2011학년도 인하대학교 수시 2차 자연계열

논술고사 해설 및 예시 답안

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[문항 1 : 생물] (20점)

1. 출제의도

생물 문제의 경우 생물 I 의 ‘호흡’ 단원에서 헤모글로빈에 의한 산소의 운반과정에 대한 이해를 알아보고자 하였다. 이를 위하여 산소해리곡선과 산소, 이산화탄소의 운반에 대한 내용을 제시문에 소개하고 다양한 상황에 따른 산소해리곡선의 변화를 유추하고 그 근거를 제시할 수 있는지를 묻고자 하였다. 마지막으로 산모와 태아 사이에서 일어나는 산소교환이 헤모글로빈의 산소해리도의 차이에 의해서 일어날 수 있다는 것을 유추할 수 있는지 묻고자 하였다. 결론적으로 이번 수시 2-2 생물문제는 교과과정에서 학습한 익숙한 내용을 바탕으로 그 이론적인 근거를 제시문을 통해 유추해낼 수 있는지를 묻는데 중점을 두었다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 2011학년도 인하대학교 수시 2차 자연계 논술고사 생물은 호흡과정에서 일어나는 산소와 이산화탄소의 교환에 대한 이해를 산소해리곡선을 통해 이해할 수 있는지 묻고자 하였다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 [가]에서는 생물 I 의 ‘호흡’ 단원에서 ‘산소의 운반’ 과정 및 산소해리곡선에 대한 내용을 설명하였다. 제시문 [나]에서는 호흡과정에서 ‘이산화탄소의 운반’에 대한 내용을 제시하였으며, 특히 그림을 통해 이산화탄소와 수소이온농도(H+)가 관련이 있다는 것을 보여주고자 하였다. 마지막으로 제시문 [다]에서는 생물 I 의 ‘생식과 발생’ 단원에서 발췌하였으며, 산모와 태아 사이의 산소 교환이 혈액의 섞임 없이 산소의 해리와 결합에 의해 일어난다는 것을 설명하였다.

(다) 제시문 출처

제시문 [가] : 고등학교 □생물 I□ 교과서의 ‘호흡’ 단원에서 발췌

제시문 [나] : 고등학교 □생물 I□ 교과서의 ‘호흡’ 단원에서 발췌

제시문 [다] : 고등학교 □생물 I□ 교과서의 ‘생식과 발생’ 단원에서 발췌

3. 논제 해설

논제는 산소분압과 헤모글로빈의 산소포화도의 관계를 그래프로 나타낸 산소해리곡선이 3가지 다른 상황에서 어떠한 변화를 보이는지를 묻는 3개의 문제로 이루어져 있다. 문제 (1)은 pH 변화에 따른 해리곡선의 변화를 묻고자 하였다. 제시문 [가]에서 이산화탄소의 농도가 증가하면 해리곡선이 오른쪽으로 이동한다는 것을 이해하고 [나]에서 이산화탄소가 물과 반응하여 수소이온([eqn: rm H ^{+}])과 탄산수소 이온([eqn: rm HCO_3^-])으로 해리된다는 것을 이해하면, 실제 이산화탄소의 증가가 수소이온 농도의 증가를 가져오고 pH가 낮아진다는 것을 유추할 수 있다. 따라서 제시문를 이해하였다면 어려움 없이 해결할 수 있을 것으로 기대한다. 문제 (2)는 태아의 헤모글로빈이 보통 헤모글로빈과 다르다는 내용을 제시하고, 실제 산모와 태아 간의 산소 교환이 이루어지기 위해서 가져야하는 태아의 헤모글로빈의 산소해리곡선에 대해 묻고자 하였다. 산소의 교환이 이루어지기 위해서는 같은 조건에서 태아의 헤모글로빈이 산모의 헤모글로빈보다 더 효율적으로 산소와 결합하여야 한다는 사실을 제시문에서 유추할 수 있다면 어렵지 않게 해결할 수 있을 것으로 기대한다. 마지막으로 문제 (3)에서는 일산화탄소와 헤모글로빈의 결합성질을 제시하고 이를 바탕으로 가스중독 상태의 산소해리곡선을 나타낼 수 있는지를 묻고자 하였다. 문제 (1), (2)와는 달리 일산화탄소와 산소가 함께 헤모글로빈과 결합하기 때문에 산소 포화도가 낮아진다는 것을 이끌어낼 수 있는지를 묻고자 하였다.

