2010학년도 인하대학교

모의 논술고사 (자연계열)

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■ 공통 유의사항

1. 답안 작성 시 꼭 흑색 볼펜을 사용하십시오.

2. 답안지 교체 및 수정액 사용은 불허합니다.  수정이 필요하면 두 줄을 긋고 정정하십시오.

3. 답안을 구상할 때는 문제지 내의 연습장을 사용하십시오.

■ 답안 작성 시 유의사항

1. 수리 논술 시험시간은 150분이고, 배점은 100점입니다.

2. 수험번호, 성명 등 자기 신상에 관련된 사항을 답안에 드러내지 마십시오.

3. 풀이의 과정을 순차적으로 서술하되, 수식은 반드시 문장 속에 포함 시키십시오.

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모의 논술고사 (자연계열)

【문항 1 : 생물】[25점]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 사람의 ABO식 혈액형 유전은 A, B, O라는 세 가지 대립 유전자가 관여한다는 점에서 독특하다. 이와 같이 하나의 유전 형질을 표현하는 데 세 개 이상의 대립 유전자가 관여하는 것을 복대립 유전이라고 한다.

혈액형은 적혈구 표면에 존재하는 항원성을 띄는 다당류에 의해 결정된다. ABO식 혈액형을 결정하는 다당류는 9번 염색체에 존재하는 하나의 유전자로부터 만들어지는 ‘당 전달효소’에 의해 혈액형마다 다르게 나타나는데, 혈액형이 A형인 사람은 A형 효소를 만들어 적혈구 세포표면에 A형 항원을 가지며, B형은 B형 효소를 만들어 적혈구 세포표면에 B형 항원을 가진다. AB형은 한 쌍의 상동염색체 가운데 하나는 A형 효소를, 다른 하나는 B형 효소를 만드는 유전자를 가져 적혈구의 세포표면에 A, B 두 종류의 항원을 모두 가진다. 반면 O형인 사람은 A와 B형 항원을 세포표면에 갖지 않는다. 즉 혈액형이 A형인 사람은 A형 항원을 만들 대립 유전자 IA를, B형은 IB를, AB형은 IA와 IB를 가지며 O형은 IO를 가진다. 세 대립 유전자 중 IA와 IB 사이에서는 우열 관계가 없고, IO는 IA와 IB에 대해 열성으로 작용하며 그림과 같이 6종류의 유전자형과 4종류의 혈액형을 만들어 낸다. (그림1)

(그림 1)

(나) ABO식 혈액형이외에 우리에게 익숙한 혈액형으로 Rh식 혈액형이 있다. Rh식 혈액형은 ABO식 혈액형을 발견한 업적으로 노벨상을 수상한 칼 랜드스타이너에 의해 발견되었으며, ABO식 혈액형과 마찬가지로 적혈구의 세포표면에 나타나는 항원의 차이에 의해 결정되고 Rh 양성(+)과 Rh 음성(-)으로 구분된다. Rh식 혈액형은 1번 염색체에 존재하는 유전자에 의해서 결정된다. Rh식 혈액형의 유전은 아주 단순하여 Rh+를 나타내는 유전자를 R, Rh-를 나타내는 유전자를 r이라고 가정하면 쉽게 이해할 수 있다. 즉 유전자형이 우성동형접합(RR)이거나 이형접합(Rr)일 경우에는 Rh 항원이 세포표면에 나타나 Rh+가 되고, 열성동형접합(rr)일 경우에는 Rh 항원이 없어 Rh-로 나타난다. (그림2)

(그림 2)

