2010학년도 인하대학교 수시논술 2-1 자연계열

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논술고사 해설 및 예시 답안

[문항 1 : 생물]

1. 출제의도

생물 문제의 경우 종래 생물학적 내용을 기반으로 한 간단한 계산문제를 출제하던 것과는 달리 생물과목에서 배운 ‘자연 선택에 의한 진화’라는 내용을 잘 이해하고 있는가를 평가하고자 하였다. 특히 서로 다른 가설을 검증하기 위한 간단한 실험을 제시하고, 각각의 경우에 대한 실험 결과를 예측할 수 있는지와 실험결과를 제시문에 근거하여 해석할 수 있는지를 알아보고자 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 생물 분야에서는 다윈이 ‘종의 기원’에서 제시한 ‘자연 선택에 의한 진화’론을 제시문 (가)에서 설명하고, 제시문 (나)는 이를 검증하기 위한 간단한 실험을 제시하여 실제 교과서에서 배운 내용을 적용할 수 있는지를 알아보고자 하였다. 이를 바탕으로 논제에서는 가설에 따라 서로 다른 결과를 예측하고, 또 주어진 결과를 제시문에 근거하여 해석하도록 하였다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 (가)에서는 생물 1에서 배우는 생물 진화에 대한 내용 중  다윈에 의해 제시된 ‘자연 선택 (Natural selection)'에 의한 진화의 과정을 간략히 설명하였다. 제시문 (나)에서는  ‘자연 선택’을 서로 다르게 이해하는 두 명의 학생이 자신의 가설을 검증하기 위해 수행한 실험을 소개하였다.

(다) 제시문 출처

제시문 (가) : 고등학교 □생물 I□ 교과서에서 발췌

제시문 (나) : 창작

3. 논제 해설

논제는 두 개의 문제로 이루어져 있다. 첫 번째 문제는 가설을 세우고 이를 검증하기 위한 실험을 하였을 때 자신의 가설이 옳았을 경우에 어떠한 결과가 나올지를 예상하는 문제로 일반적인 과학탐구 방법을 물어보고자 하였으며 아울러 ‘자연 선택’을 올바르게 이해하고 있는지를 함께 물어보고자 하였다. 두 번째 문제는 결과를 제시하고 이를 ‘자연 선택’이론에 근거하여 해석하는 문제로 자연 선택에는 (1) 새로운 환경에 적응하고 (2) 그 형질이 안정적으로 다음 세대로 전달된다는 (즉 번식력이 유지된다.) 두 가지 핵심적인 요구조건이 있다는 것을 묻고자 하였다.

4. 평가 기준

• 주어진 제시문을 정확하게 이해하고 이를 바탕으로 각 논제에서 요구하는 문제를 파악하는 능력

• 생물 과목에서 다루는 최소한의 기본 개념 (자연 선택에 의한 진화론)을 이해하고 있는 정도

• 과학탐구 방법론에 대한 이해도

5. 예시 답안

(1) 철수는 항생제-X 사용에 의한 결과로 이에 대한 내성균이 나타났다고 주장하였다. 따라서 내성균은 항생제-X를 처리한 이후에만 검출되어야 하며, 항생제-X를 처리하지 않은 경우에는 내성균이 검출되지 않아야 한다. 그러나, 동호의 의견에 따르면 항생제-X에 대한 내성은 세균의 배양과정에서 개체수가 늘면서 나타나는 다양한 변이 가운데 하나이기 때문에 항생제-X의 처리 유무와 무관하게 존재할 것이다. 따라서 결과는 아래의 표와 같이 얻어질 것으로 예상할 수 있다. 제시문 (가)에서 설명하는 자연 선택 이론에서는 개체군 내에 존재하는 다양한 변이 가운데 환경 조건의 변화에 적응 가능한 개체만이 생존 가능하다고 설명하고 있으며, 환경 조건의 변화가 변이를 유도하지는 않는다고 말하고 있다. 따라서 동호의 의견이 더 타당하다고 할 수 있다.

