2010학년도 수시 2-2 자연논술 출제 의도 및 해설

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[문항 1 : 생물]

1. 출제의도

생물 문제의 경우 종래 생물학적 내용을 기반으로 한 간단한 계산문제를 출제하던 것에서 진보하여 생물과목에서 배운 ‘상염색체에 의한 유전’에서 우성과 열성유전의 차이점을 잘 이해하고 있는가와 ‘성염색체에 의한 반성 유전과의 차이점을 이해하고 있는지를 평가하고자 하였다. 또한 가계도를 분석해 정확한 유전형을 파악할 수 있는지 여부, 그리고 각 경우의 수를 기반으로 유전병 발병의 확률을 계산 할 수 있는지의 여부를 평가하고자 하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 2010학년도 인하대학교 수시 2-2 자연계 논술고사 생물은 사람의 유전병인 페닐케톤뇨증의 유전 양상과 그 발병 확률에 대해 다루었다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 [가]에서는 생물 1에서 배우는 사람의 유전에 대한 내용 중  유전자 이상으로 나타나는 유전병에 대해 설명하였고 우성과 열성 유전의 차이점을 설명하였다. 제시문 [나]에서는 유전자 이상으로 나타나는 유전병의 일종인 페닐케톤뇨증에 대한 발병 이유와 그 증상을 설명하였다. 제시문 [다]에서는 가계도에 대한 설명과 함께 페닐케톤뇨증을 가지고 있는 가상의 가계도를 제시하였다. 그리고 제시문 [라]에서는 생물 1에서 배우는 반성 유전에 대해 설명하였다.

(다) 제시문 출처

제시문 [가] : 고등학교 □생물 I□ 교과서에서 발췌

제시문 [나] : 창작

제시문 [다] : 창작

제시문 [라] : 고등학교 □생물 I□ 교과서에서 발췌

3. 논제 해설

논제는 크게 두 개의 문제로 이루어져 있다. 문제 (1)-①은 우성과 열성 유전의 유전 양상을 제대로 이해하면 풀 수 있는 문제로 교과서에서 미맹이나 귓볼의 가계도 분석을 통해 많이 다루어 본 문제이기에 큰 무리 없이 설명할 수 있을 것으로 기대된다. 문제 (1)-②와 (1)-③은 기본적인 확률 지식이 있으면 풀 수 있는 문제인데 각각 곰곰이 생각하지 않으면 오답을 낼 확률이 있어 이 문제에서 변별력을 있을 것으로 예상된다. 그리고 문제 (2)는 주어진 가계도가 반성 유전의 가계도로 해석될 수 없는 이유를 찾는 것으로 이 역시 유사한 문제를 색맹의 가계도 분석을 통해 많이 다루어 보았을 것으로 기대된다.

4. 평가 기준

• 주어진 제시문을 정확하게 이해하고 이를 바탕으로 각 논제에서 요구하는 문제를 파악하는 능력

• 생물 과목에서 다루는 최소한의 기본 개념 - 우성과 열성 유전, 반성 유전, 가계도의 분석 - 을 이해하고 있는 정도

• 확률의 계산에 대한 이해도

5. 예시 답안

(1)

① 가계도에서 각 세대마다 형질이 발현되면 그 형질은 우성일 것이며, 어버이 세대에서 숨겨져 있다가 다음 세대에 분리되어 나타나면 열성 형질인데 정상인 7, 8번 부모에서 질병을 가지는 13번 아이가 태어나는 것으로 보아 이 가계도는 열성 형질의 특징을 보여주고 이를 알게 해 주는 사람은 13번이다.

② 7번과 8번 부모 사이에서 정상적인 아이가 태어날 확률은 [eqn: {3} over {4} `]이고 페닐케톤뇨증 아이가 태어날 확률은 [eqn: {1} over {4} `]이다. 세 명의 아이가 태어났을 때 두 명의 아이가 정상이고 한 명의 아이가 환자일 경우의 수는 (정상, 정상, 환자) 또는 (정상, 환자, 정상) 또는 (환자, 정상, 정상)의 3가지이고 각각의 확률은 [eqn: {3} over {4} TIMES {3} over {4} TIMES {1} over {4}]이므로 전체적인 확률은 [eqn: 3 TIMES LEFT ( {3} over {4} TIMES {3} over {4} TIMES {1} over {4} RIGHT ) `]인 [eqn: {27} over {64}]이다.

