2013학년도 수시 2차 자연계열 논술고사 출제의도 및 해설

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[생물] (선택, 25점)

1. 출제의도

고등학교 □생물 I□ 교과서의 ‘자극과 반응’ 단원과 ‘유전’ 단원에서 배우는 내용을 이해하고 있는 지 알아보고자 하였다. [문제 1]에서는 실무율의 적용 범위에 대한 정확한 이해 여부를 묻고자 하였으며, [문제 2]에서는 자극의 전달 과정에서 나타나는 전위차의 변화에 대한 이해를 확인하고자 하였다. [문제 3]에서는 자극의 전달 과정에 관여하는 유전자 산물의 돌연변이가 유전될 때 우성/열성 유전의 가능성을 물어 수험생이 우성과 열성의 개념을 정확히 이해하고 있는지를 묻고자 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석

자극과 반응에서 나타나는 현상과 이 과정에 관여하는 유전자의 돌연변이가 표현형에 미치는 영향을 정확하게 이해하고 있는 지를 묻고자 하였다.

(나) 제시문 해설

제시문 (가)에서는 고등학교 □생물 I□ 교과서에서 소개하고 있는 자극의 수용과정에서 나타나는 실무율에 대해 소개하였다. 제시문 (나)에서는 자극이 전달되는 두 가지 방식 즉, 전기적 방식과 화학적 방식 중 전기적 방식에 대한 내용을 제시하였다. 특히 단순히 (+), (-)로 세포막 안과 밖의 전위차를 표시하는 것에서 벗어나 실제 이온들이 어떻게 존재하는 지 그리고 흥분과정에서 각각의 이온의 이동을 돕는 세 가지 단백질을 구체적으로 제시함으로써 수험생이 문제를 해결하는데 도움을 주고자 하였다.

(다) 제시문 출처

제시문 (가) : 고등학교 □생물 I□ 교과서 ‘자극의 수용’ 단원에서 발췌

제시문 (나) : 고등학교 □생물 I□ 교과서 ‘자극의 전달’ 단원에서 발췌, 보완

3. 논제 해설

논제는 크게 3개의 문제로 이루어져 있다.

[문제 1]은 하나의 세포에서 적용되는 실무율이 근육이나 신경다발에서 적용되지 않는 이유를 묻는 문제로 □생물 I□ 교과서에 정답이 제시되어 있다. 즉 근육은 수많은 근섬유가 모여서 이루어진 집합체이고 신경 다발 역시 많은 신경 세포로 구성되어 있다. 각각의 근섬유, 또는 신경 세포가 가지는 역치가 다르기 때문에 자극의 세기에 따라 반응하는 세포의 수도 달라진다는 것을 알고 있다면 쉽게 해결할 수 있을 것이다.

[문제 2]는 탈분극 후 재 분극 되었을 때 세포막 안과 밖의 이온 분포를 묻고자 하였다. 신경 세포에서 활동 전위가 발생하는 과정을 이해하고 있다면 어렵지 않게 해결할 수 있을 것으로 기대한다.

[문제 3]은 자극의 전달에서 중요한 역할을 하는 나트륨 이온 통로 유전자를 예로 돌연변이의 성질에 따라 다음 세대에서 어떠한 영향을 미치는 지를 묻고자 하였다. 특히 우성과 열성이 생존의 유, 불리에 의해서 결정되는 것이 아니라 실제 돌연변이가 갖는 성질에 의해 결정된다는 것을 이해하는 지를 알아보고자 하였다. □생물 I□ 교과서에서 배우는 우성 유전병과 열성 유전병에 대한 내용을 잘 이해하고 있다면 큰 어려움 없이 해결할 수 있을 것으로 기대한다.

4. 평가 기준

• 고등학교 □생물 I□ 교과서에서 배우는 자극의 수용과 자극의 전기적 전달 과정을 이해하고 있는 지를 확인

• 돌연변이에 의한 형질의 유전 여부, 특히 우성과 열성의 개념을 정확히 이해하고 있는 지를 확인

5. 예시 답안

[문제 1]

근육이나 신경 다발을 이루고 있는 각 세포의 역치가 다르다. 따라서 자극의 세기에 따라 반응하는 세포의 수가 다르고 그 결과 실무율이 적용되지 않는다.