4. 평가 기준

• 주어진 제시문을 정확하게 이해하고 이를 바탕으로 각 논제에서 요구하는 문제를 파악하는 능력

• 조건의 변화에 따른 산소해리곡선의 변화를 유추할 수 있는 능력

• pH의 개념에 대한 이해도

5. 예시 답안

(1) 제시문 [가]에서 의하면 이산화탄소의 분압이 증가하면 산소해리곡선은 오른쪽으로 이동함을 알 수 있다. 또 제시문 [나]에서 이산화탄소는 물과 결합하여 탄산이 되고 이것은 다시 해리되어 수소이온([eqn: rm H^+])과 탄산수소이온([eqn: rm HCO_3^-])이 된다는 것을 알 수 있다. pH가 낮아진다는 것은 수소이온농도의 증가를 의미하고, 따라서 제시문 [가]와 [나]에 근거하여 pH의 저하와 이산화탄소 분압의 증가가 동일한 결과를 가져온다는 것을 유추할 수 있다. 그러므로 pH가 낮아지면 산소해리곡선은 오른쪽으로 이동한다.

(2) 태아는 산모로부터 필요한 산소를 얻는다. 즉 산모의 산소헤모글로빈이 태반에서 산소를 내놓으면 태아의 헤모글로빈이 이 산소와 결합하여 태아에게 필요한 산소를 공급할 수 있다. 따라서 동일한 조건 하에서 태아의 헤모글로빈은 산모의 헤모글로빈보다 산소와 더 잘 결합하여야 하고, 이것은 산소해리곡선에서 왼쪽으로 이동된 형태로 나타난다.

(3) 일산화탄소는 산소보다 헤모글로빈과 결합하는 효율이 월등히 높다. 따라서 가스중독의 상황에서 헤모글로빈은 일산화탄소와 더 잘 결합하고, 이러한 결합은 문제에서 제시한 바와 같이 산소와의 결합을 촉진한다. 따라서 산소해리곡선은 동일한 조건에서 왼쪽으로 이동하고, 또 일산화탄소의 결합에 의해 최대 산소포화도는 낮아진다. 그 결과를 그래프로 나타내면 산소해리곡선은 아래와 같다.

[문항 2 : 화학] (20점)

1. 출제의도

고등학교 ‘과학’ 교과의 중요한 부분을 차지하는 화학반응의 속도와 여러 요인에 의한 반응속도의 변화 등을 주 소재로 삼아, 반응속도의 정의, 시간에 따른 반응물과 생성물의 양의 변화, 반응물과 생성물의 양적 관계 등을 바탕으로 생성물의 상태 및 전기적 성질을 논리적으로 예측하는 능력을 측정하려 하였다. 세부적인 내용을 살펴보면, 반응속도 값을 구하고, 특정 시간에서의 반응물과 생성물의 양을 예측하는 능력을 보고자 하였다. 또한  균형 반응식에 담겨 있는 화학적 의미를 이해하고 있는가, 반응물과 생성물의 양적인 관계를 이해하고 있는가 등의 질문에 논리적으로 답하는 능력을 종합적으로 측정하려고 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 2011학년도 인하대학교 수시 2차 자연계 논술고사 화학은 화학반응 속도와 시간에 따른 반응물과 생성물의 양 변화, 반응물과 생성물의 정량적 관계를 주제로 삼았다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 [가]에서는 반응속도의 개념과 정의를 소개하였다. 화학반응에는 매우 빠른 것부터 매우 느린 것까지 다양한 속도의 변화들이 있으며, 이 변화의 속도를 반응속도로 정량적으로 표현할 수 있음을 제시하였다.  제시문 [나]에서는 논제에서 소재로 사용한 반응의 반응식을 소개하고 그 특성을 설명하였다. 이 반응은 대부분의 ‘화학’ 교과서에 실려 있어서 지나치게 자세한 설명은 하지 않고, 이산화망간을 촉매로 사용함을 소개하였다. 또한 균형 반응식을 제시하여 수험생들이 반응식의 균형을 맞추느라 시간을 쓰지 않도록 하면서 동시에 이 반응식을 이용하여 생성물과 반응물의 양적인 관계를 설명하였다. 즉, 논제의 실험에서 측정하는 산소의 양이 분해된 과산화수소의 양이 서로 비례함을 언급하여 수험생들이 논제의 해결에 도움이 되도록 하였다.

(다) 제시문 출처

문항의 제시문은 여러 고등학교 □과학□ 교과서의 내용을 근거로 출제자가 창작한 것이다. 다음은 관련 내용이 실려 있는 교과서들이다.

