2012학년도 수시 1차 자연계 논술고사 출제 의도 및 해설

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[문항 1 : 생물] (20점)

1. 출제의도

생물 [문제 1]에서는 생물 I 의 첫 번째 주제인 ‘생명 현상의 특성’에 대한 이해를 알아보고자 하였다. ‘바이러스’의 특성에 대한 제시문을 주고, 바이러스의 존재를 생명 현상에서 ‘물질대사'의 필요성과 연관 지어 설명할 수 있는지 평가하고자 하였다. 그리고 [문제 2]에서는 개정된 고등학교 과학 교과서에 소개된 스트로마톨라이트를 사용한 광합성 실험 결과를 예측해 보도록 하였다. 광합성에서 일어나는 물질 전환 과정을 제시문에서 자세히 설명하였고, 이를 얼마나 이해하였는지 판단하기 위하여 실험 결과를 설명하도록 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 2012학년도 인하대학교 수시 1차 자연계 논술고사 생물은 생명 현상의 특성 중에서 물질 대사의 필요성에 대한 이해 여부와 광합성에 의한 물질 전환 과정을 제시문에서 파악하는 능력을 평가하고자 하였다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 (가)에서는 생물 I에서 배우는 내용을 바탕으로 바이러스에 대한 일반적인 내용을 설명하였다. 제시문 (나)의 앞부분에서는 생물 I 에서 배우는 생명 현상의 특성 중 물질 대사에 대해 설명하였고, 뒷부분에서는 개정된 고등학교 과학 교과서의 내용을 참조하여 광합성에 의한 물질 전환, 즉, 이산화탄소와 물이 포도당과 산소로 전환되는 과정을 설명하였다. 제시문 (다)에서는 개정된 고등학교 과학 교과서에 소개된 스트로마톨라이트에 대하여 설명하였다.

(다) 제시문 출처

제시문 (가) : 고등학교 □생물 I□ 교과서에서 발췌

제시문 (나) : 고등학교 □생물 I□ 교과서와 개정된 □과학□ 교과서에서 발췌

제시문 (다) : 고등학교 □생물 I□ 교과서와 개정된 □과학□ 교과서에서 발췌

3. 논제 해설

[문제 1]은 생명 현상의 특성에서 ‘물질대사'의 중요성을 이해하는지 알아보고자 하였다. 제시문 (가)에서 해답에 대한 힌트를 얻을 수 있을 것으로 기대한다. [문제 2]는 스트로마톨라이트를 사용한 광합성 실험 결과를 예측하고 설명하는 문제이다. 생물 I에서 광합성을 배우지 않았다 하더라도 제시문 (나)의 광합성의 물질 전환 과정을 주의 깊게 읽고 충분히 이해했다면 해결할 수 있는 문제이다. 전체적으로 지식 중심의 문제가 아닌 제시문의 이해를 목적으로 출제하고자 하였기 때문에 생물 I 과정을 정상적으로 이수한 학생이라면 어렵지 않게 해결할 수 있을 것이다.

4. 평가 기준

• 주어진 제시문을 정확하게 이해하고 이를 바탕으로 각 논제에서 요구하는 문제를 파악하는 능력

• 생물 현상에 대한 기본 개념, 특히, 물질대사의 필요성을 이해하고 있는 정도

• 광합성 과정에 대한 이해를 바탕으로 실험 결과를 예측하는 능력

5. 예시 답안

[문제 1]

존재 가능성: 없음

이유: 바이러스는 세포로 이루어진 살아 있는 생물체 내에서만 물질 대사를 수행하고 증식할 수 있기 때문에, 만약 화성에 물질 대사를 하는 숙주 생물체가 없다면 바이러스도 번식할 수 없다. 따라서 숙주 생물체 없이 바이러스가 존재할 수는 없다.

[문제 2]

암석에서 검출되는 동위원소 : [eqn: rm {} ^{14} C]

공기 중에서 검출되는 동위원소 : [eqn: rm ` ^{18} O,``` ^{14} C]

이유 :

[eqn: rm {} ^{14} C]의 경우, 광합성 과정에서 [eqn: rm {} ^{14} C O_2]가 포도당([eqn: rm {} ^{14} C_6 H_12 O_6])으로 전환되어 암석 속에 있는 남세균에 저장되기 때문이다.

