2011학년도 인하대학교

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수시모집 2차 논술고사 (자연계열)

■ 일반 유의사항

1. 시험시간은 120분, 배점은 [문항 1]이 20점, [문항 2]가 20점, [문항 3]이 20점, [문항 4]가 40점입니다.

2. 각 문항의 답안은 반드시 해당 답안지에 작성하시오.

3. 답안을 구상할 때 문제지 내의 연습장을 사용하시오.

4. 답안을 작성할 때 흑색 펜만 사용하시오(연필은 사용하지 마시오).

5. 답안을 정정할 때 흑색 펜으로 두 줄을 긋고 다시 쓰시오.

(수정액 또는 수정 테이프는 사용하지 마시오.)

※ 답안지는 절대 교체할 수 없습니다.

■ 답안 작성 유의사항

1. 제목은 쓰지 말고 본문부터 시작하시오.

2. 제시문의 문장을 그대로 옮기지 마시오.

3. 각 문항의 답안은 반드시 해당 답안지의 공간 내에 작성하시오.

4. 답안이나 답안지의 여백에 자신을 드러낼 수 있는 불필요한 낙서나 이와 유사한 표현 또는 표시를 하지 마시오.

2011학년도 인하대학교

수시모집 2차 논술고사 (자연계열)

【문항 1 : 생물】[20점]

■ 제시문을 읽고 주어진 논제에 대한 답안을 작성하시오.

[가]  혈액의 적혈구 속에 들어 있는 헤모글로빈(Hb)은 1분자당 4분자의 산소와 결합하여 운반할 수 있다. 헤모글로빈은 산소 분압이 높은 곳에서는 산소와 쉽게 결합하여 산소헤모글로빈이 되고, 산소 분압이 낮은 곳에서는 산소를 해리시키는 성질이 있다. 따라서 헤모글로빈은 산소 분압이 높은 폐에서 산소와 결합하여 산소를 조직 세포로 운반해 오고, 산소 분압이 낮은 조직 세포에서 산소를 해리하여 조직 세포에 산소를 공급할 수 있다. 산소 분압에 따른 산소헤모글로빈의 비율의 변화는 [그림 1]과 같이 산소해리곡선으로 나타낼 수 있으며, 헤모글로빈의 산소 해리도는 이산화탄소의 분압이 높을수록 증가하여 산소해리곡선이 오른쪽으로 이동하고 ([그림 2]), 반대로 이산화탄소의 분압이 낮아지면 왼쪽으로 이동한다. ([그림 3])

[그림 1]                      [그림 2]                      [그림 3]

[나]  조직 세포에서 생긴 이산화탄소는 혈액으로 확산되어 들어가 7 % 정도는 혈장에 용해된 상태로 폐까지 운반되지만, 대부분은 다른 형태로 운반된다. 전체 이산화탄소의 70 % 정도는 적혈구 속으로 들어가 물과 반응하여 탄산([eqn: rm H_2 CO_3])이 된 다음, 수소 이온([eqn: rm H^+])과 탄산수소 이온([eqn: rm HCO_3^-])으로 해리된다. ([그림 4])

[그림 4]

[다]  태반은 태아와 모체 사이의 물질 교환을 담당하며, 호르몬을 분비하여 임신을 유지한다. 태아는 양막과 양수에 둘러싸여 있으며, 탯줄을 통해 모체로부터 영양소와 산소를 공급받고 노폐물과 이산화탄소를 내보낸다. 탯줄 속의 혈관은 모체와 직접 연결되어 있지 않아 모체와 태아의 혈액은 직접 섞이지 않는다. 모체의 자궁벽에 있는 혈관과 태아의 탯줄 속에 있는 혈관은 연접하여 물질을 교환한다.

【논제】제시문에 주어진 내용을 바탕으로 [문항1:생물] 답안 공간 안에 다음을 기술하시오.

