2014학년도 인하대학교 모의 논술고사 (자연계)

수시 1차, 2차 일반전형(논술)

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■ 일반 유의사항

1. 시험시간은 120분, 배점은 100점 만점입니다.

2. 각 문항의 답안은 반드시 해당 답안 공간에 작성하시오.

3. 답안을 구상할 때 문제지의 여백이나 또는 문제지 내의 연습장을 사용하시오.

4. 답안을 작성할 때 반드시 흑색 필기구만을 사용하시오(연필, 샤프 사용 가능, 싸인펜 불가).

5. 답안을 정정할 때 두 줄을 긋고 정정하시오(수정액, 수정 테이프, 지우개 사용 가능).

※ 답안지는 절대 교체할 수 없습니다.

■ 답안 작성 유의사항

1. 제목은 쓰지 말고, 논제 번호를 명시한 후 답안을 작성하시오.

2. 제시된 분량을 지키시오.

3. 제시문의 문장을 그대로 옮기지 마시오.

4. 수험번호, 성명 등 신상에 관련된 사항을 답안 공간이나 답안지의 여백에 드러내지 마시오.

5. 풀이의 과정을 순차적으로 서술하되, 필요한 경우에 수식 및 그림을 사용할 수 있으며, 수식은 반드시 문장 속에 포함 시키시오.

2014학년도 인하대학교 모의 논술고사 (자연계)

수시 1차, 2차 일반전형(논술)

[문제 1] (20점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가)  일반적으로 좌표평면 위의 점 [eqn: {rm P}(x,`y)``]를 식

[eqn: {cases{x` prime &=a`x`+`b`y#y` prime &=c`x`+`d`y}} `]    ([eqn: a,`b,`c,`d``]는 상수)

에 의하여 점 [eqn: {rm P'}(x`',`y`')``]으로 옮기는 변환을 일차변환이라고 한다. 이 때 행렬 [eqn: {pmatrix{a`&`b#c`&`d}} `]를 이 일차변환의 행렬이라고 한다. 원점을 닮음의 중심으로 하는 닮은비가 [eqn: k``(k != 0)``]인 닮음변환, 원점을 중심으로 각 [eqn: theta ``]만큼 회전하는 회전변환, 원점을 지나는 직선에 대한 대칭변환 등은 일차변환이다.

(※) 두 수열 [eqn: LEFT { x _{n} RIGHT } `]와 [eqn: LEFT { y _{n} RIGHT } `]이 다음의 식을 만족한다고 하자.

[eqn: x _{1} =1,```y _{1} =2,````` {cases{x _{n+1} = {sqrt {3}} over {2} `x _{n} - {1} over {2} `y _{n}&#y _{n+1} = {1} over {2} `x _{n} + {sqrt {3}} over {2} `y _{n} `&}} `]

(1-1) 평면 위의 점 [eqn: (x _{n} ,``y _{n} )]을 [eqn: (x _{n+1} ,``y _{n+1} )]로 옮기는 변환에 대응하는 행렬을 구하시오. (5점)

(1-2) [eqn: x _{2014} +y _{2014} ``]의 값을 구하시오. (15점)

[문제 2] (25점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가)  일반적으로 서로 다른 [eqn: n``]개 중에서 [eqn: r``]개를 택하여 한 줄로 나열하는 것을 [eqn: n``]개에서 [eqn: r``]개를 택하는 순열이라 하고, 이 순열의 수를 기호로 [eqn: {} _{n} P _{r} ``]와 같이 나타내고 다음과 같이 계산한다.

[eqn: {} _{n} P _{r} =n(n-1)(n-2) CDOTS (n-r+1)```(0<r LEQ n)`]

(나)  일반적으로 서로 다른 [eqn: n``]개 중에서 순서를 생각하지 않고 [eqn: r``]개를 택하는 것을 [eqn: n``]개에서 [eqn: r``]개를 택하는 조합이라 하고, 이 조합의 수를 기호로 [eqn: {} _{n} C _{r} ``]와 같이 나타내고 다음과 같이 계산한다.

