자연계열(오전)

2019학년도 논술고사

자연계열(오전)

모범답안

2019학년도 아주대학교 논술고사 모범답안(자연계열(오전))

	2019학년도 자연계열(오전) 모범답안	자연계열 (오전)

[문제 1-1]

(1)

[eqn: 800=12 TIMES 2 ^{6} +2 ^{5}]

이므로 [eqn: 800]은 [eqn: 2^6]으로 나누면 나머지가 [eqn: 2 ^{5}]이다. 따라서 번호가 [eqn: 800]인 공은 [eqn: 6]단계에서 색칠되고, 노란색이다.

(2) 각 단계마다 색칠되는 공의 수는 남아있는 흰색 공의 개수의 절반이므로, 흰색이 아닌 공의 개수는, 등비수열의 합의 공식을 이용하여,

[eqn: 2 ^{N-1} +2 ^{N-2} `+` CDOTS `+`2`+`1`=` {2 ^{N} -1} over {2-1} `=`2 ^{N} -1]

이다. 따라서 흰색 공의 개수는 [eqn: 2 ^{N} -(2 ^{N} `-1)`=`1]이다.

(3) [eqn: N`=`20]이면 빨간색 공의 개수는 등비수열의 합의 공식을 이용하여 구할 수 있고,

[eqn: 2 ^{19} `+`2 ^{17} +` CDOTS `+`2 ^{3} +2`=` {2(4 ^{10} -1)} over {4-1} `= {2 ^{21} -2} over {3} =699050]

이다. 마찬가지로 [eqn: N=21]이면 빨간색 공의 개수는

[eqn: 2 ^{20} `+`2 ^{18} +` CDOTS `+`2 ^{2} +1`=` {4 ^{11} -1} over {4-1} `= {2 ^{22} -1} over {3} =1398101]

이다.

[문제 1-2]

(1) 만약 [eqn: N]이 홀수이면 등비수열의 합의 공식을 사용하여

[eqn: Y`=3 ^{N-1} +`2 TIMES 3 ^{N-2} +3 ^{N-3} +2 TIMES 3 ^{N-4} +` CDOTS `+`3 ^{2} +2 TIMES 3+1]

이다.

만약 [eqn: N]이 짝수이면등비수열의 합의 공식을 사용하여

[eqn: Y`=3 ^{N-1} +2 TIMES 3 ^{N-2} +3 ^{N-3} +2 TIMES 3 ^{N-4} +` CDOTS `+`3`+`2 TIMES 1]

이다.

(2) 위의 결과를 이용하여 [eqn: N`=`2m+1]이 홀수이면

[eqn: Y`=`[3 ^{2m} +3 ^{2m-2} +` CDOTS `+`3+1]`+`2 TIMES [3 ^{2m-1} +3 ^{2m-3} +` CDOTS `+`3]# ```````=` {9 ^{m+1} -1} over {9-1} `+` {6(9 ^{m} -1)} over {9-1} `=` {5 TIMES 3 ^{N} -7} over {8}]

이므로

[eqn: {Y(N)} over {3 ^{N}} =` {5} over {8} - {7} over {8 TIMES 3 ^{N}}]

을 얻는다. [eqn: N`=`2m]이 짝수이면

[eqn: Y`=`[3 ^{2m-1} +3 ^{2m-3} +` CDOTS `+`3]`+`2 TIMES [3 ^{2m-2} +3 ^{2m-4} +` CDOTS `+`1]# ```````=` {3(9 ^{m} -1)} over {9-1} `+` {2(9 ^{m} -1)} over {9-1} `= {5 TIMES 3 ^{N} -5} over {8}]

이므로

[eqn: {Y(N)} over {3 ^{N}} =` {5} over {8} - {5} over {8 TIMES 3 ^{N}}]

이다. 따라서 [eqn: {Y(N)} over {3 ^{N}}]의 극한값은 [eqn: {5} over {8}]이다.

[문제 2-1]

(1) [eqn: S]의 넓이는

[eqn: int _{cos` theta } ^{cot` theta } {{1} over {x ^{3}}} dx= LEFT [ - {1} over {2x ^{2}} RIGHT ] _{cos` theta }^{cot` theta } =`- {1} over {2`cot ^{2} theta } + {1} over {2cos ^{2} theta } = {1} over {2} (sec ^{2} theta -tan ^{2} theta )]

이다. 삼각함수 공식에 의해 이것은 [eqn: {1} over {2}]이므로 [eqn: theta]에 관계없이 일정하다.

(2)  [eqn: cos {pi } over {3} = {1} over {2}], [eqn: cot pi over 3 = 1 over sqrt{3}] 이므로, [eqn: S]의 넓이는

[eqn: int _{1/2} ^{1/ sqrt {3}} {(1-x)e ^{-x}} dx= LEFT [ -(1-x)e ^{-x} RIGHT ] _{1/2}^{1/ sqrt {3}} - int _{1/2} ^{1/ sqrt {3}} {} e ^{-x} dx= {1} over {sqrt {3}} e ^{-1/ sqrt {3}} - {1} over {2} e ^{-1/2}]

[문제 2-2]

(1) [eqn: f(x)]가 감소함수이므로 [eqn: S]의 넓이는 밑변의 길이를 [eqn: L], 높이를 [eqn: f(a)]로 하는 사각형의 넓이보다 작고 밑변의 길이를 [eqn: L], 높이를 [eqn: f(b)]로 하는 사각형의 넓이보다는 크다. 따라서 부등식 [eqn: (ast)]가 성립한다.

(2) 도함수 [eqn: f'(x)= 1 - x - 1 over{1+x} = - x^2 over{1+x} < 0]이므로, 구간 [eqn: (0,1)]에서 감소하는 함수이다.

(3) 문제 (2)로부터 [eqn: f(x)`=`2+x- {x ^{2}} over {2} -ln(1+x)]는 [eqn: (0,1]]에서 감소하는 함수이므로 제시문 (나)의 부등식 [eqn: (ast)]가 성립하여

[eqn: f(b)` LEQ {T} over {L} LEQ f(a)]

가 얻는다. [eqn: theta -> pi over 2 -]일 때 [eqn: a -> 0+], [eqn: b -> 0+]가 성립하므로, 함수의 극한의 대소 관계에 의하여

[eqn: lim _{theta -> {pi } over {2} -} {{T} over {L} =} lim _{x-> 0+} {f(x)=} lim _{x -> 0+} {(2+x- {x ^{2}} over {2} -ln(1+x))} =2]

이므로, [eqn: lim_{theta -> { pi over 2 -}} {T} over {L} = 2]이다.

[문제 2-3]

함수 [eqn: f(x)]가 연속이므로 최대·최소 정리에 의해서 구간 [eqn: [cos theta, cot theta]]에서 최댓값 [eqn: M]과 최솟값 [eqn: m]을 가진다. 따라서 [eqn: S]의 넓이를 생각하면

[eqn: m L le T le ML],

또는

[eqn: m le T over L le M]

이 성립한다. 한편 [eqn: theta -> pi over 2 -]일 때 [eqn: x ->0+]이므로 [eqn: lim _{theta -> {pi } over {2} -} {} m= lim _{theta -> {pi } over {2} -} {} M= lim _{x -> 0+} {} f(x)`=f(0)]가 성립한다. 따라서 [eqn: lim _{theta -> {pi } over {2} -} {} {T} over {L} =f(0)=2] 이다.