(1) 산소해리도는 pH의 변화에 영향을 받는다. pH가 7.4 보다 낮아지면 산소해리곡선은 (① 오른쪽으로/ ② 왼쪽으로/ ③ 변함없이) 이동한다. ①, ②, ③ 중에서 답을 고르고, 제시문 [가]와 [나]의 내용만을 이용하여 그 이유를 설명하시오. (6점)

(2) 태아는 보통의 헤모글로빈과 다른 구조의 헤모글로빈을 갖는다고 알려져 있다. 태아의 헤모글로빈이 나타내는 산소해리곡선은 보통의 헤모글로빈이 보이는 산소해리곡선에 비해 (① 오른쪽으로/ ② 왼쪽으로/ ③ 변함없이) 이동된 형태로 나타난다. ①, ②, ③ 중에서 답을 고르고, 제시문의 내용을 이용하여 태아와 산모 사이의 산소 교환을 산소해리곡선의 차이로 설명하시오. (6점)

(3) 연탄가스 등에 들어 있는 일산화탄소에 의한 가스 중독은 산소 분압이 정상인 상태에서도 치명적인 결과를 가져올 수 있다고 한다. 이것은 헤모글로빈이 산소보다 일산화탄소와 240배 이상 잘 결합하고, 한 분자의 일산화탄소가 결합되어 있는 헤모글로빈은 정상 헤모글로빈보다 더 높은 효율로 산소와 결합하는 성질과 관련이 깊다. 일산화탄소에 중독되었을 때 나타나는 산소해리곡선을 제시문 [가]에 있는 형태의 그래프로 그리고 정상적인 산소해리곡선과 비교하여 설명하시오. (8점)

【문항 2 : 화학】[20점]

■ 제시문을 읽고 주어진 논제에 대한 답안을 작성하시오.

[가]  화학반응 중에는 불꽃놀이처럼 순식간에 끝나버리는 반응이 있는가 하면, 자동차가 녹스는 것처럼 천천히 일어나는 반응도 있고, 석회동굴이 생성될 때처럼 수백만 년에 걸쳐 매우 느리게 일어나는  반응도 있다. 화학반응의 속도는 단위 시간당 반응하는 물질의 농도(또는 양) 변화량, 또는 생성되는 물질의 농도(또는 양) 증가량으로 나타낸다. 즉, [eqn: a rm A it ````` -> `````b` rm B it ``]반응에 대하여

[eqn: 반응속도``=``- {1} over {a} {rm A it 의`농도(양)`변화} over {반응`시간} ```=` {1} over {b} {rm B it `의`농도(양)`변화} over {반응시간}]

이다. 위 식으로 구한 반응속도는 평균 반응속도이며 반응속도는 항상 양의 값을 갖는다.

[나]  과산화수소([eqn: rm H _{2} O _{2}]) 수용액에 소량의 이산화망간([eqn: rm MnO_2])을 가하면 다음과 같이 과산화수소가 분해되어 물과 산소 기체를 생성한다.

[eqn: rm H _{2} O _{2} ``( it aq rm )~~ -> ~~H _{2} O``( it l rm )~+~ {1} over {2} `O _{2} ``( it g rm )]

이 반응에서 이산화망간은 촉매로 작용한다. 이 반응은 일정한 온도와 압력에서 산소의 부피를 측정함으로써 생성물인 산소의 양을 쉽게 측정할 수 있어 반응속도를 측정하는 예시 반응으로 많이 이용되고 있다. 위의 화학식에서 알 수 있듯이 생성된 산소의 양이 분해된 [eqn: rm H _{2} O _{2}]의 양에 비례하기 때문에 발생한 산소의 양으로부터 반응하고 남은 과산화수소의 농도를 알 수 있다. 농도가 묽은 용액을 사용하는 경우에는 반응에서 생성된 물에 의해 농도가 변하는 것은 무시해도 된다.

【논제】제시문에 주어진 내용을 바탕으로 [문항2:화학] 답안 공간 안에 다음을 기술하시오.

시험관에 0.90`% 과산화수소([eqn: rm H _{2} O _{2}]) 수용액 10.0`mL를 넣고 소량의 이산화망간([eqn: rm MnO_2])를 가한 후 발생하는 산소의 부피를 시간에 따라 측정하였더니 아래 그림과 같았다. 실험한 조건에서 반응속도는 과산화수소의 농도에 비례하고, 충분한 시간이 경과한 후에 생성된 산소의 부피는 60.0`mL 이었다. 다음 논제에 답하시오.

시간(초)

산소의 부피(mL)

(1) 반응 시작 후 20`초 동안의 산소에 대한 평균 반응속도를 구하시오. (7점)

(2) 반응 시작 20`초 후 반응하지 않고 시험관에 남아있는 과산화수소의 농도는 얼마인가? (8점)

(3) 같은 장치에 0.45`% 과산화수소 수용액 10.0`mL`를 넣고 논제에 제시한 것과 같은 양의 이산화망간을 가한 후 시간에 따라 생성된 산소의 양을 측정한다고 가정하자. 이 반응을 시작하고 20`초가 경과한 후 생성된 산소의 부피를 구하시오. (5점)

【문항 3 : 물리】[20점]

■ 제시문을 읽고 주어진 논제에 대한 답안을 작성하시오.

