2013학년도 수시 1차 자연계열 논술고사 출제의도 및 해설

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[생물] (선택, 25점)

1. 출제의도

고등학교 □생물 I□ 교과서의 ‘유전 현상’에 대한 이해를 단계적으로 알아보고자 하였다. [문제 1]에서는 유전자설에 근거하여 다음 세대의 유전자형을 결정할 수 있으며, 이것을 표현형과 연관시킬 수 있는 지를 보고자 하였고, [문제 2]에서는 데이터를 이용하여 가계도를 작성할 수 있는 지를 보고자 하였다. 특히 [문제 2]에서는 하나의 염색체에 연관된 두 유전자를 가정하여 연관에 의한 유전 현상이 일반적인 유전 현상과 어떠한 차이를 가져오는 지를 묻고자 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석

유전자와 이에 의한 유전 현상에 대한 전반적인 이해를 묻고자 하였다.

(나) 제시문 해설

제시문 (가)에서는 고등학교 □생물 I□ 교과서에서 배우는 염색체설과 유전자설을 소개하고 체세포의 유전자형이 어떻게 다음 세대로 전달되는 지를 그림으로 설명하였다. 제시문 (나)에서는 표현형의 결정이 일반적인 우성/열성으로 결정되지 않는 가상의 유전병을 제시하고 학생들이 이를 바탕으로 문제를 풀 수 있도록 하였다.

(다) 제시문 출처

제시문 (가) : 고등학교 □생물 I□ 교과서에서 발췌

제시문 (나) : 창작

3. 논제 해설

논제는 크게 2개의 문제로 이루어져 있다.

[문제 1]은 체세포에 쌍으로 존재하는 상동염색체가 감수 분열시 분리된 후 다시 합쳐진다는 내용을 이해한다면 쉽게 해결할 수 있을 것으로 기대한다. 단, 문제에서 전체 유전자형이 아니라 다 자란 쥐의 유전자형만을 고려하여야 한다는 것을 이해하고 rr 동형접합을 제외할 수 있는 지를 확인하고자 하였다.

[문제 2]는 자손 1대의 결과를 바탕으로 어버이의 유전자형을 결정할 수 있는 지를 묻고자 하였다. 특히 표현형을 결정하는 두 유전자가 하나의 염색체에 존재할 경우 상동염색체에 존재하는 유전자의 위치에 따라 자손의 표현형이 서로 다르게 결정될 수 있다는 것을 아는 지 보고자 하였다. 연관에 대해 이해하고 이를 바탕으로 부모의 생식세포가 가질 수 있는 유전자형을 결정할 수 있다면 큰 어려움 없이 해결할 수 있을 것으로 기대한다.

4. 평가 기준

• 체세포의 유전자형에 따라 다음 세대에서 나타날 수 있는 유전자형을 결정할 수 있는 능력

• 고등학교 □생물 I□ 교과서에서 배우는 유전자에 대한 일반적인 개념을 이해하는 정도

• 연관된 유전자들에 의해 표현형이 결정되는 유전 현상에 대한 이해도

5. 예시 답안

[문제 1]

부모의 생식세포가 가질 수 있는 유전자형은 RH, Rh, rH, rh 이고 여기서 태어난 자손들이 가질 수 있는 유전자형은 RRHH(1), RRHh(2), RRhh(1), RrHH(2), RrHh(4), Rrhh(2), rrHH(1), rrHh(2), rrhh(1)이다. 그러나 성장기까지 살아남는 쥐는 RRHH(1), RRHh(2), RRhh(1), RrHH(2), RrHh(4), Rrhh(2)의 유전자형을 갖는 경우이고, 이 중 호흡기질환을 나타내는 경우는 RrHh, Rrhh 유전자형을 갖는 경우이기 때문에 6/12 즉 50퍼센트의 확률로 호흡기질환을 나타낼 것이다.

[문제 2]

호흡기질환을 갖는 아버지의 유전자형은 RrHh 또는 Rrhh 가 가능하다. 먼저 아버지의 유전자형이 Rrhh라면 하나의 상염색체에 존재한다고 하였으므로 생식세포가 가질 수 있는 유전자형은 Rh 또는 rh 이고 어머니의 유전자형이 RRHH이므로 가능한 생식세포 유전자형은 RH이다. 이 경우에는 아버지의 rh와 어머니의 RH에 의해 RrHh유전자형을 가지는 자녀가 호흡기질환 표현형을 나타낼 수 있으므로 아버지의 유전자형은 RrHh이어야 한다.

