2012학년도 인하대학교 자연계열

모의 논술고사 해설 및 예시 답안

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【문항 1 : 생물】20점

1. 출제의도

생물 I에서 배우는 ‘돌연변이와 유전병’에 대해 얼마나 깊이 이해하고 있는지 평가하고자 하였다. 특히, 인간에게 유전병을 일으키는 해로운 형질이 없어지지 않고 남아있는 이유를, 제시문을 근거로 하여, ‘생명과학과 인간의 생활’에 나오는 ‘진화론’의 기본 개념에 모순되지 않게 설명할 수 있는 능력을 평가하고자 하였다. 그리고 멘델 유전학의 우성과 열성의 개념을 정확히 이해하고 있는지 알아보고자 하였다. 또한 우성 유전병은 어릴 때에는 치명적이지 않는 이유를 ‘자연선택’의 관점에서 얼마나 논리적으로 설명할 수 있는지 평가하고자 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

▷ 주제 분석 : 2012 학년도 인하대학교 모의 논술고사 생물은 유전병과 자연선택의 상호관계에 대한 이해를 묻고자 하였다.

▷ 제시문 해설 : 제시문 [가]에서는 생물 I의 ‘생명과학과 인간의 생활’에 나오는 진화론과 자연선택에 대한 일반적인 내용을 설명하였다. 제시문 [나]에서는 생물 I의 ‘돌연 변이와 유전병’에서 다루는 유전병의 일반적인 설명을 제시하고, 열성과 우성 유전병의 구체적인 예와 증상을 표로 나타내었다. 제시문 [다]에서는 열성과 우성 유전병이 나타나는 시기와 증상에 대한 심화된 내용을 설명하였다.

▷ 제시문 출처 :

제시문 [가]: 고등학교 ‘생물 I’ 교과서에서 발췌

제시문 [나]: 고등학교 ‘생물 I’ 교과서와 대학교 교양과목 ‘일반생물학’ 교재에서 발췌

제시문 [다]: 대학교 교양과목 ‘일반생물학’ 교재에서 발췌

3. 논제 해설

논제는 크게 3개의 문제로 이루어져 있다. 문제 (1)은 유전병을 나타내는 열성 돌연변이 유전자가 도태되지 않는 이유를 묻고 있다. 제시문 [나]에서 언급한 ‘보인자’가 이 문제를 해결하는 실마리이다. 제시문 [가]의 자연선택 과정을 이해하였다면, 충분히 해결할 수 있을 것이다. 문제 (2)는 우성과 열성의 정의를 설명하는 문제이다. 우성과 열성은 생물 I의 ‘유전’에서 배우는 기본 개념이고, 제시문 [나]에 이와 관련된 간접적인 언급이 있으므로, 정확한 설명이 가능할 것이다. 문제 (3)은 우성과 열성 유전병의 증상이 왜 차이가 나는지를 설명하는 문제이다. 일부 생물 I 교과서에 이와 관련된 문제가 수록되어 있기는 하지만 설명이 없고, 대부분의 다른 교과서에는 전혀 언급이 없다. 따라서 문제 해결을 돕기 위하여, 제시문 [다]에 대학교재를 인용하여 관련된 내용을 자세히 설명하였다. 자연선택 과정에서 도태되지 않으려면 자손에게 유전형질을 물려줄 수 있어야 한다는 것을 제시문 [가]를 통해 이해하였으면, 논리적으로 설명할 수 있을 것으로 기대한다.

4. 평가 기준

• 주어진 제시문과 논제를 정확히 이해하는 능력

• 생물 과목에서 다루는 최소한의 기본 개념(우성과 열성의 정의)을 이해하는 정도

• 제시문을 근거로 각 논제에서 요구하는 문제를 논리적으로 설명하는 능력

5. 예시답안

(1) 열성 유전병의 경우, 한 개의 열성 대립 인자만을 가지는 보인자는 증상을 보이지 않는다. 따라서 열성 대립 인자가 없는 사람들과 구별되지 않기 때문에, 도태되지 않고 다음 세대로 열성 대립 인자를 전달할 수 있다.

