자연계열(오후)

2017학년도 논술고사

자연계열(오후)

모범답안

표지를 제외한 페이지 수 :8

2017학년도 아주대학교 논술고사 모범답안(자연계열(오후))

[문항1] 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

	2017학년도 자연계열(오후) 모범답안	자연계열(오후)

(가) 이차곡선을 원뿔곡선이라고 부르는 것은 그리스 시대 수학자들의 연구와 관련이 있다. 'Ellipse', 'Parabola', 'Hyperbola' 는 각각 그리스어 '모자라다','적당하다','초과하다'는 뜻을 가지고 있으며 원뿔의 단면과 밑면이 이루는 각과 모서리와 밑면이 이루는 각 사이의 관계와 관련이 있다. 이런 이차곡선은 산업현장에서 다양하게 사용되고 있으며 이차곡선들의 교점과 관련된 문제는 수학 이외의 분야에서 자주 나타나고 있다.

(나) 원 [eqn: x^2``+``y^2``=``r_1^2]과 원 [eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``r_2^2]이 그림과 같이 만나고 있다. (단, [eqn: r_1^2``+``r_2^2``le``d^2``])

[그림 1]

(다) 타원과 원의 교점이 2개인 경우, [그림 2]처럼 교점 두 개와 원의 중심 [eqn: rm `O_1]을 잇는 두 선분(선분 [eqn: rm AO_1]와 [eqn: rm BO_1])이 각각 타원과 두 점에서 만나거나 [그림 3]처럼 교점 두 개와 점 [eqn: rm O]를 잇는 두 선분(선분 [eqn: rm AO]와 [eqn: rm BO])이 각각 원과 두 점에서 만날 수도 있다.

[그림 2]                                     [그림 3]

[문제 1-1] 제시문 (나)에서 두 원의 교점을 [eqn: {rm A}], [eqn: {rm B}`]라 하자.

(1) (8점) 점 [eqn: rm A]와 점 [eqn: rm B]의 좌표를 구하시오.

[풀이]  식 [eqn: x^2``+``y^2``=``r_1^2] 와 식 [eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``r_2^2] 을 연립하면

[eqn: y^2``=``r_1^2``-``x^2``=``r_2^2``-``(x-d)^2`]에서 [eqn: -2dx``+``d^2``=``(x-d)^2``-``x^2``=``r_2^2``-``r_1^2]. 따라서

[eqn: x``=``{{d^2``+``r_1^2``-``r_2^2}over{2d}}]. 이제 [eqn: y``=``+- sqrt{r_1^2``-``({{d^2``+``r_1^2``-``r_2^2}over{2d}})^2}]

[eqn: =``+-``{{sqrt{2r_1^2`d^2``+``2r_1^2`r_2^2``+``2r_2^2`d^2``-``r_1^4``-``r_2^4``-``d^4`}}over{2d}}]

따라서 [eqn: rm A it left ( {d^2 +r_1 ^2 - r_2 ^2 } over 2d , ``sqrt{ r_1^2 - left ( {d^2 +r_1^2 -r_2^2 } over 2d right)^2 } right )], [eqn: rm B it LEFT ( {d ^{2} +r _{1}^{2} -r _{2}^{2}} over {2d} ,`` -sqrt {r _{1}^{2} - LEFT ( {d ^{2} +r _{1}^{2} -r _{2}^{2}} over {2d} RIGHT ) ^{2}} RIGHT )]이다.

(2) (8점) [eqn: theta _{1} ``=`` ANGLE rm AO _{} `B], [eqn: theta _{2} ``=`` ANGLE rm AO _{1} B]라 할 때 두 원에 의하여 동시에 둘러싸인 영역의 넓이를 [eqn: theta_1]과 [eqn: theta_2]로 나타내시오.

[풀이] 빗금친 부분의 넓이는 부채꼴 [eqn: rm ABO]의 넓이에서 삼각형 [eqn: rm ABO]의 넓이를 빼면 되므로

[eqn: {1 over2}r_1^2`theta_1``-``{1 over2}``r_1^2`sin theta_1``=``{1 over2}r_1^2`(theta_1``-`sin theta_1`)]

비슷하게 반대쪽 부분의 넓이는 [eqn: {1 over2}r_2^2`(theta_2``-`sin theta_2`)]

따라서 구하는 넓이는 [eqn: {1 over2}r_1^2`(theta_1``-`sin theta_1`)``+``{1 over2}r_2^2`(theta_2``-`sin theta_2`)]

또는 만약 [eqn: r_1^2``+``r_2^2``=``d^2`]이면 [eqn: theta_1``+``theta_2``=``pi]이므로 [eqn: {1 over2}r_1^2`(theta_1``-`sin theta_1`)``+``{1 over2}r_2^2`(pi``-``theta_1``-`sin theta_1`)] 등 다양한 답의 꼴이 나올 수 있다.