(다) ABO식 혈액형과 마찬가지로 Rh식 혈액형도 수혈을 할 때 고려해야 한다. 특히 Rh식 혈액형의 경우 Rh-인 여자가 Rh+인 아이를 임신하였을 때, 태아의 건강에 심각한 문제를 유발할 수 있다. 일반적으로 Rh-인 사람은 Rh+를 나타내는 항원과 접촉하기 전에는 이에 대한 항체를 만들지 않는다. 따라서 Rh-인 산모가 Rh+인 아이를 임신하였을 때, 그 아이가 첫 번째 Rh+인 아이라면 큰 문제가 되지 않는다. 이것은 산모와 태아의 혈액이 섞이지 않기 때문에 정상적인 경우라면 출산 전 까지 산모가 태아의 적혈구에 존재하는 Rh 항원과 접촉할 기회가 없어 이에 대한 항체를 만들지 않기 때문이다. 그러나 출산 과정에서 불가피하게 발생하는 출혈로 산모와 태아의 혈액이 섞이게 되고 이 때 산모는 태아의 Rh 항원과 접촉하게 되어 이에 대한 항체를 만들게 된다. 적혈구와 달리 산모의 항체는 태아에게 전달될 수 있기 때문에 이 여성이 다시 Rh+인 아이를 임신하였을 경우, 산모가 만든 항체가 태아의 적혈구 표면에 존재하는 Rh 항원과 결합하여 적혈구를 응집시키거나 파괴하여 태아의 건강을 위협할 수 있다. 이러한 위험을 막기 위해서 Rh 항원에 대한 항체를 가지고 있는 Rh-인 산모가 다시 Rh+인 아이를 임신하였을 경우, 아이의 혈액을 Rh-인 혈액으로 교환해주는 전체수혈이 이루어진다.

※ 아래의 그림에 나타난 가계도를 보고 문제에 답하시오.

[문제 1] 위 그림에서 (가)의 부모가 갖는 유전자형과 그 자녀인 (가)가 가질 수 있는 혈액형을 구하시오. 단 유전자형은 IAIA, Rr과 같은 형식으로 나타내고 혈액형은 Rh+A와 같은 형식으로 나타내시오.

[문제 2] 논제 1의 부부로부터 태어난 두 번째 아이가 수혈을 받아야 할 확률을 구하시오. 또 이 아이의 혈액형이 Rh+AB형이고 Rh-O형의 혈액으로 대체하는 수혈을 받았다면 건강하게 자란 아이의 유전자형을 구하고 혈액형은 어떻게 나타날지 설명하시오. 단 여기서 Rh-O형의 혈액에 존재하는 A형, B형 항원에 대한 항체에 의한 반응은 무시하기로 한다.

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【문항 2 : 화학】[25점]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 물이 얼어서 얼음이 될 때에는 물 분자들이 수소 결합에 의해 규칙적으로 배열하기 때문에 분자들 사이에 빈 공간을 많이 가지는 구조를 이룬다(아래 그림 참조). 따라서 물이 얼어 얼음이 될 때에는 부피가 늘어나고 밀도가 작아진다.

물

얼음

또 얼음이 녹으면서 물이 될 때에는 일부의 수소 결합이 끊어지면서 빈 공간이 줄어들게 되므로 부피가 작아져서 밀도가 커진다. 0oC인 물이 4oC가 될 때까지 이와 같은 변화가 일어나므로 0oC에서 4oC 사이에서 온도가 올라갈수록 물의 부피가 작아지며 물의 밀도는 4oC에서 최대가 된다. <표 1>은 1 기압에서 온도에 따른 물과 얼음의 밀도 변화를 숫자로 나타낸 것이다.

