2013학년도 인하대학교 수시 1차 일반우수자전형

자연계 모의 논술고사 출제 의도 및 해설

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수학 필수 : 수학 50점

1. 출제의도

부등식의 영역의 활용, 이차곡선, 일차변환, 미분과 적분 등과 연관된 문제를 선택하여 고교 수학에서 다루는 개념의 이해 능력, 정직하고 성실하게 계산을 수행할 수 있는 능력, 문제 풀이 과정을 논리적으로 서술하는 능력 등을 평가할 목적으로 출제하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

▷ 주제 분석

2013학년도 인하대학교 수시 1차 일반우수자전형 자연계 모의 논술고사 수학(필수)은 두 가지 내용으로 구성하였다. 첫 번째 내용은 이차곡선(원)과 일차변환을 소재로 하여 단위원이 일차변환에 의해 변환된 도형을 구하는 내용이다. 두 번째 내용은 이차곡선(타원) 및 미분과 적분을 소재로 하여 정적분의 치환적분법과 삼각함수의 공식을 다루는 내용이다.

▷ 제시문 해설

제시문 (가)는 부등식의 영역에서 최댓값 또는 최솟값을 구하는 방법을 소개하였다. 제시문 (나)는 일차변환에 의하여 변환된 도형을 구하는 방법을 소개하였다. 제시문 (다)는 정적분의 치환적분법을 소개하였다.

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▷ 제시문 출처

제시문 (가) : 고등학교 □수학□, 더텍스트, 238쪽

제시문 (나) : 고등학교 □기하와 벡터□, 성지출판(주), 27-29쪽

제시문 (다) : 고등학교 □적분과 통계□, 두산동아, 60쪽

3. 논제 해설

[논제 1]은 고등학교 □수학□ 교과서, ‘부등식의 영역의 활용’에서 흔히 볼 수 있는 문제로, 부등식 [eqn: x ^{2} +y ^{2} LEQ 1`]을 만족하는 점 [eqn: (x,`y)`]에 대하여 [eqn: x+y`]의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제이다. 제시문 (가)를 이해한다면 직선 [eqn: x+y=k`]이 단위원에 접할 때, [eqn: k`]가 최대, 최소를 갖는다는 것을 알 수 있다.

[논제 2]는 이차곡선(원)과 일차변환을 통합한 문제로, 단위원이 주어진 일차변환에 의해 변환된 도형을 구하는 문제이다. 제시문 (나)를 이해한다면 일차변환을 나타내는 행렬이 역행렬을 갖는 경우와 역행렬을 갖지 않는 경우로 나누어 변환된 도형을 구하는 것이다. 특히 역행렬을 갖지 않는 경우는 [논제 1]의 결과와 연관이 있다.

[논제 3]은 이차곡선(타원)을 소재로 하여 미분과 적분을 통합한 문제로, 접선의 식을 구하고, 구하는 면적을 정적분으로 표현하고, 제시문 (다)의 힌트를 얻어 치환적분과 삼각함수 공식을 적용하는 문제이다.

4. 평가 기준

• 제시문에 주어진 개념을 정확하게 이해하고, 문제 해결에 활용할 수 있는 능력

• 일차변환의 역변환이 존재하는 경우와 존재하지 않는 경우로 나누어 문제를 해결하는 능력

• 치환적분과 삼각함수 공식을 적분에 적용하는 계산 능력

• 논제에서 요구하는 사항을 정확히 이해하고 기존 지식과 제시문의 내용을 바탕으로 논제의 답을 논리적으로 추론하고 제시하는 능력

5. 예시 답안

[논제 1] (10점) 부등식 [eqn: x ^{2} +y ^{2} LEQ 1`]의 영역은 왼쪽 그림의 색칠한 부분이다. [eqn: x+y=k``]로 놓으면 [eqn: y=-x+k``]이므로 직선 [eqn: y=-x+k``]는 기울기가 [eqn: -1`]이고 [eqn: y``]절편이 [eqn: k``]인 직선을 나타낸다. 따라서 직선 [eqn: y=-x+k``]가 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1`]에 접할 최댓값과 최솟값을 가진다.

[eqn: y=-x+k]

[eqn: y=-x+k]

1

-1

-1

1

[eqn: x`]

[eqn: y`]

따라서 이차방정식

[eqn: 2x ^{2} -2kx+k ^{2} -1=0``]

의 판별식 [eqn: D=-4k ^{2} +8=0``]으로부터 [eqn: k``]의 최댓값은 [eqn: sqrt {2} ``]이고 최솟값은 [eqn: - sqrt {2} ``]이다.

(별해1) 직선 [eqn: x+y-k=0`]과 원점 [eqn: (0,`0)]과의 수직거리가 원의 반지름 1과 같으므로 [eqn: 1= {LEFT | -k RIGHT |} over {sqrt {2}} `]로부터 [eqn: k``]의 최댓값은 [eqn: sqrt {2} ``]이고 최솟값은 [eqn: - sqrt {2} ``]이다.

