸다. 즉, 같은 족에서 원자번호가 증가할수록 전자껍질 수가 증가하므로 이온 반지름이 커진다. 같은 주기의 이온은 원자번호가 클수록 유효핵 전하가 증가하므로 이온 반지름이 증가한다,

(다)  원자 내에서 원자핵과 전자 사이에는 인력이 작용하므로 전자를 떼어 내려면 에너지가 필요하다. 기체 상태의 원자로부터 전자 1개를 떼어 내는 데 필요한 최소 에너지를 이온화 에너지라고 한다.

[eqn: M(g)``+``E`````` -> `````M ^{+} (g)``+``e ^{-} `]  ([eqn: E``]: 이온화 에너지)

원자핵과 전자 사이에 작용하는 인력이 강할수록 이온화 에너지가 커진다. 일반적으로 같은 주기에서는 원자 번호가 증가할수록 유효핵 전하가 증가하여 이온화 에너지가 증가한다. 같은 족에서는 원자 번호가 증가할수록 이온화 에너지가 감소한다.

수소 이외의 원자는 전자가 2개 이상이므로 한 원자로부터 차례대로 여러 개의 전자를 떼어 낼 수 있다. 첫 번째 전자를 떼어 내는 데 필요한 최소 에너지를 제일 이온화 에너지, 두 번째, 세 번째 전자를 떼어 내는 데 필요한 최소 에너지를 각각 제이 이온화 에너지, 제삼 이온화 에너지라고 하며, 이를 순차적 이온화 에너지라고 한다.

[문제 1] 주어진 주기율표를 참고하여 다음 세 원자와 이온을 크기가 작은 것부터 차례로 나열하시오. (10점)

[eqn: rm Mg,``Be ^{2+} ,``K`]

[문제 2] 다음은 주족(전형) 원소에 속하는 어떤 두 원소 A와 E의 순차적 이온화 에너지이다. 두 원소가 반응하여 생성될 것으로 예상되는 화합물의 화학식을 추론하시오. (A와 E를 원소 기호로 가정하시오.) (10점)

순차적 이온화 에너지 (kJ/mol)	[eqn: E_{ 1}]	[eqn: E _{2}]	[eqn: E _{3}]	[eqn: E _{4}]	[eqn: E _{5}]	[eqn: E _{6}]	[eqn: E _{7}]	[eqn: E _{8}]
A	1680	3370	6050	8410	11020	15160	17870	92040
E	740	1450	7730	10540	13630

생물 선택 : 20점

※ 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

(가)  바이러스는 유전정보를 가진 핵산과 이를 보호하는 단백질 껍질로 구성되어 있는 작은 감염물질로서 생물과 무생물의 경계에 걸쳐 있다. 바이러스 입자는 세포로 되어 있지 않으며, 물질 대사에 관여하는 효소가 없어서 스스로 물질 대사를 하지 못한다는 점에서는 생명체라고 할 수 없다. 그러나 살아있는 세포 내에서는 숙주세포의 효소를 이용하여 자신의 유전물질을 복제하고 증식하므로 생명체의 특징을 가지고 있다고 할 수 있다. 또한 바이러스의 핵산은 돌연변이 발생률이 높아 유전자 구성을 다양하게 바꿀 수 있는데, 이는 바이러스도 다른 생명체처럼 진화한다는 것을 의미한다.

(나)  세균, 바이러스 등 외부에서 침입하는 이물질에 대항하여 스스로 방어하는 작용을 면역이라고 한다. 체내에 항원이 들어오면 이에 대한 항체가 만들어지는데 이를 1차 반응이라고 한다. 면역반응이 끝나면 증식된 림프구는 대부분 사라지지만 일부는 기억 세포로 남아 있다가 동일한 항원을 만나면 신속하게 다량의 항체를 만드는데, 이를 2차 반응이라고 한다(그림1).

(그림1)

[문제 1] 항생제는 병원성 세균을 죽이거나 무력화시키는 데는 매우 효과적이지만 바이러스 치료에는 소용이 없다. 그 이유를 제시문 (가)를 근거로 설명하시오. (5점)

[문제 2] 여러 가지 바이러스 치료제들이 개발되었지만, 바이러스에 대항하는 가장 강력한 무기는 백신이다. 그러나 백신은 항생제 같은 일반적인 약물과는 달리 효과가 빨리 나타나지 않는다. 그 이유는 무엇인가? 제시문 (나)를 근거로 설명하시오. (5점)

[문제 3] HIV(사람 면역결핍 바이러스)는 AIDS(후천성면역결핍증)을 유발한다. HIV에 감염되더라도 바로 AIDS가 발병되는 것은 아니고 몇 달에서 길게는 몇 십 년 동안 어떤 증상도 나타나지 않는 잠복기를 거치는데, 이 기간 동안 우리 몸의 면역세포는 HIV에 대한 항체를 생산한다. 따라서 HIV 항체가 존재하는지를 검사함으로써 증상이 없는 잠복기에도 신속한 AIDS 검사가 가능하다. 그러나 이러한 HIV 항체는 AIDS 발병을 막지는 못한다.

HIV 보균자의 몸에서 HIV 항체가 생성됨에도 불구하고 왜 바이러스가 치료되지 않고 결국에는 AIDS가 발병하는가? 그 이유를 제시문을 근거로 추론해보시오. (10점)