제시문 [가] : 고등학교 □과학□ 교과서, 교학사 156-169쪽, 지학사 156-171쪽 ,디딤돌 147-152쪽

제시문 [나] : 고등학교 □과학□ 교과서, 교학사 156-169쪽, 지학사 156-171쪽 ,디딤돌 147-152쪽

3. 논제 해설

문제 (1)은 제시된 그래프로부터 시간에 따른 생성물의 양의 변화로부터 반응속도를 계산으로 구하는 문제로 제시문에 주어진 식을 사용하면 바로 구할 수 있는 것이다. 이 문제는 수험생들이 반응속도의 개념을 얼마나 올바로 이해하고 있는가와 반응속도를 실제로 계산하는 능력을 살펴보기 위한 문항이다. 그래프로부터 20초 경과한 후에 생성된 산소의 부피(40 mL)를 바로 알 수 있고, 그 값을 제시문의 식에 대입하면 바로 값을 구할 수 있다. 문제 (2)에서는 논제에 제시된 그래프로부터 반응의 진행도와 생성물인 산소의 부피와 반응물인 과산화수소의 농도 간의 관계에 대한 이해도를 바탕으로 반응 중의 특정 시점에서 남아있는 반응물의 농도를 추론하는 문항이다. 논제에 제시된 초기 조건과 제시문의 반응식, 시간에 따른 산소의 양의 그래프를 이용하면 큰 어려움 없이 답을 추론할 수 있다. 반응이 완결되었을 때 생성된 산소의 부피가 60 mL이고, 20초 경과한 후에 생성된 산소의 부피가 40 mL이므로, 20초 경과한 시점에서 반응물의 2/3이 반응하였음을 알 수 있으므로, 남은 과산화수소의 농도는 초기 농도의 1/3이다. 문제 (3)에서는 논제의 실험과 조건을 약간 달리하였을 경우에 예상되는 실험의 결과를 예측하는 문항으로, 수험생들이 제시문과 논제의 정보를 올바로 이해하고 이를 바탕으로 조건을 변화시켰을 때 기대되는 실험의 결과를 올바로 유추할 수 있는지를 보고자 하였다. 문제 (2)를 올바로 해결한 수험생은 별 어려움 없이 추론할 것으로 예상된다. 예시답안에 제시한 대로 여러 가지 방법으로 추론할 수 있다.

4. 평가 기준

• 화학 반응속도의 정의, 시간에 따른 반응물과 생성물의 양의 변화, 반응물과 생성물의 양적 관계 등 고등학교 ‘과학’ 교과에 들어 있는 개념을 정확하게 이해하고 이에 수반되는 계산식을 세우는 능력

• 제시문에서 주어진 여러 가지 내용 중에서 논제 해결에 필요한 내용을 선별할 수 있는 능력

• 논제에서 요구하는 사항을 정확히 이해하고 기존 지식과 제시문의 내용을 바탕으로 논제의 답을 논리적으로 추론하는 능력

• 기존 지식과 제시문의 관련 내용을 체계적, 논리적으로 정리하여 논제의 답안을 명확하고 논리적으로 제시하는 능력

5. 예시 답안

(1)  제시문 [가]에 설명한 바와 같이 반응속도는 단위 시간당 반응하는 물질 또는 생성되는 물질의 농도(또는 양)의 변화이다. 논제의 그림에는 반응 시간에 따라 생성물인 산소의 부피 변화 그래프로 주어져 있다. 그래프를 보면 초기 20초 동안 산소의 부피는 0 mL에서 40 mL로 증가하였고, 반응식에서 산소의 계수가 [eqn: {1} over {2} ``]이므로 반응속도 식에 2를 곱해야 한다. 따라서 [eqn: rm 반응속도`=`2 TIMES {40``mL`-`0``mL} over {20``s} ``=``4.0``mL/s].

(2) 화학반응에서 생성된 물질의 양은 반응으로 소모된 반응물의 양에 비례한다. 제시된 그래프를 보면 반응 개시 20초 후 생성된 산소 기체의 부피는 40 mL이다. 논제에 주어진 자료에 의하면 반응물이 모두 반응하였을 때 생성되는 산소의 부피는 60 mL이다. 따라서 반응 개시 20초 후 반응하고 남은 과산화수소의 농도는 다음 식으로 구할 수 있다. [eqn: rm {60``mL``-``40`mL} over {60``mL} TIMES 0.90%``=`0.30%]

<다른 풀이> 화학반응에서 생성된 물질의 양은 반응으로 소모된 반응물의 양에 비례한다. 제시된 그래프를 보면 반응 개시 20초 후 생성된 산소 기체의 부피는 40 mL이다. 논제에 주어진 자료에 의하면 반응물이 모두 반응하였을 때 생성되는 산소의 부피는 60 mL이다. 따라서 반응 개시 20초 후 반응한 과산화수소의 농도는 다음과 같다.

[eqn: rm {40`mL} over {60``mL} TIMES 0.90%``=`0.60%]

따라서 반응하고 남은 과산화수소의 농도는 [eqn: 0.90%-0.60%=0.30%]이다.

