09학년도 1차 인하대 논술모의고사

1. 출제문

■ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하여라.

(가) 어떤 구형의 행성에서 행성 표면에 있는 질량 [eqn: m`]인 물체를 높이 [eqn: h``]만큼 올리기 위해서 얼마만큼의 에너지가 필요한가를 생각해보자. 행성 표면에서의 중력가속도를 [eqn: g``]라고 하면 [eqn: mg``]만큼의 중력이 작용한다. 따라서, 외부에서 [eqn: mg``]만큼의 힘을 가해서 높이 [eqn: h``]만큼 옮기면 되므로, [eqn: mgh``]의 에너지가 필요하게 된다. 이 때 필요한 에너지를 ‘위치에너지’라고 한다. 그런데 이 식은 [eqn: h`]가 행성의 반지름에 비해서 아주 작은 경우에만, 즉, 행성 표면 근처에서만 성립하는 식이다. 일반적인 경우에, 즉 [eqn: h`]가 더욱 크게 되면 물체가 갖는 위치에너지는 [eqn: U``(`h)```=``G``` {M``m} over {r _{0}} ``-`G`` {M``m} over {`r _{0} +h`} `]로 주어진다고 한다. 여기에서 [eqn: r _{0} `]는 행성의 반지름이고 [eqn: M`]은 행성의 질량이다. 그리고 [eqn: G``]는 만유인력 상수로 그 값은 대략 [eqn: 6.67 TIMES 10 ^{-11} N``m ^{2} /kg ^{2}]이 된다. 이 식을 다시 쓰면 [eqn: U````=`G` {M``mh} over {r _{0} (r _{0} +h)} ```=``m` {GM} over {r _{0} (r _{0} +h)} `h`]가 된다. 이 식을 위에서 주어진 행성 표면 근처에서의 위치에너지 [eqn: mgh`]와 비교해 보면, [eqn: h`]가 행성의 반지름 [eqn: r _{0} ``]에 비해서 충분히 작은 경우에는 [eqn: g= {G`M} over {r _{0} ^{2}} ``]으로 근사시킬 수 있다.

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(나) 우주선이 지구에서 달까지 여행하는 경우에 특정한 지점에서의 우주선의 위치에너지를 생각해 보자. 우주선이 지구의 대기권을 충분히 벗어났을 경우에는 지구의 중력뿐만 아니라 달의 중력의 영향으로 지구 중심으로부터 [eqn: x``]만큼 떨어진 지점에서의 우주선의 위치에너지는 [eqn: U``(`x)``=`-G` {M _{`1} `m} over {x} ``-`G` {M _{`2} `m``} over {`a-x`} ``]으로 주어진다. 여기에서 [eqn: M _{`1} ``]은 지구의 질량, [eqn: M _{`2} ``]는 달의 질량, [eqn: a`]는 지구의 중심에서 달의 중심까지의 거리이다.

달의 질량은 지구의 질량의 [eqn: {1} over {81} ``]이고, 달의 반지름은 대략 지구의 반지름의 [eqn: {1} over {4} ``]임이 알려져 있다. (지구와 달은 모두 구형이라고 가정한다.)

(다) 우리 몸속에서 펌프 역할을 하고 있는 심장은 보통 하루에 8만 - 12만 번을 뛰면서 [eqn: 8000``l`]의 혈액을 심장 동맥을 통해 온 몸으로 내보낸다. 이 때 동맥을 통해서 모세 혈관으로 보내지는 혈액은 산소와 영양분을 많이 포함하고 있으며, 이 혈액은 모세 혈관을 통과하면서 산소와 영양분을 각 세포에게 공급해주고 세포에 축적된 노폐물을 받아서 다시 정맥으로 흘러들어간다. 모세 혈관은 동맥과 정맥을 이어 주는 매우 가는 혈관으로 평균 반지름은 대략 [eqn: 4 TIMES 10 ^{-4} `cm`]로 알려져 있으며, 우리 몸 구석구석에 그물망처럼 연결되어 있다.

