2009학년도

수시모집 2-2 논술고사

(자연계열)

2008. 11

인하대학교입학처

2009학년도 인하대학교

수시모집 2-2 논술고사 (자연계열)

■ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가]  음식물을 통해 섭취한 탄수화물은 단당류인 포도당으로 분해되어 체내로 흡수된다. 흡수된 포도당은 세포호흡 과정에서 산소와 결합하여 물과 이산화탄소로 분해되면서 에너지를 생성한다. 이 에너지의 일부는 ATP에 저장되고 나머지는 열로 방출되어 체온 유지에 사용된다. 이 과정을 정리하면 다음과 같다.

C6H12O6 + 6O2 + 38ADP + 38인산 → 6CO2 + 6H2O + 38ATP + 열

여기에서 C6H12O6는 포도당을 말한다. 포도당 [eqn: 1``][eqn: rm g`]이 체내에서 분해될 때 [eqn: rm 4``kcal``]의 열량을 내며, 이 중에서 [eqn: 40%]는 ATP에 저장되고 나머지 [eqn: 60%]는 열로 방출되어 체온 유지에 사용된다. 포도당 1분자가 산화될 때 38분자의 ATP가 생성되며, 생성된 ATP는 에너지를 저장하게 된다. 그리고 ATP가 다시 ADP와 인산으로 분해될 때 저장된 에너지가 방출된다. 이 에너지의 [eqn: 75%]는 열로 방출되어 체온을 유지하는 데 사용되고 나머지 [eqn: 25%]는 근육의 운동, 뇌의 활동, 체내 물질의 합성 등 여러 신체 활동에 쓰인다.

[나]  분자 1 몰은 [eqn: 6.02`` TIMES 10 ^{23} ``]개의 분자를 말하며 분자량이 [eqn: m``]인 분자 1 몰의 질량은 [eqn: m```]이다. 여기에서 질량의 단위는 [eqn: rm g`]이고, [eqn: 6.02`` TIMES 10 ^{23} ``]을 아보가드로수(Avogadro's number)라 한다.  예를 들면, 수소의 원자량은 [eqn: 1], 탄소의 원자량은 [eqn: 12], 산소의 원자량은 [eqn: 16]이다.  메탄올의 분자식은 CH3OH이므로 분자량은 [eqn: 32``]이다. 따라서 메탄올 분자 [eqn: 6.02`` TIMES 10 ^{23} ``]개를 메탄올 1몰이라고 하고 메탄올 1몰의 질량은 [eqn: 32``][eqn: rmg`]이다.

[다]  구분구적법은 적분의 기본 원리로서, 어떤 도형의 넓이나 부피를 구할 때 그 도형을 여러 개의 간단한 도형으로 세분하여 이들 도형의 넓이나 부피의 합을 구한 후, 이 합의 극한값으로 원래 도형의 넓이나 부피를 구하는 방법이다. 폐구간 [eqn: [a,`b]`]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)`]의 정적분을 구분구적법을 이용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

[eqn: int _{a} ^{b} {} ``f(x)``dx````=` lim _{n -> INF } {} ` sum _{k=1} ^{n} ``f`(`x _{k} `)` TRIANGLE x`````````````(` TRIANGLE `x```=` {b-a} over {n} `,`````x _{k} ```=``a``+`k`` TRIANGLE x`)]

[라]  도선의 저항은 도선의 길이가 길수록 커지며 단면적이 클수록 작아진다. 이것은 도선의 길이가 길수록 자유 전자와 금속 원자의 충돌 횟수가 많아져서 저항이 커지고, 도선의 단면이 클수록 단면을 통과하는 자유 전자의 수가 많아져서 전류가 잘 흐르기 때문이다. 따라서 [그림 1]과 같은 도선의 저항 [eqn: R``]은 도선의 길이 [eqn: l`]에 비례하고 단면적 [eqn: S``]에 반비례한다. 비례상수를 [eqn: rho `]라 하면 [eqn: R= rho {l} over {S} `]이다. 여기서 [eqn: rho `]는 물질의 종류에 따라 정해지는 상수로서 물질의 비저항이라고 한다.