③ 14번과 15번 사이에서 페닐케톤뇨증의 아이가 태어나려면 14번과 15번의 유전형이 모두 Aa이어야 한다. 14번과 15번의 부모 7번과 8번은 모두 Aa의 보인자 유전형을 가지므로 Aa와 Aa 사이에서 태어나는 자손의 유전자형이 AA, Aa, Aa, aa라는 것을 고려할 때, 14번과 15번이 Aa일 확률은 각각 [eqn: {2} over {3} `]이다. 14번과 15번이 모두 Aa 일 때 그들 사이에서 [eqn: {1} over {4} `]의 확률로 페닐케톤뇨증 아이가 태어나므로 전체적인 확률은 [eqn: {2} over {3} TIMES {2} over {3} TIMES {1} over {4}]인 [eqn: {1} over {9} `]이다.

우성/열성 여부를 알게 해 주는 사람	한 명의 아이에게만 페닐케톤뇨증이 나타날 확률	14번, 15번 사이에서 첫 아이가 페닐케톤뇨증일 확률
13번	[eqn: {27} over {64} `]	[eqn: {1} over {9} `]

(2) 만약에 페닐케톤뇨증이 반성 유전이라면 남자인 1번은 XY의 유전형을 가질 것이고 여자인 2번은 X'X'의 유전형을 가질 것이다. 따라서 자식들 중에서 가능한 유전형은 X'X와 X'Y이고 5번과 6번이 각각 지녀야 할  XY와 X'X'의 유전형은 가능하지 않으므로 이들이 페닐케톤뇨증이 반성 유전이 아님을 알게 해 주는 사람이다.

[문항 2 : 화학]