하나의 상염색체에 두 유전자가 존재하기 때문에 RrHh 유전자형인 아버지에게서 가능한 생식세포는 R과 H가 같은 염색체에 존재하고 r과 h가 상동염색체에 존재할 경우에는 RH, rh가 가능하고 이 경우에는 위와 마찬가지로  아버지의 rh 염색체를 갖는 생식세포에 의해 호흡기질환 표현형이 나타날 수 있다.

마지막으로 R과 h가 같은 염색체에 존재하고 r과 H가 같은 염색체에 존재하는 경우에는 아버지의 생식세포는 Rh와 rH, 어머니의 생식세포는 RH가 가능하므로 이들의 조합으로 나타날 수 있는 유전자형은 RRHh와 RrHH이고 이들은 모두 정상 표현형을 나타낸다. 따라서 아버지의 유전자형은 RrHh이며 이들은 하나의 염색체에 R과 h가 있고 상동염색체에 r과 H가 존재한다. (그림으로 설명)

2013학년도 수시 1차 자연계열 논술고사 출제의도 및 해설

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[화학] (선택, 25점)

1. 출제의도

고등학교 □화학 I□ 교과서의 내용 중 ‘물의 성질’과 고등학교 □공통 과학□ 교과서의 주요 내용인 ‘전해질과 이온’을 주 소재로 삼고, ‘어는점 내림 현상’과 연결시켜 얼음이 녹는 과정에 일어나는 현상을 예측하고 온도 변화를 논리적으로 추론하는 능력을 측정하려 하였다. 세부적인 내용을 살펴보면, 제시문에서 설명한 어는점 내림 현상을 정성적으로 이해하고, 그 이해를 바탕으로 완전 단열용기 내에서 얼음이 녹는 과정에서 공급되어야 하는 융해열이 어디에서 공급되는지를 올바로 추론하는지 보고자 하였다. 또한 정성적 이해를 바탕으로 녹은 얼음의 양과 단열용기 내부의 온도 변화를 정량적으로 연관시키는 식을 이끌어 내는 능력을 보고자 하였다. 끝으로 □공통 과학□의 내용인 전해질이 물에 녹아 수용액이 되었을 때, 이 수용액 상태에 대한 이해와 이를 바탕으로 전해질의 종류에 따라 전해질 용액의 어는점 내림이 어떻게 달라지는지를 논리적으로 추론하고, 그 차이를 예측하는 능력을 측정하려고 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석

물의 성질, 전해질과 이온 및 어는점 내림을 주된 주제로 삼았다. 모형 단열용기 내의 얼음과 소금물 계를 사용하여 얼음과 소금물을 혼합할 때 일어나는 현상을 올바로 예측하고, 이를 바탕으로 단열용기 내의 온도 변화로부터 녹은 얼음의 양을 정량적으로 얻을 수 있는 식을 만들며, 전해질에 따른 어는점 내림의 정도를 추론하는 내용을 포함하고 있다.

(나) 제시문 해설

제시문 (가)에서는 어는점 내림 현상을 자세히 설명하였다. 특히 전해질 용액의 어는점 내림이 용액 중의 이온의 농도에 비례함을 명확히 기술하여 고등학교 □화학 II□ 교과서를 공부하지 않은 수험생들도 별 어려움 없이 문제를 해결할 수 있도록 배려하였다. 제시문 (나)에서는 고등학교 교과과정 이전에 공부한 용해열에 대하여 명확히 기술하여 그 개념을 다시 떠올려 문제 해결에 활용할 수 있도록 하였다. 제시문 (다)에서도 물의 성질에서 언급하는 비열과 열용량의 개념을 정의하여 문제에 답할 때 활용할 수 있도록 하였다.