[eqn: {} _{n} C _{r} = {{} _{n} P _{r}} over {r`!} ```(0<r LEQ n)`]

여기서 [eqn: r`!``]는 1에서 [eqn: r`]까지의 모든 자연수의 곱이다.

(※) 6명의 사람이 있다. 이 사람들을 분할하는 여러 가지 상황에 대하여 그 분할 방법의 수를 생각해 보자.

2014학년도 인하대학교 수시 1차, 2차 일반전형(논술) 모의 논술고사 (자연계)

(2-1) 6명의 사람들을 세 개의 조로 나누는 방법의 수를 구하시오. 단, 각 조에는 적어도 한 명이 포함되어 있다. (10점)

(2-2) 6명의 사람들을 세 개의 방 [eqn: rm A,``B,``C``]에 나누어 배치하는 방법의 수를 구하시오. 단, 빈 방이 있어도 상관없다. (5점)

(2-3) 6명의 사람들을 세 개의 방 [eqn: rm A,``B,``C``]에 빈 방이 없게 배치하는 방법의 수를 구하려 한다. “각 방에 적어도 한 명씩은 들어가야 하므로 6명 중 3명을 뽑아 각 방에 배치하는 방법의 수는 [eqn: ` _{6} P _{3} `]이고 나머지 3명은 각 방에 임의로 배치되어도 되므로 [eqn: 3 TIMES 3 TIMES 3``]를 곱해 주면, 총 방법의 수는 [eqn: ` _{6} P _{3} `` TIMES 3 ^{3} ```=```3240``]이다.”이 풀이가 옳은지 틀린지를 결정하고, 옳지 않다면 올바른 풀이를 제시하시오. (10점)

[문제 3] (20점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[eqn: y=x]

[eqn: y=x ^{{1} over {4}}]

[eqn: y=x ^{3}]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: O]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

(가)  방정식 [eqn: f(x)=g(x)``]의 근은 두 함수 [eqn: y=f(x)``]와 [eqn: y=g(x)``]의 그래프의 교점의 [eqn: x``]좌표이다.

(나)  오른쪽 그림과 같이 멱함수 [eqn: y=x ^{r} ``(x>0,``r>0)`]의 그래프는 점 [eqn: (1,`1)`]을 지나고 [eqn: lim _{x` -> `+0} {`x ^{r}} `=0`], [eqn: lim _{x` -> ` INF } {`x ^{r} `} = INF `]이다. 또한 [eqn: r`]의 범위에 따라 그래프의 모양이 다른데, [eqn: r=1`]일 때는 직선 [eqn: y=x`]이지만 [eqn: 0<r<1``]일 때는 아래로 오목하고 [eqn: r>1`]일 때는 위로 오목하다. 한편 [eqn: 0<x<1,``p>q``]이면 [eqn: x ^{p} <x ^{q} ``]이고 [eqn: x>1,``p>q``]이면 [eqn: x ^{p} >x ^{q} ``]이다.

(3-1) 방정식 [eqn: e ^{x} =x ^{r} ``(x>0)``]이 하나의 근을 가질 때 양수 [eqn: r``]의 값을 구하시오. (20점)

[문제 4] (35점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가)  톨레미(영어명 Ptolemy, 원명 프톨레마이오스(Ptolemaios), AD 90-168)는 이집트 알렉산드리아에서 활동한 그리스계 수학자로서, 그는 역사상 가장 위대한 저서 중 하나인 알마게스트(Almagest)의 저자이다.

다음은 유명한 톨레미의 정리이다.

원에 내접하는 사각형 [eqn: rm ABCD`]에 대하여

서로 마주보고 있는 두 변의 쌍의 길이의 곱의 합은 두 대각선의 길이의 곱과 같다.