[eqn: S``]

[eqn: l`]

[eqn: rho `]

[eqn: S``]

[그림 1]

[마]  [그림 2]와 같이 잘려진 원뿔형 도선의 저항은 잘게 세분한 원기둥 도선의 저항의 합을 구한 후, 이것의 극한으로 구할 수 있다. 즉, 작은 원기둥을 이용한 구분구적법을 이용하여 구할 수 있다.

[eqn: x _{0} =0]

[eqn: a`]

[eqn: x _{k} `]

[eqn: TRIANGLE x`]

[eqn: x _{n} =L``]

[eqn: ``b``]

[eqn: x``]

[eqn: y``]

[eqn: y _{k} `]

[eqn: b`]

[eqn: x _{k+1} `]

[그림 2]

잘려진 원뿔형 도선의 중심 길이를 [eqn: L``]이라 하고 이것을 [eqn: n``]등분하여 작은 원기둥의 합으로 근사시키자.  [eqn: DELTA x```=` {L} over {n} ``],  [eqn: x _{k} ```=`k`` DELTA x``]([eqn: ```0 LEQ k LEQ n```]) 라 놓고,  [eqn: x _{k} ``] 지점에서 단면의 반지름을 [eqn: y _{k} ``], 단면적을 [eqn: S_{`k} ``], 두께가 [eqn: DELTA x``]인 원기둥 조각의 저항을 [eqn: DELTA `R _{`k} ``]라고 하면,  [eqn: DELTA `R _{`k} ``]는  [eqn: rho ` {DELTA x} over {S _{k}} ``]가 된다. 그러면 잘려진 원뿔형 도선의 전체 저항은 구분구적법에 의해서 [eqn: lim _{n -> INF } {} ` sum _{k=1} ^{n} `` rho ` {DELTA x} over {S _{k}} ``]로 주어진다. 여기에서 [eqn: rho ``]는 도선을 이루는 물질의 비저항이다.

[바]  렌즈는 빛의 굴절 현상을 이용하는 것으로, 중앙이 양 끝보다 두꺼운 볼록 렌즈와 얇은 오목 렌즈가 있다.  [그림 3]과 같이 광선이 볼록 렌즈의 축에 나란히 입사하면 렌즈에 의해 굴절한 후 한 점 F에 모이는데, 이 점을 초점이라고 한다. 초점은 렌즈의 양쪽에 있고, 렌즈의 중심에 대하여 대칭이다.

F

초점

볼록 렌즈

[그림 3]

[그림 4]와 같이 렌즈의 중심에서 초점 F 까지의 거리를 초점거리, 물체에서 렌즈의 중심까지의 거리를  물체거리, 렌즈의 중심에서 상까지의 거리를 상거리라고 한다. 물체거리가 무한대인 경우 상거리는 초점거리와 같아지며, 반대로 물체거리가 초점거리와 동일한 경우 상거리는 무한대가 된다. 또한 볼록 렌즈에 의한 상은 물체가 초점 밖에 있으면 도립 실상이 생기고 물체가 초점 안에 있을 때에는 실물보다 큰 정립 허상이 생긴다. 볼록 렌즈에서 물체거리를 [eqn: p`], 상거리를 [eqn: q`], 초점거리를 [eqn: f`]라고 할 때, 위의 현상을 수식으로 표현하면 다음과 같다.

[eqn: {1} over {p} + {1} over {q} `=` {1} over {f} `]

O

F

F

[eqn: f`]

[eqn: p``]

[eqn: q``]

볼록 렌즈

물체

상

[eqn: h``]

[eqn: H```]

[그림 4]

2009학년도 인하대학교

수시모집 2-2 논술고사 (자연계열)

【논제 1】제시문 [가], [나]에 주어진 내용을 바탕으로 다음을 기술하시오.

