2013학년도 인하대학교

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수시모집 1차 논술고사 (수학과학우수자)

■【생물】(20점), 선택1 과목으로 생물을 선택한 경우만 [선택1:   ] 답란에 작성하시오.

<제시문>

(가)  세포 호흡은 포도당과 같은 영양소를 분해하여 [eqn: rm ATP``]를 합성하는 과정으로 이를 위해서는 산소가 지속적으로 공급되어야 한다. 세포 호흡의 결과 포도당의 에너지 중 일부는 [eqn: rm ATP``]에 저장되며, 나머지는 열로 방출되어 체온 유지에 사용된다. 생성된 [eqn: rm ATP``]는 [eqn: rm ADP``]와 무기인산으로 분해될 때 에너지를 방출하고 이 에너지는 세포의 분열, 생장과 같은 모든 생명활동에 사용된다.

포도당([eqn: rm C _{6} H _{12} O _{6} `]) [eqn: +`][eqn: rm 6O_2] [eqn: +] [eqn: rm ADP``] [eqn: +] 인산  →  [eqn: rm 6CO _{2} ````+````6H _{2} O````+```ATP````+] 열

(나)  순환계는 산소와 영양분을 조직세포로 운반하는 것 외에도 대사산물을 처리하는 기관으로 운반하는 기능을 담당한다. 아래 그림에서 나타낸 바와 같이 모세혈관에서 산소분자와 영양분은 세포 사이의 조직액을 거쳐 조직세포로 확산되며 이산화탄소와 같은 노폐물은 반대 방향으로 확산되어 처리기관으로 이동된다. 따라서 조직세포와 밀접하게 연결되어 있는 순환계는 일정한 체내 환경을 유지하여 세포가 살아갈 수 있는 환경을 조성하는데 필수적이다.

(다)  종양(Tumor)은 조직세포의 비정상적인 분열과 생장으로 인해 덩어리화된 형태를 말하며 다른 조직으로 침투하지 않는 양성종양과 인근의 조직으로 침투할 수 있는 악성종양으로 나눌 수 있다. 사람에게서 나타나는 대부분의 양성종양은 어느 수준에 이르면 더 이상 커지지 않는 경우가 많고 물리적으로 압박하거나 과다한 호르몬이 분비되는 경우를 제외하면 큰 해를 끼치지 않는다. 이에 반해 악성종양은 인근 조직으로 침투하고 새로운 혈관의 생성을 유도하여 지속적으로 자랄 수 있다.

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수시모집 1차 논술고사 (수학과학우수자)

[문제 1] 동물은 파충류처럼 일정한 범위 안에서 체온을 유지하지 못하는 외온동물과 포유류와 같이 체온유지가 가능한 내온동물로 나눌 수 있다. 동일한 조건에서 외온동물과 내온동물의 단위 체중 당 먹이 섭취량을 제시문 (가)를 이용하여 논하시오. (5점)

[문제 2] 일부 종을 제외하면 파충류는 두 개의 심방과 하나의 심실로 이루어진 심장을 가지는 반면, 포유류는 두 개의 심방과 두 개의 심실로 이루어진 심장을 가진다. 이러한 차이가 파충류와 포유류의 물질대사에 미칠 수 있는 영향을 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 논하시오. (5점)

[문제 3] 질병의 진단에 사용되는 영상의학 기술의 하나인 양전자단층촬영법(PET)은 방사성 동위원소로 표지된 소량의 포도당을 환자에게 위험하지 않을 정도로 주입한 후, 이 포도당을 흡수하는 과정에서 방출되는 에너지를 감지함으로써 신체 부위의 대사 과정에 대한 정보를 알아낼 수 있는 기술이다. 방출되는 에너지의 세기가 흡수되는 포도당 양에 비례한다고 할 때, 양전자단층촬영법으로 종양을 찾아낼 수 있는 원리를 논하시오. (5점)

[문제 4] 양성종양이 어느 수준에 이르면 더 이상 커지지 않게 되는 이유를 제시문 (다)를 이용하여 논하시오. (5점)

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■【화학】(20점), 선택1 과목으로 화학을 선택한 경우에는 [선택1:   ] 답란에 작성하고, 선택2 과목으로 화학을 선택한 경우에는 [선택2:   ] 답란에 작성하시오.