<표 1> 온도에 따른 물과 얼음의 밀도

온도 (oC)	밀도 (g/cm3)
	물
	액체	고체
7	0.99990	-
6	0.99994	-
5	0.99997	-
4	0.99998	-
3	0.99997	-
2	0.99994	-
1	0.99990	-
0	0.99984	0.9167
-1	-	0.9169
-2	-	0.9171

(나) 물은 여러 가지 물질을 녹이는 좋은 용매이다. 예를 들어 암모니아와 에탄올은 물에 무한히 녹으며 우리가 먹는 소금(NaCl)은 25oC에서 물 100g 당 약 36g이 녹는다. 순수한 물에 소금을 가하면 처음에는 빠르게 녹다가 녹는 속도가 점점 느려지며 충분한 시간이 흐른 후에는 고체 소금이 물속에 남아 있어도 더 이상 녹아 들어가지 않는다. 이 경우 우리는 물이 소금으로 ‘포화’되었다고 한다. 이 상태는 소금이 물에 녹아들어 가는 속도와 녹아있는 소금이 다시 결정으로 석출되는 속도가 같기 때문에 거시적으로 아무런 변화가 없는 것처럼 보인다. 따라서 포화된 상태보다 더 진한 용액을 만들 수 없다.

(다) 순수한 물은 대기압이 1 기압일 때 0oC에서 얼고 녹는다. 그런데 순수한 물에 고체 물질이 녹아 용액이 되면 어는점이 낮아진다. 이러한 현상을 ‘어는점 내림’이라고 부른다. 소금이 녹아 있는 바닷물은 0oC보다 낮은 온도에서 언다. 재미있는 사실은 어는점이 낮아지는 정도는 녹아있는 물질의 종류와는 무관하여, 다만 일정 부피의 용액 속에 녹아있는 입자(분자나 이온)의 수, 즉 농도에 근사적으로 비례한다는 것이다. 따라서 수용액의 농도가 높을수록 어는점은 더 많이 낮아지게 된다.

(라) 바닷물이 얼어 생긴 남극의 얼음 덩어리의 맛을 보면 짠 맛이 거의 없다. 그 이유는 바닷물이 얼 때 물 분자들만 덩어리를 형성할 뿐, 바닷물에 녹아 있는 다른 물질의 입자들은 얼음의 구조 속에 들어가지 않기 때문이다.

[문제 1] 추운 겨울날 호수의 물이 표면부터 어는 이유를 설명하시오.

[문제 2] 포화된 소금물이 [eqn: -k]oC에서 언다고 하자. 포화된 소금물에 같은 부피의 증류수를 가하여 부피가 [eqn: V``]인 소금물 용액을 만들었다. 이 소금물 용액을 냉동고에 넣고 온도를 낮추고 있다. 얼음이 생기기 시작하는 순간부터 대부분의 소금물이 얼 때까지의 소금물의 온도 변화를 그래프로 그리고 설명하시오. 단, 물에 대한 소금의 용해도는 온도에 따라 변하지 않는다고 가정한다. (힌트: 남아있는 소금물의 부피를 [eqn: x]-축, 온도를 [eqn: y]-축으로 잡는다.)

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모의 논술고사 연습장

【문항 3 : 물리+수학】[50점]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 질량중심은 물체 전체의 질량의 중심점으로 전체 질량이 질량중심에 있는 것처럼 외부 계와 작용한다.

(나) 예를 들어, 직선 위에 질량이 [eqn: m]으로 같은 두 물체가 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 놓여 있다고 하자. 이들 두 물체는 [eqn: x_1]과 [eqn: x_2]의 중간 지점인 [eqn: {x_1 + x_2}over{2}]에 질량이 [eqn: 2m]이 있는 것처럼 외부 계와 작용한다. 만일, 질량이 [eqn: m_1], [eqn: m_2]로 서로 다른 물체가 각각 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 놓여 있으면, 질량이 [eqn: m_1 + m_2]인 물체가 질량 중심에 있는 것처럼 외부 계와 작용한다. 이런 경우 질량 중심은 어떻게 계산을 할까? 이것은 가중치를 갖는 평균으로 생각하여 구할 수 있다. 점 [eqn: x_1]에는 [eqn: {m_1} over {m_1 + m_2}]의 가중치를 주고, 점 [eqn: x_2]에는 [eqn: {m_2} over {m_1 + m_2}]의 가중치를 주어 질량 중심은 [eqn: {m_1}over{m_1 + m_2} x_1 + {m_2}over{m_1 + m_2} x_2 = {m_1 x_1 + m_2 x_2}over{m_1 + m_2}]로 계산할 수 있다. 특히, 질량이 [eqn: m_1 = m_2] 의 경우, 질량 중심은 [eqn: {x_1 + x_2}over{2}]으로 앞에서 언급한 것과 같다. 일반적으로, 좌표공간에서 점 [eqn: (x _{k} ,`y _{k} ,`z _{k} )```(k=1,`2,` CDOTS ,`n)]에 각각 질량이 [eqn: m _{k} `]인 물체가 놓여 있을 경우, 이들의 질량중심은 아래와 같다.