1. 출제의도

학생들이 자신이 실생활에서 쉽게 접하는 산화 환원 반응을 논제로 삼아, 화학 반응을 표현하는 기본적인 화학 반응식 쓰기와 이를 이용하여 생성되는 물질의 양 계산 등 화학 반응에 관한 기본적인 이해와 응용에 대하여 질문하였다. 산화 환원 반응을 전자의 이동으로 이해하여 산화 수 계산법과 화학반응식을 이용하여 어떤 화합물이 산화 환원 되는지에 대한 이해를 묻고자 하였다. 이외 실생활에서 쉽게 접하는 산화 환원 반응에 의한 화합물의 물성 변화를  분자수준에서 논리적으로 정리 설명 할 수 있는지를 측정하려고 하였다. 즉 산화 반응을 통한 작용기 변화에 따른 미시적 변화(분자가 인력 변화)와 거시적 변화(끓는점)와의 관계를 이해하고 설명할 수 있는지를 측정하고자 하였다. 구체적으로 언급을 하면 문제 (1)에서는 화학 반응식의 이해와 이를 이용한 계산 능력에 대하여 측정하고자 하였다. 화학 반응식의 이해와 사용은 화학 분야에서 매우 기본적인 사항이다.  알코올의 산화를 통하여 알데히드가 생성될 때 필요한 산소와 생성된 알데히드 양의 계산을 물었다. 문제 (2)에서는 논제에서 다루고 있는 산화 환원 반응을 단순히 산소와 결합하는 반응이라 작은 의미에서 전자의 변화라는 광의의 의미로 해석할 수 있는 능력이 있는지를 측정하고자 하였다. 이를 위하여 산화수의 개념을 제시문에 제시한 후 주어진 반응에서 각 화학종의 산화수 변화를 추적하고 이를 이용하여 어떤 물질이 산화 환원 되며 이 반응에서 몇 개의 전자가 이동하는지를 유추할 수 있는지를 측정하고자 하였다. 그리고 문제 (3)에서는 산화 환원 반응에 의한 작용기의 변화와 이로 인한 분자간의 인력 변화 즉 미시적인 변화가 어떻게 우리가 관찰할 수 있는 거시적인 변화에 영향을 주는지를 측정하고자 하였다. 우선 기본적인 작용기 구조에 대한 이해와 설명을 물어보기 위하여 산화시 알코올 작용기의 변화 및 알데히드, 카르복시산 작용기의 구조를 그리게 하고 그 구조에 따른 분자 간 인력의 변화에 대하여 이해하고 이를 바탕으로 거시적 성질인 끓는점을 예측할 수 있는지에 질문하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 2010학년도 인하대학교 수시2-2 자연계 논술고사 화학은 화학 반응식의 이해와 이를 이용한 생성물의 양 계산, 전자의 이동과 산화 환원의 판단과 작용기에 따른 분자의 거시적 성질의 변화를 주제로 삼았다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 [가]에서는 대표적인 분자간 힘인 분산력, 이중 극자  사이의 힘, 수소결합에 대해서 설명하였다. 무극성 분자의 경우, 분산력의 중요성, 분자의 크기(전자수)에 따른 분산력 변화를 제시하였으며, 극성분자사이에 관찰되는 이중 극자 사이의 힘, 유발 이중 극자 힘을 설명하였다.  전기음성도가 크고 비공유 결합 전자쌍을 가진 F, O, N 원자 등과 결합한 수소에서 관찰되는 수소결합의 소개와 그 인력의 세기 및 중요성에 대해서 설명하였다. 제시문 [나]에서는 분자간 힘의 차이로 나타나는 분자의 성질 중의 하나는 물질의 끓는점에 대해 설명하였다. 일반적인 물질의 끓는점은 다양한 분자간 힘에 의하여 결정되며 특히 수소결합이 큰 영향을 끼치게 되는 사항을 설명하였고 예를 제시하였다. 제시문 [다]에서는 화학 반응식 계산에 필요한 몰 및 몰질량에 대한 설명하였다. 그리고 제시문 [라]에서는 산화수의 개념 및 산화수를 이용한 산화 환원 반응의 추적에 대한 설명과 예를 제시하였다.

(다) 제시문 출처

제시문 [가] : 고등학교 □화학 II□ 교과서, 금성사 178쪽, 교학사 171 쪽

제시문 [나] : 고등학교 □화학 II□ 교과서, 금성사 181쪽

고등학교 □화학 I□ 교과서, 금성사 23쪽

제시문 [다] : 고등학교 □화학 II□ 교과서, 금성사 18쪽

제시문 [라] : 고등학교 □화학 II□ 교과서, 금성사 289쪽

3. 논제 해설

문제 (1)은 부탄올의 산화하여 알데히드가 되는 반응의 화학 반응식을 쓰고 주어진 부탄올을 산화 시키는데 필요한 산소의 양과 생성되는 알데히드의 양을 계산하는 문제이다. 화학 반응식은 화학의 기초적인 지식이 있는 학생이면 큰 무리 없이 쓸 수 있을 것으로 판단되며, 제시문 [다]를 참조하여 화학반응식에서 몰과 그램과의 상관관계를 알 수 있으므로 화학 반응식을 이용하여 필요한 산소와 알데히드의 양을 그램 단위로 계산 할 수 있을 것이다. 문제 (2)는 부탄올 완전 연소 반응의 화학 반응식을 쓰고 반응물과 생성물 원자들의 산화수를 제시문 [라]를 참고하여 계산하면 된다. 제시문 [라]에서는 산화수 계산법의 방법을 자세히 공지하여주었고 예를 들어 설명하였으므로 학생들이 이 제시문을 읽고 큰 무리 없이 주어진 화학 반응식의 산화수 계산을 할 것으로 기대한다. 그리고 문제 (3)은 작용기에 따른 분자 간 인력의 변화와 끓는점의 관계 유추는 제시문 [가]와 [나]를 바탕으로 큰 무리 없이 작용기에 따른 분자 간 인력 변화와 수소 결합의 중요성을 유추할 수 있으므로 충분히 작용기에 따른 화합물의 끓는점을 예측할 수 있을 것으로 예상된다.