철수의 주장이 맞을 경우	배양액 ①	배양액 ②	배양액 ③
항생제 내성균	X	X	O

동호의 주장이 맞을 경우	배양액 ①	배양액 ②	배양액 ③
항생제 내성균	O	O	O

(2) 다윈의 자연 선택 이론에 의하면 새로운 환경에 적응한 변이라 할지라도 번식을 통해 안정적으로 다음 세대로 전달되어야 한다는 점을 강조하고 있다. 또한 새로운 환경 조건에서 생존할 수 있는 변이라고 할지라도 그러한 변이가 반드시 이전과 동일하거나 우월한 번식력을 가진다는 것을 담보하지는 않는다. 문제에서 항생제-X에 대한 내성균은 항생제가 존재하는 환경에서는 민감한 세균보다 생존 및 번식에서 우월하다고 말할 수 있지만, 항생제가 존재하지 않는 환경에서는 이러한 이점을 가지지 못한다. 초기에 50 : 50의 비율로 존재하던 내성균과 민감한 균의 비율이 배양 결과 5 : 95의 비율로 내성균이 차지하는 비율이 감소하였다는 것은 내성균의 번식력(생장속도 등 비슷한 다른 용어를 써도 가능)이 민감성 균의 그것에 미치지 못한다는 것을 의미한다. 이 밖에도 내성균 중 일부가 다시 내성을 상실하는 경우도 생각할 수 있다.

[문항 2 : 화학]

1. 출제의도

학생들이 자신이 실생활에서 사용하고 관찰되는 화학물의 작용 원리를 분자수준에서 논리적으로 정리 설명 할 수 있는지를 측정하려고 하였다. 또한 미시적 분자구조 배열 변화가 어떻게 거시적인 성질 변화에 영향을 미치는지 이해하고 이를 논리적으로 설명할 수 있는지를 측정하고자 하였다. 문제 (1)에서는 화학 I 교과서에서 나오는 비누의 세제 원리를 주제로 삼아, 비누 분자 구조 및 특징, 다양한 분자간의 인력, 미시적 변화에 따른 거시적 변화의 예 등을 제시문으로 제공하였다. 관련 제시문을 이해한 후 어떻게 수용액상에서 비누가 기름 등의 소수성 물질을 제거할 수 있는지를 분자수준에서 이해하고 이를 글과 그림으로 표현할 수 있는지를 측정하고자 하였다. 비누의 세제 원리에서, 미셀의 존재를 알려주고 수용상에서 어떤 분자간 인력으로 미셀 구조가 형성될 수 있는지를 질문하였다. 문제 (2)에서는 분자수준의 변화로부터 거시적 성질의 변화를 이해하고 이를 논리적으로 설명 할 수 있는지를 측정하고자 하였다. 거시적 성질로는 비누의 미셀 형성 전 후의 표면 장력의 변화를 그래프로 제공한 후 이러한 거시적 성질의 변화를 분자 배열의 변화로 논리적으로 설명 할 수 있는지를 보고자 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 2010학년도 인하대학교 정시 자연계 논술고사 화학은 분자구성에 따른 물성의 변화를 주제로 실생활에서 많이 접하는 비누와 비누의 세정과정을 대상으로 주제를 잡았다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 [가]에서는 대표적인 분자간 힘인 분산력, 쌍극자-쌍극자 힘, 수소결합에 대해서 설명하였다. 무극성 분자의 경우, 분산력의 중요성, 분자의 크기(전자수)에 따른 분산력 변화를 제시하였으며, 극성분자사이에 관찰되는 쌍극자-쌍극자 힘(dipole-dipole force)을 설명하였다. 전기음성도가 크고 비공유 결합 전자쌍을 가진 F, O, N 원자 등과 결합한 수소에서 관찰되는 수소결합의 소개와 그 인력의 세기및 중요성에 대해서 설명하였다. 제시문 [나]에서는 분자간 힘의 차이로 나타나는 분자의 성질 중 하나인 물질간의 용해성에 대해 설명하였다. 일반적인 물질간의 용해성 원리인, 극성 용질은 극성 용매에 잘 녹고, 무극성 용질은 무극성 용매에 잘 녹는 다를 설명하였고 예를 제시하였다. 제시문 [다]에서는 비누의 세탁 원리를 비누분자의 구조와 연관시켜 설명하였으며, 기름때의 제거 과정을 분자수준에서 제시하였다. 제시문 [라]에서는 콜로이드 입자에 대한 설명과 콜로이드용액의 특징과 관련하여 틴들 현상에 대해서 제시하였다.