(2) 서로 다른 두 대립인자가 있을 때 형질이 나타나는 것을 우성이라고 정의하기 때문이다. 즉, 유전병을 일으키는 유전자와 정상 유전자를 가진 이형접합자(보인자)가 질병을 일으키면, 그 돌연 변이 유전자는 해롭거나 흔하지 않더라도 우성이라고 부른다.

(3) 만약 우성의 유전병이 유아기에 발병하고 치명적이면, 자손을 낳지 못하고 죽을 것이다. 따라서 이러한 돌연 변이 유전자는 다음 세대로 전달되지 못하고 도태될 것이다. 이러한 이유로 오늘날 남아 있는 우성 유전병은 생식에 지장이 없거나(난쟁이증, 다지증 등), 젊을 때는 증상이 나타나지 않기 때문에 자손을 낳을 수 있는 경우(알츠하미머병, 헌팅턴병)와 같은 질병만 우성으로 남아있다.

【문항 2 : 화학】20점

1. 출제의도

고등학교 ‘과학’ 교과의 중요한 부분을 차지하는 전해질과 이온, 이온들의 반응, 산과 염기, 산과 염기의 반응 등을 주 논제로 삼아, 이온들과 산-염기 반응을 나타내는 이온 반응식 쓰기와 이를 바탕으로 생성물의 상태 및 농도는 논리적으로 추론하는 능력을 측정하려 하였다. 세부적인 내용을 살펴보면, 우선 전해질의 수용액에서 강전해질이 100% 이온화하여 이온 상태로 존재하며, 강산과 강염기도 100% 이온화한다는 사실을 올바로 이해하고 있는가, 약산과 약전해질 용액에서 약산과 약전해질의 부분 이온화를 올바로 이해하고 있는가, 산과 염기 간의 반응, 즉 중화반응의 반응식을 올바로 쓸 수 있는가와 그 양적인 관계를 이해하고 있는지를 보고자 하였다. 이러한 출제 의도를 달성하기 위해 ‘어는점 내림’ 현상을 이용하였는데, 이 내용은 화학 II의 내용이지만 제시문에 이해하기 쉽도록 제시하여 화학 II를 공부하지 않은 학생들도 어려움 없이 논제의 답안을 추론할 수 있도록 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

▷ 주제 분석 : 2012학년도 인하대학교 모의 논술고사 화학은 전해질과 산-염기 수용액의 성질과 반응, 반응 생성물의 상태 등을 주제로 삼았다.

▷ 제시문 해설 :

제시문 (가)에서는 ‘어는점 내림’ 현상에 대해 설명하였다. 어는점 내림은 화학 II에 소개된 내용이므로 화학 II를 공부하지 않은 학생들도 쉽게 이해할 수 있도록 간략히 설명하였으며, 어는점 내림의 농도 의존성도 원래의 몰랄농도에 대한 양으로 언급하지 않고 근사적으로 일반적인 농도에 비례한다고 제시하였다. 이는 실제와 약간의 차이가 있지만 논제에서 언급한 정도의 비교적 묽은 농도에서는 충분히 타당한 근사이다.

제시문 (나)에서는 전해질을 정의하고 그 예를 들었다.

제시문 (다)에서는 강산과 약산의 이온화 정도의 차이를 설명하고 각각 해당하는 예를 들어 논제를 해결하는데 활용하도록 제시하였다.

▷ 제시문 출처 : 제시문은 여러 고등학교 □과학□ 교과서의 내용을 참고하여 출제자가 창작한 것이다. 다음은 관련 내용이 실려 있는 교과서들이다.

제시문 (가) : 고등학교 □화학 II□ 교과서, (주)중앙교육진흥연구소, 교학사 72-75쪽

제시문 (나) : 고등학교 □과학□ 교과서, 금성출판사 122-139쪽

제시문 (다) : 고등학교 □과학□ 교과서, 금성출판사 140-173쪽

(참고한 책 이외에도 모든 고등학교 □과학□ 교과서에는 제시문 (나)와 (다)의 내용이 실려 있음.)

