2009학년도 인하대학교 정시 논술고사

2009학년도 인하대학교

Ⅰ. 출제문

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 세포분획법이란 세포 내에 있는 세포 소기관의 구성 성분이나 세부적인 구조, 기능을 알아보기 위해서 각각의 세포 소기관을 따로 분리해 내는 방법으로, 주로 원심분리기가 사용된다. 원심분리기는 [그림 1]과 같이 회전축을 중심으로 회전자를 고속으로 회전시켰을 때 발생하는 회전력(=원심력)을 이용하여 물질을 침전, 분리시키는 기기이다. 원심력과 회전시간에 따라 크기와 무게가 다른 물질의 침강속도가 달라지기 때문에, 균질화된 세포에 적당한 회전력을 가하면 침강속도의 차이를 이용하여 각각의 세포 소기관을 분리할 수 있다. 원심분리기에 의해 발생하는 회전력 [eqn: (RCF)]은  회전자의 반지름 [eqn: r`` (`m`m`)``]과 회전자의 분당 회전수[eqn: (RPM)]의 제곱에 비례한다. 즉, 회전력은 [eqn: RCF```=`k``` TIMES `r`` TIMES ` LEFT ( {RPM} over {1000} RIGHT ) ^{`2} ```] 으로 주어진다. 여기에서 [eqn: k``]는 비례상수이고,  회전력의 단위로는 중력가속도 [eqn: g``]를 사용한다.

회전축

회전자

시료를 넣는 공간

[그림 1]

[나]  [그림 2]와 같이 균질화된 세포를 원심분리기에 넣고 [eqn: 10]분 동안 [eqn: 500`g`]의 회전력으로  가동하면 핵을 침전시킬 수 있다. 침전되지 않은 상층부만을 따로 분리하여 다른 용기에 넣고  [eqn: 1500`g`]의 회전력으로 [eqn: 10]분 동안 원심분리기를 가동하면 엽록체가 침전되며, 같은 방법으로 상층부만을 따로 분리하여 [eqn: 8000`g`]의 회전력으로 [eqn: 10]분 동안 원심분리기를 가동하면 미토콘드리아를 침전시킬 수 있다. 이러한 작업을 반복하면 리보솜, 소포체 등을 분리시킬 수 있다.

[eqn: 500`g]

[eqn: 10]분

[eqn: 1500`g]

[eqn: 10]분

[eqn: 8000`g]

[eqn: 10]분

[eqn: 100000`g]

[eqn: 10]분

핵

엽록체

미토콘드리아

리보솜

소포체

[그림 2]

[다] 원심분리기의 회전자에는 [그림 1]의 오른쪽에 나타낸 것과 같이 분리할 시료를 넣을 공간이 있으며, 보통 [eqn: 12]개의 공간이 축을 중심으로 대칭을 이루고 있다. 고속으로 회전하는 원심분리기 내의 회전자는 균형이 매우 중요하며, 균형이 깨질 경우 회전자가 회전축에서 이탈하거나 회전축 자체가 파손될 수 있다. 따라서 회전축을 중심으로 내용물의 종류와 무게가 서로 대칭을 이루어야 한다. 예를 들어, 내용물의 종류가 같고 무게가 같은 네 개의 시료를 원심분리하기 위해서는 [그림 3]과 같이 축을 기준으로 대칭을 이루도록 시료를 넣어야 한다. 다시 말하면 축을 원점으로 하고, 각각의 시료를 원점에 대한 벡터로 생각했을 때, 원점에서 네 벡터의 합이 [eqn: 0``]이 되어야 한다.

올바른 위치 배열

(네 벡터의 합이 [eqn: 0``]임)

잘못된 위치 배열

(네 벡터의 합이 [eqn: 0``]이 아님)

[그림 3]

[라] [그림 4]에서와 같이 댐은 아래가 위보다 더 두꺼운데 그 이유는 물의 깊이가 깊어짐에 따라 수압도 증가하기 때문이다. 즉, 물이 깊을수록 댐도 더 튼튼해져야 한다. 댐의 안쪽 표면에 있는 한 점에 작용하는 수압은 그 점의 깊이에 의해서만 결정되는데 깊이 [eqn: h```]와 수압 [eqn: ``p``]사이의 관계식은 [eqn: p= rho `g`h`]이다. 여기서 [eqn: g``]는 중력가속도이고 [eqn: rho ``]는 물의 밀도이다.

