2012학년도 수시 2차 자연계 논술고사 출제 의도 및 해설

[문항 1 : 생물] (20점)

1. 출제의도

생물에서는 ‘호르몬과 항상성 유지’에 대한 전반적인 이해를 알아보고자 하였다. 호르몬의 기능을 표로 요약하여 제시문에 주고, 사람의 여러 생리 조절 작용에서 호르몬의 역할을 생각해보도록 하였다. [문제 1]에서는 항상성의 일반적 조절 방식인 음성 피드백 조절과는 반대로 조절 받아야 하는 호르몬을 표에 주어진 호르몬의 작용으로부터 유추할 수 있는 능력을 평가하고자 하였다. [문제 2]에서는 제시문에 주어진 표를 근거로 주어진 지문에서 잘못된 부분을 찾아 그 이유를 설명하게 함으로써 알고 있는 것을 논리적으로 설명하는 능력을 평가하고자 하였으며, 잘못된 부분을 올바르게 고치도록 함으로써 호르몬 기능에 대한 이해도를 평가하고자 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 2012학년도 인하대학교 수시 2차 자연계 논술고사 생물은 ‘항상성’과 ‘생식과 발생’ 과정에서 호르몬의 역할을 이해하고 있는지 평가하고자 하였다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 (가)에서는 생물 I 에서 배우는 사람의 주요 호르몬의 작용을 표로 요약하였다. 제시문 (나)에서는 항상성 유지를 위한 음성 피드백 과정을 설명하였다.

(다) 제시문 출처

제시문 (가) : 고등학교 □생물 I□ 교과서에서 발췌

제시문 (나) : 고등학교 □생물 I□ 교과서에서 발췌

3. 논제 해설

[문제 1]은 양성 피드백 조절을 받는 호르몬을 유추해 낼 수 있는지 알아보고자 하였다. 제시문 (가)의 표에서 해답에 대한 힌트를 얻을 수 있을 것으로 기대한다. [문제 2]는 주어진 제시문에서 잘못된 부분을 찾아 올바르게 수정하는 문제이다. 제시문의 호르몬을 표에서 설명한 호르몬의 작용과 대조해보면 잘못된 부분을 찾고 그 이유를 설명할 수 있을 것이다.

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4. 평가 기준

• 주어진 제시문을 정확하게 이해하고 이를 바탕으로 각 논제에서 요구하는 문제를 파악하는 능력

• 호르몬 작용과 여러 가지 생리 조절 현상과의 연관성을 이해하고 있는 정도

• 제시문의 잘못된 부분을 논리적으로 설명하는 능력

5. 예시 답안

[문제 1]

호르몬: 옥시토신

조절 과정: 출산할 때 태아가 자궁벽에 압력을 주면 뇌하수체 후엽에서 옥시토신이 분비된다. 분비된 옥시토신은 자궁벽을 수축시키게 되는데, 자궁벽이 받는 압력이 증가되면 옥시토신의 분비가 한층 더 촉진되는 일이 반복되어, 결국 아이를 출산하게 된다.

[문제 2]

문항	잘못된 부분	잘못된 이유	올바른 표현
(1)	항이뇨 호르몬 분비가 촉진되어	항이뇨 호르몬이 증가하면 오줌량이 감소함. (또는) 항이뇨 호르몬이 감소해야 오줌량이 증가한다. (또는) 삼투압이 낮아지면 삼투압을 증가시키기 위해 수분의 재흡수를 억제해야 한다.	항이뇨 호르몬 분비가 억제되어
(2)	칼시토닌	칼시토닌은 칼슘 농도 조절에 관여한다. (또는) 물질 대사 촉진은 티록신이 담당함.	티록신
(3)	착상된 수정란을 안정화시킴으로써 (또는) 수정란	여포 자극 호르몬과 황체 형성 호르몬은 난자 성숙과 배란을 촉진한다. (또는) 수정란이 착상될 때는 이미 포배 상태이다. 포배 상태에서 착상되기 때문에 수정란이란 표현은 잘못된 표현이다.	다른 난자의 성숙(또는 배란)을 억제함으로써 (또는) 어린 배(포배)

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2012학년도 수시 2차 자연계 논술고사 출제 의도 및 해설

[문항 2 : 화학] (20점)