(다) 제시문 출처

제시문 (가) : 고등학교 □화학 II□ 교과서의 내용을 근거로 출제자가 창작한 것이다. 다음은 관련 내용이 실려 있는 교과서들이다 : 고등학교 □화학 II□ 교과서, 대한교과서(주) 73-83쪽

제시문 (나) : 용해열을 정의하고 그 의미를 설명하였는데, 고등학교 교과과정에는 없는 내용이지만, 중학교 혹은 그 이전의 교과과정에서 이미 공부한 내용으로 출제자가 창작하였다.

제시문 (다) : 고등학교 □화학 1□ 교과서에 소개된 ‘물의 성질’ 단원에 기술된 내용을 바탕으로 출제자가 창작하였다. 관련 내용이 실려 있는 교과서 중 일부를 다음에 제시하였다 : 고등학교 □화학 1□ 교과서, 교학사 20-33쪽, 중앙교육진흥연구소 12-25쪽

3. 논제 해설

논제는 크게 3개의 문제로 이루어져 있다.

[문제 1]은 [eqn: rm 0 DEG C]의 얼음과 소금물을 혼합할 때 일어나는 현상을 예측하는 문제이다. 제시문 (가)에서 순수한 물에 다른 물질이 녹아 용액이 되면 어는점이 낮아지는 어는점 내림 현상이 나타난다고 하였으므로 (소금물과 접촉한) 얼음이 녹을 것이라고 쉽게 예측할 수 있다. 그런데 제시문 (나)에 의하여 얼음이 녹으려면 열이 공급되어야 하는 데, 문제에서 완전 단열용기를 가정하였으므로 열의 공급이 불가능하고, 따라서 단열용기 내부의 온도가 낮아지면서 열이 공급될 것임을 추론할 수 있다. 즉, 답은 얼음이 녹으면서 단열용기 내부의 온도가 낮아진다는 것이다. 그런데 이러한 현상이 지속되어 단열용기 내의 온도가 소금물의 어는점 내림과 같은 온도에 도달하면 얼음은 더 이상 녹지 않는다. 따라서 충분한 시간이 지난 후에는 용기 내의 온도가 일정하게 유지될 것이다. 밑줄을 그은 두 문장을 모두 기술하면 완전한 답이다. 제시문 (가)와 (나)의 내용을 이해하면 온도가 낮아짐을 쉽게 예측할 수 있지만, 충분한 시간이 흐른 뒤 용기 내의 온도가 일정하게 유지됨을 올바로 예측하는 것은 수험생이 논리적 추론 능력을 발휘하여야 도달할 수 있는 결론이다.

[문제 2]는 [문제 1]의 내용을 정량화한 문제이다. 즉, 얼음이 녹는 데 필요한 열의 양이 단열용기 내부의 온도가 낮아지면서 공급한 열과 같다는 사실이다. 사전 지식이 전혀 없더라도 얼음이 녹는 데 필요한 열은 제시문 (나)로부터 쉽게 추론할 수 있고, 단열용기 내부의 온도 변화로 공급한 열의 양은 제시문 (다)로부터 예측할 수 있으므로 쉽게 답에 도달할 수 있을 것으로 예상된다.

[문제 3]은 전해질 용액의 어는점 내림에 관한 내용이어서 □화학 II□의 내용이지만 제시문 (가)에 관련 내용을 명확히 기술하여 □화학 II□를 공부하지 않은 수험생도 제시문을 읽고 그 내용을 숙지한다면 쉽게 문제의 답을 찾을 수 있을 것으로 예상한다.

4. 평가 기준

• 소금물의 어는점 내림에 의해 [eqn: rm 0 DEG C]의 얼음이 녹으며, 얼음이 녹음에 따라 단열용기 내부의 온도가 내려가는 현상에 대한 이해도 및 추론 능력

• 물의 용해열을 이용하여 온도 변화와 녹은 얼음의 양을 연결하는 식을 이끌어 내는 능력, 전해질의 종류에 따른 어는점 내림의 차이에 대한 이해도

• 논제에서 요구하는 사항을 정확히 이해하고 기존 지식과 제시문의 내용을 바탕으로 논제의 답을 논리적으로 추론하는 능력

• 기존 지식과 제시문의 관련 내용을 체계적, 논리적으로 정리하여 논제의 답안을 명확하고 논리적으로 제시하는 능력

5. 예시 답안

[문제 1]