[eqn: p _{1}]

[eqn: p _{2}]

[eqn: p _{3}]

[eqn: p _{1} <p _{2} <p _{3}]

[그림 4]

[마] 밑면이 편평한 그릇에 담겨 있는 액체의 깊이를 [eqn: h`]라고 하면 이 액체의 무게 때문에 그릇의 밑면이 받는 힘 [eqn: F``]는 대기압을 무시하면

[eqn: F=p`A`= rho `g`h`A``][eqn: CDOTSCDOTSCDOTSCDOTSCDOTSCDOTSCDOTSCDOTSCDOTSCDOTSCDOTSCDOTS](1)

가 된다. 여기서 [eqn: rho `]는 액체의 밀도, [eqn: g`]는 중력가속도, [eqn: A`]는 밑면의 넓이이다. 이 힘은 그릇의 형태에 무관하다. 일반적으로 파스칼의 원리에 따르면, 압력 [eqn: p``]는 모든 방향에 대하여 같은 크기로 작용한다. 따라서 액체 속에 수평으로 잠겨 있는 평판의 윗면에 아래로 작용하는 힘은 (1)식으로 주어진다. 그러나 수직으로 잠겨 있는 평판에 대하여는, 압력의 크기가 깊이 [eqn: h`]에 따라 변하므로 (1)식을 그대로 사용할 수 없다. 이 경우에는 평판을 수평으로 잘게 나누어서 각각의 띠에 작용하는 힘을 합하여 극한을 취하는 방법, 즉 구분구적법을 사용한다.

[바]  밀도가 [eqn: rho `]인 액체 속에 평판이 아래 [그림 5]와 같이 수직으로 잠겨 있다고 하자. 단, 평판의 두께는 무시하기로 한다.

액체의 표면

[eqn: a=h _{0} `]

[eqn: h _{k+1} `]

(액체에 수직으로 잠겨있는 평판)

[eqn: VDOTS]

[eqn: VDOTS]

[eqn: h _{k} `]

[eqn: h _{1} `]

[eqn: h _{2} `]

[eqn: h _{n-1} `]

[eqn: b=h _{n} `]

[eqn: L _{k} ```]

[그림 5]

액체의 표면에서 평판의 윗부분과 아랫부분까지의 깊이를 각각 [eqn: a,`b`]라 하자.  폐구간 [eqn: [a,`b`]]를 일정하게 [eqn: n]등분한 것을 [eqn: a```=`h _{0} ```<```h _{1} ``````<``` CDOTS ```<```h _{k} ```<```h _{k+1} ```<``` CDOTS ```<```h _{n-1} ```<```h _{n} ```=```b```]이라 하고  [eqn: TRIANGLE h=h _{k+1} -h _{k} `= {b-a} over {n} ```]라 하자. 그리고 액체의 표면에서 깊이 [eqn: h _{k} ``]와 [eqn: h _{k+1} ``] 사이에 있는 직사각형 띠의 길이를 [eqn: L _{k} ``]라 하면 작은 직사각형 띠의 넓이는 [eqn: `L _{k} ` TRIANGLE h``]가 된다. 이때 작은 직사각형 띠에 가해지는 압력은 제시문 (마)에 의해 [eqn: rho `g`h _{k} ``]와 [eqn: rho `g`h _{k+1} = rho `g`(h _{k} + TRIANGLE h)`] 사이에 있다. 따라서 이 띠가 받는 힘을 [eqn: TRIANGLE F```]라 하면

[eqn: rho `g``h _{k} `L _{k} ` TRIANGLE h LEQ TRIANGLE F LEQ rho `g``(h _{k} + TRIANGLE h)L _{k} ` TRIANGLE h`]

이 된다. 각각의 띠에 작용하는 힘을 모두 합하면 다음 식을 얻는다.

[eqn: sum _{k=0} ^{n-1} ` rho `g``h _{k} `L _{k} ` TRIANGLE h` LEQ sum _{k=0} ^{n-1} TRIANGLE F` LEQ sum _{k=0} ^{n-1} ` rho `g``(h _{k} + TRIANGLE h`)`L _{k} ` TRIANGLE h`]

이제 [eqn: n`]을 무한히 늘리면  평판의 한쪽 면에 수직으로 작용하는 힘 [eqn: F``]는 다음과 같이 적분을 사용하여 나타낼 수 있다.