[문제 2]

자극에 의해 세포막 밖의 나트륨 이온이 나트륨 이온 통로에 의해 세포막 안으로 들어와 탈분극이 일어난 후에 칼륨 이온 통로가 열려 세포막 안의 칼륨 이온이 세포막 밖으로 배출된다. 그 결과 세포막 안쪽에 나트륨 이온이 많아지고 바깥쪽에는 칼륨이 많은 상태가 되어 실제 전위차가 [eqn: rm -70mV`] 부근으로 되돌아오는 재 분극 현상이 관찰된다.

[문제 3]

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돌연변이(A)는 대립 유전자의 하나에서만 나타난다면 정상인 다른 하나의 유전자에서 정상적으로 작동하는 나트륨 이온 통로가 만들어질 수 있으므로 돌연변이 (A)는 정상 유전자에 대해 열성으로 작용하여 유전될 것으로 추정할 수 있다. 별도의 가능성이 있는 예상 답안으로 중간유전 (불완전 우성)의 가능성을 제시할 수도 있으며, 이 경우 논리적으로 설명하였다면 부분정답으로 처리한다. 돌연변이(B)는 대립 유전자 중 하나의 유전자에서만 나타나도 그 돌연변이 나트륨 이온 통로에 의해 신경 전도에 영향을 미칠 수 있기 때문에 정상 유전자에 대해 우성으로 작용하고 하나의 유전자에서만 돌연변이가 생겨도 그 형질이 다음 세대로 유전될 것으로 추정할 수 있다.

2013학년도 수시 2차 자연계열 논술고사 출제의도 및 해설

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[화학] (선택, 25점)

1. 출제의도

고등학교 □화학 I□ 교과서의 내용 중 ‘기체의 성질’을 주 소재로 삼아 부피의 변화에 따른 압력 변화와 기체의 반응식으로부터 화학반응에 참여하는 기체의 양적 관계를 추론하는 능력을 측정하려 하였다. 세부적인 내용을 살펴보면, 제시문에서 설명한 압력에 따른 기체의 부피 변화를 정성적으로 이해하고, 그 이해를 바탕으로 일정한 온도에서 용기의 부피가 변할 때 기체의 압력이 어떻게 변하는지를 올바로 추론하는지 보고자 하였다. 또한 화학반응식에 대한 정성적 이해를 바탕으로 반응하는 기체 및 생성되는 기체들의 양적인 관계를 추론하는 능력을 보고자 하였다. 끝으로 특정 반응물이 모두 반응하는 데 필요한 상대 반응물의 양을 올바로 추론하는지를 보고자 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석

기체의 성질과 기체 반응을 주제로 삼았다. 모형 기체 용기 내의 기체의 부피가 변할 때 각 성분 기체의 부분 압력을 올바로 예측하고, 이를 바탕으로 용기 내에서 화학반응의 결과를 정량적으로 예측하는 내용을 포함하고 있다.

(나) 제시문 해설

제시문 (가)에서는 보일의 법칙을 설명하였다. 이 내용은 중학교 과학 교과과정과 고등학교 □화학 I□ 과정에서 자세히 취급된 내용이지만 문제 해결에 직접적으로 이용되는 내용이어서 관련 내용을 명확히 기억하지 못하는 수험생들도 별 어려움 없이 문제를 해결할 수 있도록 배려하였다. 제시문 (나)에서는 일정한 온도와 압력에서 기체의 양과 부피와의 비례 관계를 설명하고, 용기의 부피가 일정할 때에는 기체의 양이 압력에 비례함을 설명하였다. 이 내용은 기체 간의 반응의 양적인 관계를 추론하는데 활용할 수 있도록 하였다. 문제에 들어 있는 ‘부분 압력’이라는 용어는 고등학교 □화학 II□ 교과서에 등장하지만 그 개념은 기체의 성질에 관련된 여러 내용에 포함되어 있다. 제시문 (다)에서는 부분 압력을 명확히 정의하고 그 의미를 설명하였다. 따라서 제시문 (다)의 설명을 참고하면 문제에서 요구하는 기체의 부분 압력을 구하는 데 별 어려움이 없을 것으로 예상된다.

(다) 제시문 출처

제시문 (가)는 고등학교 □화학 I□ 교과서의 내용을 거의 그대로 옮겨 온 것이다. 다음은 관련 내용이 실려 있는 교과서들이다: 고등학교 □화학 I□ 교과서, 대한교과서(주) 64-66쪽; 고등학교 □화학 I□ 교과서, (주)교학사 74-75쪽; 고등학교 □화학 I□ 교과서, (주)금성출판사 72-74쪽.