[가]  움직이는 물체의 속력과 방향을 함께 생각하는 물리량을 속도라고 한다. 일반적으로 같은 방향으로 직선 운동을 하면 속력과 속도를 구별하지 않아도 되지만 운동 방향이 반대일 경우나 변하는 경우에는 구별해야 한다. 예를 들어, 동쪽 방향을 (+)로 정한다면 서쪽 방향은 (-)가 된다. 속력 [eqn: v``]로 등속 직선 운동을 하는 물체가 시간 [eqn: t``]동안 이동한 거리 [eqn: s``]는 [eqn: s=vt``]로 주어진다.

[나]  바람이 서쪽에서 동쪽으로 일정한 속력으로 불고 있는 지역에서 비행기가 일정한 속력으로 정 북쪽에 위치한 공항으로 가려고 한다. 이 경우, 비행기의 기수가 정북을 향하면 바람에 의해 동쪽으로 이동하게 되어 공항으로부터 멀어질 것이다. 따라서 비행기의 기수는 약간 북서쪽을 향해야 한다.

[eqn: theta]

[eqn: v`]

●

공항

위의 그림과 같이 정북을 기준으로 비행기의 기수 방향을 각도 [eqn: theta ``]로 정하고 비행기의 비행 속력을 [eqn: v``], 서쪽에서 동쪽으로 부는 바람의 속력을 [eqn: v _{w} ``]라 하자. 비행기가 정 북쪽의 공항을 향해 똑바로 날아가려면 서-동 방향의 속도 성분이 [eqn: 0``]이어야 한다. 즉, [eqn: v _{w} -v`sin theta =0``]이어야 한다. 따라서 비행기는 [eqn: sin theta = {v _{w}} over {v} ``]를 만족하는 각도를 유지하면서 비행해야 한다.

【논제】제시문에 주어진 내용을 바탕으로 [문항3:물리] 답안 공간 안에 다음을 기술하시오.

철수는 배를 이용하여 아래 그림과 같이 A`지점에서 B`지점으로 가려고 한다. 강의 폭은 10`m`이고 배의  속력은 일정하게 0.5`m/s`이며, 강물은 0.5`m/s`의 속력으로 일정하게 화살표 방향으로 흐르고 있다. 배가 B`지점이 아닌 위치에 도착하는 경우, 철수는 배에서 내려 강가를 따라 B`지점을 향해 일정한 속력으로 걷는다고 하자. 단, 배와 사람의 크기는 무시한다.

A

B

[eqn: rm 10`m]

강물이 흐르는 방향

(1) 뱃머리를 선분 AB`와 나란하게 하고 A`지점에서 출발하여 강을 건넌 후에 B`지점에 도착해 보니 총 45`초가 걸렸다. 그러면 철수가 배에서 내린 후에 B`지점까지 걸어간 속력은 몇 m/s`인가? (5점)

(2) A 지점에서 뱃머리의 방향을 아래 그림과 같이 [eqn: theta]로 정하고, 강을 건넌 후에 건너편 강가에서 0.8`m/s`의 속력으로 걸어서 B 지점에 도착할 때까지 걸리는 총 시간을 [eqn: theta]`의 함수로 표현하시오. (10점)

[eqn: theta]

A

B

(3) 문제 (2)에서 [eqn: theta=a``]일 때 최단시간에 B`지점에 도착한다고 하자. 이 경우에 [eqn: sin` a] 값과 최단시간을 구하시오. (5점)

【문항 4 : 수학】[40점]

■ 제시문을 읽고 주어진 논제에 대한 답안을 작성하시오.

[가]  수열 [eqn: 3,`10,`17,`24,`31,` CDOTS ``]은 첫째항 [eqn: 3``]에서 시작하여 차례로 [eqn: 7``]을 더하여 그 다음 항이 되도록 한 것이다. 일반적으로 수열 [eqn: a _{1} ,```a _{2} ,```a _{3} ,``` CDOTS ,```a _{n} ,``` CDOTS] 의 각 항이 바로 앞의 항에 일정한 수 [eqn: d``]를 더한 것일 때, 즉 [eqn: a _{n+1} =a _{n} +d```(n=1,`2,`3,` CDOTS )] 일 때, 이 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]을 등차수열이라 하고, 일정한 수 [eqn: d``]를 이 수열의 공차라고 한다. 첫째항이 [eqn: a _{1} ``], 공차가 [eqn: d``]인 등차수열의 일반항 [eqn: a _{n} ``]은 [eqn: a _{n} =a _{1} +(n-1)`d`]가 된다.