(다) 제시문 출처

제시문 [가] : 고등학교 □화학 II□ 교과서, 금성사 178쪽, 교학사 171쪽

제시문 [나] : 고등학교 □화학 II□ 교과서, 금성사 180쪽

제시문 [다] : 고등학교 □화학 I□ 교과서, 금성사 190쪽, 중앙교육진흥연구소 166쪽,

교학사 182쪽, 대한교과서 183쪽

제시문 [라] : 고등학교 □화학 II□ 교과서, 금성사 84쪽.

3. 논제 해설

논제는 두 개의 질문으로 구성되어 있으며 각 질문 당 점수 배점은 난이도에 따라 차등 배분되었다. 문제 (1)에서는 분자간 인력을 고려하여 미셀의 구조를 그리고 설명하는 문제이다. 지방산 (비누)이 충분한 농도를 가졌을 때 지방산의 소수성 부분끼리 결합하고 친수성 부분은 물과 결합하여 미셀을 형성함을 이해하면 수용액상에서 분자의 배열 형태를 쉽게 제안할 수 있다. 미셀 형성과정은 제시문 [다]에 소개하였으며, 분자간 인력에 대한 설명은 제시문 [가]와 [나]를 바탕으로 제안하면 큰 무리 없이 설명할 수 있을 것으로 기대된다. 또한 산란세기의 변화와 미셀 형성 관계는 제시문 [라]에 그 관계를 설명하였으므로 산란 세기가 급격히 증가하는 부분에서 미셀이 형성되었음을 유추할 수 있다. 문제 (2)에서는 미셀 형성 전 후의 표면 장력의 변화를 비누분자의 용액 표면과 수용액상에서의 배열로 설명하는 문제이다. 고등학교 교과서에 미셀 형성 전 후의 비누 배열 그림이 있으며 제시문에 이를 설명할 수 있는 충분한 내용을 제공하였으므로 그 과정을 충분히 설명할 수 있을 것으로 기대된다. 미셀 형성 전에는 대부분의 지방산이 물과 잘 섞이지 않는 소수성 부분 때문에 물 표면에 배열하게 되며 이로 인하여 물 분자들 간의 상호 인력을 방해하므로 표면 장력이 저하되게 된다. 미셀 형성 단계 전에는 넣어주는 지방산은 물의 표면에 주로 존재하게 되므로, 지방산 농도 증가에 비례하여 표면 장력은 감소하게 된다. 하지만 지방산 분자가 일정 수준 이상 물 표면에 노출되며 그 이상으로 넣어주는 지방산은 물속에 존재하게 되면 지방산의 소수성 부분끼리 서로 결합하고 친수성부분은 물에 둘러싸이는 미셀을 형성하게 된다. 미셀 형성 단계 후에는 넣어준 지방산은 새로운 미셀 형성에 참여하므로 물 표면에 지방산의 농도는 크게 변하지 않으므로 표면 장력의 변화가 지방산 증가에 의하여 큰 영향을 받지 않게 되며 그림에서 보듯이 미셀의 양이 증가하면서 급격히 산란 세기가 증가하게 된다.

