2011학년도 수시 1차 자연계 논술고사 출제 의도 및 해설

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[문항 1 : 생물] (20점)

1. 출제의도

생물 문제의 경우 생물 I 에서 배우는 ‘영양소’, ‘세포 호흡’, 그리고 ‘배설’ 에 대한 제시문을 근거로 ‘ [eqn: rm ATP``]'의 기능과 ‘에너지 효율’에 대한 이해를 알아보고자 하였다. 또한 ‘세포 호흡’의 생화학적 개념 및 생명체 유지에 필수적인 수분 공급의 경로를 이해하고 있는지를 간단한 계산 문제를 통해 평가하고자 하였다. 마지막으로 중학 교과과정에서 배운 내용이지만 생물학 실험에서 많이 사용되는 퍼센트([eqn: %])농도에 대한 개념을 알고 있는지를 묻고자 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 2011학년도 인하대학교 수시 1차 자연계 논술고사 생물은 생명체 특히 사람의 영양, 세포 호흡, 그리고 배설에 대한 이해 여부를 묻고자 하였다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 [가]에서는 생물 I 에서 배우는 3 대 영양소 가운데 탄수화물에 대한 일반적인 내용을 설명하였다. 제시문 [나]에서는 세포 호흡의 개념 및 세포 호흡의 화학적 반응식을 제시하고 생명체의 주 에너지원으로 이용되는 [eqn: rm ATP``]에 대해 설명하였다.  제시문 [다]에서는 생명체 유지에 필수적인 물의 공급 및 배설에 대한 설명을 제시하고, 체내의 수분 공급이 세포 호흡과정에 발생하는 물에 의해서도 이루어진다는 내용을 제시하였다.

(다) 제시문 출처

제시문 [가] : 고등학교 □생물 I□ 교과서에서 발췌

제시문 [나] : 고등학교 □생물 I□ 교과서에서 발췌

제시문 [다] : 고등학교 □생물 I□ 교과서에서 발췌

3. 논제 해설

논제는 크게 3개의 문제로 이루어져 있다. 문제 (1)은 탄수화물 대사의 에너지 효율을 묻고자 하였으며, 제시문 [가]를 이해하였다면 어려움 없이 해결할 수 있을 것으로 기대한다. 문제 (2)는 세포 호흡의 화학반응식을 이해하고, 중학교 교과과정에서 배운 퍼센트 농도에 대해 알고 있다면 해결할 수 있는 문제이다. 특히 몰(mol)에 대한 개념의 이해 없이도 문제 해결이 가능하도록 설명을 제시하여 교과과정의 차이에 따른 문제 해결 능력의 차이가 나타나지 않도록 배려하였다. 마지막으로 문제 (3)은 수분의 공급이 물을 마시는 것뿐만 아니라 세포 호흡과정에 의해서도 일어날 수 있다는 것을 제시문 [나]에서 찾아낼 수 있다면 어렵지 않게 정답을 제시할 수 있을 것으로 생각한다. 전체적으로 지식 중심의 문제가 아닌 제시문의 이해를 목적으로 출제하고자 하였기 때문에 생물 I 과정을 정상적으로 이수한 학생이라면 어렵지 않게 해결할 수 있을 것이다.

4. 평가 기준

• 주어진 제시문을 정확하게 이해하고 이를 바탕으로 각 논제에서 요구하는 문제를 파악하는 능력

• 생물 과목에서 다루는 최소한의 기본 개념 - 영양소, 세포 호흡, 그리고 배설 - 을 이해하고 있는 정도

• 에너지 효율과 퍼센트 농도의 계산에 대한 이해도

5. 예시 답안

(1) 제시문 [가]에서 포도당 [eqn: 1``]몰로부터 [eqn: 38``]몰의 [eqn: rm ATP``]가 생성되고, [eqn: 1``]몰의 [eqn: rm ATP``]가 가수 분해될 때 [eqn: rm 7`.`3``kcal``]의 에너지가 방출된다고 하였다. 포도당 [eqn: 1``]몰의 질량이 [eqn: rm 180``g``]이고 탄수화물 [eqn: rm 1``g``] 당 [eqn: rm 4``kcal``]의 에너지를 낸다고 했으므로 다음과 같이 계산할 수 있다.