4. 평가 기준

• 주어진 제시문을 정확하게 이해하고 이를 바탕으로 각 논제에서 요구하는 문제를 파악하는 능력

• 분자간 힘, 끓는점, 작용기, 등의 고교 수학 과정에서 배우는 개념을 정확하게 이해하고 이에 수반되는 화학 현상을 분자수준에서 논리적으로 해석 할 수 있는 능력

• 제시문에서 주어진 여러 가지 내용 중에서 논제 해결에 필요한 내용을 선별할 수 있는 능력

• 논제에서 요구하는 바를 해결하기 위해 제시문에 주어진 내용을 바탕으로 서술문을 올바르게 이해하고 이를 문제에 적용하는 능력

5. 예시 답안

(1) 화학 반응식을 이용하여 부탄올의 몰수로 부터 반응시 필요한 산소와 알데히드의 몰 수를 구한 후 몰질량을 이용하여 필요한 산소와 알데히드의 질량을 계산한다.

화학 반응식에서 148.0g은 부탄올 2몰에 해당하며 2몰의 부탄올이 완전 연소하려면 1몰의 산소가 필요하므로 32.0g이 필요하며, 알데히드는 144.0g이 생성된다.

(2) 제시문 (다)의 산화수 계산법을 이용하여 계산하면 다음과 같다. 부탄올 (C4H10O) 의 총원자의 산화수 합은 0이다. 이중 산소원자는 -2이며 수소원자는 +1의 산화수를 가지므로 탄소원자의 산화수는 -2이다. 이산화 탄소(CO2)의 총원자의 산화수 합은 0인데 산소원자의 산화수는 -2이므로 탄소의 산화수는 +4이다. 산소(O2)의 총원자의 산화수 합은 0이고 산소원자의 산화수는 0이다. 물(H2O)에서 산소원자의 산화수는 -2이며 수소는 +1이다.

각 화학종의 원자 산화수를 고려하면, 부탄올은 산화 되었으며, 산소는 환원되었음을 알 수 있다. 그러므로 부탄올은 환원제이며 산소분자는 산화제이다. 이 반응에서 4개의 탄소원자가 6개의 전자를 잃었으므로 총 24개의 전자가 이동하며 이 전자 24개를 받아 12개의 산소가 환원되게 되므로 이 산화 환원 반응에 참가한 전자는 모두 24개이다.

(3) 각 화합물의 구조식은 아래와 같다.

부탄올, 알데히드, 카르복시산은 분자량이 비슷하여 작용기에 따른 분자간 힘에 의하여 끓는점을 예측할 수 있다. 3가지 화합물 모두 극성 화합물이므로 이중 극자 사이의 힘, 유발 이중 극자와 이중 극자 사이의 힘, 분산력 등의 분자간 힘을 가진다. 하지만 부탄올과 카르복시산은 수소가 산소에 직접 결합하여 산소의 비공유 전자쌍과 수소 결합을 할 수 있다. 반면에 알데히드의 경우, 수소가 직접 산소에 결합하지 않은 형태이므로 수소 결합을 할 수가 없다. 앞의 제시문 [나]를 볼때 알데히드의 분자간 힘이 제일 약하고, 끓는점이 낮을 것으로 예상된다. 부탄올과 카르복시산 모두 수소 결합을 가지는데, 제시문 [나]를 보면 아세트산이 수소결합을 이용하여 이합체를 이루는 것으로 참고할 때,  카르복시산은  두개의 강력한  수소결합을 통하여 부탄올보다 더 강한 분자간 인력을 가질 것으로 예상이 된다.

이러한 점을 고려하여 볼 때, 끓는점은 카르복시산이 가장 높고, 알코올, 알데히드 순이 될 것으로 예상된다.