[eqn: F= int _{a} ^{b} {rho `g``h`L`(`h)dh} `= rho `g` int _{a} ^{b} {h`L`(h)``dh} `]

여기에서 [eqn: L(h)``]는 깊이 [eqn: h``]에서의 평판의 가로 길이이다.

[사]  아르키메데스가 부력의 원리를 깨닫고는 목욕탕에서 알몸으로 뛰어나와 □유레카!□라는 말을 했다는 일화는 유명하다. 이때 아르키메데스가 발견한 부력의 원리를 아르키메데스의 원리라고 한다. 아르키메데스의 원리는 물 속에 어떤 물체를 넣었을 때, 물 속에 잠긴 물체의 부피만큼 수위가 올라가고, 또 이 부피만큼의 물의 무게가 물체에 수압으로 작용한다는 것이다. 다시 말하면 액체에 전부 또는 부분적으로 잠겨 있는 물체는 물체가 밀어낸 액체의 무게와 같은 크기의 힘을 위쪽 방향으로 받는데, 이 힘을 부력이라 한다. 이를 수식으로 표현하면 부력은 [eqn: F= rho V`g``]가 된다. 여기에서 [eqn: rho ``]는 액체의 밀도, [eqn: V``]는 액체 속에 잠긴 물체의 부피, [eqn: ``g``]는 중력가속도를 나타낸다.

이제 바닷물에 떠 있는 빙하와 같이 물체의 일부분이 액체 속에 잠겨 있는 경우를 생각해보자.  [그림 6]과 같이 밀도가 [eqn: rho _{1} ``]인 물체의 일부분이 밀도가 [eqn: rho _{0} ``]인 액체 속에 잠겨 있다고 하자. 액체 속에 잠긴 부분의 부피를 [eqn: V _{i`n} ``], 액체 밖으로 노출된 부분의 부피를 [eqn: V _{out} ``]이라고 하자. 중력가속도를 [eqn: g``]라고 하면, 이 물체가 받는 부력은 [eqn: F= rho _{0} V _{i`n} `g``]가 된다. 이 물체의 일부가 잠긴 상태로 정지해 있기 위해서는 부력이 물체가 받는 중력과 같아져 균형을 이루어야 한다. 물체의 질량이 [eqn: rho _{1} (V _{i`n} +V _{out} )``]이므로 물체가 받는 중력은 [eqn: rho _{1} (V _{i`n} +V _{out} )g``]가 된다.

[eqn: V _{out}]

[eqn: V _ { `i`n`]

액체 밀도 [eqn: rho_0]

물체 밀도 [eqn: rho _{1}]

[그림 6]

【논제 1】제시문 [가], [나], [다]에 주어진 내용을 바탕으로 다음을 기술하시오.

(1)  원심분리기를 사용하여 식물세포에서 미토콘드리아만을 분리하려고 한다. 이를 위해 먼저 핵과 엽록체를 저속의 원심분리를 통해 침전시킨 후, 상층부를 [그림 2]에 나타난 것처럼 회전력 [eqn: 8000``g``]로 [eqn: 10]분간 원심분리하려고 한다. 만약 사용한 회전자의 반지름이 [eqn: 100``mm] 이고, 원심분리기의 분당회전수가 [eqn: 100]단위로만 조정이 가능하다고 할 때, 미토콘드리아를 분리하기 위해 사용해야 할 최소 분당회전수를 구하시오. 단, 회전력의 비례상수 [eqn: k``]는 [eqn: k``=`1``]로 한다. (10점)

(2)  동물세포와 식물세포의 세포 소기관을 분리할 목적으로 원심분리기를 사용하려고 한다.  균질화시킨 두 개의 동물세포 시료와 세 개의 식물세포 시료를 가지고 있고, 이를 단 한 번의 원심분리를 통해 침전시키려고 한다. 동물세포 시료와 식물세포 시료의 무게는 서로 다르지만, 동물세포 시료 두 개의 무게는 서로 같고, 식물세포 시료 세 개도 무게가 같다고 하자. 그러면 원심분리기를 사용하기 위해서는 시료의 균형을 어떻게 맞추어야 하는지 아래 그림을 이용해 한 가지 예를 들어 시료를 위치시키고, 이것이 올바른 위치 설정임을 벡터의 합을 이용하여 설명하시오. 단, 균형을 잡기 위해 새로운 시료를 첨가하지 않고, 가지고 있는 다섯 개의 시료만을 사용한다고 가정한다. (10점)

【논제 2】제시문 [라], [마], [바]에 주어진 내용을 바탕으로 다음을 기술하시오. 단, 대기압에 의한 효과는 무시하기로 한다.