소금물은 어는점 내림 현상을 나타내므로 소금물과 접촉한 얼음의 녹는점은 [eqn: rm 0 DEG C]보다 낮아져 소금물과 접촉한 얼음이 녹는다. 얼음이 녹으려면 용해열에 해당하는 열이 공급되어야 하는 데, 외부와 완전히 단열되어 외부의 열이 공급될 수 없으므로, 단열용기 내의 물질의 온도가 낮아지면서 얼음이 녹는 데 필요한 열을 공급한다. 따라서 얼음이 녹으면서 단열용기 내부의 온도는 내려간다. 이 현상이 계속되다가 단열용기 내부의 온도가 소금물의 어는점 내림 만큼 낮아지면 얼음은 더 이상 녹지 않고 단열용기 내부의 온도도 일정하게 유지된다.

[문제 2]

(외부와의 열의 출입이 완전히 차단된 계이므로) 단열용기 내부 물질의 온도가 낮아지면서 얼음이 녹는 데 필요한 열을 공급한다. 따라서 단열용기 내부 물질이 공급한 열과 얼음이 녹는 데 사용된 열의 양은 같다.

얼음 [eqn: m rm g]이 녹는 데 필요한 열 [eqn: SIMEQ `mq]

단열용기 내부에서 공급한 열 [eqn: SIMEQ `C`` TRIANGLE T``]

[eqn: mq`=`C TRIANGLE T]

∴ [eqn: m`=` {C TRIANGLE T} over {q}]

[문제 3]

[eqn: rm NaCl``]이 녹으면 [eqn: rm Na ^{+} ``]이온과 같은 양의 [eqn: rm Cl ^{-} ``]이온을 생성하며, [eqn: rm CaCl _{2} ``]가 녹으면 [eqn: rm Ca ^{2+} `]이온과 [eqn: rm Ca ^{2+} `]이온의 2배 만큼 [eqn: rm Cl ^{-} ``]이온이 생성된다. 따라서 같은 농도의 수용액일 때, 수용액 중의 총 이온의 농도는 [eqn: rm CaCl _{2} ``]수용액이 [eqn: rm NaCl``]수용액의 [eqn: 3/2`]배가 된다. 제시문 (가)에 의하면 어는점 내림의 정도는 용액 중의 입자의 농도에 비례하므로 [eqn: rm CaCl _{2} ``]수용액이 [eqn: rm NaCl``]수용액보다 더 큰 어는점 내림을 나타내게 된다. 따라서 단열용기 내부의 최종 온도는 ‘③ 더 낮다.’ 최종 온도가 더 낮으므로 녹는 얼음의 양도 당연히 더 많다.([문제 2]의 답에서 얻은 식에서 [eqn: m`` PROPTO ` TRIANGLE T] 관계를 이용하여 설명하면 더 좋은 답임.) 즉, 녹은 얼음의 질량은 ‘② 더 많다.’

2013학년도 수시 1차 자연계열 논술고사 출제의도 및 해설

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[물리] (선택, 25점)

1. 출제의도

제시문에 설명된 내용을 바탕으로 경사면을 따라 움직이는 물체에 대한 역학적 에너지 보존 법칙과 두 물체의 충돌에 대한 운동량 보존 법칙에 대해서 이해하고, 두 물체가 완전 비탄성 충돌을 하는 경우와 탄성 충돌을 하는 경우에 운동량 보존 법칙과 역학적 에너지 보존 법칙을 적용하여 주어진 문제를 해결할 수 있는 능력을 평가할 목적으로 출제하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석

경사로를 따라 내려가는 물체가 바닥면에서 다른 물체와 충돌을 한 후 반대쪽 경사면으로 올라가는 상황에 대해 다루고 있다. 두 물체가 완전 비탄성 충돌과 탄성 충돌의 경우에 대해 운동량 보존 법칙과 운동에너지 보존 법칙을 적용하여 논제에서 요구하는 문제를 해결하는 것을 주제로 하였다.