포도당 [eqn: 1``]몰의 에너지 : [eqn: rm 180`(g) TIMES `4`(kcal/g)=720``kcal]

생성된 [eqn: rm ATP``]의 에너지 : [eqn: rm 38`(mol) TIMES`7.3`(kcal/mol)=277.4``kcal]

따라서 [eqn: (277.4/720) TIMES100=약```38.5``%]

(2) 퍼센트 농도는 [eqn: rm {용질의`양(g)} over {용액(용매+용질)} TIMES 100``]이다. 따라서 포도당 수액  [eqn: rm 5``%```1``kg``]에 포함된 포도당의 양은 [eqn: rm {포도당의`양(g)} over {1000} TIMES 100`=5```]에서 [eqn: rm 50``g``]이고 물의 양은 [eqn: rm 950``g``]이라는 것을 알 수 있다. 또한 제시문 [나]에서 [eqn: 1``]몰의 포도당으로부터 [eqn: 6``]몰의 물과 [eqn: 38``]몰의 [eqn: rm ATP``]가 생성된다는 것을 알 수 있다. 따라서 포도당 [eqn: rm 50``g``]으로부터 생성되는 물과 [eqn: rm ATP``]는 다음과 같다.

(i) 포도당의 세포 호흡에서 발생하는 물의 양은 [eqn: 180``:``6 TIMES 18`=`50``:``x``]에서 [eqn: x= rm 30``g``], 그러므로 물의 총량은 [eqn: rm 950+30=980(g)]

(ii) [eqn: rm ATP``]에 저장되는 에너지의 양 : [eqn: 180``:``277.3`=`50``:``x``]에서 [eqn: x= rm 77.1``kcal``]

(3) 제시문 [다]에서 정상적인 신진대사에 필요한 물의 양이 [eqn: rm 2.5L ``]즉 [eqn: rm 2500``g``]이라고 하였다. [eqn: rm 5``%``] 포도당 수액 [eqn: rm 1``kg``]에 포함된 물은 [eqn: rm 950``g``]이고 포도당 [eqn: rm 50``g``]으로부터 세포호흡을 통해 [eqn: rm 30``g``]의 물을 얻을 수 있으므로 총 [eqn: rm 980``g``]의 물을 [eqn: rm 1``kg``]의 [eqn: rm 5``%``] 포도당 수액으로부터 얻을 수 있다. 따라서 [eqn: rm 2500``g``]의 물을 공급하기 위해서는 [eqn: 1000``:``980``=``x``:``2500``]에서 약 [eqn: rm 2551.0``g``]이상의 포도당 수액이 필요하다.

[문항 2 : 화학] (20점)

1. 출제의도

고등학교 ‘과학’ 교과의 중요한 부분을 차지하는 전해질과 이온, 이온들의 반응, 침전 형성, 산과 염기의 반응, 이온들이 녹아있는 수용액의 전기 전도성 등을 주 논제로 삼아, 이온들의 반응을 표현하는 이온 반응식 쓰기와 이를 바탕으로 생성물의 상태 및 전기적 성질을 논리적으로 예측하는 능력을 측정하려 하였다. 세부적인 내용을 살펴보면, 우선 전해질의 수용액에서 전해질이 이온화하여 이온 상태로 존재하며, 강산과 강염기도 이온화한다는 사실을 올바로 이해하고 있는가, 전해질 용액을 섞었을 때 일어나는 변화를 예측하고 이 변화에 대한 이온 반응식을 올바르게 쓸 수 있는지를 보고자 하였다. 또한  이온 반응식에 담겨 있는 화학적 의미를 이해하고 있는가, 산과 염기는 어떻게 반응하고, 반응에서 생성되는 물질은 무엇인가, 전해질의 수용액에 들어있는 이온 간의 반응으로 생성되는 생성물은 무엇인가, 이온 간의 반응으로 생성되는 생성물은 어떤 상태로 존재하는가, 이 생성물들의 전기적 성질은 어떠한가, 전해질 수용액을 흐르는 전류를 결정하는 인자들은 무엇인가 등의 질문에 논리적으로 답하는 능력을 종합적으로 측정하려고 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 2011학년도 인하대학교 수시 1차 자연계 논술고사 화학은 전해질과 산-염기 수용액의 성질과 반응, 반응 생성물의 상태 및 전기적 성질을 주제로 삼았다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 [가]에서는 물에 녹은 전해질이 어떤 상태로 존재하는지를 설명하고, 물에 잘 녹는 전해질을 예를 들었고, 아울러 물에 녹지 않는 이온화합물의 특성과 그 예를 소개하였다. 제시문 [나]에서는 수용액의 전기적 성질을 설명하였다. 수용액에서는 이온들의 이동에 의해 전류가 흐르며, 수용액을 흐르는 전류의 세기는 이온들의 종류에 따라 다르고, 이온의 농도에 비례함을 제시하였다. 제시문 [다]에서는 논제에서 소재로 사용한 실험 장치를 소개하고 그 특성을 설명하였다. 이 장치는 대부분의 ‘화학’ 교과서에 실려 있지만 수험생들이 보다 명확히 실험 상황을 이해하도록 돕고자 그림과 함께 장치에 대한 설명을 제시하였다. 이 내용들은 수험생들이 논제를 해결하는 과정에서 만나는 화합물들이 물속에서 어떤 상태로 존재하는가를 예측하는 데 직접적으로 활용되는 것들이다.