(3) <풀이 1> 문제 (3)의 용액의 농도가 논제의 용액의 [eqn: {1} over {2} ``]이므로, 문제 (3) 용액의 반응에서 생성되는 산소의 부피 변화는 아래 그래프의 점 A를 원점으로 하는 그래프와 같다. (즉, 0.90% 용액 속에 들어 있는 과산화수소 중 [eqn: {1} over {2} ``]이 반응한 후의 용액과 같다.) 아래 그래프를 보면 점 A가 약 13초에 해당하므로 20초 경과 후 생성된 산소의 부피는 33초에서의 부피에서 13초에서의 부피를 뺀 값이 된다. 즉, 약 [eqn: rm 50`mL-30`mL=`20`mL]. (아래와 같은 그래프를 그리지 않고 말로 설명하여도 OK!!)

시간(초)

A

산소의 양 (mL)

<풀이 2> 제시문에서 반응속도가 반응물의 농도에 비례한다고 하였으므로, 같은 반응시간 후 생성된 생성물의 양은 반응물의 농도에 비례하여야 한다. 따라서 문제 (3)의 용액의 농도가 논제의 용액의 [eqn: {1} over {2} ``]이므로, 같은 시간이 경과한 후 생성된 산소의 양은 0.90% 수용액에서 생성된 양의 [eqn: {1} over {2} ``]이 될 것이다. 논제에 주어진 그래프를 보면 20초 경과 후 0.90% 수용액에서 생성된 산소의 양이 40mL이므로 0.45% 수용액이 20초 동안 반응한 후 생성된 산소의 양은 [eqn: rm {0.45%} over {0.90%} TIMES 40`mL``=`20`mL] 이다.

(<풀이 2>는 반응속도가 과산화수소의 농도에 비례하는 경우에만 타당하다. 이 논제에서는 반응속도가 과산화수소의 농도에 비례한다고 명시하였으므로 이 풀이들도 타당한 풀이가 된다. 이러한 단서가 없는 일반적인 경우에는 <풀이 1>만이 타당한 풀이이다.)

[문항 3 : 물리] (20)

1. 출제의도

두 속도 벡터에 의해 물체가 이동하는 경우, 물체의 속력과 이동거리 그리고 이동하는 데 걸리는 시간 사이의 관계를 이해하고, 이를 실생활에서 흔히 볼 수 있는 물체의 운동에 적용하여 분석하는 능력을 평가할 목적으로 출제하였다. 또한 주어진 물체의 운동을 수학적으로 올바르게 표현하고 삼각함수의 미분을 이용한 최솟값을 계산하는 능력이 요구된다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 등속도 운동에서 속력, 이동거리, 시간 사이의 관계를 이용하여 강물이 흐르는 강에서 배의 운동을 분석하는 문제를 출제하였다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 [가]는 주어진 논제를 해결하는 데 필요한 속도, 이동거리, 그리고 이동하는 데 걸리는 시간을 설명하였다. 제시문 [나]에서는 논제에서 제시된 상황에서처럼 일정한 속력으로 움직이고 있는 물체의 속력은 기준에 따라 달라지는 상대속도의 개념을 논제와 유사한 상황을 예제로 들어 설명하였다.

(다) 제시문 출처 :

제시문 [가] : 고등학교 물리 I (교학사) 권재술 외 5인, 16-18쪽

제시문 [나] : 창작

3. 논제 해설

일정한 속력으로 강물이 흐르고 있는 강을 배를 이용하여 강 건너편에 최단시간에 도달하는 조건을 구하는 문제이다. 논제는 세 개의 질문으로 구성되어 있고 각 질문 당 점수 배점은 난이도에 따라 차등 배분되었다. 문제 (1)은 속력, 이동거리 그리고 걸린 시간 사이의 관계식을 묻는 문제이다. 그러나 배를 이동하는 구간과 배에서 내린 후 강가를 따라 달리는 구간 각각에 대해 속력과 이동거리 그리고 시간의 의미를 알아야 한다. 문제 (2)는 최단시간을 얻기 위하여 문제의 제시문으로부터 방정식을 세울 수 있는 능력을 묻는 문제이다. 임의의 뱃머리의 방향에 대해 각도의 변수를 설정하고 이 변수에 대한 함수로 주어지는 총 시간을 구하는 문제이다. 그리고 문제 (3)은 뱃머리의 방향에 대한 각도 [eqn: theta ``]의 함수로 주어진 총 시간이 최소가 되는 조건을 구하는 문제이다. 삼각함수로 주어진 총 시간을 미분하고, 약간의 대수 계산을 수행하여 간단한 답을 이끌어 낼 수 있는 능력을 요구한다.