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(라) 혈관 속을 흐르는 혈액의 평균 속력은 혈압이 일정할 때 혈관의 반지름의 제곱에 비례한다고 한다. 이는 혈관의 반지름이 작을수록 혈관 벽의 마찰력이 크게 작용하기 때문이다. 따라서 혈액이 모세 혈관을 통과할 때에는 동맥에 비해서 혈류의 속력이 크게 떨어지게 되는데, 이 때 혈액과 조직 세포 사이에 물질 교환이 일어나게 된다 ([그림 3], [그림 4] 참조). 보통 모세 혈관을 통과하는 혈류의 평균 속력은 대략 1초당 [eqn: 5` TIMES `10 ^{-2} `cm/sec`] 정도로 알려져 있다.

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(마) [그림 4]와 같이 혈액이 모세 혈관을 통과할 때에 혈액 속에 있는 산소와 조직 세포에 함유된 이산화탄소와의 교환이 일어나는데 이를 내호흡이라고 한다. 이 기체 교환은 두 기체의 분압차 및 혈액과 모세 혈관과의 접촉면적에 비례한다. 내호흡에서 일어나는 기체 교환은, 정상적인 대기 상태에서 건강한 성인의 경우, 혈액과 모세 혈관의 접촉 면적 [eqn: 1``cm ^{2`} `]에서 1초당 [eqn: 7.5 TIMES 10 ^{-16} `ml/cm ^{2} CDOT sec``]의 산소가 조직 세포로 운반된다.

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【논제 1】 실험을 통해서 지구 표면에서의 중력가속도는 [eqn: 9.8m/sec ^{2} ``]임이 알려져 있다. 제시문 (가)와 제시문 (나)에 주어진 내용을 바탕으로 달의 표면에서의 중력가속도의 크기를 구하시오. (20점)

【논제 2】 제시문 (나)에서 주어진 내용과 [eqn: {1} over {f(x)} ``] ([eqn: f(x) != 0``])의 도함수가 [eqn: -` {f` prime (x)} over {f(x) ^{`2} `} `] 이라는 사실을 이용하여 우주선의 위치에너지가 최대가 되는 지점을 구하시오. (30점)

【논제 3】 [그림 5]와 같이 동맥에서 유입된 [eqn: 10``ml`]의 신선한 피가 모세 혈관속을 흐르고 있다고 하자. 이 때 이 혈액이 [eqn: 0.1``cm`] 만큼 이동하는 동안에 조직 세포에 전달해 주는 산소의 양을 위의 제시문에서 설명한 사실에 근거하여 구하시오. 단, 단위는 [eqn: ml``]를 사용하며, 모세 혈관은 완전한 원기둥 관 모양을 하고 있다고 가정한다. (30점)

2. 출제 의도와 주제 분석

(1) 출제 의도

2009학년도 인하대학교 모의논술고사(수리논술)에서는 극한, 평균변화율과 미분 등 고등학교 수학에서 학습하는 주요 개념을 충분히 이해하고 이를 물리학, 생물학 등 자연과학 분야와 관련된 현상을 분석하는 데 적용할 수 있는지 평가하는 데에 중점을 두었다.

이번 논술고사에서는 독립적인 두 분야의 문제를 출제하였으며, 물리학에서는 위치에너지와 중력가속도에 관한 제시문 2개, 생물학에서는 모세 혈관에서 혈액과 조직세포 간에 이뤄지는 기체 교환에 관한 제시문 3개를 제시하였다. 논제는 모두 3개의 문항으로 이루어져 있는데, [논제 1]은 행성/위성 표면에서의 중력가속도를 구하는 문제, [논제 2]는 위치에 따라 변하는 중력위치에너지의 최대를 구하는 문제, 마지막으로 [논제 3]은 혈액이 조직세포에 공급하는 산소의 양을 묻는 문제이다.