4. 평가 기준

• 주어진 제시문을 정확하게 이해하고 이를 바탕으로 각 논제에서 요구하는 문제를 파악하는 능력

• 분자간 힘, 용해도, 비누의 원리, 등의 고교 수학 과정에서 배우는 개념을 정확하게 이해하고 이에 수반되는 화학 현상을 분자수준에서 논리적으로 해석 할 수 있는 능력

• 제시문에서 주어진 여러 가지 내용 중에서 논제 해결에 필요한 내용을 선별할 수 있는 능력

• 제시문에서 주어진 내용을 필요에 따라 일부 변형하고 적용하는 종합적인 사고력

• 논제에서 요구하는 바를 해결하기 위해 제시문에 주어진 내용을 바탕으로 서술문과 그림 등을 올바르게 그리고 논리적으로 기술할 수 있는 능력

5. 예시 답안

(1) 화합물 A(지방산)는 어느 정도 농도가 되면 미셀을 형성한다. 미셀을 형성하면, 아래 그림과 같은 형태의 분자 배열을 가진다. 이는 지방산이 소수성 부분과 친수성 부분을 동시에 가지고 있어,  친수성 부분은 물과 잘 섞이는 반하여 소수성 부분은 물과 잘 섞이지 않기 때문이다. 분자간 인력으로 이를 해석하면 지방산의 카르복실기는 염기성 수용액에서 양성자를 방출하고 카르복실 음이온으로 존재하며, 극성 용매인 물의 부분 양전하를 띤 수소원자와 쌍극자-쌍극자 힘, 카르복실기의 산소의 비공유 전자쌍과 수소 결합 및 분산력 등으로 서로 결합한다. 이에 반하여 소수성 부분 (CH3-(CH2)10-)은 분산력으로 소수성 부분끼리 서로 상호작용하므로 아래와 같은 미셀 구조를 가진다.

C

O

O-

C

O

O-

C

O

O-

C

O

O-

C

O

O-

C

O

O-

C

O

O-

C

O

O-

C

O

O-

C

O

O-

C

O

O-

C

O

O-

O

H

H

O

H

H

O

H

H

O

H

H

O

H

H

O

H

H

O

H

H

O

H

H

(2) 미셀 형성 전에는 대부분의 화합물 A (지방산)가 물과 잘 섞이지 않는 소수성 부분 때문에 물 표면에 배열하게 된다. 이로 인하여 물 분자들 간의 상호 인력을 방해하여 수용액의 표면 장력이 감소하게 되는데 화합물 A의 농도를 증가시키면 농도에 비례하여 물 표면의 화합물 A의 양이 증가하면서 표면 장력이 저하되게 된다. 이런 이유로 농도 C 이하에서는 화합물 A의 농도에 비례하여 표면장력이 감소한다. 농도 C 이상에서는 화합물 A가 일정 수준 이상 물 표면에 배열하면, 화합물 A의 소수성 부분과 물과의 반발력이 커지며, 소수성 부분끼리 서로 결합하여 앞에서 제시한 미셀을 형성하게 된다. 미셀 형성 단계에서는 넣어준 지방산은 새로운 미셀 형성에 참여하므로 물 표면에 지방산의 농도는 크게 변하지 않으므로 표면 장력의 변화가 지방산 증가에 의하여 큰 영향을 받지 않게 되며 그림에서 보듯이 미셀의 양이 증가하면서 급격히 산란 세기가 증가하게 된다.

[문항 3 : 물리+수학(1)]

1. 출제의도

고등학교 과정에서 배운 수학을 실제 물리 문제 풀이에 응용하는 능력을 평가할 목적으로 출제하였다. 물리 현상의 이해와 수학의 여러 방법을 이용하여 논리적으로 수식을 세우는 과정과 더불어 계산하는 능력도 평가하고자 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 포물선 운동하는 물체가 경사면과 충돌할 때 생기는 현상에 대하여 질문하였다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 [가]에서는 탄성 충돌인 경우, 벽면에 충돌하기 전후의 물체의 속도에 대한 제시문이다. 충돌 후의 물체 속도의 방향은 반사의 법칙이 성립하다고 설명하였다. 제시문 [나]에서는 물체가 경사면에 충돌할 경우에 발생할 수 있는 여러 현상을 설명하였다.