(1) 사과 [eqn: rm100g``] 속에는 탄수화물 [eqn: rm12 g``]과 단백질 [eqn: rm0.3 g``], 소량의 무기염류와 비타민이 들어 있으며, 소화되는 과정에서 각 영양소의 [eqn: 80%]만이 체내로 흡수된다고 하자. 그러면 사과 [eqn: rm 500g``]으로부터 섭취한 탄수화물이 모두 ATP 생성에 이용되고, 이것이 다시 ADP로 전환되어 모두 소모될 때 체온 유지에 사용되는 총 열량을 구하시오. 단, 사과 속에 있는 탄수화물만이 열량을 발생시키며 탄수화물이 포도당으로 분해될 때 질량의 변화는 없다고 가정한다. (10점)

(2) 포도당의 분자량을 고려하여 ATP 1 몰이 ADP로 분해될 때 생성되는 총 에너지를 구하시오. (15점)

【논제 2】제시문 [다], [라], [마]에 주어진 내용을 바탕으로 다음을 기술하시오.

(1) 제시문 [마]의 [그림 2]에서 주어진 원기둥 조각의 저항 [eqn: DELTA `R _{`k} ``]를 구하시오. (10점)

(2) 제시문 [마]의 [그림 2]에서 주어진 중심 길이가 [eqn: L``]인 잘려진 원뿔형 도선의 전체 저항을 구하시오. (15점)

【논제 3】 제시문 [바]에 주어진 내용을 바탕으로 다음을 기술하시오.

(1) [그림 4]에서 물체의 크기 [eqn: H``]와 상의 크기 [eqn: h``]의 비가 [eqn: H:h=1:3`]일 때,  [eqn: p`]와 [eqn: q`]를 [eqn: f``]를 이용하여 표현하시오. (10점)

(2) 초점거리가 [eqn: f```]인 볼록 렌즈에서 물체에서 도립 실상까지의 거리가 최소가 될 때, 물체거리 [eqn: p```]와 상거리 [eqn: q```]를  [eqn: f``]를 이용하여 표현하시오. (20점)

2009학년도 수시 2-2 수리논술 출제 의도 및 해설

1. 출제 의도

2009학년도 인하대학교 수시 2-2 자연계 논술고사에서는 수시 2-1 논술고사와 같이 함수의 개념, 극한, 미분, 적분 등 고교 수학에서 배우는 기본적인 개념을 이해하고 이를 물리, 화학, 생물 및 지구과학에 응용할 수 있는 능력을 평가하는데 초점을 두었다. 이번 논술고사에서 제시문은 수시 2-1에서와 같이 생물과 물리에서 출제하였다. 제시문은 기본적으로 고교 교과과정의 ‘물리 I’과 ‘생물 I’의 범위를 넘지 않으려고 노력하였고, 부득이 ‘물리 I’과 ‘생물 I’에서 다루지 않는 개념이 나올 때에는 제시문에서 따로이 그 개념에 대한 상세한 설명을 덧붙여서 논제를 해결하는데 큰 어려움이 없도록 하였다.

생물에서는 포도당이 분해되면서 ATP를 합성하여 에너지를 저장하는 과정에 대한 설명과 분자 1몰에 대한 설명으로 이루어져 있다. 물리에서는 원기둥 형태의 도선의 전기 저항에 대한 설명과 이로부터 적분의 구분구적법을 이용하여 잘려진 원뿔형 도선의 저항을 구하는 방법에 대한 설명, 광학에서 볼록 렌즈에 상이 맺히는 원리 및 물체거리와 상거리, 그리고 초점거리와의 관계식에 대한 설명으로 이루어져 있다. 그리고 이들 제시문에서 설명한 내용을 바탕으로 고교 수학에서 배우는 함수의 개념, 극한, 미분, 적분 등을 이용하여 풀 수 있는 문제를 논제로 출제하였다.

자연계 논술고사는 수학과 과학 과목에 대한 이해도 및 응용력 이외에도 문제 풀이 과정을 논리적으로 서술하는 능력도 함께 평가할 목적으로 출제하였다. 특히, 본인이 수식을 세우게 된 동기 및 상황에 대한 설명, 본인이 수식에 사용한 기호에 대한 설명, 본인이 설정한 수식으로부터의 계산 과정에 대한 설명 등이 답안에 충분히 제시되어 있을 때 좋은 점수를 받도록 하였다. 즉, 답안지에 답만 쓰거나, 수학적인 풀이가 올바르게 되어 있다 하더라도 풀이과정에 대한 언어적인 설명이 충분히 나타나있지 않으면 좋은 점수를 받을 수 없도록 하였다.