[eqn: rm {} ^{18} O]의 경우, [eqn: rm H _{2} ^{18} O]가 분해되면서 동위원소를 함유하는 산소([eqn: rm ` ^{18} O _{2}])가 발생하기 때문이다.

공기 중에서 [eqn: rm {} ^{14} C]가 검출되는 경우, 광합성으로 소비되지 않고 남은 [eqn: rm {} ^{14} C O_2]가 검출될 것이다.

[문항 2 : 화학] (20점)

1. 출제의도

고등학교 ‘화학 1’ 교과의 중요한 부분을 차지하는 기체의 성질을 주 소재로 삼아, 기체 압력의 근원, 용기의 부피 변화에 따른 기체 압력의 변화, 분자가 달라짐에 따른 기체 압력의 변화를, 수식을 만들고, 관련 인자의 변화로부터 논리적으로 추론하는 능력을 측정하려 하였다. 세부적인 내용을 살펴보면, 모형계에 주어진 인자들을 사용하여 압력을 나타내는 식을 유도하여 기체가 나타내는 압력의 근원을 이해하고, 그 이해를 바탕으로 압력을 나타내는 식을 올바로 추론하는 능력을 보고자 하였다. 또한 이 식에 들어 있는 인자 값의 변화에 따른 압력의 변화를, 정성적 이해를 바탕으로 정량적으로 예측하고, 논리적으로 기술하는 종합적으로 측정하려고 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 2012학년도 인하대학교 수시2-1 자연계 논술고사 화학은 기체가 나타내는 압력의 근원과, 부피의 변화와 분자의 변화에 따른 압력의 변화를 삼았다. 모형계를 사용하여 기체 압력의 근원을 수식을 통하여 보여주고, 그 결과로 얻어진 식을 활용하여 용기의 부피 변화 및 분자에 따른 압력 변화를 추론하는 내용을 포함하고 있다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 (가)에서는 기체 분자 운동론을 소개하고, 이에 근거하여 기체의 압력이 기체 분자들이 용기의 벽에 충돌하면서 가하는 단위 면적당 힘임을 제시하였다. 제시문 (나)에서는 논제에서 다룰 모형계를 상세히 설명하였다. 즉, 원통형 용기에 들어 있는 분자가 오른쪽 벽에 수직으로 속력 [eqn: v``]로 움직일 때, 1회 충돌할 때 가하는 힘과 충돌 간의 시간 간격을 나타내는 식을 제시하여, 논제에 답할 때 활용할 수 있도록 하였다. 기체 분자의 충돌이 압력의 근원이 된다는 사실은 모든 ‘화학 1’ 교과서에 잘 설명하고 있지만, 식을 이용한 정량적인 설명은 실려 있지 않다. 따라서 수험생들이 관련된 내용을 정량적인 수식으로 쉽게 표현할 수 있도록 그림과 관련 식을 제시하였다.  제시문 (다)에서는 일정 온도에서 분자의 평균속력을 나타내는 식을 제시하여, 논제에 답할 때 활용할 수 있도록 하였다.

(다) 제시문 출처

문항의 제시문 (가)는 여러 고등학교 □화학 1□ 교과서의 내용을 근거로 출제자가 창작한 것이다. 다음은 관련 내용이 실려 있는 고등학교 □화학 1□ 교과서들이다.

금성출판사 69-77쪽, 중앙교육진흥연구소 70-77쪽, 교학사 68-77쪽

제시문 (나)는 논제에서 다룰 모형 기체계를 설명하고 이 모형계에서 기체 분자가 용기의 벽에 가하는 압력을 구할 수 있는 물리량들을 정의하고 제시하는 내용으로, 출제자가 창작하였다. 제시문 (다)는 모든 고등학교 □화학 1□ 교과서에 소개된 기체 분자 운동론에  의해 얻어지는 분자의 평균속력을 나타내는 식을 제시한 내용으로 역시 출제자가 창작하였다. 관련 내용은 제시문 (가)와 같은 고등학교 □화학 1□ 교과서들이다.