제시문 (나)에서는 일정한 온도와 압력에서 기체의 양과 부피의 관계 및 일정한 온도와 부피에서 기체의 양과 압력의 관계를 설명하는 내용으로 출제자가 창작하였다.

제시문 (다)에서는 문제 풀이에 필요한 ‘부분 압력’을 정의하고 그 의미를 쉽게 설명하였는데, 출제자가 창작하였다.

3. 논제 해설

논제는 크게 2개의 문제로 이루어져 있다.

[문제 1]은 화학반응이 일어나는 기체 혼합물에서 반응이 끝난 후 각 성분 기체의 부분 압력을 구하는 문제이다. 예시 답안에 설명한 바와 같이 이 문제는 두 단계로 나누어 접근하여야 한다. 단계 1에서는 반응이 일어나지 않는다고 가정하고 콕(1)을 열었을 때, 각 기체의 부분 압력을 추론한다. 이 과정은 일정한 온도에서 기체의 부피 변화에 해당하므로 제시문 (가)의 보일의 법칙을 이용하여 쉽게 해결할 수 있다. 단계 2에서는 단계 1의 결과와 문제에서 주어진 화학반응식을 이용하여 화학반응의 결과를 예측하는 과정이다. 우선 화학반응식에서 반응하는 기체 A와 B의 양적인 관계를 파악하고, 단계 1의 결과로부터 반응물 A와 B의 상대적 양을 파악한다. 이 두 내용을 활용하여 반응물 A가 부족함을 알 수 있고, 따라서 A는 모두 반응하여 용기에서 사라질 것을 예측할 수 있다. 이어서 생성물 C의 양이 반응하는 기체 A의 양에 의해 결정됨을 파악하고 반응한 기체 A의 양으로부터 생성된 기체 C의 양(부분 압력)을 추론한다. 이 과정에서는 제시문 (나)의 내용을 활용한다. 최종적으로 남은 반응물 B의 부분 압력은 B의 초기 압력과 반응한 A의 압력으로부터 바로 구할 수 있다.

[문제 2]는 [문제 1]의 단계 2와 매우 유사한 문제이다. [문제 1]의 답(즉, 기체 C의 압력)을 활용하여 콕(2)를 열었을 때 기체 C의 부분 압력을 구한다. 이어서 [문제 2]의 반응식으로부터 기체 C가 완전히 반응하는 데 필요한 기체 D의 압력을 구한다. 이 압력은 콕(1)과 (2)가 모두 열린 상태에서의 압력이다. 문제에서는 콕(2)를 열기 전의 기체 D의 압력을 묻고 있으므로, 제시문 (가)의 보일의 법칙을 이용하여 최종 답을 구한다.

4. 평가 기준

• 일정한 온도에서 부피의 변화에 따른 일정량의 기체의 압력 변화를 이해하고 추론하는 능력

• 일정한 온도와 부피에서 기체의 양과 압력과의 관계에 대한 이해도

• 화학 반응식의 양론계수의 정량적 의미에 대한 이해도 및 활용 능력

• 논제에서 요구하는 사항을 정확히 이해하고 기존 지식과 제시문의 내용을 바탕으로 논제의 답을 논리적으로 추론하는 능력

• 기존 지식과 제시문의 관련 내용을 체계적, 논리적으로 정리하여 논제의 답안을 명확하고 논리적으로 제시하는 능력

5. 예시 답안

[문제 1]

전체 과정을 2 단계로 나누어 푼다.

단계 1.

먼저 일정한 온도에서 콕(1)을 열었을 때의 A와 B의 부분 압력을 구한다.(아직 반응하지 않음.)

A의 부분 압력

[eqn: P _{A} ``=``P _{A,`처음} TIMES {처음``부피} over {나중``부피} `=`0.50`기압` TIMES {2.0`L} over {3.0`L} `=``0.33(또는` {1} over {3} )`기압]

B의 부분 압력

[eqn: P _{B} ``=``P _{B,`처음} TIMES {처음``부피} over {나중```부피} `=`2.00`기압` TIMES {1.0`L} over {3.0`L} `=``0.67(또는` {2} over {3} )`기압`]

단계 2.