(1) 아래 그림과 같이 안쪽 면이 폭 [eqn: 100``m``]인 직사각형 모양의 댐에 [eqn: 30``m``] 높이까지 물이 찼을 때, 이 댐의 안쪽 면이 받는 힘을 구하시오. 물의 밀도는 [eqn: rho ```=`1000``kg`/m ^{3} ``]이고 중력가속도는 [eqn: g```=`9.8`m/sec ^{2} ``]이다. (10점)

[eqn: 30m]

[eqn: 100m]

(2) 아래 그림과 같이 유조차의 기름 탱크는 앞면과 뒷면이 편평한 타원기둥 모양이고, 이 기름 탱크에 밀도가  [eqn: rho ``]인 기름이 반이 채워져 있다고 하자. 이 기름 탱크의 단면이  [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} ```+`` {y ^{2}} over {b ^{2}}] ≦ [eqn: 1]  ([eqn: `0``<`b```<`a``]) 일 때, 기름 탱크의  뒷면이 받는 힘의 크기를 구하시오. 단, 중력가속도는 [eqn: g``]로 표시한다. (20점)

<유조차의 기름 탱크 뒷면>

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: a]

[eqn: -a]

[eqn: b]

[eqn: -b]

[eqn: 0]

기름

【논제 3】 제시문 [사]에 주어진 내용을 바탕으로 다음을 기술하시오.

(1) [그림 6]과 같은 물체의 일부분이 어떤 액체에 잠겨 균형을 이루고 있는 경우 액체 밖으로 노출된 부분의 부피 [eqn: V _{out} ``]은 액체 속에 잠긴 부분의 부피 [eqn: V _{i`n} ``]의 몇 배가 되겠는가? 물체의 밀도 [eqn: rho _{1} ``]과 액체의 밀도 [eqn: rho _{0} ``]를 이용하여 답하시오. (10점)

(2) 아래 그림과 같이 반지름이 [eqn: R``]인, 속이 찬 균질한 구형의 물체를 어떤 액체 속에 넣었더니 액체 밖으로 높이 [eqn: {R} over {2}] 만큼 노출된 상태에서 균형을 이루었다. 이 액체의 밀도를 [eqn: rho _{0} ``]라 할 때 물체의 밀도를 구하시오. (20점)

[eqn: R over 2]

[eqn: R]

Ⅱ. 문제 해설

1. 출제 의도

2009학년도 인하대학교 정시 자연계 논술고사에서는 수시 논술고사와 같이 미분, 적분, 극한, 벡터, 부등식, 평면기하학 등 고교 수학에서 배우는 내용을 올바르게 이해하고 이들에 관련된 계산을 수행할 수 있는 능력과 이들 개념을 물리, 화학, 생물, 지구과학 등 자연과학 분야에 응용할 수 있는 능력을 평가하는데 초점을 두었다. 이번 논술고사에서 수학은 미분과 적분을 포함한 고교 수학 전체를 대상으로 하였고, 자연과학 분야에서는 물리 I, 화학 I, 생물 I, 지구과학 I의 범위 내에서 출제하는 것을 원칙으로 하였다. 실제로 자연과학 부분에서는 물리, 화학, 생물에 관한 약간의 지식만 있으면 제시문과 논제를 이해하는데 큰 어려움이 없도록 출제하였다.

제시문은 생물학과 물리학에 관한 7개의 설명문으로 구성되어 있다. 이 중에서 3개는 생물에서 세포 소기관을 분리 추출할 때 많이 사용하는 원심분리기의 작동원리 및 사용법에 관한 것이고, 다른 3개의 제시문에서는 두께를 무시할 수 있는 평판이 유체에 잠겨 있을 때, 유체의 압력에 의해서 평판이 받는 힘을 계산하는 방법을 설명하였다. 나머지 1개의 제시문에서는 아르키메데스의 부력의 원리를 설명하였다. 그리고 논제에서는 제시문에서 주어진 사항을 읽고 이해할 수 있는 능력과 이를 특정한 상황에 적용할 수 있는 능력, 그리고 스스로 설정한 수식으로부터 올바른 계산을 통하여 결론을 도출할 수 있는 능력을 평가하는데 주안점을 두었다. 특히, 제시문에는 논제에서 요구하는 문제를 해결하는데 필요한 사항을 자세하게 설명하였기 때문에 고교 수학에서 배우는 내용을 올바르게 이해하고 있으면 논제를 해결하는데 큰 어려움이 없도록 하였다.