(나) 제시문 해설

제시문 (가)에서는 물체가 중력이 존재하는 공간에서 운동할 때 역학적 에너지 보존 법칙에 의하여 운동 에너지와 중력 위치 에너지의 합이 일정하게 유지되게 됨을 설명하고 이에 대한 수학적 표현식을 나타내었다. 제시문 (나)에서는 두 물체의 충돌 과정에서 충돌 전후에 운동량 보존 법칙에 대해 설명하고 이에 대한 수학적 표현식을 나타내었다. 또한, 충돌 전후에 운동량뿐만 아니라 운동 에너지도 보존이 되는 탄성 충돌과 운동량만 보존되고 운동 에너지는 보존되지 않는 비탄성 충돌에 대해 설명하였고, 특히 충돌 후 두 물체가 한 덩어리가 되어 운동하는 완전 비탄성 충돌에 대해서도 설명하였다.

(다) 제시문 출처

고등학교 □물리 I□ 교과서를 기초로 한 발췌 및 창작

3. 논제 해설

논제는 크게 2개의 문제로 이루어져 있고, 경사로를 따라 내려가는 물체가 바닥면에서 다른 물체와 충돌을 한 후 반대쪽 경사면으로 올라가는 상황에 대해 다루고 있다.

[문제 1]과 [문제 2]는 두 물체가 완전 비탄성 충돌을 하는 경우에 충돌 후의 속력과 오른쪽 경사면으로 올라갈 수 있는 최고 높이를 구하는 문제이다.

[문제 3]과 [문제 4]는 두 물체가 탄성 충돌을 하는 경우에 대한 문제들인데, [문제 3]은 충돌 후에 바닥에 있던 물체가 오른쪽 경사면으로 올라갈 수 있는 최고 높이를 구하는 문제이고 [문제 4]는 충돌 후 두 물체의 운동 에너지의 비를 구하는 문제이다.

4. 평가 기준

• 역학적 에너지 보존 법칙을 적용하여 물체의 높이와 속력에 대한 관계를 구하는 능력

• 완전 비탄성 충돌에 대해 운동량 보존 법칙을 적용하여 충돌 후의 속력을 구하는 능력

• 탄성 충돌에 대해 운동량 보존 법칙과 에너지 보존 법칙을 적용하여 충돌 후의 속력을 구하는 능력

5. 예시 답안

[문제 1]

질량이 [eqn: M``]인 물체가 바닥에 내려와서 질량이 [eqn: m``]인 물체와 충돌하기 전의 속력을 [eqn: v``]라고 하면, 역학적 에너지 보존 법칙에서 [eqn: Mgh``=`1over 2 M`v^2 ``]이므로, [eqn: v``=``sqrt{2gh}``]이다. 완전 비탄성 충돌 후에 두 물체의 속력을 [eqn: V``]라고 하면, 충돌 전후에 운동량이 보존되므로 [eqn: M`v`+0``=``(M+m)V`] 이다. 따라서 [eqn: V``=``{M`v} over {M+m} ``=`` {M`sqrt{2gh}} over {2m+m} ``=` {2`sqrt{2gh}} over 3] 이다.

[문제 2]

충돌 이후 두 물체가 바닥면에서 오른쪽 경사면으로 올라가는 과정에서 역학적 에너지는 보존되므로 바닥면에서의 운동 에너지는 오른쪽 경사면에서 가장 높이 올라갔을 때의 위치 에너지와 같다. 즉, [eqn: 1 over 2 (M+m) V^2 `=`(M+m)gh_1 `]이다. [eqn: V``=`` {2`sqrt{2gh}} over 3]를 대입하면, [eqn: h_1 `=`4h over 9 `]가 된다.

[문제 3]

탄성 충돌에서는 충돌 전후에 운동량과 운동 에너지가 모두 보존된다. 충돌 후 물체 [eqn: M]과 [eqn: m]의 속력을 각각 [eqn: v_1 `, ``v_2`]라고 하면, 운동량 보존에 의해 [eqn: M`v `=`M`v_1 `+`m`v_2 `]가 되고 운동 에너지 보존에 의해 [eqn: 1over2 M`v^2 `=`1 over 2 M`v_1^2 `+`1 over 2 m`v_2 ^2`] 이 된다. 위 두 식을 정리하면,