[eqn: rm bar{AB} CDOT bar{CD} ``+`` bar{AD} CDOT bar{BC} ```=``` bar{AC} CDOT bar{BD}]

[eqn: rm A`]

[eqn: rm D`]

[eqn: rm B`]

[eqn: rm C`]

(나)  삼각형 [eqn: rm ABC`]에 대하여 [eqn: rm bar{BC} it ```=```a,```` rm bar{AC} it ```=```b,```` rm bar{AB} it ```=```c`]라 하고, 이 삼각형의 내접원이 변 [eqn: rm AC,```AB``]와 접하는 점을 각각 [eqn: rm E,```F``]라 할 때, 등식 [eqn: {rm bar{AE} ```=``` bar{AF}} ```=``` {1} over {2} (b+c-a)]가 성립함은 쉽게 알 수 있다.

[eqn: rm C`]

[eqn: rm B`]

[eqn: rm A`]

[eqn: rm F`]

[eqn: rm E`]

[eqn: c`]

[eqn: b`]

[eqn: a`]

(다)  삼각형 [eqn: rm ABC``]의 내심 [eqn: rm I``]는 세 내각의 이등분선의 교점이고, 삼각형 [eqn: rm ABC``]의 외심 [eqn: rm O``]는 세 변의 수직이등분선의 교점이다.

(라)  아래 그림과 같이 삼각형 [eqn: rm ABC``]의 내심을 [eqn: rm I``]라 하고 외심을 [eqn: rm O``]라 하자. 그리고 두 점 [eqn: rm X,``Y``]는 등식 [eqn: rm bar{AX} `+` bar{AY} ```=``` bar{BC} ``]을 만족하는 각각 반직선 [eqn: rm vec{AC} ``], [eqn: rm vec{AB} `] 위에 있는 점이라고 하자. 반직선 [eqn: rm vec{AI`} ``]가 삼각형 [eqn: rm ABC``]의 외접원과 만나는 점을 [eqn: rm S``]라 하고, 삼각형 [eqn: rm AXY``]의 외접원이 선분 [eqn: rm AS``]와 만나는 점을 [eqn: rm P``]라 하자.

[eqn: rm A`]

[eqn: rm O`]

[eqn: rm P`]

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[eqn: rm X`]

[eqn: rm S`]

[eqn: rm C`]

[eqn: rm I``]

[eqn: rm Y`]

[eqn: rm B`]

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●

(4-1)  제시문 (가)의 그림에서 선분 [eqn: rm AC``]가 [eqn: rm ANGLE BAD``]의 이등분선이고, [eqn: {rm ANGLE BAD}``=` alpha ``]라 할 때, 제시문 (가)에 근거하여 다음 등식이 성립함을 보이시오. (10점)

[eqn: {rm bar{AB} `+` bar{AD} ```=```2` bar{AC}} ``cos` LEFT ( {alpha } over {2} RIGHT )]

(4-2)  제시문 (라)의 경우에 다음 등식이 성립함을 보이시오. (15점)

[eqn: rm bar{AI} `+` bar{AP} ```=``` bar{AS} `]

(4-3)  제시문 (라)의 경우에 문제 (4-2)의 결과를 이용하면 [eqn: rm bar{OI} ```=``` bar{OP} `]임을 알 수 있다. 따라서, 점 [eqn: rm X,``Y``]가 등식 [eqn: rm bar{AX} `+` bar{AY} ```=``` bar{BC} `]를 만족하면서 반직선 [eqn: rm vec{AC}`], [eqn: rm vec{AB} `] 위를 움직일 때  점 [eqn: rm P`]는 일정한 점이다.  [eqn: rm ANGLE BAC it ```=``` theta `]인 삼각형 [eqn: rm ABC`]에 대하여, [eqn: rm bar{AX} `]의 길이가 [eqn: x`]일 때 [eqn: rm bar{PX} `]의 길이를 [eqn: f(x)]라고 하자. 이때, 극한

[eqn: lim _{x`` -> `+0} {{{rm bar{AP}} `-f(x)} over {x}} ``]

의 값을 [eqn: theta]의 식으로 나타내시오. (10점)