(다) 제시문 출처 : 문항의 제시문은 여러 고등학교 □과학□ 교과서의 내용을 근거로 출제자가 창작한 것이다. 다음은 관련 내용이 실려 있는 교과서들이다.

제시문 [가] : 고등학교 □과학□ 교과서, 교학사 116-128쪽, 153쪽, 지학사 116-126쪽 ,

금성출판사 122-173쪽, 디딤돌 101-112쪽

제시문 [나] : 고등학교 □과학□ 교과서, 지학사 116-149쪽, 교학사 116-155쪽 ,금성출판사

122-173쪽, 디딤돌 98-145쪽

제시문 [다] : 고등학교 □과학□ 교과서,  지학사 116, 126쪽, 금성출판사 142, 149쪽, 디딤돌 101, 121, 125쪽

3. 논제 해설

문제 (1)은 수용성 전해질 및 강산, 강염기 수용액에 들어 있는 이온들을 예측하고, 이들의 이온 반응식을 올바로 쓰고, 이 반응식을 바탕으로 반응 생성물을 추론한 후, 제시문의 내용을 활용하여 생성물의 상태와 전지 전도 여부를 판단하는 문제이다. 전해질, 강산, 강염기 수용액 중에 존재하는 이온과 이온 간의 반응은 고등학교 ‘과학’ 교과서에 상세히 소개되어 있어  대부분의 수험생이 무리 없이 쓸 수 있을 것으로 판단되며, 제시문 [가]를 참조하여 반응 생성물의 용해 여부 및 전기 전도 여부를 쉽게 판단할 수 있을 것이다. 이 반응식을 보면, [eqn: rm AgNO_3``]수용액을 가하여도 혼합 수용액 중의 [eqn: rm Na^+,``Cl^-``] 및 [eqn: rm NO_3^-``] 이온의 개수의 합이 항상 일정함을 쉽게 알 수 있다. 이어서 문제의 가정과 제시문 [나]의 내용을 종합하면 전류는 이온의 농도에 비례함을 쉽게 추론할 수 있다. 또한 [eqn: rm AgNO_3``]수용액을 가하였을 때 이온의 개수의 합이 일정하고 용액의 부피는 증가하였으므로 농도는 용액의 부피에 반비례하여 감소할 것이며, 따라서 전류의 세기도 용액의 부피에 반비례함을 추론할 수 있다. 최종적인 수치계산은 간단하다.

4. 평가 기준

• 전해질 수용액, 강산, 강염기, 이온 반응식, 침전 형성, 전해질 용액의 전기 전도 등 고교 ‘과학’ 교과에 들어 있는 개념을 정확하게 이해하고 이에 수반되는 화학적 변화를 이해하는 능력

• 제시문에서 주어진 여러 가지 내용 중에서 논제 해결에 필요한 내용을 선별할 수 있는 능력

• 논제에서 요구하는 사항을 정확히 이해하고 기존 지식과 제시문의 내용을 바탕으로 논제의 답을 논리적으로 추론하는 능력

• 기존 지식과 제시문의 관련 내용을 체계적, 논리적으로 정리하여 논제의 답안을 명확하고 논리적으로 제시하는 능력

5. 예시 답안

(1)  각 용액을 혼합할 때 일어나는 반응을 이온반응식으로 나타내면 다음과 같다. 모든 용액의 농도가 같으므로 각 혼합용액은 위 반응식을 따라 반응물이 모두 생성물로 바뀐다.

A. [eqn: rm Ag^+ (aq)`+`NO_3^-`(aq)`+`Na^+`(aq)`+`Cl^-`(aq)~ rarrow~AgCl(s)`+`Na^+`(aq)`+`NO_3^-`(aq)]  B. [eqn: rm H^+`(aq)`+`Cl^-`(aq)`+`Na^+`(aq)`+`OH^-`(aq)~ rarrow~H_2 O(l)`+`Na^+`(aq)`+`Cl^-`(aq)]