<제시문>

(가)  모든 분자 간에는 인력이 작용하는데, 분자를 이루고 있는 원자의 종류나 분자의 모양에 따라 그 유형과 세기가 다양하다. 인력을 갖는 두 분자가 가까워지면 에너지가 낮아진다. 두 분자가 멀리 떨어져 있을 때의 에너지를 [eqn: 0``]으로 정의하며, 두 분자가 최적의 거리로 서로 맞닿을 때 에너지는 가장 낮아진다. 따라서 서로 닿아있는 두 분자를 떼어 놓기 위해서는 낮아진 만큼의 에너지를 공급해 주어야 한다. 이 에너지는 분자 간에 작용하는 인력이 강할수록 더 커진다.

(나)  액체는 그 표면을 될 수 있는 대로 작게 하려는 경향이 있어서 적은 양일 경우 구형이 된다. 이러한 현상은 액체 분자 사이의 인력 때문에 나타나며, 액체 표면에서는 표면에 수직인 방향으로 당겨지는 힘으로 나타나는 데, 이것을 표면장력이라 하고 그 크기는 [eqn: rm N/m``]으로 나타낸다.

관점을 달리하여 이 표면장력을 표면에 있는 분자와 액체 내부에 있는 분자의 상대적 에너지 차이로도 설명할 수 있다. 즉, 액체 표면의 분자는 내부의 분자에 비해 더 작은 수의 분자와 접촉하고 있기 때문에 더 높은 에너지 상태에 있게 된다. 따라서 액체 내부의 분자를 액체 표면으로 내보내기 위해서는 에너지를 공급해야 한다. 이는 교실 바닥의 물체를 책상 위에 올려놓기 위해서는 일을 통해 물체에 에너지를 공급해야하는 것과 같은 원리이다. 따라서 액체 표면을 형성하기 위해서는 내부의 분자들이 표면으로 나와야 하고, 이때 표면 단위 면적당 공급해야 하는 에너지가 바로 표면장력이며, 단위는 [eqn: rm J/m ^{2} ``]이다. [eqn: rm J=N]·[eqn: rm m``]이므로 [eqn: rm J/m ^{2} ``]과 [eqn: rm N/m``]는 같은 단위이다.

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물 분자 간에는 다른 인력들도 작용하지만 수소결합이라고 부르는 상당히 강한 인력이 작용하고 있다. 평균적으로 물 내부에 있는 분자는 다른 물 분자와 4개의 수소결합을 형성하고 있으며 표면의 분자는 수소결합 3개를 이루고 있다. 물 분자 간에 수소결합 [eqn: 1``]개가 형성되면 에너지가 ε 만큼 낮아진다고 하자. 제시문을 참고하여 다음 문제에 대한 답을 기술하시오. 단, 물 분자는 질량이 [eqn: m` rm `g it ``]이고 반지름 [eqn: r` rm `m``]인 구형이며, 수소결합 이외에는 물 분자 간에 작용하는 다른 인력은 없다고 가정한다.

[문제 1] 물의 표면에 분자들이 근사적으로 아래 그림과 같은 방식으로 나열된다고 가정하자. 면적이 [eqn: rm 1`m ^{2} ``]인 물 표면에 있는 물 분자의 수를 나타내는 식을 구하시오. (4점)

[문제 2] 물 분자 1개에 대하여 표면에 있는 경우와 내부에 있는 경우의 에너지 차이를 구하시오. (5점)

[문제 3] 물의 표면장력을 나타내는 식을 구하시오. (5점)

[문제 4] 물의 증발열(물 [eqn: rm 1`g``]을 증발시키는 데 필요한 열의 양)을 나타내는 식을 구하시오. (6점)

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■【물리】(20점), 선택2 과목으로 물리를 선택한 경우만 [선택2:   ] 답란에 작성하시오.