▷ 논제 해설 :

문제 (1)은 강전해질인 [eqn: rm NaCl```]수용액과 약전해질인 [eqn: rm CH _{3} COOH```]수용액 중에 들어 있는 이온들과 그 농도를 추론한 후, 제시문 (가)의 내용을 활용하여 어는점을 예측하는 문제이다. 전해질과 전해질의 수용액에서 생성되는 이온 등에 대해서는 고등학교 □과학□ 교과서에 상세히 소개되어 있어 대부분의 수험생이 무리 없이 수용액 중의 이온의 종류와 그 농도를 예측할 수 있을 것으로 판단되며, 제시문 (가)를 참조하여 용액의 어는점을 쉽게 예측할 수 있을 것으로 생각된다.

문제 (2)는 산-염기(중화) 반응의 반응식을 쓰고, 그 생성물의 상태와 농도를 추론하면 쉽게 답할 수 있는 문제이다. 문제의 핵심은 약전해질인 [eqn: rm CH _{3} COOH```]가 [eqn: rm NaOH```]와 반응하여 강전해질인 [eqn: rm CH _{3} COONa```]를 형성한다는 사실, 중화반응 과정에서 용액의 부피가 2배가 된다는 사실, 또 생성된 [eqn: rm CH _{3} COONa```]의 양이 초기 용액 중의 [eqn: rm CH _{3} COOH```]와 같다는 사실을 올바로 찾아 낼 수 있느냐에 달려있다. 이 논제에서 학생들이 중화반응이라는 간단한 반응 과정에서 수반되어 나타나는 3가지 사실을 모두 인지하기만하면 수치적인 답은 너무나 쉽게 찾을 수 있다. 그러나 수치적인 답과 함께 그 답을 얻는 과정을 얼마나 논리적으로 추론하고, 그 추론 과정을 체계적으로 답안에 기술하는 것도 함께 평가하고자 하였다.

4. 평가 기준

• 전해질 수용액, 이온화, 강산, 약산, 산-염기 및 반응식, 농도 등 고등학교 □과학□ 교과서에 들어 있는 개념에 대한 이해도

• 제시문에 주어진 여러 가지 내용 중 논제 해결에 필요한 내용을 선별할 수 있는 능력

• 논제에서 요구하는 사항을 정확히 이해하고 기존 지식과 제시문의 내용을 바탕으로 논제의 답을 논리적으로 추론하는 능력

• 기존 지식과 제시문의 관련 내용을 체계적, 논리적으로 정리하여 논제의 답안을 명확하고 논리적으로 제시하는 능력

5. 예시 답안

(1) 제시문 (다)에 의하면 [eqn: rm CH _{3} COOH```]는 약산으로 약전해질이다. 0.10 M 용액의 경우 겨우 1% 정도가 이온화하므로 0.10 M [eqn: rm CH _{3} COOH```]수용액 중 어는점 내림에 기여하는 입자(혹은 화학종)의 농도는 약 0.10 M이다.

제시문 (나)에 의하면 [eqn: rm NaCl``]은 전해질 물질이므로 물속에서 다음과 같이 이온화한다.

[eqn: rm NaCl(aq)````` -> `````Na ^{+} (aq)``+``Cl ^{-} (aq)]

그러므로 0.10 M [eqn: rm NaCl``]수용액 중에는 [eqn: rm Na ^{+} ```]이온과 [eqn: rm Cl ^{-} ```]이온의 농도가 각각 0.10 M이고, 어는점 내림에 기여하는 입자(화학종)의 총 농도는 0.20 M이다.

이 용액의 어는점이 [eqn: rm -0.40 DEG C```]이고, 어는점 내림은 화학종의 종류와 무관하고 그 농도에만 비례하므로 0.10 M [eqn: rm CH _{3} COOH```]수용액의 어는점은 약 [eqn: rm -0.20 DEG C```]일 것이다.