[eqn: `v `-``v_1 =`m over M`v_2 `], [eqn: `v `+`v_1 `= `v_2 `]이 되고 이 식을 풀면, [eqn: v_1 `=`{M-m} over {M+m} v `=`v over 3 = 1 over 3 sqrt{2gh}], [eqn: v_2 `=`{2M} over {M+m} v `=`4v over 3 = 4 over 3 sqrt{2gh}]가 얻어진다. 충돌 후 물체 [eqn: m]에 대해서 에너지 보존 법칙을 적용하면, [eqn: 1over2 mv_2 ^2 `=`mgh_2`]에서 물체 [eqn: m`]이 최대로 올라갈 수 있는 수직 높이는 [eqn: h_2 `=`v_2 ^2 over 2g `=`16 over 9 h]가 된다.

[문제 4]

충돌 후 물체 [eqn: M]의 속력은 [eqn: v_1` =`1over3 sqrt{2gh}]이다. 따라서 충돌 후 물체 [eqn: M]의 운동 에너지는 [eqn: E _{1} `=` {1} over {2} `M`v _{1} ^{2} `=` {1} over {2} (2m){2gh} over {9} `=` 2 over {9} mgh]

이다. 충돌 후 물체 [eqn: m]의 운동 에너지는 [eqn: E _{2} `=` {1} over {2} `m`v _{2} ^{2} `=` {16} over {9} mgh]이다. 따라서 [eqn: E_2 /E_1 `=`8]이 된다.

2013학년도 수시 1차 자연계열 논술고사 출제의도 및 해설

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[수학] (필수, 50점)

1. 출제의도

[문제 1]은 고등학교 □적분과 통계□ 교과서의 주요 내용인 ‘적분법’ 단원에서 배우는 지수함수와 로그함수의 미분·적분의 이해와 계산능력을 알아보고자 하였다. [문제 2]는 고등학교 □수학□ 교과서와 □수학 I□ 교과서에서 배우는 함수의 그래프, 부등식, 수학적 귀납법, 도형 등 다양한 내용을 단계별로 물어봄으로써 그러한 기본적인 내용들을 제대로 이해하고 활용할 수 있는지 평가하고자 하였다. 수학은 본래 서술형 평가가 이루어져야 하지만 수능이나 학교 시험 등에서는 단순히 답안을 평가하고 있다. 수학적 귀납법을 올바로 이해하고 활용하는 부분이 이 문제의 핵심부분이라 할 수 있다. 이 문제의 결과는 매우 표준적이고 중요한 내용이다. 이 결과를 얻기 위해서는 사인함수에 대한 부등식이 필요하고, 이것은 고등학교 □수학 I□ 교과서에 나오는 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석

[문제 1]은 지수함수와 로그함수의 역함수 관계와 이들 함수의 미분·적분을 주제로 다루고 있다.

[문제 2]는 선분의 내분, 블록함수의 모양을 이용한 부등식, 수학적 귀납법을 이용한 증명, 다각형을 삼각형으로 분할하고 그 넓이를 사인함수로 나타내는 기하학적 접근 등 다양한 주제를 다루고 있다.

(나) 제시문 해설

[문제 1]의 제시문은 고등학교 □적분과 통계□ 교과서에 나오는 내용으로 두 곡선사이의 도형의 넓이를 구하는 적분식이다. [문제 2]의 제시문 (가)에서는 고등학교 □수학 II□ 교과서에 나오는 내용으로 미분을 이용하여 그래프의 개형을 알아볼 때 나온다. 하지만 곡선이 위로 볼록하다는 것은 상식적으로 접근할 수 있는 내용이다. [문제 2]의 제시문 (나)에서는 선분의 내분과 외분은 □수학□ 교과서에서 하나의 절로 다룬다.

(다) 제시문 출처 :

[문제 1]의 제시문 : □적분과 통계□ 교과서

[문제 2]의 제시문 (가) : □수학 II□ 교과서

[문제 2]의 제시문 (나) : □수학□ 교과서

3. 논제 해설

논제는 크게 2개의 문제로 이루어져 있다.

[문제 1]은 두 가지 초월함수(지수함수․로그함수)를 서로 역함수 관계에 있도록 설정하였다. 이 사실을 파악하고 또 역함수의 특징을 잘 이해한 후 요구하는 초월함수의 적분을 계산하도록 하였다.