1. 출제의도

고등학교 ‘화학 1’ 교과의 중요한 부분을 차지하는 금속의 성질을 주 소재로 삼아, 금속의 산화와 환원, 금속의 이온화 및 반응성, 금속의 부식 및 부식의 방지법 등에 대한 이해도와 그 응용 능력을 측정하려 하였다. 세부적인 내용을 살펴보면, 주어진 자료를 바탕으로 금속의 반응성 순서를 파악하고, 부동화 여부를 판단하며, 금속과 그 이온들 간의 반응을 예측하며, 금속의 부식을 막는 적절한 방법을 모색하는 능력과, 동시에 추론의 논리성과 논리적으로 사고의 과정을 명확히 기술하는 능력을 종합적으로 측정하려고 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 2012학년도 인하대학교 수시 2차 자연계 논술고사의 화학 부분은 금속의 반응성과 부식 방지법을 주제로 삼았다. 제시된 사실에 근거하여 여러 금속의 반응성 순서를 결정하고, 그것을 활용하여 특정 금속이 철의 부식을 막는 원리를 추론하는 내용을 포함하고 있다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 (가)에서는 금속의 반응성을 정의하고, 금속의 반응성 순서를 결정하는 방법을 소개하였다. 이 방법에 의하여 결정된 여러 금속들의 반응성 순서를 부등호를 이용하여 표기하여 문제에 답할 때 이용할 수 있도록 하였다. 제시문 (나)에서는 금속의 부식을 철을 예로 들어 설명하고, 금속 특히 철의 부식을 막는 일반적인 방법을 상세히 설명하였다. 제시문 (다)에서는 부동화 현상을 자세히 설명하고, 부동화를 이루는 대표적인 금속인 알루미늄을 소개하여 문제 풀이에 이용하도록 하였다.

(다) 제시문 출처

제시문 (가)는 여러 고등학교 □화학 1□ 교과서의 ‘금속의 성질과 이용’ 단원에 소개된 내용이다. 다음은 관련 내용이 실려 있는 교과서들이다.

<고등학교 □화학 1□ 교과서, 지학사, 105쪽, 대한교과서 100-102쪽>

제시문 (나)는 금속의 부식을 철을 예로 들어 상세히 설명하고, 금속 특히 철의 부식을 막는 일반적인 방법을 소개하는 내용으로 역시 여러 고등학교 □화학 1□ 교과서의 ‘금속의 성질과 이용’ 단원에 소개된 내용이다.

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<고등학교 □화학 1□ 교과서, 지학사, 108-109쪽, 대한교과서 103-105쪽>

제시문 (다)는 부동화 현상을 설명하고 있는 데, 이 내용 또한 모든 고등학교 □화학 1□ 교과서의 ‘금속의 성질과 이용’ 단원에 ‘부동화’라는 용어를 사용하지 않고 소개하고 있다.

<고등학교 □화학 1□ 교과서, 지학사, 111쪽, 대한교과서 106쪽>

3. 논제 해설

[문제 1]은 제시문 (가)와 □화학 1□ 교과서의 금속의 반응성 부분의 내용에 근거하여 주어진 자료로부터 금속 A, B, C 및 철의 반응성 순서를 추론하는 문제이다.

자료 (1)과 자료 (3)은 반응성 예측에 도움이 되지 않는 자료이다. 제시문 (가)의 반응성 순서에서 H 보다 왼편에 있는 금속들은 묽은 염산과 반응하여 수소를 발생한다.

자료 (2)에 의하면 금속 C와 철은 수소를 발생하나, A와 B는 반응하지 않으므로 금속 C와 철이 금속 A와 B보다 반응성이 큼을 알 수 있다. 그러나 C와 철, A와 B의 반응성 순서는 아직 알 수 없다. 즉, 반응성 순서는 C, 철 > A, B 이다.

자료 (4)에 의하여 금속 A의 양이온이 들어 있는 수용액에 금속 B를 넣으면 금속 A가 석출되므로 금속 A는 B보다 반응성이 적다. 즉, 반응성 순서는 B > A 이다.

자료 (5)는 금속 C가 제시문 [나]에 기술한 ‘음극화 보호’의 원리로 철의 부식을 막아줌을 알 수 있다. 음극화 보호에서 철의 부식을 막아주는 금속은 철보다 반응성이 높다. 따라서  반응성 순서는	C > 철	이다.  위의 세 반응성 순서를 종합하면 반응성 순서는 C > 철 > B > A 이다.