C. [eqn: rm Ba ^{2+} `(aq)+2`OH ^{-} `(aq)`+`2`H ^{+} (aq)`+`SO _{4} ^{2-} `(aq)~ -> ~BaSO _{4} (s)`+`2`H _{2} O(l)]

위 반응식을 보면 두 용액을 혼합하여 반응이 일어난 후 혼합용액 A에는 [eqn: rm Na^+``]이온과 [eqn: rm NO_3^-``]이온이 용해되어 있으며, 혼합용액 B에는 [eqn: rm Na^+``]이온과 [eqn: rm Cl^-``]이온이 용해되어 있음을 알 수 있다. 따라서 이 두 용액은 전류가 흐를 것으로 예상된다. 혼합용액 C의 반응식을 보면 반응 생성물이 물([eqn: rm H_2 O`])과 [eqn: rm BaSO_4`]의 침전이다. 물은 이온을 거의 생성하지 않으며, 황산바륨도 침전을 형성하므로 용액 중에 거의 녹지 않는다. 따라서 혼합용액 C 중에는 전류를 흐르게 할 이온이 거의 들어 있지 않으므로 전류가 거의 흐르지 않을 것이다.

(2)  [eqn: rm NaCl``] 수용액에 [eqn: rm AgNO_3``] 수용액을 가할 때 일어나는 반응의 이온반응식은 다음과 같다.

[eqn: rm Na^+`(aq)`+`Cl^-`(aq)`+`Ag^+`(aq)`+`NO_3^-`(aq)~ rarrow~AgCl(s)`+`Na^+`(aq)`+`NO_3^-`(aq)]

위 반응식에 의하면 [eqn: rm NaCl ``] 수용액에 [eqn: rm AgNO_3``] 수용액을 가하면 [eqn: rm NaCl ``]과 [eqn: rm AgNO_3``]가 1 : 1로 반응하여 [eqn: rm AgCl``]의 침전을 생성하면서, 수용액 중에는 [eqn: rm Ag^+`] 이온과 같은 개수만큼 [eqn: rm Cl^-`] 이온이 감소하고 [eqn: rm NO_3^-`] 이온은 같은 개수만큼 증가한다. 따라서 [eqn: rm NaCl ``] 용액과 같은 부피의 [eqn: rm AgNO_3``] 수용액을 가할 때까지 혼합용액 중에는 [eqn: rm Na^+`,``Cl^-`,``NO_3^-``] 이온만 존재하며, 혼합 수용액 중의 세 이온, [eqn: rm Na^+`,``Cl^-`,``NO_3^-``] 이온의 개수(혹은 몰수)의 합은 일정하다. 그런데 [eqn: rm AgNO_3``] 수용액을 가함에 따라 용액의 부피는 증가한다. 따라서 세 이온, [eqn: rm Na^+`,``Cl^-`,``NO_3^-``] 이온의 농도의 합은 용액의 부피에 반비례하여 감소한다. 문제의 가정에서 이 세 이온의 전류를 흐르게 하는 능력이 같다고 하였고, 제시문 [나]에서 흐르는 전류는 이온의 농도에 비례한다고 하였으므로 이 혼합용액을 흐르는 전류는 용액의 부피에 반비례하게 된다. 즉, [eqn: rm AgNO_3``] 수용액 [eqn: rm 30``mL``]를 가한 경우, 용액의 총 부피는 [eqn: rm 80``mL``]이며, 상대적 전류의 크기는 [eqn: 100 TIMES {50} over {80} `=`62.5``]가 된다.

[문항 3 : 수학+물리] (수학)

1. 출제의도

삼각함수와 적분 문제를 선택하여 고교 수학에서 다루는 내용을 이해하고 이를 활용할 수 있는 정도와 기본적인 계산 능력을 측정하기 위해서 출제하였다. 교과서에 소개된 문제를 변형하여 출제하였으며 이는 문제를 해결하기 위한 특별한 능력을 측정하기 보다는 고교 과정에서 다루는 수학의 전반적인 이해도, 평이하지만 정직하고 성실하게 계산을 수행할 수 있는 능력을 평가하기 위함이다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 수학에서는 삼각함수 문제와 적분 문제를 출제하였다. 삼각함수 문제는 삼각함수 정의를 이해하고 이를 원과 삼각형이 관련된 문제에 응용하는 문제를 출제하였다. 적분 문제에서는 유조차 탱크를 소재로 하여, 다항함수의 적분법, 지수함수 및 로그함수를 비롯한 초월함수의 적분법, 적분을 이용하여 곡선 아래의 영역 혹은 곡선과 곡선이 만나서 생기는 영역의 넓이를 구하는 문제를 출제하였다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 [가]에서는 삼각함수의 정의를 소개하였고, 제시문 [나]에서는

정적분을 사용하여 곡선 아래 영역의 넓이를 구하는 방법을 소개하였다. 그리고 적분의 응용으로 원기둥의 부피는 밑면의 넓이와 높이의 곱이 된다는 사실을 소개하였다.