(다) 제시문 출처 : 교과서를 기초로 발췌 및 창작

3. 논제 해설

수평 방향으로 던진 물체가 경사면에 부딪힐 때, 나타나는 현상에 관한 문제이다. 논제는 두 개의 질문으로 구성되어 있으며 각 질문 당 점수 배점은 난이도에 따라 차등 배분되었다. 문제 (1)에서는 수평방향으로 물체를 던질 때 나타나는 포물선의 식을 표현하고 경사면의 식과 교점을 구하여 충돌지점을 찾은 후, 충돌지점에서 접선의 기울기를 초기 속도로 표현하는 문제이다. 문제 (2)에서는 물체가 경사면에 충돌할 때, 입사각의 탄젠트 값을 삼각함수의 공식을 응용하여 초기 속도로 표현하고, 물체가 연직 방향으로 올라가는 조건을 논리적으로 찾은 후, 이 경우의 초기 속도를 구하는 문제이다.

4. 평가 기준

• 삼각함수, 미분, 방정식, 평면 기하 등의 고교 수학 과정에서 배우는 개념에 대한 이해도와 연산 능력

• 수학 개념을 실제 물리 문제에 응용하는 능력

5. 예시 답안

(1) 수평으로 던진 물체는 [eqn: x]축 방향으로는 등속운동을 [eqn: y]축 방향으로는 등가속도 운동을 하므로 [eqn: x,`y]의 위치는

[eqn: x={v_0}t], [eqn: y=- {1} over {2} gt ^{2} +h`=`-5t ^{2} `+`10]

이다. 이 때, [eqn: t]를 소거하면, 경사면에 부딪히기 전의 물체의 궤적인 포물선

[eqn: y=- {5} over {v _{0} ^{2}} x ^{2} +10]

을 구할 수 있다. 경사면의 식은 [eqn: y= {1} over {sqrt {2}} x] 이므로 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: - {5} over {v _{0} ^{2}} x ^{2} +10= {1} over {sqrt {2}} x] 으로부터 [eqn: x _{0} ={-v _{0} ^{2} +v _{0} sqrt {v _{0} ^{2} +400}} over {10 sqrt {2}}] 이다. 한편, 포물선의 도함수는 [eqn: {dy}over{dx} = -{10} over{v_0^2} x] 이므로, 교점에서 포물선의 접선의 기울기는 다음으로 주어진다.

[eqn: - {10} over {v _{0} ^{2}} LEFT ( {-v _{0} ^{2} +v _{0} sqrt {v _{0} ^{2} +400}} over {10 sqrt {2}} RIGHT ) = {1- {1} over {v _{0}} sqrt {v _{0} ^{2} +400}} over {sqrt {2}}]

(2) 아래 그림과 같이 경사면과 수직인 직선이 [eqn: x]축과 만나는 각도를 [eqn: theta_c], 교점에서 포물선에 접하는 직선이 [eqn: x]축과 만나는 각도를 [eqn: theta_0]라 하면,

[eqn: tan theta_c = - sqrt{2}] , [eqn: tan theta _{0} = {1- {1} over {v _{0}} sqrt {v _{0} ^{2} +400}} over {sqrt {2}}]

이다.

