자연계열(오후, 의학과 제외)

2019학년도 논술고사

자연계열

(오후, 의학과 제외)

모범답안

2019학년도 아주대학교 논술고사 모범답안(자연계열(오후, 의학과 제외))

	2019학년도 자연계열(오후) 모범답안	자연계열(오후) (의학과 제외)

[문제 1-1]

(1) [eqn: y'=3x ^{2} -12x+9=3(x-1)(x-3)]이므로 [eqn: x=1]에서 극대이고, [eqn: x=3]에서 극소이다. 그러므로 [eqn: A`(1,`5)], [eqn: B(3,`1)]이고, 따라서 중점의 좌표는 [eqn: (2,3)]이다.

(2) [eqn: y''`=`6x-12=0]의 근은 [eqn: x=2]이므로 변곡점의 좌표는 [eqn: (2,3)]이다.

[문제 1-2]

(1) 방정식 [eqn: y= x^3 - 6 x^2 + 9 x + 1]에서 [eqn: y-3 `= (x-2)^3 - 3 (x-2)]이므로, [eqn: x]축으로 [eqn: K=-2]만큼 [eqn: y]축으로 [eqn: L=-3]만큼 평행이동하면 [eqn: y = x^3 - 3x]를 얻을 수 있다.

따라서 [eqn: B= -3], [eqn: K=-2], [eqn: L=-3]

(2) [eqn: y=ax^3 + bx^2 + cx + d]를 적절히 변형하면

[eqn: y`=`ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d`# ````=`a(x+ {b} over {3a} ) ^{3} +(c- {b ^{2}} over {3a} )x+d- {b ^{3}} over {27a ^{2}}# `````=`a(x+ {b} over {3a} ) ^{3} +(c- {b ^{2}} over {3a} )(x+ {b} over {3a} )+d`- {bc} over {3a} + {2b ^{3}} over {27a ^{2}}]

이므로, [eqn: x]축으로 [eqn: b over 3a], [eqn: y]축으로 [eqn: -d + bc over 3a - {2b^3} over {27a^2}]만큼 평행이동 하면 [eqn: y = a x^3 + left(c- {b^2} over {3a}right)x]를 얻을 수 있다.

따라서 [eqn: B= c - b^2 over 3a], [eqn: K= {b} over {3a}], [eqn: L`=` - d + {bc} over {3a} - {2b ^{3}} over {27a ^{2}}]이다.

[문제 1-3]

(1) 삼차곡선을 평행이동 하더라도 변곡점의 상대적 위치는 변하지 않으므로 [문제 1-2 (2)]에 의하여 삼차함수가 [eqn: f(x)`=`ax ^{3} +Bx]라고 가정해도 된다. 이때 [eqn: f(x)]의 변곡점은 [eqn: rm I(0,0)]이다. 따라서 변곡점을 지나는 직선의 방정식을 [eqn: y`=`kx]라고 할 수 있다.

방정식 [eqn: ax ^{3} +Bx`=`kx]를 풀면 [eqn: x`=`- sqrt {{k-B} over {a}}], [eqn: x=0], [eqn: x`=` sqrt {{k-B} over {a}}]이므로, [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: ` LEFT ( - sqrt {{k-B} over {a}} ,`-k sqrt {{k-B} over {a}} RIGHT )], [eqn: rm Q]의 좌표는 [eqn: ` LEFT ( sqrt {{k-B} over {a}} ,`k sqrt {{k-B} over {a}} RIGHT )]이다. 따라서 [eqn: rm overline{PQ}]의 중점은 [eqn: (0,0)]이고 이는 [eqn: rm I]와 같다.