[문제 2]에서는 자료 (2)에 기술한 사실, 즉 금속 C가 철의 도금 물질로 사용된다는 사실의 적절성을 제시된 자료를 이용하여 과학적으로 설명하는 문항이다. 예시 답안에 제시한 대로 먼저 금속 C가 부동화되는 금속임을 알아내는 것이 중요하다. [문제 1]에서 금속 C가 철보다 반응성이 큼을 알았고, 자료 (1)에서 금속 C가 공기 중에서 안정하다고 하였으므로 금속 C가 공기 중에서 부동화 됨을 알 수 있다. 철에 도금된 금속 C가 부동화되므로 금속 C의 도금은 공기 중에서 안정할 것이다. 따라서 내부의 철이 공기 중의 산소와 물과 접촉하는 것을 장기간 막아 줄 것으로 예상된다. 또한 금속 C가 철보다 반응성이 높으므로 충격에 의하여 도금이 손상되어 내부의 철이 노출된 경우에도 ‘음극화 보호’의 원리로 철의 부식을 추가적으로 막아줄 것이다. 이 두 가지 원리로 금속 C는 철에 도금되었을 때 효과적으로 철의 부식을 막아줄 것이므로 철에 대한 도금 금속으로 적절하다.

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4. 평가 기준

• 산화-환원, 금속의 이온화, 금속의 반응성, 반응성 순서, 금속의 부식, 부식 방지법 등 고등학교 ‘과학’ 교과에 들어 있는 개념과 원리를 정확하게 이해하고 이를 활용하는  능력

• 제시문과 문항의 자료에서 주어진 여러 가지 내용 중에서 논제 해결에 필요한 내용을 선별할 수 있는 능력

• 논제에서 요구하는 사항을 정확히 이해하고 기존 지식과 제시문 및 자료의 내용을 바탕으로 논제의 답을 논리적으로 추론하는 능력

• 기존 지식과 제시문 및 자료의 관련 내용을 체계적, 논리적으로 종합, 정리하여 논제의 답안을 명확하고 논리적으로 제시하는 능력

5. 예시 답안

[문제 1]

제시문 (가)의 반응성 순서를 보면 묽은 염산과 반응하여 수소를 발생하는 금속은 그렇지 않은 금속보다 반응성이 높다. 자료 (2)에 의하면 금속 C와 철은 수소를 발생하나, A와 B는 반응하지 않으므로

C, 철 > A, B	--------  (1)

자료 (4)에 의하면 금속 A의 양이온이 들어 있는 수용액에 금속 B를 넣으면 금속 A가 석출되므로 금속 A는 B보다 반응성이 적다. 즉,

B > A	-----------(2)

자료 (5)는 금속 C가 철보다 더 쉽게 산화됨(혹은 이온화 경향이 더 큼)을 보여준다. 따라서 반응성 순서는

C > 철	-----------(3)

(1), (2), (3)의 부등식을 종합하여 반응성 순서는 C > 철 > B > A.

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[문제 2]

자료 (5)에 의하면(또는 문제 1의 답에서) 금속 C는 철보다 반응성이 높다. (그럼에도 불구하고 자료 (1)에 의하면 금속 C는 공기 중에서 부식되지 않는다.)

이 두 자료는 금속 C가 공기 중에서 부동화됨을 의미한다.

따라서 철에 금속 C를 도금하면 내구성이 높은 부동화된 산화막을 표면에 형성하여 철이 공기 중의 산소와 수분과 접촉하는 것을 장기간 막아 철의 부식을 막는다.

또한 도금된 금속 C가 손상되어 철이 공기에 노출되더라도 금속 C가 철보다 반응성이 높으므로 철보다 먼저 (전자를 내어 주고) 산화되므로 철의 산화를 막아준다.

이 두 가지 작용으로 금속 C는 철에 도금되었을 때 효과적으로 철의 부식을 막아줄 것이므로 철에 대한 도금 금속으로 적절하다.

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2012학년도 수시 2차 자연계 논술고사 출제 의도 및 해설

[문항 3 : 물리+수학] (물리, 20점)

1. 출제의도

마찰력이 존재하는 평면에서 물체의 운동에 뉴턴의 제2법칙이 적용되는 방식을 이해하고, 이를 실생활에서 쉽게 접할 수 있는 문제에 응용하여 문제를 논리적으로 기술하고 해결하는 능력을 평가하고자 하였다. 특히 물체가 정지해 있는 상태에서의 정지 마찰력과 운동하고 있는 상태에서의 운동 마찰력의 구분하고 이를 문제 해결에 적용하는 능력이 요구된다. 또한, 제시문을 참조하여 마찰력이 존재하는 평면에서 정지 상태와 가속 운동하는 상태에 대한 운동 방정식을 도출하고, 문제에서 주어진 정보를 바탕으로 운동 방정식을 수학적으로 바르게 풀이하는 능력을 평가한다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 2012학년도 인하대학교 수시 2차 물리 문제는 마찰이 존재하는 평면에서 물체를 움직이기 위해서 물체에 가해주어야 할 힘의 최소값을 구한 후, 마찰을 극복하여 움직이는 물체의 가속도를 구하는 것을 주제로 하였다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 (가)에서는 논제에서와 동일한 상황을 예를 들어 마찰이 존재하는 평면 상에서 물체에 작용하는 힘들을 설명하고 이 물체의 운동을 기술하는 운동방정식에 대한 표현식을 나타내었다. 제시문 (나)에서는 마찰력이 마찰 계수와 수직 항력에 비례함을 설명하고, 특히 정지해 있는 물체에 작용하는 정지 마찰력과 운동하고 있는 물체에 작용하는 운동 마찰력의 차이에 대해 설명하였다.