입사각을 [eqn: theta]라 하면, [eqn: tan theta = tan (theta_0 - theta_c ) = {tan theta_0 - tan theta_c } over{ 1+ tan theta_0 ` tan theta_c}] 이므로,

[eqn: tan theta = {3 v_0 - sqrt{v_0^2 +400} }over { sqrt{2} sqrt{v_0^2 +400}}]

이다. 충돌 후 수직으로 움직이려면, 아래 그림과 같이 [eqn: theta = theta_c -{pi} over {2}]일 때 이므로, [eqn: tan theta = 1 over{sqrt{2}}]이다. 따라서

[eqn: {3v _{0} - sqrt {v _{0} ^{2} +400}} over {sqrt {2} sqrt {v _{0} ^{2} +400}} = {1} over {sqrt{2}}]

에서 [eqn: v_0 = 8 sqrt{5}] 이다.

[eqn: 0``]

[eqn: theta `]

[eqn: v _{0} `]

연직 위로

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: theta `]

[eqn: theta `]

[eqn: theta _{c} `]

[eqn: theta _{0} `]

[eqn: y= {1} over {sqrt {2}} x`]

[문항 3 : 물리+수학(2)]

1. 출제의도

전년도 수시에 출제된 문제와 유사한 문제로서, 두 가지 응용성을 추가한 문제이다. 그 중 첫 번째는 원기둥 직선도선을 타원형 직선도선으로의 변형이며 두 번째는 주어진 길이의 도선의 저항을 둘로 나누어 병렬연결한 회로의 총 소비전력의 최소 조건의 길이를 찾는 문제이다. 필요한 물리적 개념들이 주어진 경우, 이 자료들을 적당히 문제에 맞추고 변형하여 방정식을 세워 근을 구하는 통합적인 문제로서 단편적인 지식의 암기보다는 통합적인 이해와 해결 능력을 검증하도록 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 단면적이 타원인 직선도선의 저항을 둘로 나누어 병렬로 연결된 회로의 총 소비전력이 최소 조건을 다루었다

(나) 제시문 해설 : 제시문 [가]에서는 여러 개의 저항들이 직렬로 연결된 경우와 병렬로 연결된 경우 각각의 합성저항을 설명하였으며, 제시문 [나]에서는 두 저항의 합은 일정하나 각각의 저항은 다를 수 있는 두 저항의 병렬연결의 합성저항의 변화를 살펴보았으며, 두 저항이 동일한 경우, 합성저항은 최대가 됨을 설명하였다. 제시문 [다]에서는 저항에 전류가 흐르는 경우 소모하는 단위 시간 당 전기에너지인 전력은 저항 양쪽 끝 사이의 전압과 저항에 흐르는 전류의 곱으로 주어지며 옴의 법칙을 적용하면 저항에 반비례함을 설명하였으며, 제시문 [라]에서는 도선으로 만들어진 저항의 저항값이 도선의 길이에 비례하며 도선의 단면적에 반비례함을 설명하였으며 그 비례상수는 비저항이라는 도선의 성질임을 설명하였다. 특히, 도선의 단면적이 도선의 위치에 따라 달라지는 경우 적분의 구분구적법을 이용하여 도선의 총 저항을 적분식으로 표현하는 방법을 설명하였다. 마지막으로 장축 및 단축 길이가 주어진 타원의 면적을 제시문 [마]에서 설명하였다.

(다) 제시문 출처 : 제시문은 취득 가능한 여러 종류의 수학 I, 물리 I 교과서의 내용들 중 가능한 공통적으로 제시된 문장 그대로 사용하였으며, 내용이 위 교과서 내용을 벗어난다고 판단되는 경우 또는 모든 교과서에 공통적으로 제시되지 못한 내용에 대해서는 형평성을 최대로 높이기 위하여 학생의 입장에서 이해하기 쉬운 글로 표현하도록 직접 작성하였다.