2. 주제 분석, 제시문 및 논제 해설

(가) 주제분석 : 2009학년도 인하대학교 수시 2-2 자연계 논술고사는 생물과 물리에 관계된 3개의 주제로 이루어져 있다. 생물 분야에서는 세포호흡 과정에서 포도당이 산소와 결합하여 물과 이산화탄소로 분해되면서 ATP를 합성하여 에너지를 저장하는 과정을 제시문 [가]에서 설명하고 제시문 [나]에서는 분자의 몰(mole)에 대하여 설명하였다. 그리고 이를 바탕으로 탄수화물이 모두 소모될 때 발생하는 열량 중에서 체온 유지에 사용되는 양을 구하는 문제와 ATP 1몰에 저장되는 에너지의 양을 구하는 질문을 [논제 1]로 하였다. 다음으로 적분의 기본 원리인 구분구적법을 제시문 [다]에서 설명하였고, 원기둥 형태의 도선에서 전기 저항의 개념을 제시문 [라]에서 설명하였다. 그리고 적분의 구분구적법을 이용하여 잘려진 원뿔형 도선의 저항을 구하는 방법을 제시문 [마]에서 설명하였다. [논제 2]에서는 제시문 [마]에서 설명한 내용을 바탕으로 실제 계산을 수행하여 잘려진 원뿔형 도선의 저항을 구하도록 하였다. 마지막으로 제시문 [바]에서는 볼록 렌즈에서 상이 맺히는 원리, 상거리와 물체거리 그리고 초점거리 사이의 관계에 대하여 설명하였다. 그리고 이를 이용하여 물체의 크기와 상의 크기가 특정비가 될 때에 물체거리와 상거리를 초점거리를 이용하여 표현하는 문제와 물체거리와 상거리의 합이 최소가 될 때에 물체거리와 상거리를 초점거리를 이용하여 표현하는 문제를 [논제 3]으로 하였다. 전체적으로 3개의 논제를 해결하는데 필요한 수학 지식은 삼각형의 닮음비, 일차함수, 극한, 미분, 적분 등이다.

(나) 제시문 해설

(1) 제시문 (가) : 세포호흡에서 포도당이 산소와 결합하여 물과 이산화탄소로 분해되면서 ATP를 합성하여 일부 에너지를 ATP에 저장하는 과정과 ATP가 다시 ADP와 인산으로 분해되면서 에너지를 방출하는 과정을 설명하였다.

(2) 제시문 (나) : 분자 1몰(mole)의 개념과 아보가드로수에 대하여 설명하였다.

(3) 제시문 (다) : 구분구적법을 설명하고 이를 이용하여 연속함수의 적분을 정의하는 방법을 설명하였다.

(4) 제시문 (라) : 원기둥 형태의 도선에 전류가 흐를 때 발생하는 저항은 도선의 길이에 비례하고 단면적에 반비례하는 현상을 설명하고 이로부터 도선의 전체 저항을 구하는 공식을 제시하였다.

(5) 제시문 (마) : 제시문 (라)에서 주어진 공식과 적분의 구분구적법을 이용하여 잘려진 원뿔형 도선의 전체 저항을 구하는 방법을 설명하였다.

(6) 제시문 (바) : 볼록 렌즈에 상이 맺히는 원리를 설명하고 물체거리와 상거리, 그리고 초점거리와의 관계에 대해서 설명하고 이를 수식으로 표현하였다.

(다) 논제 해설 : 각각의 논제는 2개의 질문으로 구성되어 있으며 각 질문 당 점수 배점은 난이도에 따라 차등 배분되었다.