단계 1의 답과 주어진 반응식을 이용하여 화학반응이 끝난 후 A, B, C의 부분 압력을 구한다.

□ 주어진 반응식에 의하면 A와 B는 2 : 1의 비율로 반응한다. 그런데 제시문 (나)에 의하면 일정한 온도와 부피에서 기체 분자 개수( 또는 몰수)는 기체의 압력에 비례하므로 단계 1에서 구한 기체 A와 B의 부분 압력으로부터 기체 A와 B의 상대적 양이 1 : 2임을 알 수 있다.  따라서 기체 A가 부족하고 기체 B가 남게 된다. 즉, 기체 A는 모두 반응하여 용기에 전혀 남지 않을 것이다. 즉, [eqn: P _{A} ``=``0.0`기압]이다.

□ 반응식에 의하면 A와 B는 2 : 1의 비율로 반응한다. 따라서 0.33 기압의 기체 A 과 반응하는 데 기체 B [eqn: 0.165(또는` {1} over {6} )] 기압이 소모될 것이며, 반응하고 남은 기체 B의 부분 압력 [eqn: P _{B} ``=``0.67(또는` {2} over {3} )`기압`-`0.165(또는` {1} over {6} )`기압``=0.50`(또는` {1} over {2} )`기압`] 이다.

□ 반응식에 의하면 기체 A 한 분자가 반응하면 기체 C가 한 분자 생성된다.(또는 기체 A 두 분자가 반응하면 기체 C 두 분자가 생성된다.) 따라서 반응한 기체 A의 압력과 생성된 기체 C의 압력은 같다. [eqn: THEREFORE ``P _{C} ``=``0.33`(또는` {1} over {3} )`기압]이다.

답:  [eqn: P _{A} ``=``0.0``기압# P _{B} ``=``0.5``기압# P _{C} ``=`0.33`(또는` {1} over {3} )``기압]

[문제 2]

[문제 1]에서 C의 부분 압력 [eqn: P _{C} ``=``0.33`(또는` {1} over {3} )`기압]이다. 보일의 법칙을 이용하여 콕(2)를 열었을 때의 기체 C의 부분 압력을 구하면

[eqn: P _{C} ``=`` {1} over {3} `기압` TIMES {3`L} over {5`L} ``=`0.20`(또는` {1} over {5} )``기압]

반응식에 의하면 기체 C와 D는 1 : 2로 반응한다. 따라서 콕(2)가 열린 상태에서 모든 기체 C와 반응하는 데 필요한 기체 D의 최소 압력

[eqn: P _{D} ``=``0.20``기압` TIMES {2} over {1} ``=``0.40`(또는` {2} over {5} )``기압]

그런데 이 기체 D는 원래 장치의 오른편 플라스크에 들어 있었으므로 그 때의 기체 D의 압력

[eqn: P``=``0.40`(또는` {2} over {5} )``기압` TIMES {5`L} over {2`L} ``=``1.0``기압]

2013학년도 수시 2차 자연계열 논술고사 출제의도 및 해설

[물리] (선택, 25점)

1. 출제의도

빛의 반사, 굴절, 간섭현상에 대해 제시문에 설명된 바와 같이 입사각과 반사각의 관계, 입사각, 굴절각과 굴절률 사이의 관계, 그리고 보강, 상쇄 간섭과 위상 사이의 관계를 이해하여 주어진 형태의 물체에서 문제를 해결할 수 있는 능력을 평가할 목적으로 출제하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석

빛이 공기 중에서 굴절률이 [eqn: n`]인 물체로 입사하는 세 가지의 상황을 고려하고 있다. 입사각과 굴절각으로부터 굴절률을 구하는 문제, 코너 반사경의 원리와 관련된 문제, 그리고 얇은 막에서의 간섭 문제를 해결하는 것을 주제로 하였다.

(나) 제시문 해설

제시문 (가)에서는 물체의 굴절률을 진공과 물체 내에서 빛의 속력, 파장의 비로 설명하였고, 또한 입사각, 반사각, 굴절각, 그리고 굴절률 사이의 관계를 설명하였다. 제시문 (나)에서는 굴절률이 다른 두 매질에서 반사된 빛의 위상을 고정단 반사와 자유단 반사로 나누어 설명하였다. 제시문 (다)에서는 보강간섭과 상쇄간섭이 두 파동의 위상 차이로 인하여 나타남을 설명하였다.