(2) 수용액에서 [eqn: rm CH _{3} COOH```]와 [eqn: rm NaOH```]는 다음과 같이 반응하며

[eqn: rm CH _{3} COOH(aq)``+``NaOH(aq)````` -> `````CH _{3} COONa(aq)``+``H _{2} O(l)]

이 반응에서 생성된 [eqn: rm CH _{3} COONa(aq)```]는 제시문 (나)에서 알 수 있듯이 강전해질이므로 100% 이온화한다.

[eqn: rm CH _{3} COONa(aq)````` -> `````CH _{3} COO ^{-} (aq)``+``Na ^{+} (aq)]

이 두 반응식에 의하면 [eqn: rm CH _{3} COOH```]와 [eqn: rm NaOH```]는 1:1로 반응하고 생성된 [eqn: rm CH _{3} COONa```]는 모두 이온화하므로, 최종 수용액에 녹아 있는 [eqn: rm CH _{3} COO ^{-} ```]이온과 [eqn: rm Na ^{+} ```]이온의 개수는 0.10 M [eqn: rm CH _{3} COOH```]용액 10.0mL 중에 들어 있던 [eqn: rm CH _{3} COOH```]분자의 수와 같다. 그런데 중화반응 과정에서 용액의 부피는 10.0mL + 10.0mL = 20.0mL로 증가하였으므로 최종 용액에 들어 있는 [eqn: rm CH _{3} COO ^{-} ```]이온과 [eqn: rm Na ^{+} ```]이온의 농도는 각각 반응 전 [eqn: rm CH _{3} COOH```]의 농도의 1/2인 0.050 M이다. 따라서 최종 용액 중 어는점 내림에 기여하는 입자(화학종)의 총 농도는

0.050 M + 0.050M = 0.10 M

이고, 어는점은 문제 (1)과 같이 약 [eqn: rm -0.20 DEG C```]일 것이다.

【문항 3 : 수학+물리】(물리) 20점

1. 출제의도

제시문을 통해 전기 회로에서 저항의 직렬연결과 병렬연결에서의 합성 저항 및 저항에서의 소비 전략을 이해하고, 이를 실제 전기 회로에 적용하여 분석할 수 있는 능력을 평가할 목적으로 문제를 출제하였다. 또한, 전기 회로적인 문제를 수학적으로 올바르게 표현하고 미분을 이용하여 최댓값을 계산하는 능력을 평가한다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

▷ 주제 분석 :  저항들이 연결되어 있는 전기 회로에서 전류, 전압 관계와 저항의 연결 방식에 따른 합성 저항 관계를 이용하여 특정 저항에 걸리는 전압에 대한 표현식을 구하고, 전력이 최대가 되는 조건을 찾는 문제를 출제하였다.

▷ 제시문 해설 : 제시문 (가)와 (나)는 각각 전기 저항들이 직렬로 연결되어 있을 때와 병렬로 연결되어 있을 때 합성 저항을 구하는 방식을 설명하였다. 제시문 (다)에서는 저항에서 소비되는 전력과 전압, 전류, 저항의 관계에 대해 설명하였다.

▷ 제시문 출처 : 고등학교 □물리 I□ 교과서를 기초로 발췌 및 창작

▷ 논제 해설 : 세 개의 저항이 직렬, 병렬 연결되어 있는 회로에서 저항 값을 모르는 특정 저항에 걸리는 전압을 구하고, 이로부터 그 저항에서 전력이 최대가 되기 위한 조건을 구하는 문제이다. 문제 (1)은 합성 저항 관계를 이용하여 특정 저항에 걸리는 전압의 표현식을 구하는 문제이다. 문제 (2)는 그 저항에서의 전력에 대한 표현식을 구하고 전력이 최대가 되기 위한 저항 값을 구하는 문제이다.

