2013학년도 인하대학교 수시 1차 수학과학우수자전형

자연계 모의 논술고사 출제 의도 및 해설

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수학 필수 : 수학 60점

1. 출제의도

수학적 귀납법, 수열의 극한, 삼각함수, 미분 등과 연관된 문제를 선택하여 고교 수학에서 다루는 개념의 이해 능력, 정직하고 성실하게 계산을 수행할 수 있는 능력, 문제 풀이 과정을 논리적으로 서술하는 능력 등을 평가할 목적으로 출제하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

▷ 주제 분석

2013학년도 인하대학교 수시 1차 수학과학우수자전형 자연계 모의 논술고사 수학(필수)은 두 가지 내용으로 구성하였다. 첫 번째 내용은 수학적 귀납법과 수열의 극한을 소재로 하여 귀납적으로 정의된 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]과 각 항의 역수들의 합 [eqn: S _{n} = {1} over {a _{1}} + {1} over {a _{2}} + CDOTS + {1} over {a _{n}} `]과의 어떤 등식을 수학적 귀납법으로 증명하고, [eqn: a _{n} `]의 극한값을 다루는 내용이다. 두 번째 내용은 삼각함수와 미분을 소재로 하여 시계의 두 바늘 끝을 [eqn: A,`B``]라 할 때, [eqn: bar{AB``} `]의 길이가 가장 빨리 증가하는 순간의 [eqn: bar{AB``} `]의 길이를 구하는 내용이다.

▷ 제시문 해설

제시문 (가)는 수학적 귀납법을 소개하였다. 제시문 (나)는 수열의 양의 무한대와 음의 무한대로의 발산에 대해 소개하였다. 제시문 (다)는 삼각형에서 코사인법칙을 소개하였다.

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▷ 제시문 출처

제시문 (가) : 고등학교 □수학 I 익힘책□, 천재교육, 147쪽

제시문 (나) : 고등학교 □수학 I 익힘책□, 천재교육, 175쪽

제시문 (다) : 고등학교 □수학□, 더텍스트, 340~342쪽

3. 논제 해설

[논제 1]은 고등학교 □수학 I 익힘책□ 교과서, 수열 단원의 ‘수학적 귀납법’에서 다루었던 문제들 보다는 조금 심화된 문제로, 귀납적으로 정의된 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]과 각 항의 역수들의 합 [eqn: S _{n} = {1} over {a _{1}} + {1} over {a _{2}} + CDOTS + {1} over {a _{n}} `]과의 등식 [eqn: S _{n} =2- {1} over {a _{n+1} -1} ``]을 수학적 귀납법으로 보이는 것이다. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 정의로부터 [eqn: a _{n+1} `]과 [eqn: a _{n} `]의 관계식을 이용하는 문제이다.

[논제 2]는 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`S _{n}} ``=``2``]을 보이는 문제로, [논제 1]에서 주어진 등식 [eqn: S _{n} =2- {1} over {a _{n+1} -1} ``]으로부터 [eqn: lim _{n`-> ` INF } {a _{n} = INF `}]임을 보이는 문제이다.

[논제 3]은 시계를 소재로 하여 두 바늘이 이루는 삼각형에서 두 바늘의 끝을 [eqn: A,`B``]라 할 때, [eqn: bar{AB``} `]의 길이는 제시문 (다)의 힌트로부터 코사인법칙으로 두 바늘이 이루는 각도 [eqn: theta `]에 대한 함수로 생각할 수 있다. [eqn: bar{AB``} `]의 길이가 가장 빨리 증가하는 순간이란, [eqn: bar{AB``} `]의 길이의 [eqn: theta `]에 대한 순간변화율이 최댓값이 되는 순간이다. 삼각함수와 무리함수로 이루어진 분수함수의 미분법을 적용하는 문제이다.

4. 평가 기준

• 제시문에 주어진 개념을 정확하게 이해하고, 문제 해결에 활용할 수 있는 능력

• 수열이 양의 무한대로 발산한다는 것을 논리적으로 추론하는 능력

• 삼각함수와 무리함수로 이루어진 분수함수의 미분법을 활용하여 최댓값을 구하는 계산 능력

• 논제에서 요구하는 사항을 정확히 이해하고 기존 지식과 제시문의 내용을 바탕으로 논제의 답을 논리적으로 추론하고 제시하는 능력

5. 예시 답안

[논제 1] (20점) 수학적 귀납법을 이용하자. 먼저, [eqn: n=1`]일 때,

[eqn: S _{1} ``=`` {1} over {a _{1}} ``=`` {1} over {a _{2} -1} ``````( BECAUSE ```a _{2} =1+a _{1} )]

[eqn: = {2(a _{2} -1)-1} over {a _{2} -1} ````( BECAUSE ```a _{2} =2)]

[eqn: =2- {1} over {a _{2} -1}].