(다) 제시문 출처 : 고등학교 ‘물리 I’ 교과서를 기초로 한 발췌 및 창작

3. 논제 해설

마찰이 존재하는 평면 상에서 상자에 [eqn: theta``]의 각도로 비스듬하게 힘을 가해서 상자를 움직이기 위해서 최소한으로 가해 주어야 할 힘의 크기와 상자가 움직인 후에 상자의 가속도를 구하는 문제이다. 본 논제는 세 개의 질문으로 구성되어 있으며 각 질문 당 점수 배점은 난이도에 따라 차등 배분되었다. [문제 1]은 정지 상태에 있는 상자가 바닥의 마찰을 극복하고 움직이게 하기 위한 힘의 크기와 [eqn: theta``]의 관계식을 구하는 문제로서, 제시문 (가)에서 나타낸 운동 방정식과 제시문 (나)의 최대 정지 마찰력에 대한 내용을 이용하여 해결할 수 있다. [문제 2]는 상자를 최소한의 힘으로 움직이기 위한 [eqn: theta``]의 값을 구하고 또한 이 때의 최소 힘을 구하는 문제로서, [문제 1]에서 구한 힘과 [eqn: theta``]의 관계식으로부터 삼각 함수와 분수 함수의 미분과 삼각 함수 연산을 통해 최소가 되는 조건을 도출할 수 있다. [문제 3]은 상자가 움직인 후에도 동일한 힘을 계속 가할 때 물체의 가속도를 구하는 문제로서, 제시문 (가)의 운동 방정식과 제시문 (나)의 운동 마찰력에 대한 내용을 이용하여 해결할 수 있다.

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4. 평가 기준

• 주어진 제시문을 정확하게 이해하고 제시문에서 논제 해결에 필요한 내용을 파악할 수 있는 능력

• 논제에서 요구하는 바를 해결하기 위해 제시문에 주어진 내용을 바탕으로 운동 방정식을 세우고 해답을 도출할 수 있는 능력

• 문제의 상황에서 정지 마찰력과 운동 마찰력을 구분하여 적용하는 능력

• 운동 방정식의 풀이, 삼각 함수 및 분수 함수의 미분, 삼각 함수 계산 등을 올바르게 수행할 수 있는 능력

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5. 예시 답안

[문제 1]

상자에 작용하는 힘을 모두 나타내면 오른쪽 그림과 같다. [eqn: N``]은 수직 항력이고 [eqn: f``]는 마찰력이다. 상자가 정지해 있을 때 수평 방향과 수직 방향에서 합력이 0이 되어야 하므로 운동 방정식은 다음과 같다.

[eqn: F`cos` theta `-f`=`0]

[eqn: N`+`F`sin` theta `-mg`=`0]

상자가 막 움직이기 시작할 때 마찰력은 최대 정지 마찰력이 되므로 마찰력은 [eqn: f _{s} `=` mu _{s} `N``]가 된다. 여기서 [eqn: mu _{s} ``]는 정지 마찰 계수이다. 위 식들을 정리하면 [eqn: F`=` {mu _{s} `mg} over {cos` theta `+` mu _{s} `sin` theta } ``]이고, [eqn: mu _{s} `=`0.5``]를 대입하면 [eqn: F`=` {0.5`mg} over {cos` theta `+`0.5`sin` theta } ``]가 된다.