4. 평가 기준

• 전기 회로에서 합성 저항을 구하는 방법을 적용하여 특정 저항에서의 전압과 전력에 대한 표현식을 구하는 능력

• 고교 수학 과정에서 배우는 함수의 미분을 적용하여 최댓값을 구하는 능력

5. 예시 답안

(1) 논제에 주어진 전기 회로([그림 3])에서 병렬 연결된 5Ω의 저항과 저항 [eqn: R``]을 합성한 저항을 [eqn: R _{1} ``]이라고 하면, 제시문 (나)에 의해 합성 저항 [eqn: R _{1} ```]은 [eqn: {1} over {R _{1}} `=` {1} over {5} `+` {1} over {R} ``]이 된다. 이 식을 정리하면 [eqn: R _{1} `=` {5`R} over {5`+`R} ``]이다. 또한, 논제의 전기 회로([그림 3])는 아래 그림과 같이 10Ω의 저항과 저항 [eqn: R _{1} ``]이 직렬 연결되어 있는 형태가 된다.

제시문 (가)에 따르면 직렬연결인 경우 흐르는 전류의 세기는 모두 같으므로 전류의 세기를 [eqn: I```]라 하고, 저항 [eqn: R _{1} ``]에 걸리는 전압을 [eqn: V _{1} ``]이라 하자. 그러면 이 회로의 합성 저항은 [eqn: 10`+`R _{1} ``]이므로 합성 저항 [eqn: R _{1} ``]에 흐르는 전류 [eqn: I```]와 전압 [eqn: V```]는

[eqn: I``=`` {V} over {10`+R _{1}} ``],   [eqn: V _{1} ``=``I`R _{1} ``=`` {R _{1}} over {10`+`R _{1}} V``]

가 된다. 제시문 (나)에 따르면 병렬연결인 경우 전압은 모두 같으므로 저항 [eqn: R``]에도 [eqn: V _{1} ``]의 전압이 걸린다. 결국 저항 [eqn: R``]의 양단에 걸리는 전압은 다음과 같다.

[eqn: V _{1} ``=```` {R _{1}} over {10`+`R _{1}} V``=`` {5`R/(5`+`R)} over {10`+`5`R/(5`+`R)} V`=` {5`R} over {50`+`15`R} V``=` {R} over {10`+`3`R} V]

(2) 저항 [eqn: R```]에 소비되는 전력을 [eqn: P```]라고 하면, [eqn: P`=` {V _{1} ^{2}} over {R} ```]이므로

[eqn: P`=` {1} over {R} LEFT ( {R} over {10`+`3`R} V` RIGHT ) ^{2} ``=`` {R`V ^{2}} over {(10`+`3`R`) ^{2}}]

이다. [eqn: P``]의 최댓값을 구하기 위해 [eqn: R```]에 대해 미분을 해 주면,

[eqn: {dP} over {dR} `=` {(10`+`3`R)`-6`R} over {(10`+`3`R`) ^{3}} V` ^{`2} `=` {10`-`3`R} over {(10`+`3`R`) ^{3}} V`` ^{2} `]

이다. [eqn: {dP} over {dR} `=`0```]에서 [eqn: R`=` {10} over {3} `]Ω 이 된다. [eqn: R```]이 [eqn: {10} over {3} ```]Ω 보다 작으면 [eqn: {dP} over {dR} >0``]이고 [eqn: R```]이 [eqn: {10} over {3} ```]Ω 보다 크면 [eqn: {dP} over {dR} <0``]이므로 [eqn: R`=` {10} over {3} ``]Ω 일 때 저항 [eqn: R```]에 소비되는 전력이 최대가 된다.