[문제 1-2] 타원 [eqn: {{x^2}over 4}``+``y^2``=``1]과 원 [eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``1] ([eqn: d``ge``0])의 교점의 개수를 [eqn: d]에 따라 구하면 다음과 같다.

	[eqn: d``=``0]	[eqn: 0``<``d``<``1]	[eqn: d``=``1]	[eqn: 1``<``d``<``3]	[eqn: d``=``3]	[eqn: d``>``3]
교점의 개수	2	[eqn: e]	3	[eqn: f]	1	0
수학적 근거		(g)		(h)

(1) (12점) 위 표에서 값 [eqn: e]와 값 [eqn: f]를 구하고, (g)와 (h)의 자리에 들어갈 수학적 근거를 제시하시오.

[풀이] 두 식  [eqn: {{x^2}over 4}``+``y^2``=``1]과 [eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``1]을 연립하면 [eqn: {{x^2}over4}``=``1-y^2``=``(x-d)^2]이므로 [eqn: +-{x over 2}``=``x-d]. 따라서 [eqn: x``=``2d]일 때 [eqn: y``=``sqrt{1-d^2}] 과 [eqn: x``=``{2over 3}d]일 때 [eqn: y``=``sqrt{1-{{d^2}over 9}}] 가 교점이 될 수 있다.

[eqn: 0``<``d``<1]일 때 [eqn: x``=``2d]와 [eqn: x``=``{2over 3}d] 둘 다  근이 될 수 있으므로  교점의 개수는

4 ([eqn: e``=``4])

[eqn: 1``<``d``<``3]일 때 [eqn: x``=``{2over 3}d] 만 근이 될 수 있고 교점의 개수는 2 ([eqn: f``=``2])

(2) (8점) 타원 [eqn: {{x^2}over 4}``+``y^2``=``1]과 원 [eqn: (x-sqrt{6})^2``+``y^2``=``1]에 의해 동시에 둘러싸인 영역의 넓이를 정적분으로 표현하시오.

[풀이] 식 [eqn: {{x^2}over 4}``+``y^2``=``1]와 식 [eqn: (x-sqrt{6})^2``+``y^2``=``1]을 연립하면 두 점 [eqn: LEFT ( {{2sqrt6}over3},`+-{1over{sqrt3}} RIGHT )]을 얻는다.

따라서 영역의 넓이는 [eqn: 2 int _{{2 sqrt {6}} over {3}} ^{2} {} ` sqrt {1- {x ^{2}} over {4}} dx``+``2 int _{sqrt {6} -1} ^{{2 sqrt {6}} over {3}} {} ` sqrt {1-(x- sqrt {6} ) ^{2}} dx]로 표현할 수 있다.

[문제 1-3] (14점) 타원 [eqn: {{x^2}over 4}``+``y^2``=``1]과 원 [eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``1]이 있을 때, 제시문 (다)에서 나타나는 경우와는 다르게 사각형 [eqn: rm OAO_1 B]가 ‘타원과 원에 의하여 동시에 둘러싸인 영역’을 포함하도록 하는 값 [eqn: d`]의 범위를 구하시오.

[풀이] 두 식 ⓵ [eqn: {{x^2}over 4}``+``y^2``=``1]과 ⓶ [eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``1]을 연립하면 [eqn: {{x^2}over4}``=``1-y^2``=``(x-d)^2]이므로 [eqn: +-{x over 2}``=``x-d]. 따라서 [eqn: x``=``2d]일 때 [eqn: y``=``sqrt{1-d^2}] 과 [eqn: x``=``{2over 3}d]일 때 [eqn: y``=``sqrt{1-{{d^2}over 9}}] 이 교점이 될 수 있다. 그리고 교점이 2개인 경우는 [eqn: 1``<``d``<``3]일 때 이므로 [eqn: RM A]와 [eqn: rm B]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {2over 3}d]

(i) [eqn: {{x^2}over 4}``+``y^2``=``1]의 점 [eqn: {rm P}(2d/3, sqrt{1-d^2`/9}`)] 에서의 접선식은  [eqn: `{{2d}over3}cdot{x over4}``+``sqrt{1- {{d^2}over9}}cdot`y``=``1]에서

[eqn: y``=``-{d over{6sqrt{1-d^2`/9}}x``+``{1 over{sqrt{1-d^2`/9}}]. 이 식에서 [eqn: x``=``d]일 때 [eqn: y]는 양이 아닌 실수이어야 하므로 [eqn: y``=``{{-d^2``+6}over{6sqrt{1-d^2`/9}}}``le0] 따라서 [eqn: d``ge``sqrt{6}]

(ii) [eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``1]의 점 [eqn: {rm P}(2d/3, sqrt{1-d^2`/9}`)] 에서의 접선식은 [eqn: ({2over3}d-d)(x-d)``+``sqrt{1-{{d^2}over9}}}``y``=``1]에서  [eqn: y``=``{{d over3}(x-d)}over{sqrt{1-d^2`/9}}``+``{1 over{sqrt{1-d^2`/9}}]

이 식에서 [eqn: x``=``0]일 때 [eqn: y]는 양이 아닌 실수이어야 하므로 [eqn: y``=``{{-d^2``+3}over{3sqrt{1-d^2`/9}}}``le 0] 따라서 [eqn: d``ge``sqrt{3}]

(i), (ii)를 동시에 만족하는 영역은  [eqn: sqrt{6}``le``d``<``3].

