자연계열(오후, 의학과 제외)

2019학년도 논술고사

자연계열

(오후, 의학과 제외)

성 명
전 형
수험번호

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2019학년도 아주대학교 논술고사(자연계열(오후, 의학과 제외))

[문항 1] (50점) 다음 제시문을 읽고 논제에 답하라.

	2019학년도 자연계열(오후) 논술고사	자연계열(오후) (의학과 제외)

(가) 삼차함수 [eqn: f(x)`=`ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d] [eqn: (a>0)]의 도함수 [eqn: f'(x)]는 이차함수이다. 이차방정식 [eqn: f'(x)`=`0]이 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha ,``` beta] [eqn: ( alpha < beta )]를 가질 때, 삼차함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x= alpha]일 때 극댓값 [eqn: f( alpha )], [eqn: x= beta]일 때 극솟값 [eqn: f( beta )]를 갖는다. 삼차함수의 그래프를 삼차곡선이라 부른다.

한편 방정식 [eqn: f'(x)`=`0]이 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha ,``` beta] [eqn: ( alpha < beta )]를 가지므로 일차방정식 [eqn: f''(x)=0]은 [eqn: alpha]와 [eqn: beta] 사이에서 근 [eqn: gamma]를 갖는다. 삼차곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: {rm I}`( gamma ,`f( gamma ))]를 이 곡선의 변곡점이라 한다.

(나) 방정식 [eqn: g(x,y)`=`0]이 나타내는 도형을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: K]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: L]만큼 평행이동한 도형의 방정식은 [eqn: g(x-K,`y-L)`=0]이다. 예를 들면, [eqn: a != 0]일 때 방정식 [eqn: y=ax ^{2} +bx`+`c]가 나타내는 포물선을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: {b} over {2a}]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: {b ^{2} - 4ac} over {4a}]만큼 평행이동한 포물선의 방정식은 [eqn: y=ax ^{2}]이다.

[문제 1-1] (15점) 제시문 (가)에서 [eqn: f(x)=x ^{3} -6x ^{2} +9x+1]이라 할 때 다음 문제에 답하라.

(1) 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x= alpha]에서 극댓값, [eqn: x= beta]에서 극솟값을 가질 때, 두 점 [eqn: {rm A}( alpha ,f( alpha ))]와 [eqn: {rm B}( beta ,`f( beta ))]의 좌표를 각각 구하라. 또한 선분 [eqn: rm {bar{AB}}]의 중점의 좌표를 구하라.

(2) 삼차곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점 [eqn: rm I]의 좌표를 구하라.

[문제 1-2] (20점) 제시문 (나)를 참조하여 다음 문제에 답하라.

(1) 곡선 [eqn: y=x ^{3} -6x ^{2} +9x+1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: K]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: L]만큼 평행이동한 곡선의 방정식이 [eqn: y=x^3 + Bx] 꼴로 나타날 때 상수 [eqn: B], [eqn: K], [eqn: L]을 구하라.

(2) 곡선 [eqn: y=`ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d] ([eqn: a != 0])을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: K]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: L]만큼 평행이동한 곡선의 방정식이 [eqn: y`=`ax ^{3} `+`Bx] 꼴로 나타날 때 [eqn: B], [eqn: K], [eqn: L]을 각각 [eqn: a,`b,`c,`d]에 관한 식으로 나타내라.

[문제 1-3] (15점) 삼차함수 [eqn: f(x)`=`ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d] ([eqn: a>0])의 도함수가 서로 다른 실근을 갖는다. 삼차곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점 [eqn: rm I`]를 지나는 직선이 [그림 1-1]과 같이 세 점 [eqn: rm P], [eqn: rm I`], [eqn: rm Q]에서 곡선과 만난다고 하자. 제시문 (가)와 [문제 1-2]를 참조하여 다음 문제에 답하라.

[그림 1-1]

(1) 선분 [eqn: rm {bar{PQ`}}]의 중점이 [eqn: rm I]임을 보여라.

(2) 선분 [eqn: rm {bar{P I```}}]와 곡선 [eqn: y=f(x)]로 둘러싸인 부분의 넓이는 선분 [eqn: rm {bar{I`Q`}}]와 곡선 [eqn: y=f(x)]로 둘러싸인 부분의 넓이와 같음을 보여라.

[문항 2] (50점) 다음 제시문을 읽고 논제에 답하라.