[나]  평면이나 공간에 있는 물체의 위치나 운동은 벡터를 이용하여 기술한다. 예를 들면, 좌표평면에서 물체의 위치는 원점에서 그 물체까지의 유향선분으로 표현할 수 있는데 이를 위치벡터라고 부른다.  [그림 1]과 같이 원점에서 좌표 [eqn: A=(`a`,`b`)``]까지의 유향선분을 벡터 [eqn: vec{OA} ``]라고 하고 [eqn: A``]의 좌표와 같이 [eqn: (`a`,``b`)``]로 쓴다. [그림 2]와 같이 두 벡터 [eqn: vec{OA} `=`(`a _{1} `,``a _{2} `)``], [eqn: vec{OB} `=`(`b _{1} `,`b _{2} `)``]가 주어졌을 때, 두 벡터의 내적 [eqn: vec{OA} CDOT vec{OB} ``]는 [eqn: vec{OA} CDOT vec{OB} ```=`a _{1} `b _{1} `+`a _{2} `b _{2} ``]로 정의된다. 이 때, 두 벡터 사이의 각을 [eqn: theta ``]라고 하면 두 벡터의 내적은 다음과 같은 식을 만족한다.

[eqn: vec{OA} CDOT vec{OB} ```=` sqrt {a _{1} ^{2} +a _{2} ^{2}} `` sqrt {b _{1} ^{2} +b _{2} ^{2}} ```cos` theta ```]

[eqn: x`]-축 방향의 단위벡터 [eqn: vec{e _{1}} ``]를 [eqn: vec{e _{1}} ``=`(`1`,``0`)``]이라 하고, [eqn: y`]-축 방향의 단위벡터 [eqn: vec{e _{2}} ``]를 [eqn: vec{e _{2}} ``=`(`0`,``1`)``]이라 하면 벡터 [eqn: (`a`,``b`)``]는 [eqn: a`` vec{e _{1}} ``+``b`` vec{e _{2}} ``]로 표현할 수 있다.

[eqn: O`]

[eqn: vec{OA`} `=(a,`b)`]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: a`]

[eqn: b`]

[eqn: theta `]

[eqn: O`]

[eqn: vec{OA`} `=(a _{1} ,`a _{2} )`]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: vec{OB`} `=(b _{1} ,`b _{2} )`]

[그림 1]                                  [그림 2]

[다]  평면이나 공간에 있는 곡선은 매개변수를 이용하면 쉽게 기술할 수 있다. 즉, 곡선 [eqn: C``]가 2 차원 평면 위에 있을 때, 매개변수 [eqn: t``]를 사용하여 [eqn: C```]를 [eqn: (`x`(`t)`, ```y`(`t)``)```][eqn: (``a leq t leq b`)```]로 표현한다. 흔히 매개변수 [eqn: t``]를 시간으로 간주하여 [eqn: LEFT ( {d} over {dt} x(t),`` {d} over {dt} y(t) RIGHT ) ``]를 곡선 [eqn: C```]의 속도벡터 혹은 접선벡터라고 한다. 이 때, 곡선의 길이 [eqn: L```]을 구하는 적분식은

[eqn: L`````=`` int _{a} ^{b} {} `` sqrt {LEFT ( {d} over {dt} x(t) RIGHT ) ^{2} `+` LEFT ( {d} over {dt} y(t) RIGHT ) ^{2}} ``d`t```]

로 주어진다.

[라]  삼각함수의 덧셈정리는 삼각함수가 포함된 식을 계산하는데 매우 유용하다. 삼각함수의 덧셈정리는 다음과 같이 주어진다.

[eqn: sin( alpha + beta )`````=```sin` alpha ```cos` beta ```+``sin` beta ```cos` alpha ```]

[eqn: cos`( alpha + beta )`````=```cos` alpha ```cos` beta ```-``sin` alpha ```sin` beta ```]

이 두 식과 관계식 [eqn: sin ^{2} ` alpha ```+``cos ^{2} ` alpha `````=`1``]을 사용하면 아래와 같이 배각공식과 반각공식을 얻을 수 있다.