【문항 3 : 수학+물리】(수학) 40점

1. 출제의도

복소수와 벡터의 내적 문제와 미적분 문제를 선택하여 고교 수학에서 다루는 내용을 이해하고 이를 활용할 수 있는 정도와 기본적인 계산 능력을 측정하기 위해서 출제하였다. 문제를 해결하기 위한 특별한 능력을 측정하기 보다는 고교 과정에서 다루는 수학의 전반적인 이해도, 평이하지만 정직하고 성실하게 계산을 수행할 수 있는 능력을 평가하기 위함이다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

▷ 주제 분석 : 복소수와 벡터의 내적 문제는 두 복소수의 이항 연산을 정의하고 두 복소수의 제곱의 이항 연산을 계산하는 문제와 이 결과를 이용하여 이항 연산을 좌표평면에서 두 복소수에 대응하는 위치벡터들의 내적으로 이해하여 두 위치벡터가 이루는 각의 크기를 구하는 문제를 출제하였다. 미적분 문제에서는 아래로 볼록한 곡선과 곡선 위의 점에서의 접선, [eqn: y`]축, 직선 [eqn: x=a``]로 둘러싸인 부분의 면적을 적분으로 표현하고, 미분을 통하여 면적을 최소로 만드는 접점을 관찰하는 문제와 이 문제의 결과를 이용하여 무한급수를 정적분으로 표현하여 값을 구하는 문제를 출제하였다.

▷ 제시문 해설 : 제시문 (가)에서는 복소수의 크기와 두 복소수의 이항 연산을 정의하였다. 또한 복소수를 좌표평면 위의 한 점으로 대응시켰을 때, 복소수의 크기와 이항 연산의 의미를 각각 대응하는 위치벡터의 크기와 위치벡터들의 내적으로 다시 해석하였다. 제시문 (나)에서는 아래로 볼록한 곡선 [eqn: y=x ^{2} ``]과 곡선 위의 점에서의 접선 [eqn: L``], [eqn: x=0`], 직선 [eqn: x=a(>0)``]로 둘러싸인 부분의 면적을 최소로 만드는 접점의 [eqn: x`]좌표가 항상 [eqn: {a} over {2} `]임을 보였다. 제시문 (다)에서는 정적분의 정의를 주었다.

▷ 제시문 출처 :

제시문 (가) : 고등학교 □수학 10-가□의 복소수 부분과 □수학 II□의 벡터 부분에서 발췌 및 창작

제시문 (나) : 창작

제시문 (다) : 고등학교 □수학 II□에서 발췌

▷ 논제 해설 : [논제 1]의 문제 (1-1)은 크기가 1인 두 복소수의 연산의 결과를 주고, 두 복소수의 제곱의 연산의 결과를 구하는 문제로서 식의 계산이나 혹은 코사인 함수의 덧셈공식 및 2배각 공식과 연관된 문제이다. 문제 (1-2)는 두 복소수의 연산을 좌표평면에서 두 위치벡터의 내적으로 해석하고 문제 (1-1)의 결과를 이용하여 두 위치벡터가 이루는 각의 크기를 구하는 문제이다. [논제 2]의 문제 (2-1)은 아래로 볼록한 곡선 [eqn: y=f(x)``]을 가지고 제시문 (나)의 내용을 따라 접점의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: {a} over {2} ``]임을 보이는 것으로 접선의 방정식, 면적의 정적분 표현, 그리고 2계 도함수의 응용과 연관된 문제이다. 문제 (2-2)는 문제 (2-1)의 결과를 이용하여 무한급수의 합을 구하는 것으로서 무한급수를 정적분으로 표현하여 값을 구하는 문제이다.

4. 평가 기준

• 벡터의 내적의 정의를 정확하게 이해하고 논제에서 요구한 계산을 올바르게 수행할 수 있는 능력

• 미분과 적분의 개념 및 응용을 정확하게 이해하고 기본적인 적분 관련 계산을 올바르게 수행할 수 있는 능력

5. 예시 답안

(1-1) 복소수 [eqn: z,``w`]에 대응하는 좌표평면 위의 점들과 원점을 잇는 선분이 양의 [eqn: x`]축과 이루는 각을 각각 [eqn: alpha ,`` beta ``]라 하면, [eqn: LEFT | `z` RIGHT | `=` LEFT | `w` RIGHT | `=1`]이므로 제시문 (가)에 의해

[eqn: z=cos` alpha `+`i`sin` alpha ,```w=cos` beta `+`i`sin` beta `]