[문항 3 : 물리+수학(1)]

1. 출제의도

물리학에서 물체의 운동에 관한 기본 개념인 운동량과 충격량을 소재로 해서 고교 수학의 중심 주제인 미분과 적분의 이해도 (다항함수의 미분과 적분, 삼각함수의 적분), 운동량과 충격량 및 충격력에 대한 기본적인 이해 정도, 문장 독해 능력 등을 측정하기 위해서 출제하였다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 고교 '물리 I'에서 다루는 운동량과 충격량을 소개하고 물체에 가하는 충격력을 여러 형태의 함수로 제시하였다. 그리고 이들 함수의 적분을 통해 총 충격량 및 평균충격력을 구하도록 하였다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 [가]에서는 야구공을 소재로 해서 운동량이란 물리량을 소개하였고, 제시문 [나]에서는 충격량과 충격력을 소개하고 운동량의 변화가 충격량이 됨을 뉴턴 운동방정식을 이용하여 설명하였다. 그리고 제시문 [다]에서는 충격력이 시간에 따라 변화하는 함수로 주어졌을 때, 물체에 가한 전체 충격량은 주어진 시간 동안의 충격력 함수의 적분이 됨을 구분구적법을 이용하여 간략하게 설명하였다.

(다) 제시문 출처 : 제시문 [가]와 [나]는 고등학교 □물리 I□ 교과서에서 발췌하여 실었고 제시문 [다]는 충격력의 시간에 따른 적분이 충격량이 됨을 고등학교 □수학 II□ 교과서에서 다루는 구분구적법을 이용하여 간략하게 설명하였다.

3. 논제 해설

문제 (1)은 충격력이 미정계수가 포함된  3차 함수에 극댓값이 주어졌을 때 미분을 이용하여 이 미정계수를 구하여 3차 함수를 완성하는 문제와 다시 이 3차 함수를 적분하여 충격량을 구하는 문제로 이루어져 있다. 문제 (2)는 제시문 [나]에서 설명한, 운동량의 변화가 충격량과 같다는 사실을 이용하여 초기 속도와 [논제 1]에서 구한 충격량을 이용하여 충격 후의 속도를 구하는 문제로 이루어져 있다. 그리고 문제 (3)은 충격력이 미정계수가 포함된 사인 함수의 제곱으로 주어졌을 때, 이 함수의 정적분 값과 (1)에서 구한 결과를 이용하여 이 미정계수를 구하는 문제로 이루어져 있다. (3)은 삼각함수 적분의 이해도를 측정하기 위해서 출제하였다.

4. 평가 기준

• 논제에서 요구한 미분, 적분 등의 계산을 정확하고 올바르게 수행할 수 있는 능력

• 고등학교 □물리 I□ 교과서에서 다루는 내용의 기본적인 이해 정도와 이를 바탕으로 제시문에서 논제 해결에 필요한 내용을 선별할 수 있는 능력

5. 예시 답안

(1) [eqn: F(t)=-k`t ^{2} (t-t _{0} )]를 시각 [eqn: t`]로 미분하여 [eqn: 0`]으로 놓으면

[eqn: {d} over {dt} F(t)=-2kt(t-t _{0} )-kt ^{2} =-kt(3t-2t _{0} )=0]

이다. [eqn: t= {2} over {3} t _{0}]의 좌우에서 [eqn: {d} over {dt} F(t)`]의 값이 양에서 음으로 바뀌므로 [eqn: t= {2} over {3} t _{0}]에서 극댓값 [eqn: F _{0}]를 갖는다. 따라서 [eqn: F _{0} =F LEFT ( {2} over {3} t _{0} RIGHT ) =-k LEFT ( {2} over {3} t _{0} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {2} over {3} t _{0} -t _{0} RIGHT ) = {4} over {27} k`t _{0} ^{3}]으로부터 [eqn: k= {27} over {4t _{0} ^{3}} F _{0} `]이다. 그리고

[eqn: F(t)=- {27F _{0}} over {4t _{0} ^{3}} `t ^{2} (t-t _{0} )]

이다. 힘의 크기가 일정하지 않고 시각 [eqn: t`]의 함수이므로 제시문 (다)에 의해서 총 충격량은

[eqn: int _{0} ^{t _{0}} {F(t)`dt} `=- {27F _{0}} over {4`t _{0} ^{3}} int _{0} ^{t _{0}} {(t ^{3} -t _{0} `t ^{2} )`dt} = LEFT ( - {27F _{0}} over {4t _{0} ^{3}} RIGHT ) LEFT ( {1} over {4} t _{0} ^{4} - {1} over {3} t _{0} ^{4} RIGHT ) = {9} over {16} F _{0} `t _{0}]

이다.