이제, [eqn: S _{n-1} =``2```- {1} over {a _{n} -1} ``]이라 가정하자. 그러면,

[eqn: S _{n} =``S _{n-1} + {1} over {a _{n}} ```=```2``-`` {1} over {a _{n} -1} `+ {1} over {a _{n}}]

[eqn: =2``-`` {a _{n} -a _{n} +1} over {(a _{n} -1)`a _{n}} ``=``2- {1} over {(a _{n} -1)`a _{n}} `]이 된다. 한편,

[eqn: a _{n+1} ``=``1+(a _{1} a _{2} CDOTS a _{n-1} )a _{n} ``=``1+(a _{n} -1)a _{n} `]이므로 [eqn: a _{n+1} -1``=``(a _{n} -1)a _{n} `]이다. 그러므로 등식 [eqn: S _{n} =``2```- {1} over {a _{n+1} -1} `]이 성립한다.

[논제 2] (20점) [eqn: lim _{n -> 0} {``a _{n}} ``=`` INF `]임을 보이면 [논제 1]에서 주어진 등식 [eqn: S _{n} =2- {1} over {a _{n+1} -1} ``]으로부터 [eqn: lim _{n -> 0} {``S _{n}} ``=``2`]임은 자명하다. 이제, 모든 [eqn: a _{n} `]이 자연수임은 자명하고, [eqn: a _{n} =1``+``a _{1} a _{2} CDOTS a _{n-1} `]이므로 [eqn: a _{n} >a _{n-1} `]이다. 즉, [eqn: a _{n} -a _{n-1} GEQ 1`]으로부터

[eqn: a _{2} -a _{1} GEQ 1`]

[eqn: a _{3} -a _{2} GEQ 1`]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a _{n} -a _{n-1} GEQ 1`]

이다. 위의 부등식을 변변 더하면 [eqn: a _{n} -a _{1} GEQ n-1`]을 얻고, [eqn: a _{1} =1`]이므로, 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: a _{n} GEQ n`]이다. 따라서 [eqn: lim _{n -> 0} {``a _{n}} ``=`` INF `]이다.

[논제 3] (20점) 코사인법칙을 이용하여 [eqn: bar{AB} ```]의 길이를 [eqn: theta ``]의 함수로 나타내면, [eqn: f( theta )= sqrt {5-4cos theta } ``]이다. 따라서 [eqn: f` prime ( theta )= {2`sin theta } over {sqrt {5-4cos theta }}]이 된다. [eqn: bar{AB} ``]의 길이가 가장 빨리 증가하는 순간이란, [eqn: f` prime ( theta )]가 최댓값이 되는 순간이므로, 구간 [eqn: 0 LEQ theta LEQ pi]에서 [eqn: f` prime ( theta )]의 최댓값을 구해보자.

[eqn: f` '' ( theta )=2` TIMES {cos theta sqrt {5-4cos theta } -sin theta {2sin theta } over {sqrt {5-4cos theta }}} over {5-4cos theta }]

[eqn: =2 TIMES {cos theta (5-4cos theta )-2sin ^{2} theta } over {(5-4cos theta ) ^{3/2}} =2 TIMES {-(2cos theta -1)(cos theta -2)} over {(5-4cos theta ) ^{3/2}}].

이고 [eqn: cos theta = {1} over {2}], 즉, [eqn: theta = {pi } over {3}]일 때 [eqn: f` '' ( theta )=0]이 된다. 또한, [eqn: 0 LEQ theta < {pi } over {3}]일 때, [eqn: f` '' ( theta )>0`]이고, [eqn: {pi } over {3} < theta LEQ pi `]일 때, [eqn: f` '' ( theta )<0`]이므로, [eqn: theta = {pi } over {3}]일 때, [eqn: f` prime ( theta )]가 최댓값을 갖는다. 따라서 두 시계바늘의 회전 중심을 [eqn: O``]라 할 때, 삼각형 [eqn: OAB``]는 세 변의 길이가 각각 1, 2, [eqn: sqrt {3}]인 직각삼각형이 된다. 즉, [eqn: bar{AB`} `= sqrt {3} `]이다.