금성출판사 69-77쪽, 중앙교육진흥연구소 70-77쪽, 교학사 68-77쪽

3. 논제 해설

[문제 1]은 제시문 (나)에 제시된 모형 기체계에서 오른쪽 벽면에 대한 기체의 압력을 구하는 문제이다. 제시문 (가)에서 기체의 압력이 기체 분자가 벽면에 충돌할 때 가하는 단위 면적당 힘임을 기술하였다. 이어서 제시문 (나)에 기체 분자 1개가 벽면에 1회 충돌할 때 가하는 힘과 충돌 간의 시간 간격을 나타내는 식을 제시하였으므로 기체 분자 1개가 오른쪽 벽에 가하는 평균적인 힘을 바로 구할 수 있다. 이어서 압력은 단위 면적당 힘이므로 앞에서 구한 힘을 벽면의 면적 [eqn: A``]로 나누어서 구한다. 분자 1개가 가하는 압력에 분자의 수를 곱하면 오른쪽 벽에 가해지는 압력을 [eqn: m,`v,`A,`l``]로 나타낼 수 있다. 최종적으로 제시문 (다)에 주어진 분자의 평균속력 [eqn: v``=` sqrt {{8kT} over {pi m}}]을 대입하면 최종적으로 원하는 답이 나온다. 제시문에 필요한 지식과 자료를 모두 제공하였으므로 제시문을 진지하게 읽고 논리적인 사고로 추론하는 수험생이면 쉽게 논제에서 요구하는 답을 얻을 수 있을 것이다. [문제 2]는 [문제 1]에서 얻은 결과를 이용하여 용기의 부피 변화와 분자의 분자량이 변하는 경우의 압력 변화를 추론하는 문항이다. 예시 답안에 제시한 대로 2 가지 답안이 가능하다. [문제 1]에서 얻은 최종 식을 이용하여 답하는 방법과 변화된 용기의 길이와 분자량을 사용하여 [문제 1]의 풀이 과정을 반복하는 답안이다. 어느 방법이나 [문제 1]을 해결한 수험생은 쉽게 답을 얻을 수 있을 것이다.

4. 평가 기준

• 기체 분자의 운동과 기체가 나타내는 압력의 근원, 기체 압력의 정의 등 고등학교 ‘과학’ 교과에 들어 있는 개념을 정확하게 이해하고 이에 수반되는 계산식을 세우는 능력

• 제시문에서 주어진 여러 가지 내용 중에서 논제 해결에 필요한 내용을 선별할 수 있는 능력

• 논제에서 요구하는 사항을 정확히 이해하고 기존 지식과 제시문의 내용을 바탕으로 논제의 답을 논리적으로 추론하는 능력

• 기존 지식과 제시문의 관련 내용을 체계적, 논리적으로 정리하여 논제의 답안을 명확하고 논리적으로 제시하는 능력

5. 예시 답안

[문제 1] 제시문 (나)에서 분자가 오른쪽 벽면에 충돌한 후 다시 되돌아와 충돌하는 시간 간격 [eqn: TRIANGLE t= {2l} over {v}]이므로 분자 1개가 벽면에 가하는 힘은 [eqn: {2mv} over {TRIANGLE t} = {2mv} over {2l/v} = {mv ^{2}} over {l} ```]이다. 제시문 (가)에 의하면 압력은 단위면적당 힘이므로 분자 1개가 벽면에 가하는 압력은 [eqn: {힘} over {면적} = {mv ^{2}} over {Al} ``]이다. [eqn: N]개의 분자가 동일한 속력 [eqn: v]로 운동하므로 [eqn: N]개의 분자가 가하는 압력은 [eqn: P _{l} `=` {Nmv ^{2}} over {Al} ```]이다. 그런데 분자의 속력 [eqn: v]는 제시문 (다)로부터 평균속력 [eqn: sqrt {{8kT} over {pi m}}]이므로 [eqn: P _{l} `=` {Nm} over {Al} LEFT ( sqrt {{8kT} over {pi m}} RIGHT ) ^{2} ````=` {8NkT} over {pi Al} ``]---① 이다.