자연계 논술고사는 수학과 과학 과목에 대한 이해도 및 응용력 이외에도 문제 풀이 과정을 논리적으로 서술하는 능력도 함께 평가할 목적으로 출제하였다. 특히, 본인이 수식을 세우게 된 동기 및 상황에 대한 설명, 본인이 수식에 사용한 기호에 대한 설명, 본인이 설정한 수식으로부터의 계산 과정에 대한 설명 등이 답안에 충분히 제시되어 있을 때 좋은 점수를 받도록 하였다. 즉, 답안지에 답만 쓰거나, 수학적인 풀이가 올바르게 되어 있다 하더라도 풀이과정에 대한 언어적인 설명이 충분히 나타나 있지 않으면 좋은 점수를 받을 수 없도록 하였다.

2. 주제 분석, 제시문 및 논제 해설

(가) 주제 분석

2009학년도 인하대학교 정시 자연계 논술고사는 생물과 물리에 관계된 3개의 주제로 이루어져 있다. 생물 분야에서는 세포내 소기관을 분리, 추출할 때 많이 사용하는 원심분리기의 작동 원리를 제시문 [가]에서 설명하고 제시문 [나]에서는 원심분리기를 사용하여 세포 소기관을 분리해 내는 방법을 설명하였다. 그리고 제시문 [다]에서는 원심분리기에 균형이 깨지지 않도록 시료를 넣는 방법을 설명하였다. 그리고 이를 바탕으로 [논제 1]에서는 특정 세포 소기관을 분리해내기 위한 원심분리기의 분당 회전수를 구하는 문제와 실제로 서로 다른 두 종류의 시료를 균형이 깨지지 않도록 원심분리기에 올바르게 장착하는 방법을 구하도록 하였다.

다음으로 제시문 [라]에서는 댐을 예로 들어서 수압이 물의 깊이 비례하여 작용함을 설명하였고, 제시문 [마]에서는 두께를 무시할 수 있는 평판이 수평하게 액체에 잠겨있을 때 평판이 받는 힘을 구하는 방법을 설명하였다. 그리고 제시문 [바]에서 이를 이용하여 평판이 수직으로 액체에 잠겨있을 때 평판이 받는 힘을 구분구적법을 사용하여 구하는 방법을 설명하였다. [논제 2]에서는 이 세 제시문에서 설명한 내용을 바탕으로 댐의 안쪽 면이 수압에 의해서 받는 힘과 유조차에 기름이 반이 담겨 있을 때 유조차 기름 탱크의 한쪽 면이 받는 힘을 구하도록 하였다.

마지막으로 제시문 [사]에서는 아르키메데스의 부력의 원리를 설명하였다. 그리고 이 부력의 원리를 사용하여 빙산이 물에 떠 있을 때 극히 일부분만이 수면 위로 나오는 현상을 설명하였다. [논제 3]에서는 물체가 액체 속에 일정 부분이 잠겨 있을 때, 잠긴 부분과 잠기지 않은 부분의 비를 물체와 액체의 밀도를 사용하여 구하도록 하였다.

전체적으로 3개의 논제를 해결하는데 필요한 수학 지식은 적분(일반적인 적분 계산, 회전체의 부피 구하기), 부등식 계산, 벡터의 합 구하기, 원과 타원의 방정식 등이다.

(나) 제시문 해설

(1) 제시문 (가) : 핵, 엽록체, 미토콘드리아, 리보솜, 소포체 등 세포 소기관을 분리해 낼 때 많이 쓰이는 원심분리기의 작동 원리와 원심분리기의 회전력과 분당 회전수와의 관계에 대해서 설명하였다.

(2) 제시문 (나) : 실제로 균질화된 세포를 원심분리기에 넣고 핵, 엽록체, 미토콘드리아, 리보솜, 소포체 등 세포 소기관을 분리해 내는 방법을 설명하였다.