가 된다. 한편, [eqn: z` OTIMES w`= {1} over {2} `]이므로 연산 [eqn: OTIMES `]의 정의에 의해

[eqn: z` OTIMES w`=cos` alpha `cos` beta +sin` alpha `sin` beta `=cos( alpha - beta )= {1} over {2} `]

이다. 구하는 것이 [eqn: z` ^{2} ` OTIMES `w` ^{2} `]이므로 먼저 [eqn: z` ^{2} ,``w` ^{2} `]을 구하면

[eqn: z` ^{2} =cos`2 alpha `+`i`sin`2 alpha `,```w` ^{2} =cos`2 beta `+`i`sin`2 beta `]

이다. 연산 [eqn: OTIMES `]의 정의와 코사인 함수의 공식을 적용하면

[eqn: z` ^{2} OTIMES w` ^{2} &=`cos`2 alpha `cos`2 beta +sin`2 alpha `sin`2 beta # &=cos`2( alpha - beta )=2`cos ^{2} ( alpha - beta )-1=2 LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} -1=- {1} over {2} `]

(혹은 [eqn: z` ^{2} OTIMES w` ^{2} =`cos`2( alpha - beta )=cos ^{2} ( alpha - beta )-sin ^{2} ( alpha - beta )= {1} over {4} - LEFT ( 1- {1} over {4} RIGHT ) =- {1} over {2} `])

을 얻는다.

(별해) [eqn: z=a+bi,``w=c+di`]라 하면 [eqn: LEFT | `z` RIGHT | `=` LEFT | `w` RIGHT | `=1`]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =c ^{2} +d ^{2} =1`]이다. [eqn: z` OTIMES w`= {1} over {2} `]이므로 연산 [eqn: OTIMES `]의 정의에 의해 [eqn: ac+bd= {1} over {2} `]이다. [eqn: z ^{2} =(a ^{2} -b ^{2} )+2ab`i,``w ^{2} =(c ^{2} -d ^{2} )+2cd`i``]이므로

[eqn: z` ^{2} OTIMES w` ^{2} &=(a ^{2} -b ^{2} )(c ^{2} -d ^{2} )+4abcd# &=a ^{2} c ^{2} +b ^{2} d ^{2} +2abcd-a ^{2} d ^{2} -b ^{2} c ^{2} +2abcd# &=(ac+bd) ^{2} -a ^{2} (1-c ^{2} )-b ^{2} (1-d ^{2} )+2abcd# &=2(ac+bd) ^{2} -(a ^{2} +b ^{2} )=2 TIMES {1} over {4} -1=- {1} over {2}]

을 얻는다.

(1-2) 제시문 (가)에 의하면 [eqn: z` ^{2} ` OTIMES w` ^{2} `]은 좌표평면에서 대응되는 벡터들의 내적을 의미한다. [eqn: z` ^{2} ``]과 [eqn: w` ^{2} ``]에 대응하는 평면상의 점이 각각 [eqn: P,``Q``]라 했으므로

[eqn: - {1} over {2} =z` ^{2} ` OTIMES w` ^{2} `=` vec{OP``} ` CIRC vec{OQ`} `= LEFT | ` vec{OP`} ` RIGHT | ` LEFT | ` vec{OQ`} ` RIGHT | `cos`( ANGLE POQ`)`]

가 성립한다. [eqn: LEFT | ` vec{OP`} ` RIGHT | `= LEFT | `z` ^{2} ` RIGHT | `= LEFT | `z` RIGHT | ` ^{2} =1,`` LEFT | ` vec{OQ`} ` RIGHT | `= LEFT | `w` ^{2} ` RIGHT | `= LEFT | `w` RIGHT | ` ^{2} =1]이므로 [eqn: cos( ANGLE POQ`)`=- {1} over {2} `]이다. 따라서 [eqn: ANGLE POQ``= {2 pi } over {3} `]이다.