[문제 2](1)은 [eqn: y=sinx] 뿐만 아니라 위로 볼록인 함수는 모두 이와 같은 부등식을 만족한다. ‘곡선이 선분의 위에 있다‘는 것의 수학적 의미를 제대로 이해한다면 이 문제는 쉽게 해결된다. [문제 2](2)는 수학적 귀납법을 이용하는 문제로, 학생들은 우선 수학적 귀납법을 이용해야 한다는 것을 판단하여야 하고, 또한 그것을 올바로 수행할 줄 알아야 이 문제를 해결할 수 있다. 상황에 맞는 올바른 대수적인 조작도 이 문제 해결에 있어서 중요한 부분을 차지한다. [문제 2](3)은 도형의 최댓값을 얻기 위해서는 [문제 2](2)의 부등식이 필요하다. 상황에 맞는 올바른 식을 세우는 것이 관건이다.

4. 평가 기준

[문제 1]

• 역함수관계에 있다는 것을 파악(5점)

• 미분을 통하여 [eqn: a]값을 계산(7점)

• 적분을 통하여 넓이의 계산(8점)

[문제 2]

• 2계 미분을 이용하여 [eqn: y=sinx``]가 [eqn: [0,`` pi ]``]에서 위로 볼록임을 증명하는 것은 별도의 점수 없음. 문제풀이에 필요한 올바른 그림을 그리면 2점. 부등식 증명의 완성 4점. 그림을 그리지 않더라도 [eqn: y=sinx``]의 그래프가 [eqn: [0,`` pi ]``]에서 위로 볼록임을 언급하고 증명이 완전하면 6점.

• [eqn: n=2``]일 때 [문제 2](1)에 의해 성립한다는 서술이 있으면 2점. [eqn: n=k``]일 때 성립함을 가정한다고 언급하고, [eqn: n=k+1``]일 때에 대하여

[eqn: sin` alpha _{1} `+` CDOTS `+`sin` alpha _{k} `+`sin` alpha _{k+1} LEQ k`sin LEFT ( {alpha _{1+` CDOTS `+} alpha _{k}} over {k} RIGHT ) +sin alpha _{k+1}]

까지 서술하면 3점. 나머지 부분 완성하면 7점.

• 분할된 삼각형의 넓이를 [eqn: {1} over {2} `r ^{2} `sin` alpha _{i}] 또는 [eqn: {1} over {2} `sin` alpha _{i}] 꼴로 나타내면 4점. [문제 2](2)의 결과를 이용하여 올바른 부등식을 얻으면 8점.

5. 예시 답안

[문제 1]

[eqn: y=e ^{2(x-a)} `]와 [eqn: y= {1} over {2} `ln`x+a`]는 서로 역함수이므로 두 함수의 그래프는 [eqn: y=x`]에 대칭이고, 이 두 함수의 그래프가 한 점에서 만난다고 했으므로 두 함수의 그래프의 교점 [eqn: B``]는 [eqn: y=x`] 상에 있다. 교점 [eqn: B``]의 좌표를 [eqn: B(b,`b)`]라 두면 [eqn: y=x`]는 교점 [eqn: B``]에서 두 함수의 공통접선이다. 따라서 [eqn: 2e ^{2(b-a)} =1= {1} over {2b} `]가 성립한다. 이로부터 [eqn: b= {1} over {2} `], [eqn: a= {1} over {2} + {1} over {2} `ln`2`]를 얻을 수 있다. 따라서 구하는 넓이 [eqn: S``]는 [eqn: S`=2` int _{0} ^{b} {LEFT { e ^{2(x-a)} -x RIGHT } `dx} `= {1} over {4} - {1} over {2e} `]이다.

[문제 2]

(1) 구간 [eqn: [ alpha ,``` beta ]`]를 [eqn: n`:`m`]으로 내분하는 점을 [eqn: gamma = {m} over {m+n} ` alpha `+ {n} over {m+n} ` beta ``]라 하고, 아래 그림과 같이 [eqn: y=sinx`] 위의 두 점을 [eqn: P( alpha ,`sin alpha )`]와 [eqn: Q( beta ,`sin beta )`]라 하자. [eqn: y=sin`x]는 구간 [eqn: [0,``` pi ]`]에서 위로 볼록하기 때문에 선분 [eqn: PQ``]는 [eqn: y=sin`x`]의 그래프 아래에 놓이게 된다. 따라서 그림으로부터 [eqn: `A LEQ B`]이다. 즉 다음이 성립한다.