[eqn: LEFT ( {x _{1} m _{1} +x _{2} m _{2} + CDOTS +x _{n} m _{n}} over {m _{1} +m _{2} + CDOTS +m _{n}} ,` {y _{1} m _{1} +y _{2} m _{2} + CDOTS +y _{n} m _{n}} over {m _{1} +m _{2} + CDOTS +m _{n}} ,` {z _{1} m _{1} +z _{2} m _{2} + CDOTS +z _{n} m _{n}} over {m _{1} +m _{2} + CDOTS +m _{n}} RIGHT )]

(다) 질량이 연속적으로 분포되어 있는 물체의 질량중심 [eqn: ( bar{x} ,` bar{y} ,` bar{z} )]은 구분 구적법에 의한 부피 계산과 같은 방법을 응용하여 적분을 이용하여 구한다. 예를 들어 균일한 밀도 [eqn: rho `]를 가지고 [eqn: x`]축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 [eqn: A(x)`]인 연속체의 [eqn: x] 방향의 질량중심 [eqn: bar{x} `]는 다음과 같이 구한다. 그림과 같이 [eqn: x`]축 위의 구간 [eqn: [a,`b]`]를 [eqn: n`]등분하여 양 끝점과 등분점의 [eqn: x`]좌표를 각각

[eqn: a=x _{0} ,`x _{1} ,`x _{2} ,` CDOTS ,`x _{n-1} ,`x _{n} =b`]

라 하고, 각 부분 구간의 길이를 [eqn: TRIANGLE x= {b-a} over {n} `]라 하자. 이때 밑면의 넓이 [eqn: A(x _{k} )`], 높이가 [eqn: TRIANGLE x`]인 원기둥의 부피는 [eqn: A(x _{k} ) TRIANGLE x`]이므로, 질량은 [eqn: rho `A(x _{k} ) TRIANGLE x`]이다. 또한, 가중치를 적용한 좌표는 [eqn: rho ``x _{k`} A(x _{k} ) TRIANGLE x`]이다. 따라서 질량중심의 [eqn: x`]좌표 [eqn: bar{x} `]는

[eqn: {sum _{k=1} ^{n} rho ``x _{k} `A(x _{k} ) TRIANGLE x} over {sum _{k=1} ^{n} rho `A(x _{k} ) TRIANGLE x}]

으로 근사되며, [eqn: TRIANGLE x``` -> ```0`]에 따른 극한을 취하여 다음을 구할 수 있다.

[eqn: bar{x} = { int _{a} ^{b} {rho `x`A(x)dx}} over { int _{a} ^{b} {rho `A(x)`dx}}]

[eqn: x _{k-1}]

[eqn: x _{k}]

[eqn: a=x _{0}]

[eqn: b=x _{n}]

[eqn: TRIANGLE x]

[eqn: A(x _{k} )]

※ 반지름이 [eqn: a]인 속이 비어 있는 반구 안에 반지름이 [eqn: b]인 속이 꽉 찬 구가 아래 그림과 같이 들어 있다 (단, [eqn: 0`<`2b`<`a]).