(가) 두 개의 자연수 [eqn: m], [eqn: n] ([eqn: 2 le m leq n]) 과 수열 [eqn: left{ c_k right}]가 주어져 있다. 좌표평면에서 [eqn: y]축 위의 [eqn: m]개의 점 [eqn: {rmA}_i (0, c_i )] ([eqn: i=1,`2,`ldots`,` m]) 으로 이루어진 집합 [eqn: VecA = left{ {rm A}_1 ,` {rm A}_2 ,` ldots `,` {rm A}_m right}]과 직선 [eqn: x=1] 위의 [eqn: n]개의 점 [eqn: {rm B}_j (1, c_j )] ([eqn: j=1,`2,`ldots`,` n]) 으로 이루어진 집합 [eqn: VecB = left{ {rm B}_1 , `{rm B}_2 ,` ldots` ,` {rm B}_n right}]을 생각하자. 집합 [eqn: VecA]의 각 원소를 집합 [eqn: VecB]의 서로 다른 원소와 짝지어 선분으로 연결한 것을 ‘짝짓기’라 부르자. 두 자연수 [eqn: m leq n]에 대하여 가능한 짝짓기의 총 개수는 [eqn: box {~~~~⒜~~~~}]이다.

예를 들어 [eqn: m=2], [eqn: n=3]일 때 가능한 짝짓기의 경우는 다음 [eqn: 6]가지가 있다.

[그림 2-1]

각각의 짝짓기에는 정확히 [eqn: m]개의 선분이 있고, 두 개 이상의 선분이 만나 교점이 생길 수 있다. 짝짓기가 가질 수 있는 교점 개수의 최솟값은 [eqn: 0]이다. 모든 짝짓기 중에서 교점이 없는 짝짓기의 개수는 [eqn: box {~~~~⒝~~~~}]이다.

(나) 짝짓기에서 [그림 2-2]와 같이 세 개 이상의 선분이 한 개의 교점에서 만날 수도 있다. [eqn: y]축 위의 세 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R]와 직선 [eqn: x=1] 위의 세 점 [eqn: rm X], [eqn: rm Y], [eqn: rm Z]가 있을 때, 세 선분 [eqn: rm overline{PZ}], [eqn: rm overline{QY}], [eqn: rm overline{RX}]가 한 점에서 만나기 위한 필요충분조건은 [eqn: rm overline{PQ}: overline{YZ} = rm overline{QR} : overline{XY}]가 성립하는 것이다.

[그림 2-2]

[문제 2-1] (10점) 제시문 (가)의 ⒜, ⒝에 들어갈 식을 각각 [eqn: m]과 [eqn: n]으로 나타내라.

[문제 2-2] (20점) 제시문 (가)에서 [eqn: m=4], [eqn: n=8]이고, 공차가 양수인 등차수열 [eqn: left{c_k right}]에 대해서

[eqn: VecA = left{ {rm A}_1 (0, c_1 ), ` ldots`,` {rm A}_4 (0, c_4 ) right}], [eqn: VecB = left{ {rm B}_1 (1, c_1 ), `{rm B}_2 (1, c_2 ), `ldots`, `{rm B}_8 (1, c_8 ) right}]

이라 하자. 제시문 (나)를 참조하여 다음 문제에 답하라.

(1) 교점의 개수가 정확히 한 개이고 어느 세 선분도 한 점에서 만나지 않는 짝짓기의 개수를 구하라.

(2) 교점의 개수가 정확히 한 개이고, 그 점에서 세 개 이상의 선분이 만나는 짝짓기의 개수를 구하라.

[문제 2-3] (20점) 제시문 (가)에서 [eqn: m=n=5]이고, 공차가 양수 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: left{c_k right}]에 대해서

[eqn: VecA = left{ {rm A}_1 (0, c_1 ), `{rm A}_2 (0, c_2 ),`ldots`, `{rm A}_5 (0, c_5 ) right}], [eqn: VecB = left{ {rm B}_1 (1, c_1 ), `{rm B}_2 (1, c_2 ), `ldots `,`{rm B}_5 (1, c_5 ) right}]

라 하자. 이 때 가능한 모든 짝짓기에서 나오는 선분의 총 개수는 [eqn: 5! times 5 = 600]이다.

(1) [eqn: 600]개의 모든 선분 중에서 길이가 [eqn: 1]인 선분의 개수를 구하라.

(2) [eqn: 600]개의 모든 선분의 길이의 합 [eqn: L]을 [eqn: d]에 관해 표현하고 [eqn: lim_{d->inf} {L over d}]의 값을 구하라.