(다) 제시문 출처

고등학교 □물리 I□ 교과서를 기초로 한 발췌 및 창작

3. 논제 해설

논제는 크게 3개의 문제로 이루어져 있고, 빛이 공기 중에서 굴절률이 [eqn: n``]인 물체에 입사하는 상황을 고려하고 있다.

[문제 1]은 물체의 윗면에서 입사하고 측면에서 굴절하는 상황에서 굴절률을 구하는 문제이다.

[문제 2]는 물체에 빛이 특정한 각도로 입사하여 순서대로 굴절, 반사, 반사, 굴절을 반복하여 나가는 빛의 경로를 그리고 각도를 구하는 문제이다.

[문제 3]은 얇은 막에서 보강간섭이 일어날 수 있는 가장 작은 두께를 구하는 문제이다.

4. 평가 기준

• 굴절률의 법칙을 적용하여 물체의 굴절률을 구하는 능력

• 연속적인 반사, 굴절이 일어났을 때 빛의 경로를 구하는 능력

• 얇은 막에서의 간섭을 두 파동의 위상을 고려하여 구하는 능력

5. 예시 답안

[문제 1]

스넬의 법칙을 적용하면, 물체의 윗면에서는 [eqn: 1`sin30 ^{o} =n`sin theta]를 만족하고, 측면에서는 [eqn: n`sin(90 ^{o} - theta )=n`cos theta =1`sin90 ^{o} ``]를 만족한다. 정리하면 [eqn: n`sin theta = {1} over {2} ,``n`cos theta =1`]이 되고, 각 식을 제곱하고 더하면 [eqn: n ^{2} (sin ^{2} theta +cos ^{2} theta )= {5} over {4} `]이므로, 굴절률 [eqn: n= {sqrt {5}} over {2} `]이다.

[문제 2]

큰 직각삼각형 내부에서 빛은 윗면에서 굴절된 후, 첫 번째 대각 면에서 입사각([eqn: theta _{1}])과 반사각([eqn: theta _{1}])이, 두 번째 대각 면에서는 입사각([eqn: theta _{2}])과 반사각([eqn: theta _{2}])이 같다. 두 대각 면에서 법선을 연결하면 직각삼각형이 되어 [eqn: theta _{1}]+[eqn: theta _{1}]=90 o이고 2([eqn: theta _{1}]+[eqn: theta _{1}])=180 o이므로, 선분 AB와 선분 CD는 평행하다. 따라서 A점에서 굴절각([eqn: theta '])과 D점에서 입사각([eqn: theta '])이 같으므로 스넬의 법칙을 적용하면, D점에서의 굴절각은 A점에서의 입사각과 같은 10 o가 된다.

[문제 3]

윗면에서 180 o의 위상차를 가지고 반사되고, 아랫면에서는 위상차 없이 반사되므로, 두 빛이 중첩되어 보강 간섭을 이루기 위해서는 물체 내에서 경로차가 반 파장의 홀수 배 이어야 한다. 즉, [eqn: 2t= {lambda ^{prime }} over {2} m= {lambda } over {2n} m``(m=1,`3,`5,`....)]을 만족한다. 그런데 [eqn: n= {sqrt {5}} over {2} `], [eqn: lambda =500``rmnm], 그리고 최소 두께를 위해서는 [eqn: m=1`]이므로, 두께 [eqn: t=50 sqrt {5} rmnm]이다.

2013학년도 수시 2차 자연계열 논술고사 출제의도 및 해설

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[수학] (필수, 50점)

1. 출제의도

[문제 1]은 고등학교 □기하와 벡터□ 교과서의 주요 내용인 ‘공간도형과 공간좌표’ 단원에서 에서 배우는 직선과 평면의 특징을 이해하고 있는지를 알아보고자 하였다. [문제 2]는 고등학교 □적분과 통계□ 교과서의 주요 내용인 ‘적분법’ 단원에서 배우는 적분기법과 미분과 적분의 관계를 활용할 수 있는지를 평가하고자 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석

[문제 1]은 공간에서 평면 [eqn: alpha ``]와 평면 [eqn: alpha `]의 한 쪽 편에 있는 두 점 [eqn: A,``B``]가 주어졌을 때, 평면 [eqn: alpha `] 위의 임의의 점 [eqn: X``]에 대해 [eqn: bar{AX``} `+` bar{BX``} `]의 최솟값과 그때의 [eqn: X``]를 구하는 문제이다. 평면에서와 같이 공간에서 점 [eqn: A``]의 평면 [eqn: alpha `]에 대한 대칭점 [eqn: C``]를 찾아 선분 [eqn: bar{BC``} `]의 길이를 구하고, 직선 [eqn: BC``]와 평면 [eqn: alpha `]의 교점 [eqn: X``]를 구하는 문제이다.