(다) 제시문 출처 : 제시문 [가]는 고등학교 □수학 10 - 나□에 있는 내용을 실었고, 제시문 [나]는 고등학교 □미분과 적분□ 교과서에 실린 내용을 간단히 요약하여 실었다.

3. 논제 해설

[논제 1]은 원과 삼각형이 만든 기하학적 관계 속에서, 두 선분을 특정 각의 함수로 표현하는 문제와 두 선분이 특정한 관계식을 만족할 때 각의 크기를 구하는 문제로 이루어져 있다. [논제 2]는 단면이 수평선에 대해서 서로 대칭인 두 개의 포물선으로 둘러싸인 영역으로 된 유조차의 기름 탱크를 소재로 하고 있다. [논제 2]는 단위시간에 기름 탱크에 주입되는 기름의 양을 분수 함수로 주고 일정한 시간 동안 주입된 기름의 양을 구하는 문제와 탱크 속에서 기름이 채워진 높이를 구하는 문제, 탱크 높이의 [eqn: 2 over 3``]만큼 채우기 위한 기름의 양을 구하는 문제 (이것은 두 개의 곡선으로 이루어진 영역의 넓이를 구하는 문제이다) 로 이루어져 있다.

4. 평가 기준

• 삼각함수의 정의를 정확하게 이해하고 논제에서 요구한 계산을 올바르게 수행할 수 있는 능력

• 적분의 개념 및 응용을 정확하게 이해하고 기본적인 적분 관련 계산을 올바르게 수행할 수 있는 능력

5. 예시 답안

(1-1) [eqn: TRIANGLE OHX``]와 [eqn: TRIANGLE OPX``]에 제시문 [가]의 삼각함수의 정의를 적용하면

[eqn: bar{OH``} =cos theta `,```````` bar{OP``} = {1} over {cos theta }]

이다. 따라서

[eqn: bar{HP``} = bar{OP``} - bar{OH``} = {1} over {cos theta } -cos theta `]

또한 [eqn: TRIANGLE OPX`` PROPTO TRIANGLE BPQ``]이므로 비례식

[eqn: bar{OX``} ``:`` bar{BQ``} ``=` bar{OP``} ``:`` bar{BP``} `] 즉 [eqn: 1``:`` bar{BQ``} ``=` {1} over {cos theta } ``:`` {1} over {cos theta } -1]

으로부터

[eqn: bar{BQ``} =cos theta LEFT ( {1} over {cos theta } -1 RIGHT ) =1-cos theta `]

(별해) 점 [eqn: B``]에서 선분 [eqn: OX``]에 내린 수선의 발을 [eqn: H``'`]이라 하면 [eqn: bar{OH``'} =cos theta ``]이므로

[eqn: bar{BQ``} `= bar{XH`` prime } `= bar{OX``} - bar{OH``'} =1-cos theta ``]

(1-2) 문제의 조건 [eqn: bar{HP``} =3` bar{BQ``} `]으로부터 등식

[eqn: {1} over {cos theta } -cos theta =3(1-cos theta )]

을 얻고 이를 정리하면

[eqn: 2`cos ^{2} theta -3`cos theta +1=(2`cos theta -1)(cos theta -1)=0]

을 얻는다. [eqn: 0 DEG < theta <90 DEG `]이므로 [eqn: cos theta = {1} over {2} `]이다. 따라서 [eqn: theta = {pi } over {3} =60 DEG `]이다.

(2-1) [eqn: s``]초 동안에 주입된 기름은 다음과 같다.

[eqn: int _{0} ^{s} {{t} over {1+t ^{2} ``}} `d`t````= LEFT [ {1} over {2} `ln(1+t ^{2} ) RIGHT ] _{0} ^{s} `= {1} over {2} `ln(1+s ^{2} )`]

(2-2) [eqn: s``]초 동안에 기름을 주입했더니 [그림 3]과 같이 탱크의 반이 채워지지 않았고, [eqn: s``]초 동안에 유입된 기름의 높이를 [eqn: h```]라 하자. 제시문 [나]에 의해 [eqn: s``]초 동안에 유입된 기름은 [eqn: LEFT ( 2 int _{0} ^{h} {sqrt {{y} over {a} `}} `d`y RIGHT ) ` TIMES L````]으로 주어진다. (2-1)의 결과를 이용하면