4. 평가 기준

• 등속도로 움직이는 물체에 대해 운동 법칙을 올바르게 적용하여 필요한 물리량을 구하는 능력

• 등속도 운동에서 속력, 거리 그리고 시간의 관계식을 주어진 상황에 적용할 수 있는 능력

• 고교 수학 과정에서 배우는 삼각함수의 미분을 적용 최솟값을 구하는 능력

5. 예시 답안

(1) 배가 A`지점을 떠나 강 건너편에 도달하는데 걸린 시간은 [eqn: rm {10} over {0.5} =20]`초이다. 그 동안 강물의 흐름 때문에 B`지점으로부터 [eqn: rm 0.5`(m/s) TIMES 20`(s)`=`10`(m)`]만큼 이동하게 된다. 즉, [eqn: rm 45-20=25]`초 동안 [eqn: rm 10 (m)]`를 가야 하기 때문에 속력은 [eqn: rm {10} over {25} =0.4(m/s)]`이다.

(2) 아래 그림과 같이 뱃머리의 방향을 선분 AB`로부터 반시계방향으로 회전하는 각도를 [eqn: theta]로 정의하고, 물이 흐르는 방향을 (+)로 하여 [eqn: x``]축으로 잡고, 강을 건너는 방향을 [eqn: y``]축으로 하자.

[eqn: theta]

A

B

강과 수평한 방향의 배의 속력을 [eqn: v _{x} ``]라 하면 [eqn: v _{x} =0.5-0.5`sin theta]`(m/s)

강과 수직한 방향의 배의 속력을 [eqn: v _{y} ``]라 하면 [eqn: v _{y} =0.5`cos theta]`(m/s)

강을 건너는 데 걸린 시간을 [eqn: t _{1} ``]이라 하면

[eqn: t _{1} = {10} over {v _{y}} = {10} over {0.5`cos theta } = {20} over {cos theta } =20`sec` theta `]`(초)

[eqn: t _{1} ``]시간 동안 배가 강물을 따라 흘러간 거리를 [eqn: d``]라 하면

[eqn: d=t _{1} v _{x} = {20} over {cos theta } LEFT ( 0.5-0.5`sin theta RIGHT ) = {10(1-sin theta )} over {cos theta }] (m)

강가에서 B`지점까지 걸은 시간을 [eqn: t _{2} ``]라 하면

[eqn: t _{2} = {d} over {0.8} = {10(1-sin theta )} over {0.8`cos theta } = {25(1-sin theta )} over {2`cos theta } = {25} over {2} (sec` theta -tan` theta )]`(초)

B`지점에 도착할 때까지 걸린 총 시간을 [eqn: T``]라 하면

[eqn: T=t _{1} +t _{2} = {20} over {cos theta } + {25(1-sin theta )} over {2`cos theta } = {65-25`sin theta } over {2`cos theta } = {5(13-5`sin theta )} over {2`cos theta }] (초)

(혹은 [eqn: T=t _{1} +t _{2} =20`sec` theta + {25} over {2} (sec` theta -tan` theta )= {65} over {2} `sec` theta - {25} over {2} `tan` theta] (초))

(3) 문제 (2)에서 [eqn: theta=a``]일 때 최단시간에 B`지점에 도착한다고 했으므로 문제 (2)에서 구한 총 시간 [eqn: T``]에 대해서 [eqn: {dT} over {d theta } (a)=0``]이다. 따라서

[eqn: {dT} over {d theta } = {5(-5`cos theta )2`cos theta -5(13-5`sin theta )(-2`sin theta )} over {4`cos ^{2} theta } = {-50+130`sin theta } over {4`cos ^{2} theta }]

(혹은 [eqn: {dT} over {d theta } = {65} over {2} `sec` theta `tan` theta - {25} over {2} `sec ^{2} theta `= {5} over {2} `sec` theta `(13`tan theta -5`sec` theta )`]

으로부터 [eqn: -50+130`sina=0``] 혹은 [eqn: 13`tan`a`-`5`sec`a=0`]을 얻는다. 따라서

[eqn: sin`a= {5} over {13}]

`이다. 그리고 최단시간은 다음과 같다.

[eqn: T= {5(13-5`sina)} over {2cosa} = {5(13- {25} over {13} )} over {2 sqrt {1- {25} over {169}}} = {5(13- {25} over {13} )} over {2 {12} over {13}} = {5(169-25)} over {24} =30`( rm s)]

[문항 4 : 수학] (40점)