[eqn: sin` 2` alpha ```=` 2`` sin `alpha ``cos` alpha```]

[eqn: cos` 2` alpha ```=`` cos^{2} `alpha ```-`` sin^{2} `alpha ```=`` 2` cos^{2} `alpha ```-`` 1``` =`` 1 ``-`` 2`` sin^{2} `alpha```]

[eqn: sin^{2}` alpha ```=`` {1 ``-`` cos `2 alpha``} over {2}```],  [eqn: cos^{2}` alpha ```=`` {1 ``+`` cos `2 alpha``} over {2}```]

제시문에 주어진 내용을 바탕으로 [논제 1]과 [논제 2]의 답안을 [문항4:수학] 답안 공간 안에 기술하시오.

[논제 1] 모든 항이 양수인 어떤 수열 [eqn: LEFT { x _{n} RIGHT } ``]에서 첫째항부터 [eqn: n``]항까지의 합 [eqn: S _{n} =x _{1} +x _{2} + CDOTS +x _{n} ``]이

[eqn: S _{n} = {1} over {2} LEFT ( x _{n} + {7} over {x _{n}} RIGHT ) ``]

이라고 하자.

(1-1) [eqn: x _{1} ``]을 구하고, [eqn: S _{n-1} ``]([eqn: n GEQ 2``])을 [eqn: x _{n} ``]의 함수로 표현하시오. (5점)

(1-2) (1-1)의 결과를 이용하여 [eqn: S _{n} ^{`2} ``]을 [eqn: n``]의 함수로 표현하시오. (10점)

[논제 2] 사이클로이드(cycloid) [eqn: C``(`t)``]는 다음과 같이 매개변수 [eqn: t``]를 사용하여 표현되는 곡선을 말하며 [그림 1]과 같은 모양이 된다.

[eqn: C``(`t`)```=``(``x`(`t)``,``y`(`t`)``)``], [eqn: {cases{```x`(`t`)```=``t```-``sin`t#```y`(`t`)```=``1```-``cos`t}}] ,  [eqn: (``0 LEQ t LEQ 2 pi )].

[eqn: x]

[eqn: 2 pi `]

[eqn: pi `]

[eqn: y`]

[eqn: 0]

[eqn: 2]

[eqn: P(t)`]

[eqn: C(t)`]

[eqn: H(t)`]

[eqn: Q``]

[그림 1]

(2-1) 사이클로이드(cycloid) [eqn: C``(`t)```][eqn: (``0 LEQ t LEQ 2 pi )] 의 곡선의 길이를 구하시오. (8점)

(2-2) [그림 1]과 같이 매개변수 [eqn: t``]의 범위가 [eqn: 0 LEQ t LEQ pi ```]일 때, 사이클로이드(cycloid) 위의 점 [eqn: C``(`t)``]에서 [eqn: x`]-축 위에 내린 수선의 발을 [eqn: H``(`t)``], 직선 [eqn: x```=` pi ``]에 내린 수선의 발을 [eqn: P``(`t)``]라고 하고, 점 [eqn: ( pi `,``0`)``]을 [eqn: Q``]라고 하자. 직사각형 [eqn: C`(t)`H`(t)`Q``P`(t)``]의 넓이가 [eqn: t```=`a``]에서 최대가 된다고 할 때, [eqn: a``]가 만족하는 관계식을 구하시오. (7점)

(2-3) 매개변수 [eqn: t``]의 범위가 [eqn: 0 LEQ t LEQ pi ``]일 때, 직사각형 [eqn: C`(t)`H`(t)`Q`P`(t)``]의 넓이가 [eqn: t```=`a``]에서 최대가 된다고 하자. [그림 2]와 같이 [eqn: t```=`a``]에서의 속도벡터 [eqn: {dC} over {dt} (a)=C````'(a)````]가 [eqn: x`]-축 방향으로의 단위벡터 [eqn: vec{e _{1}} ``]와 이루는 각을 [eqn: theta ``]라고 하고, 각 [eqn: ANGLE C`(a)`Q`H`(a)``]를 [eqn: alpha ``]라고 하자. 이 때 [eqn: cos ^{2} theta ```+``sin ^{2} alpha ``]의 값을 구하시오. (10점)

[eqn: x]

[eqn: 2 pi `]

[eqn: pi `]

[eqn: y`]

[eqn: 0]

[eqn: 2]

[eqn: P(a)`]

[eqn: C``(a)`]

[eqn: H(a)`]

[eqn: Q``]

[eqn: alpha `]

[eqn: theta `]

[eqn: C```'(a)`]

[그림 2]