(2) 제시문 (나)에 의해 충격량은 운동량의 변화와 같으므로 다음이 성립한다.

[eqn: {9} over {16} F _{0} `t _{0} =m(v-v _{0} )=mv-mv _{0} ``]

따라서 날아가는 속도 [eqn: v`]는

[eqn: v=v _{0} + {9} over {16m} F _{0} `t _{0}]

이다.

(3) 문제 (1)에서 평균충격력은 [eqn: {1} over {t _{0}} `` int _{0} ^{t _{0}} {F(t)`dt} ```=` {9} over {16} `F _{`0} `] 가 된다. 공을 던지는 방법을 바꾸어서 힘이 [eqn: G``(`t)```=`A`` it `sin ^{2} `(`10` pi `t`)``], [eqn: (`0 leq t leq 1 over 10``)] 으로 주어졌을 때의 평균충격력은

[eqn: 10` int _{0} ^{{1} over {10}} {} `A`` it `sin ^{2} (10 pi t)`dt```=``10`A` int _{0} ^{{1} over {10}} {} `` {1- it `cos20 pi t} over {2} ``dt```=`` {A} over {2} `]가 된다. 따라서 [eqn: {A} over {2} ```=` {9} over {16} `F _{0} ``]로부터 [eqn: A```=` {9} over {8} `F _{0} ``]가 된다.

[문항 4 : 물리+수학(2)]

1. 출제의도

가장 일반적으로 통용되는 물리법칙중 하나인 에너지 보존의 법칙을 이용하여 실생활에서 흔히 볼 수 있는 물체의 운동을 분석하는 능력을 평가할 목적으로 출제하였다. 역학적 에너지 보존의 법칙을 수학적으로 올바르게 표현하고 적절한 계산을 통해 필요한 물리량을 구해낼 수 있는 능력이 요구된다.

2. 주제 분석과 제시문 해설

(가) 주제 분석 : 역학적 에너지 보존의 법칙을 이용하여 번지 점프를 하는 사람의 낙하위치와 낙하속력 사이의 관계를 구하는 문제를 출제하였다.

(나) 제시문 해설 : 제시문 [가]는 주어진 논제를 해결하는 데 필요한 두 가지의 위치에너지에 대한 제시문이다. 중력에 의한 위치 에너지와 탄성력에 의한 위치에너지가 수식적으로 어떻게 표현되는지를 설명하였다. 제시문 [나]에서는 역학적 에너지를 정의하고 역학적 에너지 보존 법칙을 설명하였다. 제시문 [다]에서는 역학적 에너지 보존 법칙을 이용하는 구체적인 예로서 번지 점프를 하는 사람의 낙하 위치에 따라서 역학적 에너지의 형태가 어떻게 변환되는지를 개략적으로 설명하였다.

(다) 제시문 출처 : 고등학교 □물리 I□ 교과서를 기초로 발췌 및 창작

3. 논제 해설

번지 점프를 하는 사람의 위치와 속력간의 관계를 구하는 문제이다. 논제는 세 개의 질문으로 구성되어 있고 각 질문 당 점수 배점은 난이도에 따라 차등 배분되었다. 문제 (1)은 낙하 초기에 탄성력이 작용하기 전에 자유 낙하하는 사람의 낙하속력을 묻는 문제이다. 문제 (2)는 증가하던 낙하 속력이 탄성력에 의해 다시 감소하게 되는 운동 과정에서 속력의 최댓값을 구하는 문제이다. 역학적 에너지 보존 법칙을 이용하여 속력을 위치의  함수로 나타내고 그 최댓값을 구해야한다. 그리고 문제 (3)은 최대로 낙하하여 멈추었을 때의 위치를 구하는 문제이다. 속력이 0이 될 때 역학적 에너지 보존 법칙을 위치에 대한 2차 방정식으로 표현하고 그 해를 구해야한다.