[eqn: y]

[eqn: a`]

[eqn: b`]

[eqn: 0`]

[eqn: z`]

[eqn: h`]

[eqn: x]

[문제 1] 물이 높이 [eqn: h] 만큼 들어있을 때, 용기에 담긴 물의 부피를 구하시오.

[문제 2] 이 용기에 물이 가득 들어 있을 때, 용기에 담긴 물의 질량중심의 높이를 구하시오. (단, 물의 밀도는 상수 [eqn: rho]이다.)

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(라) 정지해 있는 물체에 작용하는 힘을 정지 마찰력이라고 한다. 물체에 작용하는 힘이 증가하면 정지 마찰력도 증가하지만 어느 값에 이르면 물체가 움직이기 시작한다. 이 때 물체가 막 움직이는 순간에 작용한 마찰력이 정지 마찰력 중에서 가장 크기 때문에 최대 정지 마찰력이라고 한다. 최대 정지 마찰력의 크기는 물체가 접촉면으로부터 받는 수직 항력 [eqn: N``]에 비례하고, 접촉면의 매끄러운 정도에 따라 달라진다. 따라서 최대 정지 마찰력은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

최대 정지 마찰력([eqn: f`]) [eqn: =] 정지 마찰 계수([eqn: mu `]) [eqn: TIMES] 수직 항력([eqn: N``])

여기서 정지 마찰 계수 [eqn: mu `]는 물체의 매끄러운 정도를 나타내는 값으로서 물체가 매끄러울수록 작다.

(마) 정지해 있는 질량을 가진 물체에 작용하는 힘의 총 합이 0 이라 해도 짝힘(물체에 작용하는 크기가 같고 방향이 반대인 평행한 두 힘)과 같이 적용점이 서로 다른 (같은 작용선상에 있지 않은) 두 힘이 작용하면, 물체는 회전운동을 하게 된다. 회전운동하려는 효과를 힘의 모멘트 (또는 돌림힘, 토크)라 하며 힘의 모멘트([eqn: M``])은 힘의 크기([eqn: F``])와 회전축으로부터 힘의 작용선까지의 수직거리([eqn: r`])의 곱으로 정의된다. 즉 [eqn: M=F`r`]이다.

[eqn: F``]

[eqn: r`]

회전축

(바) 물체에 작용하는 힘의 모멘트가 여러 개 있는 경우, 물체의 회전 평형조건은 힘의 모멘트의 총 합이 0이어야 한다. 예를 들어 그림과 같이 서로 다른 2 개의 작용점에 각각 힘이 작용하는 경우, 물체의 회전 평형조건은 다음과 같이 쓸 수 있다:

[eqn: r_1 F_1 = r_2 F_2]

이 평형 조건의 응용의 한 예로, 미닫이문의 손잡이 부분을 미는 경우가 문의 중간부분을 미는 경우 보다 힘이 덜 든다.

F2

F1

r1

r2

※ 길이가 [eqn: L`]이고 무게가 [eqn: W``]인 사다리가 아래 그림과 같이 벽과 [eqn: theta `]의 각을 이루며 기대어 있다. 사다리와 벽 사이에는 마찰이 없으나, 사다리와 바닥 사이에는 마찰이 있다. 최대 정지 마찰계수는 [eqn: mu ``]이다. 무게가 [eqn: 5W``]인 사람이 사다리에 올라가 있다.

[eqn: theta `]

[eqn: L`]

[eqn: N _{W} ``]

[문제 3] 사다리가 미끄러지기 전, 벽이 사다리에 작용하는 수직 항력 [eqn: N _{W} ``]를 구하시오.

[문제 4] 사람이 바닥으로부터 사다리 길이의 [eqn: {3} over {4} `]이 되는 곳에 서 있을 때, 사다리가 미끄러지기 시작하였다면, 사다리가 벽에 기댄 각도 [eqn: theta]에 대해 [eqn: tan` theta `]를 구하시오.

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