(별해2) 중심이 [eqn: (0,`0)`]이고 반지름이 [eqn: r`]인 원에 접하는 기울기가 [eqn: m`]인 직선은 [eqn: y=mx±r sqrt {1+m ^{2}} `]이므로, [eqn: m=-1,`r=1`]을 대입하면 [eqn: y=-x± sqrt {2} `]이다. 따라서 [eqn: k``]의 최댓값은 [eqn: sqrt {2} ``]이고 최솟값은 [eqn: - sqrt {2} ``]이다.

(별해3) 직선의 기울기가 [eqn: -1`]이므로 1사분면에서 원점과 접점, 그리고 직선의 [eqn: x`]절편과 이루는 삼각형은 직각이등변 삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해 [eqn: k`]의 최댓값은 [eqn: sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}} = sqrt {2} `]이다. 따라서 [eqn: k``]의 최솟값은 [eqn: - sqrt {2} ``]이다.

[논제 2] (15점) 주어진 일차변환 [eqn: f`]를 나타내는 행렬은 [eqn: {pmatrix{a&1`#1&b`}} `]이다. [eqn: {pmatrix{x prime #y prime }} = {pmatrix{a&1`#1&b`}} {pmatrix{x`#y`}} ``]에서

(1) [eqn: ab != 1``]일 때, [eqn: {pmatrix{x`#y`}} = {pmatrix{a&1`#1&b`}} ^{-1} {pmatrix{x prime #y prime }} = {1} over {ab-1} {pmatrix{b&`-1`#-1&```a`}} {pmatrix{x prime #y prime }} = {1} over {ab-1} {pmatrix{`bx prime -y` prime `#-x` prime +ay prime }} `]이다. 이것을 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1``]에 대입하여 정리하면 변환된 도형의 방정식은

[eqn: (b ^{2} +1)x ^{2} -2(a+b)xy+(a ^{2} +1)y ^{2} =(ab-1) ^{2} `] (단, [eqn: ab != 1`]).

(2) [eqn: ab=1``]일 때, [eqn: a,b``]는 음이 아닌 정수이므로 [eqn: a=b=1``]이다. 따라서 [eqn: {pmatrix{x prime #y prime }} = {pmatrix{1&1`#1&1`}} {pmatrix{x`#y`}} = {pmatrix{x+y`#x+y`}} ``]으로부터 [eqn: x prime =y prime ``]이다. 그런데 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1``]이면 [논제 1]의 결과로부터 [eqn: - sqrt {2} ` <= `x`'=x+y` <= ` sqrt {2} ``]이다. 따라서 변환된 도형의 방정식은

[eqn: y=x~ LEFT ( - sqrt {2} LEQ x LEQ sqrt {2} RIGHT ) `].

[논제 3] (25점) 점 [eqn: P``]의 좌표를 [eqn: P(a,b)``]라 두자 ([eqn: b>0``]이라 가정할 수 있다). 미분하여 [eqn: P``]에서의 접선의 기울기를 구하면 [eqn: - {a} over {3b} ``]이다. 따라서 접선의 방정식은 [eqn: y-b=- {a} over {3b} (x-a)``]가 된다.

(별해) 점 [eqn: P``]의 좌표를 [eqn: P(a,b)``]라 두면, 접선의 방정식은 [eqn: {ax} over {3} +by=1`]이다.

이 직선이 [eqn: (2 sqrt {3} ,0)``]을 지나므로 이 점을 접선 식에 대입하고 [eqn: {a ^{2}} over {3} +b ^{2} =1``]을 이용하면 [eqn: a=b= {sqrt {3}} over {2} ``]를 얻는다. 점 [eqn: A,`B``]를 각각 [eqn: A( {sqrt {3}} over {2} ,0),``B(2 sqrt {3} ,0)``]이라 두면, 구하는 면적 [eqn: S``]는

[eqn: S= TRIANGLE PAB의`면적`-` int _{{sqrt {3}} over {2}} ^{sqrt {3}} {sqrt {1- {x ^{2}} over {3}} dx}]

여기서 [eqn: TRIANGLE PAB의`면적`= {1} over {2} TIMES {3 sqrt {3}} over {2} TIMES {sqrt {3}} over {2} =` {9} over {8}]이다. 한편, 정적분은 [eqn: x= sqrt {3} `sin`t``]로 치환하면

[eqn: ` int _{{sqrt {3}} over {2}} ^{sqrt {3}} {sqrt {1- {x ^{2}} over {3}} dx} `=` sqrt {3} int _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {2}} {cos ^{2} t`dt`=` {sqrt {3}} over {2} int _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {2}} {(1+cos`2t)dt=` {sqrt {3} pi } over {6} - {3} over {8}}}].

따라서 구하는 면적 [eqn: S``]는 [eqn: S`= {9} over {8} -( {sqrt {3} pi } over {6} - {3} over {8} )= {3} over {2} - {sqrt {3} pi } over {6} `]이다.