자연계열(오전)

2019학년도 논술고사

자연계열(오전)

성 명
전 형
수험번호

표지를 제외한 페이지 수 : 4

2019학년도 아주대학교 논술고사(자연계열(오전))

[문항 1] (50점) 다음 제시문을 읽고 논제에 답하라.

	2019학년도 자연계열(오전) 논술고사	자연계열 (오전)

(가) 자연수 [eqn: N]에 대하여 [eqn: 1]부터 [eqn: 2 ^{N}]까지 번호를 갖는 [eqn: 2^N]개의 흰색 공이 있다. 아래 규칙에 따라 [eqn: N]단계까지 공을 색칠하자.

- 1단계: 번호가 홀수인 공을 모두 빨간색으로 칠한다.

- 2단계: 번호가 [eqn: 2 ^{2}]로 나누어 나머지가 [eqn: 2]인 공을 모두 노란색으로 칠한다.

- [eqn: k]단계 ([eqn: 3` LEQ `k` LEQ `N`]): [eqn: k]가 홀수이면 번호가 [eqn: 2 ^{k}]으로 나누어 나머지가 [eqn: 2 ^{k-1}]인 공을 모두 빨간색으로 칠하고, [eqn: k]가 짝수이면 번호가 [eqn: 2 ^{k}]으로 나누어 나머지가 [eqn: 2 ^{k-1}]인 공을 모두 노란색으로 칠한다.

[그림 1-1] [eqn: N ge 5]일 때 4단계까지의 작업 (○은 흰색 공, Ⓡ는 빨간색 공, Ⓨ는 노란색 공)

공번호	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	[eqn: cdots]
1단계	Ⓡ	○	Ⓡ	○	Ⓡ	○	Ⓡ	○	Ⓡ	○	Ⓡ	○	Ⓡ	○	Ⓡ	○	Ⓡ	○	Ⓡ	○	[eqn: cdots]
2단계	Ⓡ	Ⓨ	Ⓡ	○	Ⓡ	Ⓨ	Ⓡ	○	Ⓡ	Ⓨ	Ⓡ	○	Ⓡ	Ⓨ	Ⓡ	○	Ⓡ	Ⓨ	Ⓡ	○	[eqn: cdots]
3단계	Ⓡ	Ⓨ	Ⓡ	Ⓡ	Ⓡ	Ⓨ	Ⓡ	○	Ⓡ	Ⓨ	Ⓡ	Ⓡ	Ⓡ	Ⓨ	Ⓡ	○	Ⓡ	Ⓨ	Ⓡ	Ⓡ	[eqn: cdots]
4단계	Ⓡ	Ⓨ	Ⓡ	Ⓡ	Ⓡ	Ⓨ	Ⓡ	Ⓨ	Ⓡ	Ⓨ	Ⓡ	Ⓡ	Ⓡ	Ⓨ	Ⓡ	○	Ⓡ	Ⓨ	Ⓡ	Ⓡ	[eqn: cdots]

(나) 자연수 [eqn: N]에 대하여 [eqn: 1]부터 [eqn: 3^N]까지 번호를 갖는 [eqn: 3^N]개의 흰색 공이 있다. 아래 규칙에 따라 [eqn: N]단계까지 공을 색칠하자.

- 1단계: 번호가 [eqn: 3]으로 나누어 나머지가 [eqn: 1]인 공을 모두 노란색으로 칠한다.

- 2단계: 번호가 [eqn: 3 ^{2}]으로 나누어 나머지가 [eqn: 2] 또는 [eqn: 3]인 공을 모두 노란색으로 칠한다.

- [eqn: k]단계 ([eqn: 3` LEQ `k` LEQ `N]): [eqn: k]가 홀수이면 번호가 [eqn: 3 ^{k}]으로 나누어 나머지가 [eqn: 3^k-1]인 공을 모두 노란색으로 칠하고, [eqn: k]가 짝수이면 번호가 [eqn: 3^k]으로 나누어 나머지가 [eqn: 3^k-1 - 1] 또는 [eqn: 3^k-1]인 공을 모두 노란색으로 칠한다.

[그림 1-2] [eqn: N` GEQ 3]일 때 3단계까지의 작업 (○은 흰색 공, Ⓨ은 노란색 공)

공번호	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	[eqn: cdots]
1단계	Ⓨ	○	○	Ⓨ	○	○	Ⓨ	○	○	Ⓨ	○	○	Ⓨ	○	○	Ⓨ	○	○	Ⓨ	○	[eqn: cdots]
2단계	Ⓨ	Ⓨ	Ⓨ	Ⓨ	○	○	Ⓨ	○	○	Ⓨ	Ⓨ	Ⓨ	Ⓨ	○	○	Ⓨ	○	○	Ⓨ	Ⓨ	[eqn: cdots]
3단계	Ⓨ	Ⓨ	Ⓨ	Ⓨ	○	○	Ⓨ	○	Ⓨ	Ⓨ	Ⓨ	Ⓨ	Ⓨ	○	○	Ⓨ	○	○	Ⓨ	Ⓨ	[eqn: cdots]

[문제 1-1] (30점) 제시문 (가)와 같이 [eqn: N]단계까지 공을 색칠했을 때 다음 문제에 답하라.