(1) 논제 1 :  첫 번째 질문은 제시문 (가)에 나타난 내용을 바탕으로 하여 체내에 흡수된 특정량의 탄수화물이 에너지로 바뀌어서 모두 소모될 때 발생하는 열량 중에서 체온 유지에 사용되는 열량을 구하는 문제이다. 그리고 두 번째 질문은 제시문 (나)에서 설명한 몰(mole) 개념을 숙지하고 역시 제시문 (가)에 나타난 내용을 이용하여 ATP 1몰이 ADP로 분해될 때 생성되는 전체 에너지를 구하는 문제이다. 몰 개념을 포함하여 문제를 해결하는데 필요한 모든 정보는 제시문 (가)와 (나)에 주어져 있기 때문에 두 개의 제시문만 잘 읽으면 중학교 수준의 수학만으로도 해결이 가능할 것이다.

(2) 논제 2 : [논제 2]는 기본적으로 적분을 이용하여 잘려진 원뿔형 도선의 전체 저항을 구하는 문제이다. 여기에서 가장 중요한 부분은 적분식을 구하는 것이며, 이에 대한 중요한 힌트가 구분구적법의 형태로 제시문 (마)에 주어져 있다. [논제 2]의 첫 번째 질문은 잘려진 원뿔형 도선의 단면적을 직접 계산하여 제시문 (마)에서 힌트로 주어진 식을 완성하는 것이며, 두 번째 질문은 이것을 정적분으로 바꾸어서 직접 계산하여 잘려진 원뿔형 도선의 전체 저항을 구하는 것이다. [논제 2]는 적분 문제로 완전한 풀이를 위해서는 구분구적법과 정적분과의 관계, 분수함수의 적분법이 필요할 것이다.

(3) 논제 3 : [논제 3]은 서로 연관관계가 없는 두 개의 질문으로 구성되어 있다. 첫 번째 질문은 볼록 렌즈에 상이 맺히는 원리를 설명한 제시문 (바)의 [그림 4]에서 실제 물체의 길이와 상의 길이의 비가 1:3 일 때, 상거리와 물체거리를 초점거리를 이용해서 표현하는 문제이다. [그림 4]를 자세히 살펴보고 삼각형의 닮음비와 제시문 (바)에 주어진 식을 적절하게 사용하면 쉽게 해결할 수 있을 것이다. 두 번째 질문은 미분을 이용하여 볼록 렌즈에서 물체거리와 도립 실상까지의 거리의 합이 최소가 될 때에 상거리와 물체거리를 초점거리를 이용해서 표현하는 문제이다. 이것은 미분을 이용하여 최솟값을 구하는 문제이다. 물체거리와 도립 실상까지의 거리의 합을 제시문 (바)에 주어진 식을 사용하여 한 변수의 함수로 표현하면, 그 다음부터는 미분을 이용하여 큰 어려움 없이 최솟값을 구할 수 있을 것으로 생각된다.

3. 평가 기준

2009학년도 인하대학교 수시 2-2 자연계 논술고사에서는 다음의 사항들을 중점적으로 평가할 목적으로 출제하였다.

• 주어진 제시문을 정확하게 이해하고 이를 바탕으로 각 논제에서 요구하는 문제를 파악하는 능력

• 미분, 적분, 극한, 함수 등의 고교 수학 과정에서 배우는 개념을 정확하게 이해하고 이를 물리, 화학, 생물, 지구과학 등 과학 과목에 활용할 수 있는 능력

• 제시문에서 논제 해결에 필요한 내용을 선별할 수 있는 능력

• 제시문에서 주어진 내용을 필요에 따라 일부 변형하여 논제 해결에 이용할 수 있는 능력

• 논제에서 요구하는 바를 해결하기 위해 제시문에 주어진 내용을 바탕으로 수식을 세우고 계산을 올바르게 수행하여 원하는 해답을 도출할 수 있는 능력

• 수식이 들어있는 계산 과정이나 증명 과정을 일반 서술문과 함께 올바르게 그리고 논리적으로 기술할 수 있는 능력

• 자신의 견해를 문장으로 올바르게 전개할 수 있는 능력

4. 모범 답안

[논제 1]