(2-1) 제시문 (나)의 방법을 따라 해보자. 먼저 접점 [eqn: (t,`f(t))`]에서 접선 [eqn: L`]을 구하면,

[eqn: L``:``y=f`'(t)(x-t)+f(t)`]

이다. 곡선 [eqn: y=f(x)`]는 아래로 볼록하다고 했으므로 [eqn: f`''(t)>0`]이고 접선 [eqn: L`]은 곡선 아래에 있다. 따라서 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 세 개의 직선 [eqn: L,`x=0,`x=a`]에 의해 둘러싸인 도형의 면적은 다음으로 주어진다.

[eqn: S(t)` & = int _{0} ^{a} {LEFT { f(x)-f` prime (t)(x-t)-f(t) RIGHT } `dx}# & = int _{0} ^{a} {f(x)`dx} `-f` prime (t) LEFT [ {1} over {2} x ^{2} -t`x RIGHT ] _{0} ^{a} -f(t) LEFT [ x RIGHT ] _{0} ^{a}# & = int _{0} ^{a} {f(x)`dx} `-f` prime (t) LEFT ( {1} over {2} a ^{2} -t`a RIGHT ) -f(t)`a]

이 면적을 [eqn: t`]로 미분하면

[eqn: {d} over {dt} S(t)=-f` '' (t) LEFT ( {1} over {2} a ^{2} -a`t RIGHT ) +f` prime (t)`a-f` prime (t)`a=f` '' (t)a LEFT ( t- {1} over {2} a RIGHT ) `]

이다. 구간 [eqn: [0,`a]`]에서 [eqn: a`f` '' (t)>0`]이므로 [eqn: t< {a} over {2} `]일 때 [eqn: {d} over {dt} S(t)<0`]이고 [eqn: t> {a} over {2} `]일 때 [eqn: {d} over {dt} S(t)>0`]이므로 [eqn: t= {a} over {2} `]일 때 [eqn: S` LEFT ( {a} over {2} RIGHT )]는 극소이면서 최소이다.

(2-2) 먼저 [eqn: f(x)`]의 이계도함수는 [eqn: f` '' (x)=2`e ^{x} +x`e ^{x} `>0`]이므로 곡선 [eqn: y=f(x)`]는 아래로 볼록하다. 문제에서 곡선 [eqn: y=xe ^{x} `]와 세 직선 [eqn: L,``x=0,``x= {2k} over {n} `]로 둘러싸인 면적이 최소라 하였으므로 문제 (2-1)의 결과를 적용할 수 있다. 즉 접점은 [eqn: P` LEFT ( {k} over {n} ,` {k} over {n} e ^{{k} over {n}} RIGHT ) `]이고 따라서 [eqn: Q _{n,`k} ` LEFT ( {k} over {n} ,`0` RIGHT ) `]이다. 접선은

[eqn: L``:``y= LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) `e ^{{k} over {n}} LEFT ( x- {k} over {n} RIGHT ) + {k} over {n} `e ^{{k} over {n}}]

이다. 이 접선의 [eqn: x`]절편은 [eqn: x= {k} over {n} - {{k} over {n} `e ^{{k} over {n}}} over {LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) `e ^{{k} over {n}}} `= {k} over {n} - {{k} over {n}} over {1+ {k} over {n}} `]이므로 [eqn: R` LEFT ( {k} over {n} - {{k} over {n}} over {1+ {k} over {n}} ,`0 RIGHT ) ``]이다. 따라서 [eqn: LEFT | Q _{n,`k} -R _{n,`k} ` RIGHT | `= {(k/n)} over {1+(k/n)} `]이다. 그러므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT | `Q _{n,`k} -R _{n,`k} ` RIGHT |} & = lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} {(k/n)} over {1+(k/n)}}# &= int _{0} ^{1} {{x} over {1+x} `dx} `= int _{0} ^{1} {LEFT ( 1- {1} over {1+x} RIGHT ) `dx} = LEFT [ x-ln(1+x) RIGHT ] _{0} ^{1} =1-ln`2]

이다.