3. 논제 해설

[문항 3]의 첫 번째 문제와 마찬가지로 같은 유형의 질문 2개로 이루어져 있으며 문제 (1)에서는 제시문 [마]에서 주어진 타원의 면적 공식을 이용하여 함수를 구하고, 구한 함수에 대해 제시문 [라]에서 설명한 적분을 수행하도록 하였으며, 문제 (2)에서는 제시문 [가], [나], [다]의 내용을 이용하여 물리적 상황에 맞는 방정식을 만들고 방정식의 근을 구하는 과정을 수행하도록 하였다. 문제 (1)은 2009년도 수시 논술에서 출제된 내용과 근본적으로는 동일하나 원을 타원으로 변형한 문제로서 수험생의 간단한 응용 능력을 검증하고자 하였다. 문제 (2)는 논제에 주어진 물리적 상황을 여러 가지 제시문을 이용하여 방정식을 수립하여 방정식을 근을 구하는 능력을 검증하도록 하였다. 문항은 전체적으로 긴 직선 도선을 둘로 나누어 병렬연결로 건전지에 연결된 회로의 총 소비전력이 최소 조건을 구하는 내용이며 직선도선의 단면이 타원이며 타원의 면적이 위치에 다르기 때문에 총 저항을 얻기 위하여 적분을 수행해야 하며, 일정히 변하는 장축 및 단축의 길이를 1차 함수로 표현할 수 있어야 하며, 두 개의 1차 함수의 곱으로 표현된 분모를 부분 분수함수로 나누어 정해진 적분 구간에 대해 정적분 값을 구해야 한다. 문제 해결에 필요한 물리적 개념인 총 소비전력의 최소조건에 대해서는 제시문으로 주어진 내용을 활용할 수 있도록 하였다.

4. 평가 기준

• 주어진 제시문을 정확하게 이해하고 이를 바탕으로 각 논제에서 요구하는 문제를 파악하는 능력

• 적분, 평면 기하 및 연립방정식 등의 고교 수학 과정에서 배우는 개념을 정확하게 이해하고 이에 수반되는 계산을 올바르게 수행할 수 있는 능력과 이를 물리에 활용할 수 있는 능력

• 물리 과목에서 다루는 최소한의 기본 개념을 이해하고 있는 정도

• 제시문에서 주어진 여러 가지 내용 중에서 논제 해결에 필요한 내용을 선별할 수 있는 능력

• 제시문에서 주어진 내용을 필요에 따라 일부 변형하여 논제 해결에 이용할 수 있는 능력

• 논제에서 요구하는 바를 해결하기 위해 제시문에 주어진 내용을 바탕으로 수식을 세우고 계산을 올바르게 수행하여 원하는 해답을 도출할 수 있는 능력

• 수식이 들어있는 계산 과정이나 증명 과정을 일반 서술문과 함께 올바르게 그리고 논리적으로 기술할 수 있는 능력

• 자신의 견해를 문장으로 논리적으로 올바르게 전개할 수 있는 능력

5. 예시 답안

(1) 도선 전체의 총 저항을 구하기 위해서는 도선의 단면적이 위치에 따라 다르기 때문에 다음의 적분값을 구해야 한다.

[eqn: R= rho int _{x=0} ^{x=L} {{1} over {S(x)}} dx],

여기서 [eqn: S(x)]는 도선의 시작 부분으로부터 [eqn: x]만큼 떨어진 위치에서의 단면의 면적이며, 단면이 타원이기 때문에 타원의 단축 길이를 [eqn: 2`a(x)], 장축 길이를 [eqn: 2`b(x)]이라 하면 제시문 (마)에서 주어진 식에 따라 다음과 같다:

[eqn: S(x)=pi a(x) b(x)].