4. 평가 기준

• 위치 에너지, 운동 에너지 등의 물리량을 수식으로 올바르게 표현하는 능력

• 물리 법칙을 구체적 상황에 적용하는 능력

• 고교 수학 과정에서 배우는 함수의 최댓값, 방정식의 근을 구하는 능력

5. 예시 답안

(1) 점프대에서부터의 거리가 [eqn: L]인 위치까지 낙하하는 동안에는 탄성력이 작용하지 않으므로 중력에 의한 위치 에너지와 운동 에너지만 고려하면 된다. 점프대에서의 역학적 에너지는 위치 에너지인 [eqn: mgH]만 있고, 점프대에서부터의 거리가 [eqn: L]인 위치까지 낙하했을 때의 속력을 [eqn: v_{ 1}]이라하면 이때의 역학적 에너지는 운동 에너지와 위치 에너지의 합인 [eqn: {1} over {2} mv _{1} ^{2} +mg(H-L)]이다. 역학적 에너지 보존의 법칙에 의해 [eqn: mgH= {1} over {2} mv _{1} ^{2} +mg(H-L)], 따라서 [eqn: v _{1} = sqrt {2gL}]이다.

(2) 낙하를 시작하여 점프대로부터 [eqn: L]인 위치까지는 중력 [eqn: mg]에 의한 등가속도 운동을 하여 속력이 증가하고 줄이 늘어나기 시작하면 탄성력 [eqn: -kx]가 작용하여 ([eqn: x]는 줄이 늘어난 길이) 탄성력의 크기가 중력보다 커지면 속력이 줄어들게 된다. (즉, [eqn: kx= {mg}]일 때 속력이 최대가 된다). 줄이 [eqn: x]만큼 늘어났을 때의 속력을 [eqn: v]라 하면 이때의  총 역학적 에너지는 운동 에너지 [eqn: {1} over {2} mv ^{2}], 중력에 의한 위치 에너지 [eqn: mg(H-L-x)] 그리고 탄성력에 의한 위치 에너지 [eqn: {1} over {2} kx ^{2}]의 합이 된다. 따라서 역학적 에너지 보존의 법칙에 의해 [eqn: mgH= {1} over {2} mv ^{2} +mg(H-L-x)+ {1} over {2} kx ^{2}], 따라서 [eqn: v ^{2} =- {k} over {m} x ^{2} +2g(L+x)]. 그러므로 [eqn: x= {mg} over {k}]일 때 [eqn: v ^{2}]은 최대가 되고 [eqn: v]의 최댓값은 [eqn: sqrt {2gL+ {mg ^{2}} over {k}}]가 된다.

(3) 수면에 가장 가까운 지점까지 낙하하여 정지했을 때는 운동 에너지가 0이 되므로 이때의  총 역학적 에너지는 중력에 의한 위치 에너지 [eqn: mg(H-L-x)]과 탄성력에 의한 위치 에너지 [eqn: {1} over {2} kx ^{2}]의 합이 된다. 역학적 에너지 보존의 법칙에 의해

[eqn: mgH=mg(H-L-x)+ {1} over {2} kx ^{2}]

이다, 이것은 [eqn: x]에 관한 2차 방정식이고 그 해는 [eqn: {m`g```+` sqrt {m ^{2} ``g ^{2} ``+`2`k`m`g`L}} over {k}]이다. (여기서 또 다른 해인 [eqn: {m`g``-` sqrt {m ^{2} `g ^{2} ``+`2`k`m`g`L}} over {k}]는 음의 값으로 용수철과 같이 수축 변형이 일어나는 경우이므로 허근이 된다.)