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[문제 2]

[eqn: F``]의 최소값을 구하기 위해 [eqn: F``]를 [eqn: theta ``]에 대해 미분하면 [eqn: {dF} over {d theta } = {0.5`mg`(sin theta `-`0.5`cos theta )} over {(cos theta `+`0.5`sin theta ) ^{2}} ``]이므로 [eqn: {dF} over {d theta } =0``]이 되기 위해서는 [eqn: sin` theta `=`0.5`cos` theta ``]가 되어야 한다. 양변을 제곱하면 [eqn: sin ^{2} ` theta `=`0.5 ^{2} `cos ^{2} ` theta `=`0.25`(1-sin ^{2} ` theta )``]이므로 [eqn: sin` theta `=` sqrt {{0.25} over {1.25}} `=` {1} over {sqrt {5}} ``]이다. 이때 [eqn: cos` theta `=` {2} over {sqrt {5}}]이므로 힘의 최솟값은

[eqn: F`=` {0.5`mg} over {cos` theta `+`0.5`sin` theta } `=` {0.5`mg} over {2/ sqrt {5} `+`0.5/ sqrt {5}} = {mg} over {sqrt {5}}]

이다.

[문제 3]

수평 방향으로는 가속도 [eqn: a``]로 움직이고 수직 방향으로는 정지해 있으므로 수평 방향과 수직 방향에 대한 운동방정식은 각각 다음과 같다.

[eqn: F`cos` theta `-f`=m`a`]

[eqn: N`+`F`sin` theta `-mg`=`0]

물체가 움직이기 시작한 후에는 운동 마찰력이 작용하므로 마찰력은 [eqn: f _{k} `=` mu _{k} `N``]가 된다. 여기서  [eqn: mu _{k} ``]는 운동 마찰 계수이다. 즉, [eqn: f _{k} `=` mu _{k} `N`=` mu _{k`} `(-F`sin` theta `+`mg)``]이고 위 식들을 정리하면, 상자의 가속도는 [eqn: a`=` {F`cos` theta `-f} over {m} `=` {F`(cos` theta `+` mu _{k} `sin` theta )} over {m} `-` mu _{k} `g``]이다.

[eqn: F`=` {mg} over {sqrt {5}} `,````sin` theta `=` {1} over {sqrt {5}} `,````cos` theta `=` {2} over {sqrt {5}}], [eqn: mu _{k} `=`0.3``]를 대입하면, 가속도는

[eqn: a`=`` {g} over {sqrt {5}} `( {2} over {sqrt {5}} `+`0.3 TIMES {1} over {sqrt {5}} )`-`0.3`g`=`0.16`g]

가 된다.

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2012학년도 수시 2차 자연계 논술고사 출제 의도 및 해설

[문항 3 : 물리+수학] (수학, 40점)

1. 출제의도

미적분, 행렬, 일차변환, 이차곡선 등과 연관된 문제를 선택하여 고교 수학에서 다루는 개념의 이해도, 정직하고 성실하게 계산을 수행할 수 있는 능력, 문제 풀이 과정을 논리적으로 서술하는 능력 등을 평가할 목적으로 출제하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 2012학년도 인하대학교 수시 2차 수학 문제는 두 가지 내용으로 총 네 문제를 출제하였다.

첫 번째 내용은 미적분과 연관된 것이다. 정적분으로 정의된 함수

[eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {(x ^{3} -4`t ^{3} )`f(t)`dt} `]

에 대하여 첫 번째 문제는 연속함수 [eqn: f(x)``]가 우함수일 때, [eqn: F(x)``]도 우함수임을 보이는 것이다. 두 번째 문제는 [eqn: f(x)`]가 구간 [eqn: [0,` INF )``]에서 증가함수일 때, [eqn: F(x)`]는 구간 [eqn: [0,` INF )``]에서 감소함수가 되는 것을 보이는 것이다.

두 번째 내용은 이차곡선(원, 타원), 행렬, 일차변환과 연관된 것이다. 세 번째 문제는 단위원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1``]에 내접하는 삼각형의 최대 넓이를 이용하여 타원 [eqn: {x ^{2}} over {p ^{2}} + {y ^{2}} over {q ^{2}} =1``]에 내접하는 삼각형의 최대 넓이를 구하는 것이다. 네 번째 문제는 중심이 원점이고, 장축과 단축이 각각 직선 [eqn: y=x``]와 [eqn: y=`-x``] 위에 있는 타원 [eqn: C``]에 대하여, [eqn: C``]에 내접하는 가장 큰 원 [eqn: C _{1} ``]에 외접하고 [eqn: C``]에 내접하는 제1사분면에 있는 원 [eqn: C _{2} ``]의 반지름과 중심을 구하는 것이다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 (가)에서는 우함수와 기함수의 정의를 소개하였다.