1. 출제의도

수열과 삼각함수의 미분 적분 문제를 선택하여 고교 과정에서 배우는 수학의 전반적인 이해 정도와 활용 능력, 계산 수행 능력 등을 평가하기 위해서 출제하였다. 제시문에 주어진 기본 공식과 개념 (등차수열의 일반항 구하기, 삼각함수의 배각, 반각 공식, 벡터의 내적 등)을 활용하여 논제에서 요구한 문제의 해답을 도출해낼 수 있는 능력, 자신이 원하는 방향으로 정직하게 계산을 수행할 수 있는 능력 등을 평가하는데 주안점을 두었다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 2011학년도 인하대학교 수시 2차 자연계 논술고사 수학은 수열 문제와 삼각함수의 미분 적분 문제를 출제하였다. 수열 문제에서는 특정한 성질을 만족하는 점화식을 주고 이것이 등차수열임을 보인 다음에 이 수열의 일반항을 구하도록 하였다. 삼각함수의 미분 적분 문제에서는 사이클로이드(cycloid)를 소재로 해서 곡선의 길이 구하기, 미분을 이용하여 최댓값을 구하기, 벡터의 내적을 이용하는 문제 등으로 구성되어 있다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 [가]에서는 등차수열과 공차, 등차수열의 일반항을 구하는 공식을 소개하였다. 제시문 [나]에서는 2차원 평면에서의 벡터와 벡터의 내적을 설명하고 벡터의 내적에 대한 기본 공식을 소개하였다. 제시문 [다]에서는 매개변수를 사용하여 곡선을 기술하는 방법을 설명하고 적분을 이용하여 곡선의 길이를 구하는 식을 소개하였다. 제시문 [라]에서는 삼각함수의 덧셈 정리, 배각 공식, 반각 공식을 소개하였다. 제시문에서 주어진 여러 공식들은 고교 수학에서 다루어지는 기본 공식들로서 수험생들이 심리적 부담을 최소로 하고 비교적 편안하게 문제와 생각에 집중할 수 있게 할 목적으로 주어졌다.

(다) 제시문 출처 : 제시문 [가]는 고등학교 □수학 I□ ‘수열’ 에 있는 내용을 실었고, 제시문 [나]는 고등학교 □수학 II□ ‘벡터’에 실린 내용을 간단히 요약하여 실었다. 제시문 [다]는 □미분과 적분□ ‘적분법’에 있는 내용을 일부 요약하였고, 제시문 [라]는 □미분과 적분□ ‘삼각함수’에 실린 내용을 일부 발췌해서 실었다.

3. 논제 해설

수열 문제에서는 양수로 이루어진 수열에서 [eqn: n``]항까지의 부분합 [eqn: S_{n}```]을 [eqn: n``]항의 함수로 주고 이를 일부 변형하여 [eqn: S_{n}^{`2}``]이 등차수열임을 보인 다음에, 등차수열의 기본 성질을 이용하여 [eqn: S_{n}^{`2}``]을 구체적으로 구하도록 하였다. 삼각함수의 미분 적분 문제에서는 사이클로이드(cycloid)라는 곡선을 소재로 해서 이 곡선의 길이 구하기, 미분을 이용하여 사이클로이드에 내접하는 직사각형의 넓이가 최대가 되는 점에 대한 관계식 구하기, 벡터의 내적을 이용하여 두 벡터 사이의 각에 대한 cosin 값을 구하고 이에 관계된 계산을 수행하는 문제로 이루어져 있다.

4. 평가 기준

• 수열의 부분합의 의미를 정확하게 이해하고 논제에서 요구한 질문의 해답을 얻기 위해서 이것을 적당하게 변형할 수 있는 능력

• 등차수열의 의미 및 등차수열의 일반항이 만족해야 하는 관계식을 정확하게 이해하고 활용할 수 있는가 하는 점

• 적분의 개념 및 응용을 정확하게 이해하고 기본적인 적분 관련 계산을 정직하고 올바르게 수행할 수 있는 능력

• 벡터의 내적의 의미 및 내적에 관계된 공식을 이해하고 활용할 수 있는가 하는 점

• 삼각함수의 기본 공식을 이해하고 삼각함수에 관련된 계산을 정직하고 올바르게 수행할 수 있는 능력

5. 예시 답안

(1-1) [eqn: x _{1} =S _{1} ``]이므로 [eqn: x _{1} `=S _{1} =` {1} over {2} (x _{1} `+ {7} over {x _{1}} )```]으로부터 [eqn: x _{1} ^{2} ```=`7``]가 된다. 따라서

[eqn: x _{1} ```=`` sqrt {7`} ``]

이다. 또한 [eqn: n GEQ 2``]일 때, [eqn: S _{n} =S _{n-1} +x _{n} ``]이므로 [eqn: S _{n-1} `+x _{n} = {1} over {2} (x _{n} `+ {7} over {x _{n}} )``]로부터

[eqn: S _{n-1} ````=`` {1} over {2} ``(``-x _{n} ```+`` {7} over {x _{n}} ``)``]

이다.

(1-2) [eqn: n GEQ 2``]일 때, 논제에서 주어진 등식 [eqn: S _{n} = {1} over {2} x _{n} + {1} over {2} {7} over {x _{n}}] --① 과 문제 (1-1)의 결과 [eqn: S _{n-1} =- {1} over {2} x _{n} + {1} over {2} {7} over {x _{n}}] --② 으로부터 다음을 얻는다.