[문제 2]는 표준정규분포에 따르는 확률밀도함수 [eqn: f(x)= {1} over {sqrt {2 pi }} `e ^{-x ^{2} /2} `]를 소재로 하여 치환적분법, 부분적분법 등의 활용 및 적분 계산 능력을 알아보는 문제이다. 이 과정에서 미분과 적분의 관계에 대한 이해와 적용이 필요하다.

(나) 제시문 해설

제시문 (가)에서는 [문제 1]의 풀이에 접근하는 단서가 되기도 하고, 또한 계산에 필요한 공간에서 두 점 사이의 거리공식을 제시하였다. 제시문 (나)에서는 표준정규분포 [eqn: N`(0,`1)`]에서 주어진 구간의 확률과 평균을 구하는 공식을 제시하였다.

(다) 제시문 출처 :

제시문 (가) : 고등학교 □기하와 벡터□ 교과서, 금성출판사, 102페이지

제시문 (나) : 고등학교 □적분과 통계□ 교과서, 교학사, 149페이지~153페이지에서 발췌

3. 논제 해설

논제는 크게 2개의 문제로 이루어져 있다.

[문제 1]의 형태는 공간과 관계없는 듯이 보인다. 하지만 제시문 (가)를 통하여 주어진 문제를 공간으로 옮기도록 유도하였다. 주어진 문제를 공간에서의 문제로 바꾼 후, 공간에서 다루는 여러 가지 현상(대칭점 찾기, 평면의 법선벡터, 직선의 식 구하기 등)을 이해하는 지를 질문하였다.

[eqn: []문제 2]는 확률밀도함수 [eqn: f(x)= {1} over {sqrt {2 pi }} `e ^{-x ^{2} /2} `]에서 평균 [eqn: int _{0} ^{1} {x`f(x)`dx} `]을 치환적분법으로 계산하고, [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( int _{t} ^{1} {f(x)`dx} RIGHT ) `dt} `]을 부분적분법으로 계산하는 문제이다. 이 과정에서 미분과 적분의 관계에 대한 이해와 적용이 필요하다.

4. 평가 기준

[문제 1]

• 점 [eqn: A`]의 평면 [eqn: alpha ``]에 대한 대칭점 [eqn: C``]를 생각하여 [eqn: bar{BC``} `]의 길이와 직선 [eqn: BC``]와 평면 [eqn: alpha `]의 교점을 구한다고 파악(5점)

• 대칭점 [eqn: C``]와 [eqn: bar{BC``} `]의 길이 계산(10점)

• 직선 [eqn: BC``]와 평면 [eqn: alpha `]의 교점(10점)

[문제 2] (1)

• 치환 [eqn: {x ^{2}} over {2} =t,```xdx=dt`]이 올바른 경우(3점)

• 치환 후 적분 구간 [eqn: int _{0} ^{{1} over {2}} {} `]이 올바른 경우(3점)

• 올바른 계산 결과 [eqn: {sqrt {e} -1} over {sqrt {2 pi e}} `] 혹은 [eqn: {1} over {sqrt {2 pi }} LEFT ( 1-e ^{-1/2} RIGHT ) `]가 나오면(4점)

[문제 2] (2)

• [eqn: int _{0} ^{1} {g(t)} `dt`= int _{0} ^{1} {{d} over {dt} (t)`g`(t)`dt} `= LEFT [ t`g(t) RIGHT ] _{0} ^{1} ``- int _{0} ^{1} {t` {d} over {dt} g(t)`dt} ``] ---(6점)

• [eqn: g(1)=0,``` {d} over {dt} g(t)=`-f(t)`] ---(6점)

• 올바른 계산 결과 [eqn: {sqrt {e} -1} over {sqrt {2 pi e}} `] 혹은 [eqn: {1} over {sqrt {2 pi }} LEFT ( 1-e ^{-1/2} RIGHT ) `]가 나오면(3점)

