2018학년도 수시 논술 모의고사

논술고사 문제지 (자연계열Ⅱ)

□ 유 의 사 항 □

1. 시험 시간은 100분임.

2. 답안은 답안지의 해당 문항 번호에 검은색 펜이나 연필로 작성할 것.

3. 학교명, 성명 등 자신의 신상에 관련된 사항을 답안에는 드러내지 말 것.

4. 연습은 문제지 여백을 이용할 것.

5. 답안지 분량은 문항별 답안 길이에 맞추어져 있으므로, 반드시 해당 문항

답안지에만 작성할 것.

감독확인

소속고교		수험번호		성 명

2018학년도 수시 논술 모의고사                                           자연계열 Ⅱ

이화여자대학교

자연수 [eqn: m]을 2018 이하의 짝수 중에서 선택하고, 자연수 [eqn: n]은 2018 이하의 3의 배수 중에서 선택할 때, 각 [eqn: m,`n]에 대하여 삼차함수가 아래와 같이 주어져 있다.

/4

/3

1

[eqn: f(x)=2x ^{3`} -3(m+n)x ^{2} +6(m ^{2} +n ^{2} -mn)x+1]

이때, [eqn: f` prime (x)=0]이 실근을 갖도록 하는 순서쌍 [eqn: (m,n)]의 개수를 구하시오. [20점]

임의의 양의 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [40점]

2

(1) 정적분의 정의에 의해 다음 부등식이 성립함을 보이시오.

[eqn: 1over{x+1} < int_x^{x+1}`1over{t}`dt< 1over{x}]

(2) 문제 (1)의 부등식을 이용하여 다음 부등식이 성립함을 보이시오.

[eqn: 1over{x+1} < ln left(1+ 1over{x} right) < 1over{x}]

(3) 문제 (2)의 부등식을 이용하여 다음 부등식이 성립함을 보이시오.

[eqn: e^{x over{x+1}} < left(1+ 1overx right)^x <e]

(4) 문제 (2)와 문제 (3)의 부등식을 이용하여 다음 부등식이 성립함을 보이시오.

[eqn: left( 1 + 1overx right)^x < e < left( 1+ 1overx right)^{x+1}]

(5) 문제 (4)의 부등식을 이용하여 [eqn: lim_{x` rarrow infty} left( 1+ 1overx right)^x =e]임을 보이시오.

아래 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: r]인 구에서 윗부분이 [eqn: {r} over {2}]인 위치가 잘린 모양의 그릇에 물이 가득 담겨 있다. 아래 왼쪽 그림과 같이 그릇을 [eqn: theta]의 각도로 기울였을 때, 그릇에 남아 있는 물의 부피를 [eqn: V( theta )]라고 하자. 다음 물음에 답하시오.

3

[40점]

(1) 그릇에 남아 있는 물의 부피 [eqn: V( theta )]를 [eqn: r]과 [eqn: theta]의 식으로 나타내시오.

(2) 그릇에서 쏟아진 물의 부피 [eqn: W( theta )]의 변화율 [eqn: {dW} over {d theta }]가 최대가 되는 [eqn: theta]를 구하고, 이때까지 쏟아진 물의 부피를 구하시오.