[문제 2] <풀이 1>

식 ①에 의하면 압력은 기체 분자의 질량과 무관하다. 따라서 기체 분자 질량의 변화는 압력에 영향을 미치지 않는다. 이제 용기의 길이 변화를 고려하자. [문제 1]의 식 ①에서 [eqn: P _{l} `=`` {8NkT} over {pi Al} ``]이므로 [eqn: P=`` {8NkT} over {pi A(l/2)} = {16NkT} over {pi Al} =2P _{l} ````]이다.

<풀이 2>

분자량과 용기의 길이 변화 후의 압력 [eqn: P _{}]를 구하자. [문제 1]의 답안을 활용하여 용기의 길이가 [eqn: l/2]이면 [eqn: TRIANGLE t= {2 TIMES (l/2)} over {v} = {l} over {v}]이므로, 질량 [eqn: 2m]인 분자 1개가 벽면에 가하는 힘은 [eqn: {2 TIMES (2m) TIMES v} over {TRIANGLE t} = {4mv} over {l/v} = {4mv ^{2}} over {l} `]이다. 질량 [eqn: 2m]인 분자 1개가 벽면에 가하는 압력은 [eqn: {힘} over {면적} = {4mv ^{2}} over {Al} ``]이다. [eqn: N]개의 질량 [eqn: 2m]인 분자가 가하는 압력은 [eqn: P=` {4Nmv ^{2}} over {Al}]이다. 질량 [eqn: 2m]인 분자의 속력은 [eqn: v= sqrt {{8kT} over {pi (2m)}} = sqrt {{4kT} over {pi m}}]이므로 대입하면 다음을 얻는다.

[eqn: P```=` {4Nm} over {Al} LEFT ( sqrt {{4kT} over {pi m}} RIGHT ) ^{2} ````=` {16NkT} over {pi Al} `=2P _{l} `]

[문항 3 : 물리+수학] (물리, 20점)

1. 출제의도

물리학에서 전류에 의한 자기장의 형성에 관한 이론을 바탕으로 해서 두 개의 전류 도선에 의한 합성 자기장을 구할 수 있는 응용 능력을 평가한다. 또한 주어진 문제에 대한 모델을 세우고 이를 수학적 방법으로 해결하는 능력을 평가한다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : ‘물리학 1’에서 다루는 전류와 자기장의 관계에서 출발하여 전류가 서로 반대 방향으로 흐르는 두 도선에서 형성되는 합성 자기장을 구하는 것을 주제로 하였다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 (가)는 전류가 흐르는 긴 직선 도선에 의한  자기장 형성에 관한 내용이다. 자기장의 크기는 전류에 비례하고 도선과의 거리에 반비례하며, 자기장의 방향은 오른손 법칙에 따르게 됨을 설명하였다. 제시문 (나)에서는 어떤 거리만큼 떨어진 나란한 두 개의 직선 도선에서 전류가 같은 방향으로 흐를 때와 반대 방향으로 흐를 때. 두 도선에 외부에 있는 영역과 두 도선 사이 영역 각각에 대해서 합성 자기장의 크기와 방향에 대해 설명하였다.

(다) 제시문 출처 : 고등학교 ‘물리 I’ 교과서를 기초로 한 발췌 및 창작

3. 논제 해설

전류가 서로 반대 방향으로 흐르는 두 직선 도선에 의한 합성 자기장에 관한 문제이다. 논제는 두 개의 질문으로 구성되어 있으며 각 질문 당 점수 배점은 난이도에 따라 차등 배분되었다. [문제 1]에서는 두 도선에 의한 합성 자기장이 0이 되는 위치를 구하는 문제로서, 제시문 (나)의 내용을 바탕으로 두 도선에 의한 합성 자기장의 크기와 방향을 구할 수 있다. [문제 2]는 두 도선 사이의 영역에서 합성 자기장이 최소가 되는 위치를 구하는 문제로서, 합성 자기장에 대한 식을 세우고 분수 함수의 미분을 통해 최소가 되는 지점을 구할 수 있다.