모의고사의 제시문은 고등학교 물리학, 생물학 교과서에 언급된 내용을 그대로, 또는 조금 더 보완하여 서술되었으며, 학생들이 전문적인 내용을 사전에 알고 있지 않더라도 제시문에 주어진 내용만으로도 논제를 풀 수 있도록 구성되었다. 논제에서는 제시문에서 주어진 내용을 충분히 이해하고 적절하게 인용하는지, 수학적인 개념을 적절히 적용할 수 있는지, 정확한 수식을 사용하여 논리적으로 답안을 작성할 수 있는지 평가하는데 중점을 두었다.

(2) 주제 분석

본 논술고사에서는 중력가속도와 위치에너지에 관한 2개의 제시문과 모세 혈관 내부의 기체 교환에 관한 3개의 제시문이 주어졌다. 이 두 분야는 각각 독립적이며 이에 대한 논제도 독립적으로 주어졌다.

① 지표면에 가까운 지점에서 질량 [eqn: m``]인 물체는 지구 중력 때문에 지구 중심 방향으로 크기가 [eqn: mg `]인 힘을 받는다. 여기에서 [eqn: g``]는 중력가속도의 크기이다. 이 물체가 지표면으로부터 높이 [eqn: h``]에 있을 때 위치에너지는 [eqn: mgh``]이다. 이 물체가 지표면으로부터 더욱 멀어지는 경우에는 지구 중력에 의한 힘이 점차 약해지는데, 이 때 이 물체에 작용하는 힘은 만유인력이다. 이에 따르면 행성에서 멀리 떨어진 지점에서 물체의 위치에너지는 높이 [eqn: h`]에 비례하지 않고 제시문 (가)와 (나)에서 주어진 형태를 갖게 된다. 만일 이 물체가 어떤 행성의 지표면에 충분히 가깝다면 만유인력에 의한 위치에너지는 근사적으로 [eqn: mgh``]의 값을 갖는다. [논제 1]에서는 주어진 공식을 이용하여 달의 중력가속도를 간단한 곱셈을 통해 계산하도록 하였다. [논제 2]에서는 미분의 성질을 이용하여 지구와 달 사이의 중력 위치에너지가 최소가 되는 지점을 구하도록 하였다. 이 지점은 지구를 떠난 우주선이 지구의 인력권을 벗어나 달의 인력권에 접어드는 지점이다.

② 동맥에서 모세 혈관으로 유입되는 혈액은 많은 산소를 담고 있는데, 모세 혈관에서 혈액의 속도가 느려지면서 삼투압의 원리로 조직세포에 산소를 공급하게 된다. 제시문 (다), (라), (마)에서는 모세 혈관에서 혈액과 조직 세포 사이에 산소/노폐물이 교환되는 과정을 서술하였다. 또한, 세포에 공급되는 산소의 단위시간당 평균부피를 혈액이 혈관벽과 접촉하는 부분의 넓이와 관련하여 서술하였다. 또한, 혈액의 이동 속력, 모세 혈관의 반지름, 공급되는 산소의 평균변화율에 관하여 구체적인 수치를 제공하였다. 논제에서는 일정한 양의 혈액이 긴 원기둥 형태의 모세 혈관에 유입되었을 때, 혈액과 혈관벽의 접촉시간, 접촉면의 넓이, 공급되는 산소의 평균변화율 사이의 관계식을 이용하여 조직세포에 전달된 산소의 양을 계산하도록 하였다.

3. 문제 해설

(1) 제시문 해설

① 제시문 (가) : 행성의 지표면에 가까이 있는 물체가 가지는 위치에너지와 행성에서 멀리 떨어진 물체가 가지는 중력위치에너지를 제시하였고, 이 물체가 지표면에 아주 가까울 때에는 두 에너지가 근사적으로 같은 값임을 설명하였다. 또, 지표면에서의 중력가속도를 행성의 질량과 반지름에 관한 식으로 나타내었다.

② 제시문 (나) : 두 행성 사이의 우주 공간에 떠 있는 물체가 가지는 중력 위치에너지를 만유인력의 법칙에 의거해 제시하였고, 이 에너지가 두 행성의 질량 및 물체와 두 행성간의 거리에 의존함을 설명하였다.