[문제 2] (별해)

• [eqn: int _{} ^{} {f(t)dt} =F(t)`] 사용하여 [eqn: int _{0} ^{1} {g(t)`dt`} =F(1)- int _{0} ^{1} {F(t)dt} `] ---(6점)

• [eqn: E`(0 LEQ X LEQ 1)`= LEFT [ t`F``(t) RIGHT ] _{0} ^{1} - int _{0} ^{1} {F`(t)dt} `=F`(1)- int _{0} ^{1} {F`(t)dt} `] ---(6점)

• 올바른 계산 결과 [eqn: {sqrt {e} -1} over {sqrt {2 pi e}} `] 혹은 [eqn: {1} over {sqrt {2 pi }} LEFT ( 1-e ^{-1/2} RIGHT ) `]가 나오면(3점)

5. 예시 답안

[문제 1]

두 점 [eqn: A(1,`0,`0)`]와 [eqn: B(0,`1,`-1)``]는 평면 [eqn: alpha ``:``x+y+2z=4``]의 한 쪽 편에 있다. 평면 [eqn: alpha ``]위의 임의의 점을 [eqn: X``]라 두면 [문제 1]은 [eqn: bar{AX``} + bar{BX``} `]의 최솟값과 그때의 [eqn: X`]을 구하는 것이다. 아래 그림과 같이 평면 [eqn: alpha ``]에 내린 [eqn: A,``B``]의 수선의 발을 [eqn: A` prime ,``B``'``]이라 하고, 평면 [eqn: alpha ``]에 대한 [eqn: A`]의 대칭점을 [eqn: C``]라 하면 [eqn: bar{AX``} + bar{BX``} `]의 최솟값은 [eqn: bar{BC```} `]이고 그때의 [eqn: X``]는 직선 [eqn: BC``]와 평면 [eqn: alpha ``]의 교점 [eqn: P``]이다.

[eqn: A]

[eqn: B``]

[eqn: alpha]

[eqn: C``]

[eqn: P``]

[eqn: A`']

[eqn: B``']

(1, 0, 0)

(0, 1, -1)

(풀이1) 평면 [eqn: alpha ``]에 대한 [eqn: A`]의 대칭점을 [eqn: C``(a,`b,`c)`]라 하면, 벡터 [eqn: vec{AC``} `=(a-1,`b,`c)``]와 평면 [eqn: alpha ``]의 법선벡터 [eqn: vec{n} `=(1,`1,`2)``]는 평행하고, 선분 [eqn: AC``]의 중점은 평면 [eqn: alpha ``] 위에 있으므로

[eqn: (a-1,`b,`c)=t`(1,`1,`2),````` {a+1} over {2} + {b} over {2} +c=4`]

이 성립한다. 이를 풀면 [eqn: t=1`]이고 [eqn: C``(2,`1,`2)``]이다. 따라서 구하는 최솟값은

[eqn: bar{BC```} `= sqrt {4+9} `= sqrt {13} `]

이다. 직선 [eqn: BC``]는 점 [eqn: B(0,`1,`-1)`]을 지나고 벡터 [eqn: vec{BC```} `=(2,`0,`3)`]에 평행한 직선이므로

[eqn: l``:`` {cases{x=2t&#y=1&#z=`-1+3t&}} `]

이다. 이를 평면 [eqn: alpha ``]에 대입하면 [eqn: 2t+1+2(-1+3t)=4`], 즉 [eqn: t= {5} over {8} `]이다. 따라서

[eqn: (x,`y,`z)= LEFT ( {10} over {8} ,``1,`` {7} over {8} RIGHT ) `= LEFT ( {5} over {4} ,``1,`` {7} over {8} RIGHT ) `].

(풀이 2) 직선 [eqn: AA`'`]과 직선 [eqn: BB``'`]의 방정식은 각각 [eqn: {cases{x=1+t&#y=t&#z=2t&}} ,``` {cases{x=t`'&#y=1+t`'&#z=-1+2t`'&}}]이고

평면 [eqn: alpha ``:``x+y+2z=4``]와 연립하면 [eqn: t= {1} over {2} ,```t`'= {5} over {6} `]이다.

따라서 [eqn: A` prime LEFT ( {3} over {2} ,` {1} over {2} ,`1 RIGHT ) ,```B LEFT ( {5} over {6} ,` {11} over {6} ,` {2} over {3} RIGHT ) `]이다.