(3) 제시문 (다) : 균형이 깨지지 않도록 원심분리기에 시료를 장착하는 방법을 벡터의 합 (혹은 회전축에 대한 대칭성)을 이용하여 설명하였다.

(4) 제시문 (라) : 수압은 물의 깊이에 의해서만 결정되며 물의 깊이에 비례한다는 사실을 댐을 예를 들어 설명하였다.

(5) 제시문 (마) : 액체가 가하는 압력은 액체의 깊이에 비례하며, 따라서 평판이 일정한 깊이에서 수평하게 액체에 잠겨 있을 때에는 평판이 받는 압력은 동일하며 액체가 평판에 가하는 힘은 평판의 넓이에 비례함을 설명하였다.

(6) 제시문 (바) : 두께를 무시할 수 있는 평판이 수직으로 액체에 잠겨 있을 때에는 액체가 평판에 가하는 압력은 액체의 깊이에 따라 달라진다. 이 경우에는 평판을 깊이에 따라 작은 직사각형으로 나눈 다음에 각각의 작은 직사각형에 액체가 작용하는 힘을 구한다. 그리고 그 합에 극한을 취하여 적분으로 변환시키는 방법을 설명하였다. 즉, 적분의 구분구적법을 이용하여 평판에 가해지는 힘을 적분식으로 표현하는 방법을 설명하였다.

(7) 제시문 (사) : 아르키메데스가 발견한 부력의 원리를 설명하였다. 그리고 이것을 이용하여 바닷물에 떠 있는 빙산과 같이, 액체 속에 물체의 일부분이 잠겨 있을 때 잠긴 부분과 액체 위로 떠 있는 부분과의 부피의 비가 액체와 물체의 밀도에 의해서 결정된다는 사실을 설명하였다.

(다) 논제 해설

: 각각의 논제는 2개의 질문으로 구성되어 있으며 각 질문 당 점수 배점은 난이도에 따라 차등 배분되었다.

(1) 【논제 1】: [논제 1]의 첫 번째 질문은 원심분리기를 일정 시간  사용하여 세포에서 미토콘드리아를 분리할 때 필요한 원심분리기의 분당 최소 회전수를 100 단위로 구하는 것이다. 이 질문을 해결하기 위한 필요한 공식은 제시문 [가]에 주어져 있으며 이를 적절하게 활용하면 중학교 수준의 수학만으로도 해결이 가능하다. 그리고 두 번째 질문은 균질화된 무게가 같은 동물세포 시료 2개와 식물세포 시료 3개를 동시에 원심분리기에 넣고 작동시킬 때 이 5개의 시료를 균형이 맞게 원심분리기에 장착시키는 방법을 구하는 것이다. 여기에서 동물세포 시료와 식물세포 시료의 무게는 서로 다르다고 가정한다. 제시문 [다]에서 주어진 내용을 잘 읽어보면 두 번째 문제는 간단한 벡터의 합을 구하는 문제로 귀착시킬 수 있다.

(2) 【논제 2】: [논제 2]는 기본적으로 제시문 [바]에서 주어진 적분식을 특정 상황에 적용하여 계산을 수행하는 문제이다. [논제 2]의 첫 번째 문제는 직사각형 모양의 댐의 안쪽 면이 수압으로 받는 전체 힘을 구하는 것이다. 제시문 [바]에서 주어진 적분식에 나타나는 상수에 [논제 2]에서 주어진 수치를 대입하여 적분식을 만들고 이를 계산하면 해결할 수 있다. 두 번째 문제는 근본적으로 첫 번째 문제와 같지만 액체의 압력을 받는 면이 타원으로 주어졌다는 점이 다르다. 따라서 제시문 [바]에서 주어진 적분식을 적용할 때와 만들어진 적분식으로부터 계산을 수행할 때 더 많은 주의가 필요할 것이다.