[eqn: 2L`` int _{0} ^{h} {sqrt {{y} over {a} `}} ``d`y`````=` {1} over {2} `ln(1+s ^{2} )`]

이 성립한다. 좌변을 적분하면

[eqn: 2L int _{0} ^{h} {sqrt {{y} over {a} `}} `d`y`````=``` {2L} over {sqrt {a}} int _{0} ^{h} {y ^{{1} over {2}}} `d`y`````=``` {4L} over {3 sqrt {a}} ``h ^{{3} over {2}} `]

가 된다. 따라서 [eqn: {4`L} over {3 sqrt {a}} ```h ^{{3} over {2}} ```=` {1} over {2`} `ln(1+s ^{2} )```]이므로

[eqn: h```=``` LEFT ( {3 sqrt {a}} over {8`L} `ln(1+s ^{2} ) RIGHT ) ^{{2} over {3}}]

이 된다.

(2-3) 높이가 [eqn: 2`a`A _{0}^{`2}```] 이므로 이 높이의 [eqn: 2 over 3```]는 [eqn: {`4`a`A _{0}^{`2}``} over {3}```]이 된다. 두 곡선이 [eqn: y``` `=` a`A_{0}^{`2}``]에 대해서 대칭이므로 구하는 부피는 전체 탱크의 부피에서 높이가 [eqn: {`2`a`A _{0}^{`2}``} over {3}```]까지의 부피를 빼면 된다. 우선 전체 탱크의 부피를 [eqn: V_{0}```]라고 하면

[eqn: V _{0} & =`4`L` int _{0} ^{aA _{0} ^{2}} {} `` sqrt {{y} over {a}} ``d`y`= {8L} over {3 sqrt {a}} (`a`A _{0} ^{2} ``) ^{{3} over {2}} =` {8} over {3} `aLA _{0} ^{3} ```]

이 된다. 높이가 [eqn: {`2`a`A _{0}^{`2}``} over {3}```]까지의 탱크의 부피 [eqn: V_{`1}```]은

[eqn: V _{1} `` & =``2`L`` int _{0} ^{{2`aA _{0} ^{2}} over {3}} {sqrt {{y} over {a}}} ``d`y`````=``` {4L} over {3 sqrt {a}} (` {2`a`A _{0} ^{2}} over {3} ``) ^{{3} over {2}} = {8 sqrt {2}} over {9 sqrt {3}} `aLA _{0} ^{3}]

이 된다. 따라서 구하려는 부피는

[eqn: V _{0} ```-V _{1} `` & =` {8aLA _{0} ^{3}} over {3} ```-``` {8 sqrt {2} aLA _{0} ^{3}} over {9 sqrt {3}} ``# &=` {8aLA _{0} ^{3}} over {3} ```(1- {sqrt {2}} over {3 sqrt {3}} )# &= {8aLA _{0} ^{3}} over {3} `(1- {sqrt {6}} over {9} )``# & =`` {8(9- sqrt {6} )} over {27} `aLA _{0} ^{3}]

이 된다.

(2-3) [별해] 높이가 [eqn: 2`a`A _{0} ^{`2} ``]이므로 이 높이의 [eqn: {2} over {3} ``]는 [eqn: {`4`a`A _{0} ^{`2} ``} over {3} ``]이 된다. 구하려는 부피 [eqn: V``]는

[eqn: V`````=```2`L```` LEFT ( `` int _{0} ^{aA _{0} ^{2}} {} `` sqrt {{y} over {a} ``} ```d`y```````+`` int _{aA _{0} ^{2}} ^{{4aA _{0} ^{2}} over {3}} {} ` sqrt {2A _{0} ^{2} - {y} over {a} ``} `````d`y``` RIGHT )]

이 된다. 첫 번째 적분을 계산하면

[eqn: int _{0} ^{aA _{0} ^{`2}} {} ` sqrt {{y} over {a}} `d`y```````=``` {1} over {sqrt {a}} {2} over {3} (`a`A _{0} ^{2} ``) ^{{3} over {2}} ```````=```` {2} over {3 sqrt {a}} `a` sqrt {a} `A _{0} ^{3} ```````=```` {2aA _{0} ^{3}} over {3} ```]

이 된다. 다음으로 두 번째 적분을 계산해 보자. [eqn: z````=``2`A _{0} ^{2} ```-` {y} over {a} ``]라고 하면,