[eqn: f(-x)=f(x),`````f(-x)=`-f(x)]

제시문 (나)에서는 연속함수 [eqn: y=f(x)``]와 [eqn: x`]축 및 두 직선 [eqn: x=a,``x=b``]로 둘러싸인 도형의 넓이가 밑변의 길이는 [eqn: b-a``]이고 높이는 [eqn: f(c)``]인 직사각형의 넓이와 같게 되는 [eqn: c``]가 [eqn: a``]와 [eqn: b```]사이에 적어도 하나 존재한다는 적분의 평균값의 정리를 소개하였다.

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[eqn: int _{a} ^{b} {f(x)dx} `=(b-a)f(c)`````(a<c<b)]

제시문 (다)에서는 일차변환의 정의를 소개하였고, 평면에 있는 도형 [eqn: R``]가 일차변환

[eqn: {pmatrix{x`` prime `#y`` prime }} `=` {pmatrix{a&``b#c&``d}} ` {pmatrix{x`#y`}} ``]

에 의하여 도형 [eqn: R`` prime ``]으로 옮겨질 때, 만약 [eqn: ad-bc` != 0```]이면 [eqn: R`` prime `]의 넓이는 [eqn: R``]의 넓이의 [eqn: LEFT | `ad-bc` RIGHT | ``]배임을 소개하였다.

(다) 제시문 출처 :

제시문 (가) : 고등학교 □적분과 통계 익힘책□, 지학사, p. 26

제시문 (나) : 2008학년도 서울대 정시논술 제시문에서 발췌 편집

제시문 (다) : 고등학교 □기하와 벡터 익힘책□, 금성출판사, p. 12, p. 20에서 발췌 편집

3. 논제 해설

두 가지 내용으로 구성되었다.

첫 번째 내용은 미적분과 연관된 것이다. 정적분으로 정의된 함수

[eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {(x ^{3} -4`t ^{3} )`f(t)`dt} `]

에 대하여 [문제 1]은 연속함수 [eqn: f(x)``]가 우함수일 때, [eqn: F(x)``]도 우함수임을 보이는 것이다. 즉 [eqn: f(-x)=f(x)``]라는 사실을 이용하여 [eqn: F(-x)=F(x)`]임을 보이는 것이다. [eqn: F(-x)``]식에서 [eqn: -x=t`]로 치환하여 적분을 잘 정리하면 쉽게 보일 수 있다. [문제 2]는 [eqn: f(x)`]가 구간 [eqn: [0,` INF )``]에서 증가함수일 때, [eqn: F(x)`]는 구간 [eqn: [0,` INF )``]에서 감소함수가 되는 것을 보이는 것이다. 먼저 미적분학의 기본정리를 사용하여 [eqn: F`` prime (x)``]를 구하고, 제시문 (나)에 주어진 적분의 평균값의 정리([eqn: int _{a} ^{b} {f(x)dx} `=(b-a)f(c)`````(a<c<b)])의 내용을 이해하여 활용하고, [eqn: f(x)`]가 증가함수([eqn: a<b``]일 때, [eqn: f(a)<f(b)``])라는 사실을 이용하면 이 문제를 해결할 수 있다.

두 번째 내용은 이차곡선(원, 타원), 행렬, 일차변환과 연관된 것이다. [문제 3]은 단위원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1``]에 내접하는 삼각형의 최대 넓이를 이용하여 타원 [eqn: {x ^{2}} over {p ^{2}} + {y ^{2}} over {q ^{2}} =1``]에 내접하는 삼각형의 최대 넓이를 구하는 것이다. 타원 [eqn: {x ^{2}} over {p ^{2}} + {y ^{2}} over {q ^{2}} =1``]은 단위원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1``]을 일차변환 [eqn: {pmatrix{x`` prime `#y`` prime }} `= {pmatrix{p&``0#0&``q}} {pmatrix{x#y}} ``]에 의해 옮겨진 도형임을 인식하고, 단위원에 내접하고 넓이가 최대인 삼각형은 타원 [eqn: {x ^{2}} over {p ^{2}} + {y ^{2}} over {q ^{2}} =1``]에 내접하고 넓이가 최대인 삼각형으로 옮겨지므로 제시문 (다)에 주어진 ‘일차변환에 의한 도형의 넓이의 변화’에 의해 옮겨진 삼각형의 넓이를 쉽게 구할 수 있다. [문제 4]는 중심이 원점이고, 장축과 단축이 각각 직선 [eqn: y=x``]와 [eqn: y=`-x``] 위에 있고 장축의 길이가 6이고 단축의 길이가 2인 타원 [eqn: C``]에 대하여, [eqn: C``]에 내접하는 가장 큰 원 [eqn: C _{1} ``]에 외접하고 [eqn: C``]에 내접하는 제1사분면에 있는 원 [eqn: C _{2} ``]의 반지름과 중심을 구하는 것이다. 타원 [eqn: C``]는 타원 [eqn: {x ^{2}} over {9} +y ^{2} =1``]을 회전변환