(참고) [eqn: d``=``sqrt{6}]일 때 [eqn: rm AO_1]은 타원의 접선이지만 [eqn: rm AO]는 원의 접선이 아니다.

[별해]  기울기를 비교할 수도 있다.

(i) 선분 [eqn: rm OA]의 기울기는 [eqn: {{sqrt{1-{{d^2}over9}}over{{2d}over3}}}]이고 점 [eqn: {rm P}(2d/3, sqrt{1-d^2`/9}`)] 에서의

[eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``1]의 접선의 기울기는[eqn: {{d over3}over{sqrt{1-{{d^2}over9}}}}] 그림과 같이 나타나려면 [eqn: {{sqrt{1-{{d^2}over9}}over{{2d}over3}}}][eqn: le``{{d over3}over{sqrt{1-{{d^2}over9}}}}]

이제 [eqn: 1-{{d^2}over9}``le``{{2d^2}over9}] 이므로 [eqn: d``ge``sqrt{3}]

(ii) 선분 [eqn: rm O_1`A]의 기울기는 [eqn: {0``-``sqrt{1-{{d^2}over9}}}over{d``-``{{2d}over3}}}}]이고 점 [eqn: {rm P}(2d/3, sqrt{1-d^2`/9}`)] 에서의

[eqn: {{x^2}over 4}``+``y^2``=``1]의 접선의 기울기는[eqn: {-d }over{6`sqrt{1-{{d^2}over9}}}}] 그림과 같이 나타나려면 [eqn: -{{sqrt{1-{{d^2}over9}}over{{d}over3}}}][eqn: ge {-d }over{6`sqrt{1-{{d^2}over9}}}}]

이제 [eqn: 6(1- {d ^{2}} over {9} )`` LEQ `` {d ^{2}} over {3}] 이므로 [eqn: d``ge``sqrt{6}]  (i), (ii)를 동시에 만족하는 영역은  [eqn: sqrt{6}``le``d``<``3].

[문항2] 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

(가) 아래의 수직선 위의 구간 [eqn: [0,1],`[1,2], LDOTS ,`[2 ^{n} -1,2 ^{n} ]] ([eqn: n]은 자연수)위에 한 변의 길이 [eqn: 1]인 [eqn: 2 ^{n}]개의 정사각형을 나누어 쌓으려고 한다.

쌓고 난 결과에 대하여 다음과 같이 [eqn: D]를 정의할 수 있다.

[eqn: D```=`-` sum _{k=1} ^{2 ^{n}} `` {x _{k}} over {2 ^{n}} `log _{2} ` {x _{k}} over {2 ^{n}}].

(단, [eqn: x _{k}]는 구간 [eqn: [k-1,k]]에 쌓인 정사각형의 개수이고, [eqn: 0 over 2^n `cdot log_2 0 over 2^n =0]으로 정의하자.) 이 때 [eqn: {x _{k}} over {2 ^{n}}]의 값은 음이 아닌 실수들이며 합이 [eqn: 1]이다.

다음은 [eqn: n=3]일 때의 몇 가지 쌓은 결과들에 대한 [eqn: D`]의 값이다.

[eqn: D = 3]                                         [eqn: D=2]

[eqn: D=1]                                       [eqn: D=0]

위 예를 보면 알 수 있듯이 정사각형을 고르게 쌓을수록 [eqn: D]의 값이 커짐을 확인할 수 있다. 이런 [eqn: D]는 정보전달과 관련된 수학 이론에 널리 사용되고 있다.

[eqn: D]의 값은 [eqn: 8]개의 정사각형들을 몇 곳에 얼마씩 나누어 쌓을 것인가에만 의존하며, 쌓는 구체적인 위치에는 의존하지 않는다. 예를 들어 다음의 두 쌓은 결과는 같은 [eqn: D]의 값을 가진다.

(나) 함수 [eqn: f(x)]가 구간 [eqn: [0,a]]에서 정의된 연속함수이고, 이 구간에서 [eqn: 0<f(x)<1`]을 만족하며 [eqn: `int _{0} ^{a} `f(x)`dx`=`1]이라고 하자. 이 때 함수 [eqn: f(x)]의 ‘고른 정도’를 나타내는 양을 제시문 (가)와 유사하게 다음과 같이 정의할 수 있다.