(3) 【논제 3】: [논제 3]은 [논제 2]와 마찬가지로 같은 유형의 질문 2개로 이루어져 있으며 첫 번째 질문은 비교적 간단하게 해결할 수 있으나 두 번째 질문에서는 조금 더 복잡한 계산을 수행하도록 하였다. 첫 번째 질문은 직육면체 물체의 일부가 액체 속에 잠겨서 평형을 이룰 때 잠긴 부분의 부피와 액체 위로 떠 있는 부분의 부피의 비를 물체의 밀도와 액체의 밀도를 사용하여 표현하는 것이다. 이 질문은  제시문 [사]의 두 번째 단락에서 설명한 내용을 이용하면 쉽게 해결할 수 있을 것이다. 두 번째 질문은 본질적으로 첫 번째 질문과 같지만 상황을 조금 더 복잡하게 설정하였다. 균질한 구형의 물체 일부가 액체에 잠겼을 때, 구형의 반지름의 반이 액체의 표면 위로 떠 있는 상태에서 평형을 이룰 경우에 구형 물체의 밀도를 액체의 밀도를 이용하여 표현하는 것이다. 이 질문을 해결하기 위해서는 먼저 액체에 잠긴 구형 물체의 부피와 액체의 표면 위로 떠 있는 부분의 부피를 구해야 한다. 즉, 회전체의 부피를 구하는 적분을 수행해야 한다. 두 부분의 부피를 구한 다음에 첫 번째 질문에서 얻은 결과나 제시문 [사]의 두 번째 단락에서 설명한 내용을 활용하면 두 번째 질문을 해결할 수 있을 것이다.

3. 평가 기준

2009학년도 인하대학교 정시 자연계 논술고사에서는 다음의 사항들을 중점적으로 평가할 목적으로 출제하였다.

• 주어진 제시문을 정확하게 이해하고 이를 바탕으로 각 논제에서 요구하는 문제를 파악하는 능력

• 미분, 적분, 극한, 벡터, 부등식, 평면 기하 등의 고교 수학 과정에서 배우는 개념을 정확하게 이해하고 이에 수반되는 계산을 올바르게 수행할 수 있는 능력과 이를 물리, 화학, 생물, 지구과학 등 과학 과목에 활용할 수 있는 능력

• 물리, 화학, 생물, 지구과학 등 과학 과목에서 다루는 최소한의 기본 개념을 이해하고 있는 정도

• 제시문에서 주어진 여러 가지 내용 중에서 논제 해결에 필요한 내용을 선별할 수 있는 능력

• 제시문에서 주어진 내용을 필요에 따라 일부 변형하여 논제 해결에 이용할 수 있는 능력

• 논제에서 요구하는 바를 해결하기 위해 제시문에 주어진 내용을 바탕으로 수식을 세우고 계산을 올바르게 수행하여 원하는 해답을 도출할 수 있는 능력

• 수식이 들어있는 계산 과정이나 증명 과정을 일반 서술문과 함께 올바르게 그리고 논리적으로 기술할 수 있는 능력

• 자신의 견해를 문장으로 올바르게 전개할 수 있는 능력

4. 모범 답안

【논제 1】

(1) [eqn: RCF``(g)```=`1`` TIMES `r`` TIMES ` LEFT ( {RPM} over {1000} RIGHT ) ^{`2} ```]에 주어진 값을 대입하면,

[eqn: 8000```=`1``` TIMES ```100``` TIMES ` LEFT ( {RPM} over {1000} RIGHT ) ^{2} ```]

이것을 분당회전수 RPM에 대해 정리하면,

[eqn: ` LEFT ( {RPM} RIGHT ) ^{2} ```=```80``` times```1000 ^2]  이 되고 [eqn: RPM``=``1000` sqrt {80``}]이 된다.

여기에서 [eqn: 8.9 ```<`` sqrt{80} ```<` 9```]이므로  [eqn: 8900 ```<` 1000` sqrt{80}``` <`` 9000```]이 된다.

원심분리기가 100 단위로 조절 가능하므로, 시료의 침전에 필요한 회전력 8000 g 이상을 얻기 위한 최소 분당회전수는 [eqn: 9000``RPM```]이다.

(2) 먼저 동물시료와 식물시료의 무게가 다르므로 동물시료 2개와 식물시료 3개가 축을 원점으로 하는 서로 다른 두 종류의 벡터라고 가정해야 한다. 먼저 식물시료 3개를 각각 [eqn: F_{1}`,```F_{2}`,```F_{3}``] 라고 하고, 왼쪽 아래의 그림과 같이 세 벡터가 이루는 각이 각각 120도가 되도록 위치시키면, [eqn: F_{1}``+``F_{2}``+``F_{3}```=``F_{1}``+``F_{4}````=``0] 이 되어 균형을 이루게 된다. 나머지 두 개의 동물시료는 축을 중심으로 마주보도록 위치시키면 벡터의 합이 0이 되어 균형을 이룬다. 따라서 두 가지 조건을 동시에 만족하고 시료가 겹치지 않도록 위치시키면 전체적인 벡터의 합이 0이 되어 균형을 이룬다. 예를 들어 그림에서 식물 시료를 1, 5, 9 에 위치시킨 후, 동물시료를 (2,8), (4,10), 또는 (6,12) 에 위치시키면 된다.