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[eqn: {pmatrix{x`` prime `#y`` prime }} `= {pmatrix{cos` {pi } over {4}&````-sin` {pi } over {4}#sin` {pi } over {4}&```````````cos` {pi } over {4}}} {pmatrix{x#y}} `= {1} over {sqrt {2}} {pmatrix{1&````-1#1&```````````1}} {pmatrix{x#y}} `]

에 의해 옮겨진 도형임을 인식하고, 원 [eqn: C _{1} `]에 외접하고 타원 [eqn: {x ^{2}} over {9} +y ^{2} =1``]에 내접하는 제1사분면의 원 [eqn: C _{2} '``]의 반지름과 중심을 구하면, 원 [eqn: C _{2} `]의 반지름은 원 [eqn: C _{2} '``]의 반지름과 같고, 원 [eqn: C _{2} `]의 중심은 원 [eqn: C _{2} '``]의 중심을 반시계방향으로 [eqn: {pi } over {4} `] 회전하여 얻을 수 있다.

4. 평가 기준

• 우함수의 정의, 미적분학의 기본정리, 증가함수의 개념을 정확하게 이해하고, 문제 해결에 활용할 수 있는 능력

• 원을 타원으로 옮겨주는 일차변환 및 회전변환을 문제 해결에 활용하는 능력

• 논제에서 요구하는 사항을 정확히 이해하고 기존 지식과 제시문의 내용을 바탕으로 논제의 답을 논리적으로 추론하고 제시하는 능력

5. 예시 답안

[문제 1]

/

[eqn: F(-x)=F(x)``]임을 보이자.

(풀이 1) [eqn: F(-x) & = int _{0} ^{-x} {((-x) ^{3} -4t ^{3} )f(t)`dt} `= int _{0} ^{-x} {(-x ^{3} -4t ^{3} )f(t)`dt} `# & = int _{0} ^{x} {(-x ^{3} -4(-u) ^{3} )f(-u)`(-du)`````( BECAUSE ```t=-u)} `# & = int _{0} ^{x} {(x ^{3} -4u ^{3} )f(-u)`du} ``]

함수 [eqn: f``]가 우함수이므로 제시문 (가)에 의해 [eqn: f(-x)=f(x)``]이다. 따라서

[eqn: F(-x)= int _{0} ^{x} {(x ^{3} -4u ^{3} )f(-u)`du} `= int _{0} ^{x} {(x ^{3} -4u ^{3} )f(u)`du} `=F(x)].

(풀이 2) [eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {(x ^{3} -4`t ^{3} `)`f(t)`dt`} `=`x ^{3} ` int _{0} ^{x} {f(t)`dt} ``-4 int _{0} ^{x} {t ^{3} `f(t)`dt} ``], 여기서 함수 [eqn: f``]는 우함수이고 [eqn: t ^{3} `]은 기함수이므로 [eqn: t ^{3} `f(t)``]는 기함수이다. 즉 [eqn: y=f(t)``]의 그래프는 [eqn: y``]축에 대칭이고, [eqn: y=t ^{3} `f(t)``]의 그래프는 원점에 대칭이다. 따라서

[eqn: int _{0} ^{x} {f(t)dt} `= int _{-x} ^{0} {f(t)dt} `],  [eqn: int _{0} ^{x} {t ^{3} `f(t)`dt} `=- int _{-x} ^{0} {t ^{3} `f(t)`dt} `]

이다. 이 사실을 이용하면,

[eqn: F(-x) & =`-x ^{3} ` int _{0} ^{-x} {f(t)`dt} ``-4 int _{0} ^{-x} {t ^{3} `f(t)`dt} `=x ^{3} ` int _{-x} ^{0} {f(t)`dt} ``+4 int _{-x} ^{0} {t ^{3} `f(t)`dt} `# & =x ^{3} ` int _{0} ^{x} {f(t)`dt} ``-4 int _{0} ^{x} {t ^{3} `f(t)`dt} ``= int _{0} ^{x} {(x ^{3} -4`t ^{3} `)`f(t)`dt`} =F(x)`]

[문제 2]

구간 [eqn: [0,` INF )``]에서 [eqn: F`` prime (x)<0``]임을 보이자.