4. 평가 기준

• 주어진 제시문을 정확하게 이해하고 제시문에서 논제 해결에 필요한 내용을 파악할 수 있는 능력

• 논제에서 요구하는 바를 해결하기 위해 제시문에 주어진 내용을 바탕으로 수식을 세우고 해답을 도출할 수 있는 능력

• 미분 등의 계산을 올바르게 수행할 수 있는 능력

5. 예시 답안

[문제 1] 두 도선의 전류가 반대 방향으로 흐르고 왼쪽 도선의 전류가 오른쪽 도선의 전류보다 더 크므로 [eqn: x>l]인 영역에서 합성 자기장이 0이 될 수 있다. [eqn: x>l]인 영역에서 왼쪽 도선에 의한 자기장의 크기는 [eqn: B _{1} =k {2I} over {x}]이고, 오른쪽 도선에 의한 자기장의 크기는 [eqn: B _{2} =k {I} over {x-l}]이다. 합성 자기장이 0이 되려면 [eqn: B_1 `=`B_2]가 되어야 하므로, [eqn: 2 over x ``=``1 over {x-l}] 이다. 즉, [eqn: 2(x-l) `=`x]이 되어, [eqn: x=2l]에서 합성 자기장이 0이 된다.

[문제 2] [eqn: 0<x<l]의 영역에서 두 도선에 의한 자기장은 같은 방향이므로 합성 자기장의 크기는 [eqn: B`=`k {2I} over {x} `+`k {I} over {l-x}] 이다. 이를 정리하면 [eqn: B`=`kI`` LEFT ( {2} over {x} `+` {1} over {l-x} RIGHT ) `=`kI`` LEFT ( {2l-x} over {x(l-x)} RIGHT ) ``] 이다. [eqn: B]가 최소가 되는 위치를 구하기 위해 [eqn: B]를 [eqn: x]에 대해 미분하면,

[eqn: {dB} over {dx} `=`kI`` LEFT ( {-x(l-x)-(2l-x)(l-2x)} over {x ^{2} (l-x) ^{2}} RIGHT ) `=`kI`` LEFT ( {-x ^{2} `+4lx`-2l ^{2}} over {x ^{2} (l-x) ^{2}} RIGHT )]

이다. 따라서 [eqn: dB over dx `=`0] 이 되려면, [eqn: x ^{2} `-`4lx`+2l ^{2} `=0]이 되어야 한다. 위 2차 방정식을 풀면 [eqn: x`=`(2 +-sqrt2 ) l] 인데, [eqn: 0<x<l] 이므로 [eqn: x`=`(2- sqrt {2} )l]에서 [eqn: B]가 최소가 될 수 있다. [eqn: x]에 따른 [eqn: B]의 그래프를 그려보면 [eqn: x`=`(2- sqrt {2} )l]에서 합성 자기장이 최소가 됨을 확인할 수 있다.

[문항 3 : 물리+수학] (수학, 40점)