<제시문>

(가)  아인슈타인이 제안한 빛의 광양자설에 의하면 진동수가 [eqn: f`]인 빛의 경우 광양자 (또는 광자) 하나의 에너지는 [eqn: E`=`h f`]로 주어진다. 여기서 [eqn: h`]는 플랑크 상수로서 그 값은 [eqn: 6.626 `times 10^-34 `rm J ·s `]이다. 즉, 빛은 이러한 광자라고 하는 불연속적인 에너지 입자의 흐름으로 이해할 수 있다. 빛의 속력을 [eqn: c`], 파장을 [eqn: lambda`]라고 하면 빛의 파장과 진동수는 [eqn: f`=`c over lambda`]의 관계가 있으므로, 광자의 에너지는 [eqn: E`=`{ h c} over lambda `]로도 나타낼 수 있다. 또한 광자의 운동량은 [eqn: p`=`E over c `=`h over lambda `]가 된다.

(나)  빛의 광양자설을 입증하는 대표적인 예로서 콤프턴 효과가 있다. 1923년 콤프턴은 X선을 어떤 물질에 비추었더니 물질 내의 전자가 튀어나가고 입사된 X선의 파장이 길어지며 산란되는 현상을 발견하였다. 이 실험 결과는 X선을 광자로 가정하여 X선 광자와 물질 내에 전자와의 충돌 과정으로 이해하여 이론을 전개함으로써 정확하게 설명할 수 있었다. X선 광자와 전자가 탄성 충돌을 한다고 가정하면 충돌 전후에 운동 에너지와 운동량이 모두 보존되므로 아래와 같은 식들을 세울 수 있다. 아래 식들에서 입사 광자와 산란 광자의 파장을 각각 [eqn: lambda`,``lambda` prime ``]으로 두었고, 산란된 전자의 질량과 속력을 각각 [eqn: m`]과 [eqn: v`]로 두었다.

운동 에너지 보존 :  [eqn: hc over lambda `=`hc over {lambda prime} `+` 1 over 2 mv^2 `]

운동량 보존 ([eqn: x`]축) : [eqn: h over lambda `=`h over {lambda `prime} `cos theta `+`mv `cos phi `]

운동량 보존 ([eqn: y`]축) : [eqn: 0 `=`h over {lambda `prime} `sin theta `-`mv `sin phi `]

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수시모집 1차 논술고사 (수학과학우수자)

콤프턴 산란 실험을 이용하여 어떤 입자의 질량을 측정하려고 한다. 그림과 같이 파장이 [eqn: lambda ``]인 광자가 왼쪽에서 오른쪽 방향으로 입사하여 정지해 있는 표적 입자와 정면충돌하였다. 광자는 파장이 [eqn: lambda ` prime ``]으로 증가하며 정반대 방향으로 튕겨져 나오고 입자는 [eqn: v``]의 속력으로 오른쪽 방향으로 산란된다. 반대 방향으로 산란된 광자의 파장은 [eqn: lambda ` prime ``=`` {5} over {4} ` lambda ``]가 되었다. 빛의 속력을 [eqn: c``], 플랑크 상수를 [eqn: h``]라고 할 때, 다음 질문에 대한 답을 [eqn: lambda `,``c`,``h``]를 이용하여 나타내시오. 단, 입사 광자와 표적 입자는 탄성 충돌을 하는 것으로 가정한다.

[문제 1] 산란된 광자의 진동수를 구하시오. (3점)

[문제 2] 산란된 입자의 운동량을 구하시오. (5점)

[문제 3] 산란된 입자의 운동 에너지를 구하시오. (5점)

[문제 4] 산란된 입자의 질량을 구하시오. (7점)

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수시모집 1차 논술고사 연습장

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■【수학】(60점), 답안지 뒷면의 수학 답란에 답안을 작성하시오.