(2) 선분 [eqn: rm {bar{P`I```}}]와 곡선 [eqn: y=f(x)]로 둘러싸인 부분의 면적을 [eqn: S],  선분 [eqn: rm {bar{I`Q`}}]와 곡선 [eqn: y=f(x)]로 둘러싸인 부분의 면적을 [eqn: T]라 하자. 그러면

[eqn: S = int _{- sqrt {{k-B} over {a}}} ^{0} {(ax ^{3} +Bx-kx)dx}],  [eqn: T=int _{0} ^{sqrt {{k-B} over {a}}} {(kx-ax ^{3} -Bx)dx}]

이다. 한편 [eqn: S= int _{- sqrt {{k-B} over {a}}} ^{0} {(ax ^{3} +Bx-kx)dx}]에서 [eqn: x = -t]로 치환하면, [eqn: dx over dt = -1]이므로

[eqn: S= int _{- sqrt {{k-B} over {a}}} ^{0} {(ax ^{3} +Bx-kx)dx} = int _0^{sqrt {{k-B} over {a}}} {(at ^{3} +Bt-kt)dt} =T]

[문제 2-1]

⒜ [eqn: VecB]에서 [eqn: m]개의 점을 선택하여 각각 [eqn: VecA]와 짝짓는 경우의 수이므로 일렬로 나열하는 경우의 수와 같다. 따라서 전체 경우의 수는 [eqn: `_n {rm P}_m = {n!} over{(n-m)!} = n (n-1) cdots (n-m+1)]

⒝ [eqn: VecB]에서 [eqn: m]개의 점을 선택하면 교점이 생기지 않는 경우는 한 가지 경우 뿐 이다.  따라서 전체 경우의 수는 [eqn: `_n {rm C}_m = {n!} over{(n-m)!m!}]이다.

[문제 2-2]

(1) 어느 세 선분도 한 점에서 만나지 않으므로 문제의 조건을 만족하는 짝짓기의 개수는 [eqn: VecB]에서 [eqn: 4]개를 선택하여 이웃한 두 점의 위치를 한 번 바꾸어 [eqn: VecA]의 네 점과 차례대로 연결하는 개수와 같다. 각 [eqn: 4]개의 점에서 이웃한 점을 선택하는 경우의 수는 [eqn: 3]이므로 모두 [eqn: 3 times `_8 rm{C}_4 = 210]가지.

(2) 등차수열의 공차를 [eqn: d]라 하자. 한 점에서 만나는 선분이 연결된 [eqn: VecA]의 점들은 서로 인접해 있어야 한다. 세 점 이상이 한 점에서 만난다고 했으므로 [eqn: VecA]에서 인접한 [eqn: k]([eqn: ge 3])개의 점을 먼저 선택하여 각 경우의 개수를 구하는 방법으로 경우의 수를 구할 수 있다. 이때 이 [eqn: k]개의 점과 연결된 [eqn: VecB]의 점들은 같은 간격으로 구성되어야 한다.

[eqn: k=4]:

- [eqn: ell=1]인 경우 : [eqn: VecB]에서 간격이 [eqn: 1]인 경우는 [eqn: left{{rmB}_1 , ldots, {rmB}`_4 right}], [eqn: ldots] , [eqn: left{{rmB}_5 , ldots, {rmB}`_8 right}]로 모두 [eqn: 5]개.

- [eqn: ell=2]인 경우 : [eqn: VecB]에서 간격이 [eqn: 2]인 경우는 [eqn: left{{rmB}_1 , {rmB}_3 , {rmB}_5 , `{rmB}_7 right}], [eqn: left{{rmB}_2 , {rmB}_4 , {rmB}_6 , {rmB}_8 right}]로 모두 [eqn: 2]개.

- [eqn: ell ge3]인 경우 : [eqn: VecB]에서 간격이 [eqn: ell]인 경우는 존재하지 않는다.

따라서 모두 7개.

[eqn: k=3]: [eqn: VecA]에서 인접하게 3개를 선택하는 경우는 [eqn: left{rm A_1 , rmA_2 , rmA_3 right}]와 [eqn: left{rmA_2 , rmA_3 , rmA_4 right}] 뿐이다.

먼저 [eqn: left{rm A_1 , rmA_2 , rmA_3 right}] 경우를 생각하자. [eqn: rmA_4]와 연결되는 [eqn: VecB]의 점이 있어야 하므로 [eqn: left{rmB_1 , `ldots `, `rmB_7 right}]에서 같은 간격이 되도록 [eqn: 3]개의 점을 선택한다. 그리고 [eqn: rmA_4]와 연결되는 점을 하나 선택하면 된다.