[eqn: ` int _{aA _{0} ^{2}} ^{{4aA _{0} ^{2}} over {3}} {} ` sqrt {2A _{0} ^{2} - {y} over {a} ``} ``d`y``` & =` int _{A _{0} ^{2}} ^{{2A _{0} ^{2}} over {3}} {} `` sqrt {z} ``(-a)``d`z`````````=`````a int _{{2A _{0} ^{2}} over {3}} ^{A _{0} ^{2}} {} `` sqrt {z} ``d`z``# & = {2a} over {3} LEFT ( A _{0} ^{3} - {2 sqrt {2}} over {3 sqrt {3}} A _{0} ^{3} RIGHT ) `=` {2aA _{0} ^{3}} over {3} LEFT ( 1- {2 sqrt {6}} over {9} RIGHT )]

이 된다. 따라서 구하는 적분 값 [eqn: V``]는

[eqn: V`````&=```2`L```` TIMES `` {2aA _{0} ^{3} ``} over {3} ``` TIMES `` LEFT ( ```1```+``1```-`` {``2 sqrt {6} ``} over {9} `` RIGHT ) `````=``` {``8aLA _{0} ^{3} ````} over {27} ``` LEFT ( ```9```-`` sqrt {6} `` RIGHT )# &= {8(9- sqrt {6} )} over {27} `aLA _{0} ^{3}]

이 된다.

[문항 3 : 수학+물리] (물리)

1. 출제의도

마찰력이 존재하는 경우의 등가속도 운동에서 작용하는 힘, 가속도, 속도 그리고 이동거리간의 관계를 이해하고  이를 실생활에서 흔히 볼 수 있는 물체의 운동에 적용하여 분석하는 능력을 평가할 목적으로 출제하였다. 또한 주어진 물체의 운동을 수학적으로 올바르게 표현하고 삼각함수의 미분을 이용한 최솟값을 계산하는 능력이 요구된다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 등가속도 운동에서 가속도, 속도, 이동거리의 관계를 이용하여 눈썰매를 타는 사람의 운동을 분석하는 문제를 출제하였다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 [가]는 주어진 논제를 해결하는 데 필요한 등가속도 운동에서의 가속도, 속도, 이동거리 간의 관계를 설명하였다. 제시문 [나]에서는 운동 마찰력과 운동 마찰계수를 설명하여 마찰력이 존재하는 경우의 운동에 대해 설명하였다 . 제시문 [다]에서는 논제에서 제시된 물체의 운동과 동일한 상황을 예를 들어 마찰력이 존재하는 경사면에서 작용하는 힘이 어떻게 표현될 수 있는지를 설명하였다.

(다) 제시문 출처 : 고등학교 □물리 I (교학사)□ 교과서를 기초로 발췌 및 창작

3. 논제 해설

눈썰매를 타는 사람의 위치에 따른 속도를 구하고 등가속도 운동을 적용하여 속도를 감소시켜 안전하게 정지 시킬 수 있는 조건을 구하는 문제이다. 논제는 세 개의 질문으로 구성되어 있고 각 질문 당 점수 배점은 난이도에 따라 차등 배분되었다. 문제 (3-1)은 에너지 보존 법칙을 이용하여 높이 [eqn: h``]에서 마찰이 없는 경사면을 미끄러져 내려왔을 때 최종속력을 묻는 문제이다. 문제 (3-2)는 마찰이 있는 면을 미끄러져 올라가는 등가속도 운동에서 속도와 이동거리의 관계식으로부터 정지할 때까지 이동한 거리를 구하는 문제이다.  그리고 문제 (3-3)은 경사면의 각도 [eqn: theta ``]의 함수로 주어진 이동거리 [eqn: s``]가 최소가 되는 조건을 구하는 문제이다.

4. 평가 기준

• 에너지 보존의 법칙을 올바르게 적용하여 필요한 물리량을 구하는 능력

• 등가속도 운동에서 속도, 가속도, 거리의 관계식을 주어진 상황에 적용할 수 있는 능력

• 고교 수학 과정에서 배우는 삼각함수의 미분을 적용 최솟값을 구하는 능력

5. 예시 답안

(3-1) 마찰력을 무시할 수 있는 눈 덮인 경사면을 미끄러지는 운동에서는 마찰에 의한 에너지의 감소가 없기 때문에 역학적 에너지 보존법칙을 적용할 수 있다. 따라서 지면으로부터 높이 [eqn: h``]에서의 위치에너지는 지면 높이에서의 운동에너지와 같아야한다. 즉,

[eqn: mgh= {1} over {2} mv _{0} ^{2}]

에서 [eqn: v _{0} = sqrt {2gh} ``]가 된다.