주어진 함수

[eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {(x ^{3} -4`t ^{3} `)`f(t)`dt`} `=`x ^{3} ` int _{0} ^{x} {f(t)`dt} ``-4 int _{0} ^{x} {t ^{3} `f(t)`dt} ``]

를 [eqn: x``]로 미분하면,

[eqn: F`` prime (x)=3x ^{2} ` int _{0} ^{x} {f(t)dt} `+x ^{3} `f(x)-4x ^{3} f(x)`=`3x ^{2} int _{0} ^{x} {f(t)dt-3x ^{3} f(x)}].

연속 함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{x} {f(t)`dt} ``]는 제시문 (나)의 적분에 관한 평균값의 정리에 의해 [eqn: int _{0} ^{x} {f(t)`dt} `=xf(c)`]를 만족하는 [eqn: c``]가 [eqn: 0``]과 [eqn: x``]사이에 적어도 하나 존재한다. 이 사실로부터

/

[eqn: F`` prime (x)=`3x ^{2} (xf(c))-3x ^{3} f(x)=3x ^{3} `(f(c)-f(x))`] [eqn: (0<c<x)]

을 얻을 수 있다. 함수 [eqn: f``]가 구간 [eqn: [0,` INF )``]에서 증가함수이므로 [eqn: c<x``]일 때, [eqn: f(c)<f(x)``]이다. 따라서 구간 [eqn: [0,` INF )``]에서 [eqn: F``'(x)<0`]이다.

[문제 3]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {p ^{2}} + {y ^{2}} over {q ^{2}} =1``]은 단위원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1``]을 일차변환 [eqn: {pmatrix{x`` prime `#y`` prime }} `= {pmatrix{p&``0#0&``q}} {pmatrix{x#y}} ``]에 의해 옮겨진 도형이다. 단위원에 내접하고 넓이가 최대인 삼각형을 [eqn: A``], 타원 [eqn: {x ^{2}} over {p ^{2}} + {y ^{2}} over {q ^{2}} =1``]에 내접하고 넓이가 최대인 삼각형을 [eqn: B``]라 하면 제시문 (다)에 의해 [eqn: B``]의 넓이는 [eqn: A``]의 넓이의 [eqn: LEFT | `pq-0` RIGHT | ``]이다. 따라서 구하는 삼각형의 최대 넓이는 [eqn: {3} over {4} sqrt {3} `pq``]이다.

[문제 4]

[eqn: C`` prime = LEFT { (x,`y)``|`` {x ^{2}} over {9} +y ^{2} =1` RIGHT } `]이라 두면 [eqn: C``'`]은 행렬

[eqn: ` {pmatrix{cos` {pi } over {4}&``-sin` {pi } over {4}#sin` {pi } over {4}&``cos` {pi } over {4}}} `=` {pmatrix{{1} over {sqrt {2}}&``- {1} over {sqrt {2}}#{1} over {sqrt {2}}&````````` {1} over {sqrt {2}}}}]

로 나타내어지는 회전변환에 의해 [eqn: C``]로 옮겨진다.

[eqn: C _{1} `]에 외접하고 [eqn: C``'`]에 내접하는 원을 [eqn: C _{2} `'`]라 하고, [eqn: C _{2} `'`]의 반지름을 [eqn: r``]이라 하면 원 [eqn: C _{2} `'`]의 식은

[eqn: (x-(1+r)) ^{2} +y ^{2} =r ^{2} `]

이다. [eqn: C _{2} `'`]식과 [eqn: C``'`]식을 연립하여 [eqn: y ^{2} `]을 소거하여 정리하면

[eqn: 8x ^{2} -18(1+r)x+18(1+r)=0]

이다. 이 방정식은 중근을 가져야 하므로 판별식 [eqn: D=81(1+r) ^{2} -144(1+r)=0``]이다. 이로부터 [eqn: C _{2} `'`]의 반지름과 중심은 [eqn: r= {7} over {9} ``], [eqn: LEFT ( {16} over {9} ,`0 RIGHT ) ``]이다. 따라서 [eqn: C _{2} ``]의 반지름은 [eqn: {7} over {9} ``]이고 중심은 [eqn: ` {pmatrix{{1} over {sqrt {2}}&``- {1} over {sqrt {2}}#{1} over {sqrt {2}}&````````` {1} over {sqrt {2}}}} {pmatrix{{16} over {9}#0}} `= {pmatrix{{8} over {9} sqrt {2}#{8} over {9} sqrt {2}}}], 즉 [eqn: LEFT ( {8} over {9} sqrt {2} ,` {8} over {9} sqrt {2} RIGHT )]이다.

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