③ 제시문 (다) : 동맥에서 모세 혈관으로 들어간 혈액이 조직 세포에 산소와 영양분을 공급하고 노폐물을 수거한다는 사실을 서술하였다. 모세 혈관의 반지름의 평균값을 제시하였다.

④ 제시문 (라) : 혈관을 통과하는 혈액의 속력은 혈관이 가늘수록 작아진다는 사실을 설명하였고, 모세 혈관을 통과하는 혈액의 평균속력을 제시하였다.

⑤ 제시문 (마) : 모세 혈관 내부에서 혈액과 조직세포 간에 산소와 이산화탄소가 교환된다는 사실을 설명하였고, 단위 면적에서 단위 시간당 조직 세포로 공급되는 산소의 평균량을 구체적인 수치로 제시하였다.

(2) 논제 해설

논제는 각기 독립적인 두 분야의 세 문항으로 이루어져 있다.

【논제 1】: 제시문 (가)와 (나)에 설명된 내용을 바탕으로 달 표면에서의 중력 가속도를 구하는 문제이다. 제시문 (가)에 행성 표면에서 중력 가속도에 대한 일반적인 설명이 제시되어 있고, 제시문 (나)에 달의 질량과 반지름에 대한 정보가 주어져 있다. 주어진 제시문만 잘 읽어보면 중학교 수준의 수학 실력으로도 쉽게 [논제 1]을 해결할 수 있으므로, 고교 과정 수학의 응용력보다는 주어진 제시문의 이해력를 평가하는데에 주안점을 두었다.

【논제 2】: 제시문 (나)에서 행성 사이에서 위치에너지의 일반적인 표현식을 소개하였는데, 위치에너지가 최대가 되는 지점을 구하는 문제이다. [eqn: x``]에 대한 함수로 주어지는 위치에너지의 표현식을 미분한 식이 0이 되는 조건을 계산함으로써 해결할 수 있다. 본 논제는 [eqn: 1/x``]과 [eqn: 1/(a-x)``]형태의 분수 함수와 합성 함수의 미분을 이해한다면 어렵지 않게 해결할 수 있다. 문제 해결에 참고가 될 수 있도록 논제에는 합성함수 형태의 분수함수 미분에 대한 표현식을 제시해 주었다. 따라서, 이 문항에서는 일반적인 함수의 미분을 통해 최대값을 구하는 수학적 개념을 이해하고, 이를 이용하여 물리학적 문제를 해결할 수 있는가에 주안점을 두었다.

【논제 3】: 제시문 (다), (라), (마)에서 설명한 내용을 바탕으로 모세 혈관을 통해 조직 세포에 흡수되는 산소의 양을 계산하는 문제이다. 본 논제는 비교적 긴 내용의 제시문을 이해하고 제시문의 곳곳에 등장하는 각 변수들을 조합해서 결과를 도출할 수 있다. 본 논제의 해결에는 다양한 변수들을 이용해야 하지만, 기본적으로 중학교 수준의 계산 능력만으로도 문제를 해결할 수 있다. 따라서, 이 문제는 긴 제시문의 내용을 이해해서 이를 생물학적 문제 해결에 응용할 수 있는가에 주안점을 두었다.

4. 평가 기준

2009학년도 인하대학교 자연계 모의 논술고사에서는 다음의 사항들을 중점적으로 평가한다.

* 주어진 제시문을 정확하게 이해하고 이를 바탕으로 각 논제에서 요구하는 문제를 파악하는 능력

* 미분 등 고교 수학 과정에서 배우는 개념을 이해하고 활용하는 능력

* 수식이 들어있는 계산 과정이나 증명 과정을 일반 서술문과 함께 올바르게 그리고 논리적으로 기술할 수 있는 능력

* 자신의 견해를 문장으로 올바르게 전개할 수 있는 능력

5. 모범 답안

(1) [논제 1]  지구 표면에서의 중력가속도를 [eqn: g`], 달 표면에서의 중력가속도를 [eqn: g_0 `], 지구의 질량과 반지름을 각각 [eqn: M`]과 [eqn: R`]이라 하자. 제시문 (가)에서