(3-2) 안전벽면 위를 미끄러지는 운동에서의 초기속도를 [eqn: v _{0} ``]로 둘 수 있다. 제시문 [다]에서 주어진 바와 같이 물체와 안전벽면 사이의 운동 마찰계수가 [eqn: mu ``]이고 경사각도가 [eqn: theta ``]인 경우 경사면을 올라가는 물체에는 일정한 힘

[eqn: F=-mg``sin theta - mu mg``cos theta ``]

이 가해지므로 등가속도 운동을 하게 된다. 이때 가속도

[eqn: a=F/m=-g``sin theta - mu g``cos theta ``]

이다. 제시문 [가]에서 주어진 등가속도 운동에서의 속도와 이동거리 사이의 관계식

[eqn: v ^{2} -v _{0} ^{2} ``=2`a`s]

에서 초기 속도가 [eqn: v _{0} ``]이고 최종 속도 [eqn: v=0``]가 되는 이동거리 [eqn: s``]는 다음과 같이 구해진다.

[eqn: s= {-v _{0} ^{2}} over {2a} = {-2gh} over {2(-g`sin theta - mu g`cos theta )} = {h} over {sin theta + mu `cos theta }]

(3-3) (3-2)에서 구한 이동거리와 경사각도의 관계식

[eqn: s= {h} over {sin theta + mu `cos theta }]

에서 [eqn: s]가 최소가 되는 [eqn: theta]의 조건을 구하면 된다. (단, [eqn: 0 ^{omicron } < theta <90 ^{omicron }])

[eqn: {ds} over {d theta } =- {h} over {(sin theta + mu `cos theta ) ^{2}} (cos theta - mu `sin theta )=0]

로부터 [eqn: s]가 최소가 되는 조건은 [eqn: tan theta = {1} over {mu }]가 된다. 이때 [eqn: sin theta = {1} over {sqrt {mu ^{2} +1}}]이고 [eqn: cos theta = {mu } over {sqrt {mu ^{2} +1}}]이므로 이를 [eqn: s= {h} over {sin theta + mu `cos theta }]에 대입하면 최소 이동거리는

[eqn: s= {h} over {sqrt {mu ^{2} +1}}]

이 된다.

(3-3) [별해] [eqn: s= {h} over {sin theta + mu `cos theta } ``]에서 분모는 삼각함수의 합성을 이용하면

[eqn: sin theta + mu `cos theta & = sqrt {1+ mu ^{2}} ` LEFT ( {1} over {sqrt {1+ mu ^{2}}} `sin theta + {mu } over {sqrt {1+ mu ^{2}}} `cos theta RIGHT )# # & = sqrt {1+ mu ^{2}} `sin( theta + phi )`]

이 된다. 여기서 [eqn: tan phi = mu ``]로 sin 합성할 수 있다. [eqn: s]가 최소가 되기 위해서는 분모가 최대가 되어야하므로 [eqn: theta + phi = {pi } over {2} ``]인 조건을 만족해야 한다. 따라서

[eqn: tan` phi =tan`( {pi } over {2} - theta )=cot` theta = mu],

즉 [eqn: tan theta = {1} over {mu } ``]일 때 [eqn: s]는 최소가 된다. 그리고 이때

[eqn: s= {h} over {sqrt {1+ mu ^{2}} `sin( theta + phi )} ``]

의 최솟값은 [eqn: {h} over {sqrt {mu ^{2} +1}} ``]이다.

(3-3) [별해] [eqn: s= {h} over {sin theta + mu `cos theta } ``]에서  분모를 아래 그림과 같은 두 벡터의 내적으로 표현할 수 있다.

[eqn: sin theta + mu `cos theta =(cos theta ,`sin theta ) BULLET ( mu ,`1)]

벡터 [eqn: ( mu ,`1)``]가 [eqn: x]축과 이루는 각을 [eqn: phi ``]라 하면 [eqn: s``]가 최소가 되기 위해서는 분모가 최대가 되어야하므로 두 벡터가 나란해져야한다. 즉, [eqn: theta = phi ``]가 되어야한다. 그림에서 [eqn: tan phi = {1} over {mu } ``]이므로 [eqn: tan theta = {1} over {mu } ``]일 때 [eqn: s``]는 최소가 된다. 그리고 이때 [eqn: sin theta = {1} over {sqrt {mu ^{2} +1}} ``]이고 [eqn: cos theta = {mu } over {sqrt {mu ^{2} +1}} ``]이므로 이를 [eqn: s= {h} over {sin theta + mu `cos theta } ``]에 대입하면 최소 이동거리는 [eqn: s= {h} over {sqrt {mu ^{2} +1}} ``]이 된다.

[eqn: ( mu ,`1)]

[eqn: (cos theta ,`sin theta )]

[eqn: theta]

[eqn: phi]

[eqn: y]

[eqn: x]