1. 출제의도

미적분, 복소수, 벡터 등과 연관된 문제를 선택하여 고교 수학에서 다루는 내용을 이해하고 이를 활용할 수 있는 정도와 기본적인 계산 능력을 측정하기 위해서 출제하였다. 교과서에 소개된 문제를 변형하여 출제하였으며 이는 문제를 해결하기 위한 특별한 능력을 측정하기 보다는 고교 과정에서 다루는 수학의 전반적인 이해도, 정직하고 성실하게 계산을 수행할 수 있는 능력, 문제 풀이 과정을 논리적으로 서술하는 능력 등을 평가할 목적으로 출제하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 두 가지 내용으로 각각 2문제씩 총 4문제를 출제하였다. 첫 번째 내용은 미적분과 연관된 것이다. 지수함수 [eqn: f(x)`=e ^{x} ``]의 특별한 성질 [eqn: f(x)/f` prime (x)`=1``]을 이용하여 닫힌구간 [eqn: [0,```1]``]을 [eqn: 3n``]등분하여 [eqn: Q _{k} (k/3n,```0)``], [eqn: P _{k} (k/3n,```e ^{k/3n} )`], 그리고 [eqn: P _{k} `]에서의 접선과 [eqn: x``]축의 교점 [eqn: R _{k} ``]로 이루어진 삼각형을 밑면으로 하고 높이가 [eqn: 1/n``]인 사면체의 부피를 구하는 문제와 사면체의 부피의 무한 합을 정적분으로 변환하여 구하는 문제를 출제하였다. 두 번째 내용은 복소수와 벡터에 연관된 문제이다. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: P,```Q``]에 대하여 덧셈 [eqn: P+Q``]과 곱셈 [eqn: PQ``]을 복소수의 덧셈과 곱셈 규칙을 이용하여 정의하고, 덧셈과 곱셈의 항등원 [eqn: O(0,```0),```E(1,```0)```]을 생각하고, 두 조건 [eqn: LEFT | ` vec{EP`} ` RIGHT | `=1], [eqn: PQ``=P``+Q``]을 동시에 만족하는 두 점 [eqn: P,```Q``]을 분석하여 두 벡터 [eqn: vec{OP``} `]와 [eqn: vec{OQ``} ``]의 내적 [eqn: vec{OP``} ` BULLET vec{OQ``} ``]의 최솟값과 그때의 [eqn: ANGLE POQ``]를 구하는 문제를 출제하였다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 (가)에서는 정적분의 정의와 무한급수를 정적분으로 변환할 수 있다는 개념을 소개하였고, 제시문 (나)에서는 좌표평면 위의 점은 복소수로 생각할 수 있다는 개념을 소개하고, 좌표평면 위의 두 점에 대해서 덧셈과 곱셈을 정의하여 이들 연산의 항등원을 소개하였다.

(다) 제시문 출처 :

제시문 (가) : 고등학교 □적분과 통계□, (주)중앙교육진흥연구소, p. 37

제시문 (나) : 창작

3. 논제 해설

두 가지 내용으로 구성되어 있다.

첫 번째 내용은 지수함수 [eqn: f(x)`=e ^{x} ``]의 특별한 성질 [eqn: f(x)/f` prime (x)`=1``]을 이용하여 닫힌구간 [eqn: [0,```1]``]을 [eqn: 3n``]등분하여 [eqn: Q _{k} (k/3n,```0)``], [eqn: P _{k} (k/3n,```e ^{k/3n} )`], 그리고 [eqn: P _{k} `]에서의 접선과 [eqn: x``]축의 교점을 [eqn: R _{k} ``]라 했을 때, [문제 1]은 [eqn: TRIANGLE P _{k} Q _{k} R _{k} `]을 밑면으로 하고 높이가 [eqn: 1/n``]인 사면체의 부피 [eqn: V _{k} ``]를 구하는 아주 평범한 문제이다. [문제 2]는 사면체 부피 [eqn: V _{k} ``]의 무한 합 [eqn: lim _{n` -> INF } {`` sum _{k=1} ^{n} `V _{3k-1} ``} ``]의 값을 구하는 문제로, 제시문 (가)의 정적분의 정의와 극한의 기본성질 및 미적분학의 기본정리를 활용하는 문제이다.

두 번째 내용은 좌표평면 위의 두 점 [eqn: P,```Q``]에 대하여 덧셈 [eqn: P+Q``]과 곱셈 [eqn: PQ``]을 복소수의 덧셈과 곱셈 규칙을 이용하여 정의하고, 덧셈과 곱셈의 항등원 [eqn: O(0,```0),```E(1,```0)```]을 생각할 때, [문제 3]은 조건 [eqn: PQ``=P``+Q``]을 만족하는 좌표평면 위의 두 점  [eqn: P,```Q``]을 복소수 [eqn: z,```w``]에 대응시켰을 때 [eqn: w`]를 [eqn: z`]로 표현하는 문제이다. [문제 4]는 두 조건 [eqn: LEFT | ` vec{EP`} ` RIGHT | `=1], [eqn: PQ``=P``+Q``]을 동시에 만족하는 두 점 [eqn: P,```Q``]을 분석하여 두 벡터 [eqn: vec{OP``} `]와 [eqn: vec{OQ``} ``]의 내적 [eqn: vec{OP``} ` BULLET vec{OQ``} ``]의 최솟값과 그때의 [eqn: ANGLE POQ``]를 구하는 문제이다.