<제시문>

미분가능한 함수 [eqn: t=g(x)`]의 도함수 [eqn: g` prime (x)`]가 구간 [eqn: [a,``b]`]에서 연속이고, [eqn: g(a)= alpha ,``g(b)= beta `]에 대하여 함수 [eqn: f(t)`]가 구간 [eqn: [ alpha ,`` beta ]``]에서 연속일 때,

[eqn: int _{a} ^{b`} {f(g(x))`g` prime (x)`dx`= int _{alpha } ^{beta `} {f(t)`dt} ``}]

이다.

[문제 1] 제시문을 참고하여 다음 질문에 답하시오.

(1) [eqn: t=s ^{3} +s+1``]일 때 정적분 [eqn: int _{1} ^{3} {(t-s)`dt`}]의 값을 구하시오. (5점)

(2) 곡선 [eqn: y=x ^{2} ``]과 직선 [eqn: y=x``]로 둘러싸인 영역을 직선 [eqn: y=x``]를 회전축으로 회전하여 생긴 입체의 부피를 구하시오. (20점)

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[문제 2] [eqn: N``]개([eqn: N`` GEQ 2])의 조그만 돌이 수직선 위에 놓여있다고 하자. 모든 돌이 한 곳에 있지는 않다. 어떤 양의 실수 [eqn: alpha ``]에 대하여 다음과 같은 방법으로 돌을 오른쪽으로 이동시킨다.

“[eqn: N``]개의 돌 중 두 개의 돌이 점 [eqn: A,`B``] 위에 있다 하자. 이 때, 점 [eqn: A``]는 점 [eqn: B``]의 왼쪽에 있다. 점 [eqn: A``]에 있는 돌을 점 [eqn: B``]의 오른쪽에 있는 점 [eqn: C```]로 [eqn: bar{BC``} = alpha ` bar{AB``} ``]를 만족하도록 이동시킨다.”

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[eqn: A`]

[eqn: C`]

[eqn: B``]

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[eqn: A`]

[eqn: C`]

[eqn: B``]

[eqn: RARROW `]

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[eqn: CDOTS `]

[eqn: CDOTS `]

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이러한 이동을 연속적으로 여러 번 시행하여 돌들을 오른쪽으로 이동시키고자 한다. 이제 우리는 다음과 같은 명제를 증명하고자 한다.

명제 [eqn: S``] : [eqn: alpha GEQ {1} over {N-1} `]이면, 돌들을 처음에 어떻게 배열하든 상관없이 돌들을 오른쪽으로 무한히 멀리 이동시키는 이동전략이 있다.

여기서 오른쪽으로 무한히 멀리 이동시키는 이동전략이 있다는 말은, 아무리 큰 실수 [eqn: M``]을 잡더라도 모든 돌들을 [eqn: M``]보다 더 오른쪽으로 이동시킬 수 있는 (유한 번의) 일련의 이동이 존재한다는 말이다.

(1) 돌을 이동시킬 때, 매번 가장 좌측에 있는 돌과 가장 우측에 있는 돌을 선택하여 이동시키는 것을 ‘양단이동’이라 부르자. 양단이동으로 [eqn: k``]번 이동시킨 후, [eqn: N``]개의 돌들 중 두 돌 사이의 최소 거리를 [eqn: d _{k} `]라 하자.

(a) 초기배열에 관계없이 [eqn: N-1``]번의 양단이동으로 모든 돌이 분리된다. 그 이유를 설명하고, [eqn: N-2``]번의 시행으로는 모두 분리할 수 없는 초기배열의 예를 찾으시오. (8점)

(b) [eqn: alpha GEQ {1} over {N-1} `]이면 모든 양의 정수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: d _{k+1} GEQ d _{k} `]임을 보이시오. (12점)

(c) 명제 [eqn: S``]의 증명을 완성하시오. (8점)

(2) 실은 명제 [eqn: S``]의 역도 성립한다. 그 말은, [eqn: alpha < {1} over {N-1} `]이면 무엇이 성립한다는 말인가? (7점)

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