단축 및 장축 반지름이 위치에 일정하게 변한다는 사실과 초기조건으로부터 다음을 구할 수 있다:

[eqn: a(x)= {c-a} over {L} x+a# b(x)= {d-b} over {L} x+b]

즉, 도선 전체의 총 저항 [eqn: R]은

[eqn: R= int _{x=0} ^{x=100} {{dx} over {LEFT ( {3-1} over {100} x+1 RIGHT ) LEFT ( {3-2} over {100} x+2 RIGHT )}}]

으로 주어진다. 적분값을 구하기 위해서는 적분함수를 부분분수로 나타내는 것이 편리할 것이다. 즉,

[eqn: R & = int _{x=0} ^{x=100} {{dx} over {LEFT ( 0.02x+1 RIGHT ) LEFT ( 0.01x+2 RIGHT )}}# # & = int _{0} ^{100} {LEFT ( {2/3} over {0.02x+1} - {1/3} over {0.01x+2} RIGHT ) dx}# # & LEFT . = LEFT { {100} over {3} rm ln it (0.02x+1)- {100} over {3} rm ln it (0.01x+2) RIGHT } RIGHT | _{0} ^{100}# # & LEFT . = {100} over {3} rm ln it {0.02x+1} over {0.01x+2} RIGHT | _{0} ^{100} = {100} over {3} LEFT ( rm ln {3} over {3} -ln {1} over {2} RIGHT ) = {100} over {3} rm ln2]

또는

[eqn: R & = int _{x=0} ^{x=100} {{dx} over {LEFT ( {x} over {50} +1 RIGHT ) LEFT ( {x} over {100} +2 RIGHT )}}# # & = int _{x=0} ^{x=100} {{5000dx} over {LEFT ( x+50 RIGHT ) LEFT ( x+200 RIGHT )}}# # & = {5000} over {150} int _{0} ^{100} {LEFT ( {1} over {x+50} - {1} over {x+200} RIGHT ) dx}]

[eqn: & = 100 over 3 LEFT { rm ln it (x+50)- rm ln it (x+200) RIGHT } RIGHT | _{0} ^{100} = 100 over 3 {rm ln} x+50 over x+200 right| _0 ^100# # & = {100} over {3} LEFT ( rm ln {150} over {300} -ln {50} over {200} RIGHT )= 100 over 3 left( ln 1 over 2 - ln 1 over 4 right) = {100} over {3} rm ln2]

(2) 도선 전체 길이를 둘로 나누어 구한 두 저항에 의한 총 소비전력이 최소가 되기 위해서는 두 저항의 합성저항이 최대가 되어야 한다. 제시문 (나)에 의하면, 두 저항이 동일하게 본래의 저항의 1/2이 될 때, 두 저항의 병렬연결의 합성저항이 최대가 되게 된다. 이 결과를 이용하여, 도선을 둘로 나눈 후, 짧은 길이를 [eqn: y]라 할 때, 짧은 도선의 총 저항이 도선 전체의 총 저항 값의 1/2이 되는 [eqn: y]의 값을 구하면 된다. 즉, 식으로 표현하면 다음과 같다:

[eqn: int _{x=0} ^{x=y} {{dx} over {LEFT ( {x} over {50} +1 RIGHT ) LEFT ( {x} over {100} +2 RIGHT )}} = 1 over 2 100 over 3 {rm ln} 2]

위 식을 풀면 다음과 같다:

[eqn: int _{x=0} ^{x=y} {{dx} over {LEFT ( {x} over {50} +1 RIGHT ) LEFT ( {x} over {100} +2 RIGHT )}} = 1 over 2 100 over 3 {rm ln} 2]

[eqn: 100 over 3 {rm ln} x+50 over x+200 right| _0 ^y = 1 over 2 100 over 3 {rm ln 2}]

[eqn: ln y+50 over y+200 - ln 50 over 200 = 1 over 2 {rm ln 2}]

[eqn: 4(y+50) over y+200 = sqrt2], [eqn: 4(y+50) = sqrt2 (y+200)]

[eqn: y= {200(sqrt2 -1)} over {4-sqrt2} = {100(3sqrt2 -2)} over {7} approx32],

다른 도선의 길이는 약 100-32=68 mm이므로, 답은 [eqn: {100(3sqrt2 -2)} over {7}] mm (약 32 mm)이다.