(1) [eqn: N` GEQ `10]일 때 번호가 [eqn: 800]인 공은 몇 번째 단계에서 색칠이 되는지 구하라. 또한 빨간색인지 노란색인지 답하라.

(2) 전체 공들 중에서 색칠되지 않고 남아있는 흰색 공의 개수를 구하라.

(3) [eqn: N=20]일 때 빨간색 공의 개수와 [eqn: N=21]일 때 빨간색 공의 개수를 각각 구하라.

[문제 1-2] (20점) 제시문 (나)와 같이 [eqn: N]단계까지 공을 색칠했을 때 다음 문제에 답하라.

(1) 전체 공들 중에서 노란색 공의 개수를 [eqn: Y]라 할 때, [eqn: Y]를 [eqn: N]에 관한 식으로 나타내라.

(2) (1)의 결과를 이용하여, 극한 [eqn: lim _{N` -> ` INF } {{Y} over {3 ^{N}}}]가 존재하면 그 값을 구하라.

[문항 2] (50점) 다음 제시문을 읽고 논제에 답하라.

(가) [그림 2-1]과 같이 원점을 중심으로 하는 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원과 원점을 지나고 [eqn: x]축과 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]라디안인 직선 [eqn: l]을 생각하자. (단, [eqn: pi over 4 le theta < pi over 2]) 직선 [eqn: l]이 제1사분면에서 원과 만나는 점을 [eqn: rm A], 점 [eqn: (0,1)]을 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선과 만나는 점을 [eqn: rm B]라 하자. 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: 0 < x le 1]에서 [eqn: f(x)ge 0]인 연속함수이다. 점 [eqn: rm A]를 지나고 [eqn: y]축에 평행인 직선, 점 [eqn: rm B]를 지나고 [eqn: y]축에 평행인 직선, [eqn: x]축, 그리고 곡선 [eqn: y=f(x)]로 둘러싸인 도형을 [eqn: S]라 하자.

[그림 2-1]

(나) 제시문 (가)에서 점 [eqn: rm A]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a], 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: b]라 하고 도형 [eqn: S]의 넓이를 [eqn: T], 밑변의 길이를 [eqn: L = b - a]라 하자. 만일 [eqn: f(x)]가 구간 [eqn: (0,1]]에서 감소하고 [eqn: f(x) ge 0]인 연속함수이면

	[eqn: f(b) cdot L leq T leq f(a) cdot L]	[eqn: (ast)]

이 성립한다. [eqn: theta]가 [eqn: pi over 2]보다 작으면서 [eqn: pi over 2]에 한없이 가까워지면 [eqn: a]와 [eqn: b]는 [eqn: 0]보다 크면서 [eqn: 0]에 한없이 가까워진다. 따라서 극한값 [eqn: lim_{x rarrow0+} f(x)]가 존재하면 부등식 [eqn: (ast)]에 의해 극한값 [eqn: lim_{theta -> { pi over 2 -}} {T} over {L}]도 존재한다.

(다) 닫힌 구간 [eqn: [a,b]]에서 정의된 연속함수 [eqn: g(x)]는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다. 이를 최대·최소 정리라고 한다.

[문제 2-1] (15점) 제시문 (가)를 참조하여 다음 문제에 답하라.

(1) [eqn: f(x)= 1 over x^3]일 때, 도형 [eqn: S]의 넓이가 [eqn: theta]에 관계없이 일정함을 보여라.

(2) [eqn: f(x)=(1-x)e^-x]이고 [eqn: theta = pi over 3]일 때, 도형 [eqn: S]의 넓이를 구하라.

[문제 2-2] (23점) 제시문 (가)와 (나)를 참조하여 다음 문제에 답하라.

(1) 제시문 (나)의 부등식 [eqn: (ast)]가 성립하는 이유를 도형의 넓이를 이용하여 설명하라.

(2) 함수 [eqn: f(x)=2+x-x^2 over 2 - ln(1+x)]가 열린 구간 [eqn: (0,1)]에서 감소함을 보여라.

(3) (2)의 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 극한값 [eqn: lim_{theta -> { pi over 2 -}} {T} over {L}]를 구하라.

[문제 2-3] (12점) 제시문 (가)의 함수 [eqn: f(x)]가 닫힌 구간 [eqn: [0,1]]에서 [eqn: f(x) ge 0]이고 [eqn: f(0)=2]인 연속함수라 하자. 이 때 도형 [eqn: S]의 밑변의 길이를 [eqn: L], 넓이를 [eqn: T]라 하자. 제시문 (다)를 참조하여 극한값 [eqn: lim_{theta -> { pi over 2 }-} {T} over {L}]를 구하라.