(1) 사과 [eqn: 100 g``] 속에는 탄수화물이 [eqn: 12 g``]이 들어 있으므로 사과 [eqn: 500 g``] 속에는 탄수화물이 [eqn: 60 g``]이 들어 있다. 이 중에서 소화 과정에서 80%만 체내로 흡수되므로 [eqn: 60`` g``` times`` 0.8 ```=` 48` g``]이 체내로 흡수되어 포도당으로 저장된다. 포도당 [eqn: 1` g``]이 [eqn: 4 ``kcal``]의 열량을 내므로 [eqn: 48` g``]은 [eqn: 48``` times` 4``` =``192 `(`kcal`)``]의 열량을 낸다. 포도당이 이산화탄소와 물로 분해되면서 [eqn: 40%]가 ATP를 생성하는데 쓰이고 다시 ATP에 저장된 에너지의 [eqn: 25%`]가 체온 조절 이외에 쓰이므로 포도당이 가진 에너지의 [eqn: 10%] ( [eqn: 0.40`` TIMES ``0.25``=``0.1``])만이 체온 유지 이외에 쓰인다. 즉, 포도당이 가진 에너지의 [eqn: 90%``]가 체온 유지에 쓰인다. 따라서 [eqn: ` 192 ``kcal``]의 [eqn: 90%``]인 [eqn: 172.8` kcal````` (`192`kcal``` times`` 0.9 ```=``` 172.8 ``kcal`)```]가 체온 유지에 쓰이게 된다.

(1-1 별해)

사과 [eqn: 100 g``] 속에는 탄수화물이 [eqn: 12 g``]이 들어 있으므로 사과 [eqn: 500 g``] 속에는 탄수화물이 [eqn: 60` g``]이 들어 있다. 이 중에서 소화 과정에서 80%가 체내로 흡수되므로 [eqn: 60`` g``` times`` 0.8 ```=` 48` g``]이 체내로 흡수되어 포도당으로 저장된다. 포도당 [eqn: 1` g``]이 [eqn: 4 ``kcal``]의 열량을 내므로 [eqn: 48` g``]은 [eqn: 48``` times` 4``` =`` 192 `(`kcal`)``]의 열량을 낸다. 포도당이 이산화탄소와 물로 분해되면서 [eqn: 60%]가 열로 방출되므로 [eqn: 192``` times` 0.6``` =`` 115.2 `(`kcal`)``]가 체온 유지에 쓰이고, ATP에 저장된 에너지는 [eqn: 76.8``kcal``] ([eqn: 192```-`115.2```=`76.8``])이다. ATP가 다시 ADP로 전화될 때 [eqn: 76.8`` TIMES `0.75```=`57.6``(kcal)``]가 열로 방출되므로, 체온유지에 사용되는 총 열량은 [eqn: 115.2``+``57.6```=`172.8(kcal)``]이다.

(2) 수소의 원자량은 [eqn: 1], 탄소의 원자량은 [eqn: 12], 산소의 원자량은 [eqn: 16]이므로 포도당 [eqn: C_{`6}``H_{`12}`O_{`6}]의 분자량은 [eqn: 12`` times` 6``` +` 1`` times` 12``` +` 16 ``times`` 6``` =` 180``]이 된다. 즉, 포도당 [eqn: 1]몰의 질량은 [eqn: 180` g``]이 된다. 포도당 [eqn: 1]분자가 산화될 때 38분자의 ATP가 생성되므로 포도당 1몰이 분해될 때 ATP가 38몰이 생성된다. 그리고 포도당 1몰이 분해될 때 방출하게 되는 열량은 [eqn: 180` g`` times` 4`` kcal/g ```=` 720`` kcal``]가 된다. 이 중에서 [eqn: 40%``]가 ATP에 저장되므로, ATP에 저장되는 열량은 [eqn: 720`` kcal``` times` 0.40 ``=`` 288 kcal``]가 된다. 즉, 포도당 1몰이 분해될 때 [eqn: 288 kcal``]의 열량이 38몰의 ATP에 저장된다. 따라서 1몰의 ATP에 저장되는 열량은 [eqn: rm {288``kcal} over {38} ```= {144} over {19} `kcal```( image `7.58``kcal)``]가 된다.