식물 시료

동물 시료

동물 시료

동물 시료

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【논제 2】

(1) [eqn: a=0`], [eqn: b=30`], [eqn: L=100`], [eqn: rho ```=` 1000`` kg/m^{3}``], [eqn: g ```=` 9.8`` m/sec^{2}``]이므로 제시문 (라)에서 주어진 공식에 대입하면

[eqn: F``=`` rho `g`` int _{a} ^{b} {} `h`L(h)`d`x````=```9800` int _{0} ^{30} {100``h``d`h} ```=```9.8 TIMES 10 ^{5} ``` TIMES ` LEFT [ {1} over {2} h ^{2} RIGHT ] _{0} ^{30} `]

[eqn: `=``9.8 TIMES 10 ^{5} TIMES 450```=``4.41`` TIMES `10 ^{8} ```(`N``)```]

이 된다.

(2) 깊이 [eqn: y``]에서 단면의 길이가 [eqn: L`(`y`)```=`2`x``=``2`a`` sqrt {1``-` {y ^{2}} over {b ^{2}} `} ``]이므로 제시문 (라)에서 주어진 공식에 대입하면 [eqn: F````=`` int _{0} ^{b} {} `` rho `g``` TIMES 2`a`` sqrt {1``-` {y ^{2}} over {b ^{2}} `} ``y``d`y``]이 된다.  정적분을 계산하기 위해서  [eqn: u``=`` 1``-` {y ^{2}} over {b ^{2}} ``] 이라고 놓으면 [eqn: du``=``-` {2`y} over {b ^{2}} `dy``] 이므로 [eqn: F````=``ab ^{2`} rho `g int _{0} ^{1} {} `` sqrt {`u`} ```d`u`````=```ab ^{2`} rho `g`` LEFT [ ` {2} over {3} ``u ^{{3} over {2}} `` RIGHT ] _{0} ^{1} ```=``` {2`ab ^{2} ``} over {3} rho `g``] 가 된다. 따라서 유조차의 단면이 받는 힘의 크기는 [eqn: F````=`` {2`ab ^{2} ``} over {3} rho `g``]가 된다.

【논제 3】

(1) 물체에 작용하는 중력과 부력이 같아지는 위치에서 균형을 이루게 된다.

중력 [eqn: F _{g}]=[eqn: rho _{1} (V _{i`n} +V _{out} )g],   부력 [eqn: F _{b}]=[eqn: rho _{0} V _{i`n} `g] 이므로,   [eqn: rho _{1} (V _{i`n} +V _{out} )g]=[eqn: rho _{0} V _{i`n} `g] 에서

[eqn: V _{out} = {rho _{0} - rho _{1}} over {rho _{1}} V _{i`n}] 따라서 [eqn: V _{out}]은 [eqn: V _{i`n }]의 [eqn: {rho _{0} - rho _{1}} over {rho _{1}}]배 이다.

(2) [eqn: V _{out}]을 계산하기위해 아래 그림과 같이 좌표를 잡고 정적분을 수행할 수 있다.

부피 [eqn: V _{out}]=[eqn: int _{0} ^{R/2} {pi y ^{2} `dx}]=[eqn: int _{0} ^{R/2} {pi [R ^{2} -(x-R) ^{2} ]`dx}]=[eqn: pi int _{0} ^{R/2} {(-x ^{2} +2Rx)`dx}]=[eqn: {5} over {24} pi R ^{3}] 이므로 [eqn: V _{i`n }]=[eqn: {4} over {3} pi R ^{3}]-[eqn: V _{out}]=[eqn: {27} over {24} pi R ^{3}] 이 된다.

문제(1)의 결과로부터 [eqn: rho _{1} ```=`` {V _{i`n}} over {V _{i`n} +V _{out}}`` rho _{0}``]=[eqn: {27} over {32}`` rho_{0}```]가 된다.

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