한편 [eqn: bar{AA` prime } = {LEFT | 1-4 RIGHT |} over {sqrt {1+1+4}} = {sqrt {6}} over {2} ,``` bar{BB``'} = {LEFT | 1-2-4 RIGHT |} over {sqrt {1+1+4}} = {5 sqrt {6}} over {6}]이고

[eqn: TRIANGLE A`A'P```]와 [eqn: TRIANGLE BB``'P```]는 닮음이므로

[eqn: bar{A` prime P``} `:` bar{PB`` prime } `= bar{AA prime `} `:` bar{BB` prime `} `= {sqrt {6}} over {2} `:` {5 sqrt {6}} over {6} `=3`:`5]이다. 따라서 [eqn: P``]는 [eqn: bar{A`'B``'`} `]의 [eqn: 3``:`5] 내분점이므로 [eqn: P``]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {{5} over {2} + {15} over {2}} over {8} ,` {{11} over {2} + {5} over {2}} over {8} ,` {2+5} over {8} RIGHT ) `= LEFT ( {5} over {4} ,`1,` {7} over {8} RIGHT ) `]이다. 이를 주어진 식에 대입하면 최솟값은 다음과 같다.

[eqn: sqrt {LEFT ( {5} over {4} -1 RIGHT ) ^{2} +1 ^{2} + LEFT ( {7} over {8} RIGHT ) ^{2}} + sqrt {LEFT ( {5} over {4} RIGHT ) ^{2} +(1-1) ^{2} + LEFT ( {7} over {8} +1 RIGHT ) ^{2}} `= {3 sqrt {13}} over {8} + {5 sqrt {13}} over {8} `= sqrt {13}]

[문제 2]

(1) 치환적분법을 이용하자. [eqn: {x ^{2}} over {2} =t``]로 치환하면 [eqn: x`dx=dt``]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {x` {1} over {sqrt {2 pi }} `e ^{- {x ^{2}} over {2}}} `dx# = {1} over {sqrt {2 pi }} ` int _{0} ^{{1} over {2}} {e ^{-t} `dt} `= {1} over {sqrt {2 pi }} LEFT [ -e ^{-t} RIGHT ] _{0} ^{{1} over {2}}# = {1} over {sqrt {2 pi }} (1-e ^{- {1} over {2}} )= {sqrt {e} -1} over {sqrt {2 pi e}}]

(2) 부분적분법을 이용하자.

[eqn: int _{0} ^{1} {g(t)} `dt`= int _{0} ^{1} {{d} over {dt} (t)`g`(t)`dt} `= LEFT [ t`g(t) RIGHT ] _{0} ^{1} ``- int _{0} ^{1} {t` {d} over {dt} g(t)`dt} ``]

이다. 한편

[eqn: g(1)=0],  [eqn: {d} over {dt} g(t)= {d} over {dt} int _{t} ^{1} {f(x)`dx} `=-f(t)]

이므로, 이를 위 식에 대입하여 정리하면 다음과 같다.

[eqn: int _{0} ^{1} {g(t)} `dt= int _{0} ^{1} {t`f(t)} `dt`=E``(0 LEQ X LEQ 1)`= {sqrt {e} -1} over {sqrt {2 pi e}}]

(별해) [eqn: int _{} ^{} {f(t)dt} `=F`(t)`]라 하면

[eqn: int _{0} ^{1} {g(t)} `dt= int _{0} ^{1} {LEFT ( int _{t} ^{1} {f(x)`dx} RIGHT ) `dt} `= int _{0} ^{1} {LEFT ( F`(1)-F`(t) RIGHT )} `dt`=F(1)- int _{0} ^{1} {F`(t)} `dt`]

이다. 한편, 부분적분법을 이용하면 다음을 얻을 수 있다.

[eqn: E`(0 LEQ X LEQ 1)= int _{0} ^{1} {t`f(t)} `dt`= LEFT [ t`F``(t) RIGHT ] _{0} ^{1} - int _{0} ^{1} {F`(t)dt} `=F`(1)- int _{0} ^{1} {F`(t)dt} `]

따라서 [eqn: int _{0} ^{1} {g(t)} `dt`=E`(0 LEQ X LEQ 1)`= {sqrt {e} -1} over {sqrt {2 pi e}} `].