[eqn: A= {m``sin` alpha ``+`n``sin` beta } over {m+n} ` LEQ B``=sin` gamma ``=sin LEFT ( {m` alpha +n` beta } over {m+n} RIGHT )].

[eqn: x]

[eqn: pi `]

[eqn: y`]

[eqn: 0]

[eqn: y=sin`x`]

[eqn: P``]

[eqn: alpha `]

[eqn: beta ``]

[eqn: Q``]

[eqn: A``]

[eqn: gamma `]

[eqn: B``]

(2) 수학적 귀납법으로 증명하자.

[eqn: n=2`]일 때, [eqn: {alpha _{1} + alpha _{2}} over {2} `]는 구간 [eqn: [ alpha _{1} ,``` alpha _{2} ]`]를 1 : 1로 내분하는 점이므로 (1)의 결과에 의해 부등식이 성립한다.

[eqn: n=k`]일 때 부등식이 성립한다고 가정하자. 즉

[eqn: sin`` alpha _{1} +sin`` alpha _{2} +`` CDOTS ``+sin`` alpha _{k} ` LEQ `k``sin` LEFT ( {alpha _{1} + alpha _{2} +`` CDOTS ``+ alpha _{k}} over {k} RIGHT ) `].

그러면

[eqn: sin`` alpha _{1} & +`sin`` alpha _{2} +`` CDOTS ``+`sin`` alpha _{k} +sin`` alpha _{k+1} `# & LEQ `k``sin` LEFT ( {alpha _{1} + alpha _{2} +`` CDOTS ``+ alpha _{k}} over {k} RIGHT ) `+sin`` alpha _{k+1}# & ````````=(k+1)` LEFT ( {k} over {k+1} `sin` LEFT ( {alpha _{1} + alpha _{2} +`` CDOTS ``+ alpha _{k}} over {k} RIGHT ) + {1} over {k+1} `sin`` alpha _{k+1} ` RIGHT )# & LEQ (k+1)``sin` LEFT ( {alpha _{1} + alpha _{2} +`` CDOTS ``+ alpha _{k} + alpha _{k+1}} over {k+1} RIGHT ) ``````( BECAUSE ``(1)의``부등식)]

즉 [eqn: n=k+1`]일 때도 성립하므로 모든 자연수 [eqn: n`]에 대해 주어진 부등식이 성립한다. 단, 부등식의 등호는 [eqn: alpha _{1} = alpha _{2} =`` CDOTS ``= alpha _{n} `]일 때 성립한다.

(3) 그림과 같이 반지름이 [eqn: r`]인 원에 내접하는 [eqn: n`]각형은 원의 중심 [eqn: O`]에서 만나는 [eqn: n`]개의 삼각형들로 분할할 수 있다. 각 삼각형의 넓이는 [eqn: {1} over {2} `r ^{2} `sin`` alpha _{i} `] ([eqn: i=1,`2,` LDOTS ,`n])이다. 따라서 [eqn: n`]각형의 넓이는 [eqn: sum _{i=1} ^{n} ` {1} over {2} `r` ^{2} `sin`` alpha _{i} `]이고, (2)의 결과에 의해

[eqn: sum _{i=1} ^{n} ` {1} over {2} `r` ^{2} `sin alpha _{i} ` LEQ {1} over {2} `r` ^{2} ``n``sin LEFT ( {alpha _{1} + alpha _{2} +`` CDOTS ``+ alpha _{n}} over {n} RIGHT ) `=n TIMES {1} over {2} ``r ^{2} ``sin`` {2 pi } over {n} `]

이다. 우변은 정[eqn: n`]각형의 넓이이고 이것이 최댓값이다.

[eqn: O]

[eqn: r`]

[eqn: alpha _{1} ``]

[eqn: alpha _{4} ``]

[eqn: alpha _{3} ``]

[eqn: alpha _{2} ``]

[eqn: CDOTS]

[eqn: alpha _{5} ``]