4. 평가 기준

• 정적분의 정의를 정확하게 이해하고 논제에서 요구한 계산을 올바르게 수행할 수 있는 능력

• 좌표평면에 정의된 덧셈과 곱셈 연산의 개념을 복소수의 덧셈과 곱셈으로 파악하는 능력과 주어진 두 조건을 해석하는 능력 및 두 벡터의 내적 관련 계산을 올바르게 수행할 수 있는 능력

5. 예시 답안

[문제 1] 곡선 [eqn: y=e ^{x} `] 위의 점 [eqn: P _{k} LEFT ( {k} over {3n} ,```e ^{{k} over {3n}} RIGHT ) `]에서 접선 [eqn: L``]의 식을 구하면

[eqn: L``:``y=e ^{{k} over {3n}} LEFT ( x- {k} over {3n} RIGHT ) +e ^{{k} over {3n}} `]

이다. [eqn: L``]과 [eqn: x``]축과의 교점은 [eqn: R _{k} LEFT ( {k} over {3n} -1,```0 RIGHT )]이므로 [eqn: LEFT | bar{Q _{k} R _{k}} RIGHT | =1`]로 일정하다. 따라서 삼각형 [eqn: TRIANGLE P _{k} Q _{k} R _{k} `]을 밑면으로 하고 높이가 [eqn: {1} over {n} ``]인 사면체의 부피는

[eqn: V _{k} = {1} over {3} LEFT ( {1} over {2} LEFT | ` bar{Q _{k} R _{k}} ` RIGHT | `` LEFT | ` bar{P _{k} Q _{k}} ` RIGHT | RIGHT ) {1} over {n} = {1} over {6n} `e ^{{k} over {3n}} `]

이다.

[문제 2] 앞의 [문제 1]에서 구한 [eqn: V _{k} `]의 식과 제시문 (나)에서 설명된 정적분의 정의와 미적분학의 기본정리를 이용하면, 다음을 얻는다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {sum _{k=1} ^{n} V _{3k-1} `} & = lim _{n` -> ` INF } {sum _{k=1} ^{n} {1} over {6n} e ^{{3k-1} over {3n}}} = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {1} over {6} e ^{- {1} over {3n}} RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{n} {1} over {n} e ^{{k} over {n}} RIGHT )}# & = LEFT ( lim _{n` -> ` INF } {{1} over {6} e ^{- {1} over {3n}}} RIGHT ) LEFT ( lim _{n` -> ` INF } {sum _{k=1} ^{n} {1} over {n} e ^{{k} over {n}}} RIGHT ) = {1} over {6} ` int _{0} ^{1} {e ^{x} `dx} `= {1} over {6} (e-1)]

[문제 3] [eqn: P`,```Q``]에 대응되는 복소수가 각각 [eqn: z,```w``]이고 [eqn: PQ=P+Q``]를 만족한다고 했으므로 [eqn: z`w=z+w``]를 또한 만족한다. 이것을 [eqn: w`]로 정리하면 [eqn: w= {z} over {z-1}]이다.

[문제 4] [eqn: P(x,```y)`,```Q``]에 대응되는 복소수를 각각 [eqn: z=x+i`y,```w``]라 하면, 문제에 주어진 두 조건으로부터

[eqn: (x-1) ^{2} +y ^{2} =1``]---①          [eqn: w= {z} over {z-1} = {x+i`y} over {(x-1)+i`y} ``]---②

을 얻는다. ①을 이용하여 ②를 유리화하면 [eqn: w=x-i`y`], 즉 [eqn: Q=Q(x,`-y)``]임을 알 수 있다. 따라서 [eqn: vec{OP`} ` BULLET vec{OQ`} `=x ^{2} -y ^{2} =x ^{2} - LEFT { 1-(x-1) ^{2} RIGHT } =2x ^{2} -2x``]이고 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2``]에서 이 값의 최솟값은 ([eqn: x= {1} over {2} ``]일 때) [eqn: - {1} over {2}]이다. 이때 [eqn: y``]좌표는 [eqn: y=± {sqrt {3}} over {2} ``]이므로 [eqn: ANGLE POQ= {2pi } over {3} `]이다.