[eqn: S _{n} ^{2} -S _{n-1} ^{2} & = {1} over {4} LEFT ( x _{n} + {7} over {x _{n}} RIGHT ) ^{2} - {1} over {4} LEFT ( -x _{n} + {7} over {x _{n}} RIGHT ) ^{2}# & = {1} over {4} (x _{n} ^{2} +14+ {49} over {x _{n} ^{2}} )- {1} over {4} (x _{n} ^{2} -14+ {49} over {x _{n} ^{2}} )# &= {1} over {4} (14+14)= {28} over {4} =7]

즉, 수열 [eqn: \{` it S_{n}^{2}``\}``]은 첫째항이 [eqn: S _{1} ^{2} ````=``x _{1} ^{2} ````=``7```]이고 공차가 [eqn: 7``]인 등차수열이 된다. 따라서

[eqn: S _{n} ^{2} ```=``7``+``(`n`-`1`)`7```=``7`n``]

이다.

(별해)  [eqn: n GEQ 2``]일 때, 논제에서 주어진 등식 [eqn: S _{n} = {1} over {2} x _{n} + {1} over {2} {7} over {x _{n}}] --① 과 문제 (1-1)의 결과 [eqn: S _{n-1} =- {1} over {2} x _{n} + {1} over {2} {7} over {x _{n}}] --② 을 생각하자.

①과 ②를 더하면 [eqn: S _{n} `+S _{n-1} `= {7} over {x _{n}} ``] --③ 을 얻는다. 한편 [eqn: S _{n} `-`S _{n-1} `=`x _{n} ``] --④ 이므로, ③과 ④를 곱하면 [eqn: S _{n} ^{2} ```-``S _{n-1} ^{2} ```=``7```]이 된다.  즉, 수열 [eqn: \{` it S_{n}^{2}``\}``]은 첫째항이 [eqn: S _{1} ^{2} ````=``x _{1} ^{2} ````=``7```]이고 공차가 [eqn: 7``]인 등차수열이 된다. 따라서

[eqn: S _{n} ^{2} ```=``7``+``(`n`-`1`)`7```=``7`n``]

이다.

(2-1) 사이클로이드(cycloid) [eqn: C``(`t)```][eqn: (``0 LEQ t LEQ 2 pi )``]의 곡선의 길이를 [eqn: L```]이라고 하면

[eqn: L````=` int _{0} ^{2 pi } {} ` sqrt {x ^{`` bold{prime }} (t) ^{``2} ```+``y ^{`` bold{prime }} (t) ^{`2}} ``d`t````````=````` int _{0} ^{2 pi } {} sqrt {(1-cost) ^{2} ```+``sin ^{2} t``}`` d`t```]

[eqn: ````````=````` int _{0} ^{2 pi } {} sqrt {2``(1-cost)``}`` d`t`````````=`````int_{0}^{2 pi} sqrt{4`` sin^{2} {t} over {2}``} ```d`t``` `````````=````2```int_{0}^{2 pi} ``` sin {t} over {2} ```d`t```]

[eqn: = ````2`` [```- 2``` cos t over 2 ``]_{0}^{2 pi} ```````=```4` ( - (-1) - (-1)) `````=``` 8```]

이 된다.

(2-2) 직사각형 [eqn: C`(t)`H`(t)`Q`P`(t)``]의 넓이를 [eqn: A`(`t)```]라고 하면

[eqn: A`(`t) ```=` (`pi ``- ``t`` +`` sin `t`)`` (` 1`` - ``cos `t`` )```]

가 된다. [eqn: t```=`a```]에서 [eqn: A`(`t)```]가 최대가 되므로 [eqn: A^{boldprime}`(`a)```=``0```]이 된다.

[eqn: A ^{bold{prime }} `(`t)```=`(`-``1``+``cos`t`)``(`1``-``cos`t``)```+```(`` pi ``-``t```+``sin`t``)``sin`t```]

[eqn: `=````-(`1``-``cos`t``) ^{2} ```+```(`` pi ``-``t```+``sin`t``)``sin`t```]

이므로 [eqn: a```]가 만족하는 관계식은

[eqn: (`1``-``cos`a``) ^{2} `````=```(`` pi ``-``a```+``sin`a``)``sin`a```] ---(*)

이 된다.