[eqn: {GM} over {R^2} ``=``g```=``9.8 ``m/sec `]

이다. 한편 달의 질량은 [eqn: M over {81} `]이고 반지름은 [eqn: R over 4 `]이므로, 달의 표면에서의 중력가속도는

[eqn: g_{ 0 } ````=`G` { M/81 } over { (R/4)^{ 2 } }` ``=``` { 16GM } over { 81R^{ 2 } } ```=`` { 16 } over { 81 } g``` APPROX`` 1.936``m/sec^{ 2 } `]

이다.

(2) [논제 2]  [eqn: 0<x<a `]일 때 [eqn: U(x)`]의 도함수를 구하면

[eqn: U` prime (x)```=`` { GM_{ 1 } m } over { x^{ 2 } } ```-`` { GM_{ 2 } m } over { (a-x)^{ 2 } } `]

이므로 [eqn: U`'(x)=0`]인 점 [eqn: x`]는 방정식 [eqn: { GM_{ 1 } m } over { x^{ 2 } } ```=`` { GM_{ 2 } m } over { (a-x)^{ 2 } } `]을 만족한다.

[eqn: M_2 ```=`1 over {81} M_1 `]이므로, [eqn: { (a-x)^{ 2 } } over { x^{ 2 } } ```=`` { M_{ 2 } } over { M_{ 1 } } ```=` 1 over {81} `]이다. [eqn: 0<x<a `]이므로 [eqn: {a-x} over {x}``` =` 1 over {9}`]이 성립하는데, 이 방정식을 풀면 [eqn: x= {9a} over {10}`]이다.

[eqn: 0<x< {9a} over {10} `]이면 [eqn: U`'(x)>0`]이고, [eqn: {9a} over {10}` < x<a `]이면 [eqn: U`'(x)<0`]이므로, [eqn: U(x)`]는 [eqn: x= {9a} over {10}`]일 때 최대값을 가진다.

(3) [논제 3]  [eqn: 10 ``ml`]의 혈액이 모세 혈관 속으로 들어가면, 모세 혈관과 접촉하는 면적은 다음과 같이 구할 수 있다. 먼저 모세 혈관의 반지름을 [eqn: r_0 `]라고 하면 [eqn: r_0 ```=`4 times 10^{-4} ``cm`]이다. [eqn: 10 ``ml`]의 혈액이 모세 혈관 속으로 들어갈 경우에 원기둥 모양의 혈액의 길이를 [eqn: h`]라고 하면 [eqn: pi` r_0^2` h```=`10`]이므로 [eqn: h ```=` {10} over {pi` r_0^2} ``] 이다. 따라서 [eqn: 10 ``ml`]의 혈액이 모세 혈관 속으로 들어갔을 때 혈관과 접촉하는 면적은

[eqn: 2` pi `r _{0} ``h```=``2` pi `r _{0} ``` TIMES ` {10} over {`` pi r _{0} ^{2} `} ```=` {20} over {`r _{0} `} ``=``` {20} over {4 TIMES 10 ^{-4}} ```=```5 TIMES 10 ^{4} ```(cm ^{2} )]

가 된다. 그리고 혈액의 속력이 [eqn: v_0 ```= `5 times 10^{-2} ``cm/ sec `]이므로 [eqn: 0.1 `cm`] 길이만큼 이동하는데 걸리는 시간은

[eqn: {0.1} over {5 times 10^{-2}}``` =``` 2`` (sec)```]

가 된다. 마지막으로 혈액과 모세 혈관의 접촉 면적 [eqn: 1``cm^2 `]에서 1초당 [eqn: 7.5 times 10^{-16} ``ml/cm^2 cdot sec `]의 산소가 조직 세포로 운반되므로, 운반되는 전체 산소의 양은

[eqn: (5 times 10^{4} cm^{2}) times (2 sec) times (7.5 times 10^{-16} ml/cm^{2} cdot sec) = 7.5 times 10^{-11} ml]

가 된다.