[논제 2]

(1) 먼저 두 점 [eqn: (0`,``a),````(L`,``b)``]을 지나는 직선의 방정식을 구하면

[eqn: y= {b-a} over {L} x+a`]

이다. 따라서 [eqn: x _{k} ``]에서 도선의 반지름 [eqn: y _{k} ``]는 [eqn: y _{k} = {b-a} over {L} x _{k} +a`]이다. 길이가 [eqn: TRIANGLE x`] 원기둥의 저항 [eqn: DELTA `R _{`k} ``]은 제시문 [라]에 주어진 내용에 의해 다음으로 주어진다.

[eqn: TRIANGLE R _{k} ```=`` rho `` {TRIANGLE x``} over {`` pi `y _{k} ^{2} ````} ```=`` rho ` {TRIANGLE x} over {pi LEFT ( {b-a} over {L} x _{k} +a RIGHT ) ^{2}}].

(2) 전체 길이가 [eqn: L`]인 도선의 저항 [eqn: R`]은 제시문 [다]와 [마]에 의해서 다음과 같이 적분을 이용하여 구할 수 있다.

[eqn: R````=`` lim _{n -> INF } {`` sum _{k=1} ^{n} `` TRIANGLE R _{k}} ``=`` lim _{n -> INF } {`` sum _{k=1} ^{n} ` {rho } over {pi } `` LEFT ( {b-a} over {L} x _{k} +a RIGHT ) ^{-2} TRIANGLE x}# ````````=` {rho } over {pi } ` int _{0} ^{L} {`` LEFT ( {b-a} over {L} x+a RIGHT ) ^{-2} ``dx} ```=`` {rho } over {pi } `` LEFT [ - {L} over {b-a} ` LEFT ( {b-a} over {L} x+a RIGHT ) ^{-1} `` RIGHT ] _{0} ^{L}# ````````=``-`` {rho L} over {pi (b-a)} `` LEFT { {1} over {b} - {1} over {a} RIGHT } ```=`` {rho L} over {pi `ab} `.]

(2-2 별해) (1) 폐구간 [eqn: [``x _{k} `,`x _{k+1} `]`]에서 임의의 한 점 [eqn: x _{k} *`]를 잡고 [eqn: x _{k} *``]에서 직선 [eqn: y= {b-a} over {L} x+a`] 에 이르는 거리( 반지름)를 [eqn: y _{k} *``]라 하고 두께가 [eqn: TRIANGLE x`]인 원기둥의 저항을 [eqn: DELTA `R _{`k} *``]라 하면 제시문 [라]에 주어진 내용에 의해 다음으로 주어진다.

[eqn: TRIANGLE R _{k} *```=`` rho `` {TRIANGLE x``} over {`` pi `(y _{k} *) ^{2}} ```=`` rho ` {TRIANGLE x} over {pi LEFT ( {b-a} over {L} x _{k} *+a RIGHT ) ^{2}}].

(2) 전체 길이가 [eqn: L`]인 도선의 저항 [eqn: R`]은 제시문 [다]와 [마]에 의해서 다음과 같이 적분을 이용하여 구할 수 있다.

[eqn: R````=`` lim _{n -> INF } {`` sum _{k=1} ^{n} `` TRIANGLE R _{k} *} ``=`` lim _{n -> INF } {`` sum _{k=1} ^{n} ` {rho } over {pi } `` LEFT ( {b-a} over {L} x _{k} *+a RIGHT ) ^{-2} TRIANGLE x}# ````````=` {rho } over {pi } ` int _{0} ^{L} {`` LEFT ( {b-a} over {L} x+a RIGHT ) ^{-2} ``dx} ```=`` {rho } over {pi } `` LEFT [ - {L} over {b-a} ` LEFT ( {b-a} over {L} x+a RIGHT ) ^{-1} `` RIGHT ] _{0} ^{L}# ````````=``-`` {rho L} over {pi (b-a)} `` LEFT { {1} over {b} - {1} over {a} RIGHT } ```=`` {rho L} over {pi `ab} `.]

[논제 3]

(1) 제시문 [바]의 [그림 4]로부터 아래 그림을 얻고 삼각형의 닮은꼴을 이용하면 [eqn: H`:h=p:q=1:3```]이다.