- [eqn: left{{rmB}_1 , {rmB}_2 , {rmB}_3 right}]일 때 [eqn: rmA_4]와 연결되는 점은 [eqn: rmB_4]에서 [eqn: rmB_8]까지에서 선택되어야 하므로 [eqn: 5]가지

- 같은 방식으로 [eqn: left{{rmB}_2 ,` {rmB}_3 ,` {rmB}_4 right}]부터 [eqn: left{{rmB}_5, `{rmB}_6 , `{rmB}_7 right}]에서의 경우의 수는 각각 [eqn: 4], [eqn: 3], [eqn: 2], [eqn: 1]가지

- [eqn: left{{rmB}_1 , {rmB}_3 , {rmB}_5 right}]일 때 [eqn: rmA_4]와 연결되는 점은 [eqn: rmB_6]에서 [eqn: rmB_8]까지에서 선택되어야 하므로 [eqn: 3]가지

- 같은 방식으로 [eqn: left{{rmB}_2 , `{rmB}_4 , `{rmB}_6 right}], [eqn: left{{rmB}_3 , `{rmB}_5 , `{rmB}_7 right}]의 경우의 수는 각각 [eqn: 2], [eqn: 1]가지.

- [eqn: left{{rmB}_1 , {rmB}_4 , {rmB}_7 right}]일 때 [eqn: rmA_4]와 연결될 수 있는 점은 [eqn: rmB_8] 뿐이므로 [eqn: 1]가지

따라서 합의법칙에 의하여 모두 [eqn: 22]가지 경우가 있다.

한편 [eqn: left{rmA_2 , rmA_3 , rmA_4 right}]의 경우는 [eqn: left{rm A_1 , rmA_2 , rmA_3 right}] 경우와 대칭적이므로 역시 [eqn: 22]가지 경우가 있다.

따라서 모두 [eqn: 44]개.

위 두 경우를 종합하면 문제의 조건을 만족하는 짝짓기의 개수는 [eqn: 7 + 44 = 51](개)다.

[문제 2-3]

(1) 선분의 길이가 [eqn: 1]이 되기 위해서는 [eqn: i=1, ldots, 5]에 대하여 [eqn: {rm A}_i]와 [eqn: {rm B}_i]가 연결되어야 한다.

선분 [eqn: overline{{rmA}_i {rmB}_i]을 포함한 짝짓기의 개수를 구해보면 모두 [eqn: 4!](개)로 일정하므로 따라서 길이가 [eqn: 1]인 선분의 개수는 [eqn: 5 times 4! = 120](개)이다.

(2) 점의 좌표 및 등차수열의 일반항을 이용하여 [eqn: VecA]와 [eqn: VecB]의 점 사이의 거리를 구해보면 생길 수 있는 선분의 길이의 종류는 [eqn: 1], [eqn: sqrt{1+d^2}], [eqn: sqrt{1 + 4d^2}], [eqn: sqrt{1 + 9d^2}], [eqn: sqrt{1 + 16d^2}]이다.

(1)과 같은 방법으로 각 선분의 개수를 구해보면 다음과 같다.

- 선분의 길이가 [eqn: 1]인 경우 : [eqn: 5 times 4!] (개)

- 선분의 길이가 [eqn: sqrt{1+d^2}]인 경우 : [eqn: 4 times 2 times 4!]

- 선분의 길이가 [eqn: sqrt{1 + 4d^2}]인 경우 : [eqn: 3 times 2 times 4!]

- 선분의 길이가 [eqn: sqrt{1 + 9d^2}]인 경우 : [eqn: 2 times 2 times 4!]

- 선분의 길이가 [eqn: sqrt{1 + 16d^2}]인 경우 : [eqn: 1 times 2 times 4!]

따라서 [eqn: L`=`4! times {(5+8 sqrt {1+d ^{2}} +6 sqrt {1+4d ^{2}} +4 sqrt {1+9d ^{2}} +2 sqrt {1+16d} )}]이므로,

[eqn: lim_{d->inf} {L over d} &= 4! times {( 5 + 8 sqrt{1 + d^2} + 6 sqrt{1+4d^2} + 4 sqrt{1+9d^2} + 2 sqrt{1+16d})} over d =960]