(2-3) [eqn: C^{``boldprime}``(`t`)``` =`` (``1 ``-`` cos` t``,`` sin` t``)```]이므로 [eqn: C^{``boldprime}``(`a`)``` =`` (``1 ``-`` cos` a``,`` sin` a``)```]가 된다. [eqn: C^{``boldprime}``(`a`)``]와  [eqn: x]-축 방향으로의 단위벡터 [eqn: vec{e_{1}}```]과의 내적을 생각하면

[eqn: C^{``boldprime}``(`a`)``` cdot vec{e_{1}} `````=``` sqrt{(1 - cos a)^{2} + sin^{2} a ```}`````` cos` theta``````=``` 1 ```-`` cos a```]

가 된다.  따라서 문제 (2-2)에서 얻은 관계식 (*)를 사용하면

[eqn: cos ^{2} ` theta `````&=``` {(`1``-`cos`a`) ^{2} `} over {(`1``-`cos`a`) ^{2} ```+``sin ^{2} `a`} `````# # &=``` {(` pi ``-``a``+``sin`a`)``sin`a`} over {(` pi ``-``a``+``sin`a`)``sin`a```+`sin ^{2} `a``} `````=``` {pi ```-`a``+``sin`a``} over {pi ```-`a``+``2``sin`a``} ```]

가 된다.

한편, 문제 (2-3)의 [그림 2]에서

[eqn: sin` alpha `````= {bar{C(a)H(a)}} over {bar{Q`C(a)}} =`` {1``-``cos`a} over {sqrt {( pi -a+sina) ^{2} `+(1-cosa) ^{2} `} ``} ```]

이므로

[eqn: sin ^{2} ` alpha ````` & =`` {(1``-``cos`a) ^{2}} over {(1-cosa) ^{2} ``+``( pi ``-``a``+``sin`a``) ^{2} ````} ```````# & =``` {( pi ``-``a``+``sin`a``)``sin`a} over {( pi ``-``a``+``sin`a``)``sin`a``+``( pi ``-``a``+``sin`a``) ^{2} ````} ```# & = {sin`a} over {sin`a+( pi ``-``a``+``sin`a``)} ``=`` {sin`a} over {pi ``-``a``+``2`sin`a}]

가 된다. 따라서 구하려는 [eqn: cos^{2} theta ```+`` sin^{2} alpha```]는

[eqn: cos^{2} theta ```+`` sin^{2} alpha``````=```` {pi ``- ``a`` +`` 2`` sin` alpha} over {pi ``- ``a`` +`` 2`` sin` alpha} ```````=````` 1]

이 된다.

(별해) [eqn: C^{``boldprime}``(`t`)``` =`` (``1 ``-`` cos` t``,`` sin` t``)```]이므로 [eqn: C^{``boldprime}``(`a`)``` =`` (``1 ``-`` cos` a``,`` sin` a``)```]가 된다. [eqn: C^{``boldprime}``(`a`)``]와  [eqn: x]-축 방향으로의 단위벡터 [eqn: vec{e_{1}}```]과의 내적을 생각하면

[eqn: C^{``boldprime}``(`a`)``` cdot vec{e_{1}} `````=``` sqrt{(1 - cos a)^{2} + sin^{2} a ```}`````` cos` theta``````=``` 1 ```-`` cos a```]

가 된다.  따라서,

[eqn: cos ^{2} ` theta `````=``` {(`1``-`cos`a`) ^{2} `} over {(`1``-`cos`a`) ^{2} ```+``sin ^{2} `a`} ```````=```` {(`1``-`cos`a`) ^{2} `} over {2``(`1``-`cos`a```)```} `````=```` {1```-``cos`a```} over {2}]

가 된다. 한편, 문제 (2-3)의 [그림 2]에서

[eqn: sin` alpha `````= {bar{C(a)H(a)}} over {bar{Q`C(a)}} =`` {1``-``cos`a} over {sqrt {( pi -a+sina) ^{2} `+(1-cosa) ^{2} `} ``} ```]

이므로 문제 (2-2)에서 얻은 관계식 (*)를 사용하면

[eqn: sin ^{2} ` alpha `````=`` {(1``-``cos`a) ^{2}} over {(1-cosa) ^{2} ``+``( pi ``-``a``+``sin`a``) ^{2} ````} ```````=``` {(1``-``cos`a) ^{2}} over {(1-cosa) ^{2} ``+``{( 1``-``cos`a``)^{4}} over {sin^{2} a} ````} ````]

[eqn: ```````=``` {``1} over {``1```+`` {`(`1``-``cos`a`) ^{2} `} over {sin ^{2} a} ````} ``````=```` {sin ^{2} a} over {sin ^{2} a``+``(`1``-``cos`a`) ^{2}} ```````=````` {sin ^{2} `a`} over {`2`(`1``-``cos`a`)}]

[eqn: =````` {1 - cos^{2} a} over {2` (`1`` -`` cos `a`)``} ```````=`````{1`` +`` cos` a`} over {2}]

가 된다. 따라서 구하려는 [eqn: cos^{2} theta ```+`` sin^{2} alpha```]는

[eqn: cos^{2} theta ```+`` sin^{2} alpha``````=```` {1`` -`` cos `a`} over {2} ```+```{1 ``+ ``cos` a```} over {2}` `````=````` 1]

이 된다.