[eqn: H```]

[eqn: p``]

[eqn: q``]

[eqn: h`]

렌즈 중심

따라서 [eqn: q=3p`]이고 이를 공식 [eqn: {1} over {p} + {1} over {q} `=` {1} over {f} `]에 대입하면 [eqn: {1} over {p} + {1} over {3p} = {1} over {f}]이 된다. 따라서 [eqn: p= {4} over {3} f`], [eqn: q=4f`] 이다.

(2) 물체에서 실상까지의 거리는 [eqn: p+q`]로 나타낼 수 있다. (3-1)에서 얻은 결과 [eqn: {1} over {p} + {1} over {q} = {1} over {f} ``]로부터 [eqn: q= {1} over {{1} over {f} - {1} over {p}} `]이다. [eqn: p+q`]를 [eqn: p`]에 관한 식으로 나타낸 것을 [eqn: G`(`p)`]라 하면 다음과 같이 주어진다.

[eqn: G`(`p)```=`p+q```=`p``+ {1} over {{1} over {f} - {1} over {p}} `=`p``+` {1} over {{p-f} over {fp}} `=`p``+ {fp} over {p-f} ``=` {p(p-f)+fp} over {p-f} ``=` {p ^{2}} over {p-f}].

(혹은, [eqn: G`(`p)=p+q=p+ {1} over {{1} over {f} - {1} over {p}} =p+ {1} over {{p-f} over {fp}} =p+ {fp} over {p-f} =p+ {f(p-f)+f ^{2}} over {p-f} =p+f+ {f ^{2}} over {p-f}])

[eqn: G`(`p)`]를 [eqn: p`]에 대해 미분하여 임계점을 구하면,

[eqn: {d} over {dp} G`(p)``=` {d} over {dp} LEFT ( {p ^{2}} over {p-f} RIGHT ) ``= {2p(p-f)-p ^{2}} over {(p-f) ^{2}} ``= {p ^{2} -2fp} over {(p-f) ^{2}} ``= {p(p-2f)} over {(p-f) ^{2}} `=0]

이므로 [eqn: p=2f`]이다.  [eqn: p < 2f``]이면 [eqn: G^{```prime}(`p) ```< `0``]이고 [eqn: p > 2f``]이면 [eqn: G^{```prime}(`p) ```> `0``]이므로 [eqn: p=2f`]에서 [eqn: G`(p)`]는 최솟값을 갖는다. 따라서 [eqn: p=2f`]이고 이것을 [eqn: {1} over {p} + {1} over {q} = {1} over {f} ``]에 대입하면 [eqn: q=2f`]를 얻는다.  물체에서 실상까지의 거리가 최소가 되는 [eqn: p, ```q``]의 값은 [eqn: p``` =` q ```= `2`f``]이다.

(3-2 별해)

우선 [eqn: p``+`q```=`K```]라고 놓자. 그러면 [eqn: {1} over {p} + {1} over {q} = {1} over {f} ``]으로부터

[eqn: {K} over {f} ```=``(`p``+`q`)``(` {1} over {p} ``+` {1} over {q} `)```=``2``+` {p} over {q} ``+` {q} over {p} ``] 가 된다. 그러면 산술평균은 기하평균보다 같거나 크므로 [eqn: {p} over {q} ``+` {q} over {p} `` GEQ `2` sqrt {{p} over {q} `` TIMES ` {q} over {p} ```} ``` GEQ ``2``]가 된다. 따라서 [eqn: {K} over {f} `` GEQ ``4``]가 되고 [eqn: K````=``p``+`q``` GEQ `4`f``]가 된다. 즉, [eqn: ``p``+`q``]의 최솟값은 [eqn: 4`f``]보다 같거나 크게 된다. 그런데 [eqn: p```=`q``=`2`f``] 이면 [eqn: {1} over {p} + {1} over {q} = {1} over {f} ``]을 만족시키고 [eqn: ``p``+`q```=`4`f``] 이므로 [eqn: p```=`q``=`2`f``]일 때, [eqn: ``p``+`q``]는 최솟값 [eqn: 4`f``]를 갖는다.