[eqn: D``=`-` { int _{0} ^{a} {`f(x)`ln`f(x)`dx} `}].

[문제 2-1] 제시문 (가)에서 [eqn: n=3]인 경우 [eqn: 2 ^{3} =8]개의 정사각형을 구간 [eqn: [0,1],`[1,2], LDOTS ,`[7,8]]에 나누어 쌓게 된다.

(1) (7점) 구간 별 정사각형의 개수 [eqn: x _{k}]값이 [eqn: 0, 1, 2,4, 8]중 하나인 쌓기 방법 중에 [eqn: D=2]가 되는 경우를 모두 찾아 표현하시오. 다만 쌓기 방법의 표현은 크기가 큰 순서대로 다음과 같이 나열하시오.

[eqn: (x _{1} ,`x _{2} ,`x _{3} ,`x _{4} ,`x _{5} ,`x _{6} ,`x _{7} ,`x _{8} )]

[풀이] (2,2,2,2,0,0,0,0), (4,1,1,1,1,0,0,0)  두 가지(뿐) 이다.

(2) (7점) 구간 별 정사각형의 개수 [eqn: x _{k}]값이 [eqn: 0,1,2]중 하나일 때 가능한 모든 [eqn: D]의 값의 개수를 구하시오.

[풀이] 이 경우 쌓기 방법들을 위 문제의 표현 방법으로 찾으면 (1,1,1,1,1,1,1,1), (2,1,1,1,1,1,1,0), (2,2,1,1,1,1,0,0), (2,2,2,1,1,0,0,0), (2,2,2,2,0,0,0,0)이며 각각 경우의 [eqn: D]의 값은 [eqn: 3,` {11} over {4} ,` {5} over {2} ,` {9} over {4} ,`2]가 되어 다섯 개이다.

[문제 2-2] 제시문 (가)에서 구간 [eqn: [0,1]]에 [eqn: 2 ^{n-1}]개, 구간 [eqn: [1,2]]에 [eqn: 2 ^{n-2}]개, [eqn: cdots],구간 [eqn: [n-1,n]]에 [eqn: 1]개, 구간 [eqn: [n,n+1]]에 마지막 1개를 쌓는 경우를 생각하자.

(1) (9점) 이때 [eqn: D`]의 값을 구하시오.

[풀이] 정의에 의하여 [eqn: D]의 값은 [eqn: - sum _{k=1} ^{n} {2 ^{n-k}} over {2 ^{n}} `log _{2`} ` {2 ^{n-k}} over {2 ^{n}} ```- {1} over {2 ^{n}} `log _{2`} ` {1} over {2 ^{n}} `=` sum _{k=1} ^{n} ` {k} over {2 ^{k}} + {n} over {2 ^{n}}]이다.

(2) (9점) [eqn: n]이 무한대로 갈 때 [eqn: D]의 극한값을 구하시오. (힌트: [eqn: {2k} over {2 ^{k+1}} = {k+1} over {2 ^{k+1}} + {1} over {4} {k-1} over {2 ^{k-1}}])

[풀이] [eqn: n]이 무한대로 갈 때 [eqn: {n} over {2 ^{n}}]은 [eqn: 0]으로 간다.  또한 힌트를 이용하면

[eqn: sum _{k=1} ^{n} ` {k} over {2 ^{k} `} `=` sum _{k=1} ^{n} ` {2k} over {2 ^{k+1} `} ``= sum _{k=1} ^{n} ` LEFT ( {k+1} over {2 ^{k+1} `} + {1} over {4} {k-1} over {2 ^{k-1}} RIGHT ) `=` sum _{k=1} ^{n} ` {k+1} over {2 ^{k+1} `} + {1} over {4} sum _{k=1} ^{n} {k-1} over {2 ^{k-1}}]

을 관찰 할 수 있고, 구하고자 하는 극한 값을 [eqn: S]라고 하면 위식의 양변에서 [eqn: n]이 무한대로 보내면 [eqn: S``=S- {1} over {2} ``+ {1} over {4} S]를 얻게 되어 [eqn: S=2]이다.

[별해]  아래 예와 같이 영역들의 넓이가 [eqn: {1} over {2} ,` {2} over {2 ^{2}} ,` {3} over {2 ^{3}} ,` CDOTS ,` {n} over {2 ^{n}} ,` {n} over {2 ^{n}}]인 사각형들을 위에서 아래로  순차적으로 쌓으면 전체 넓이가 각 구간 [eqn: [0,1],`cdots,`[n-1,n]]위의 영역들의 합과 같고,   [eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {4} + CDOTS + {1} over {2 ^{n-1}}]이 되어 급수의 값은 [eqn: {1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n}} over {1- {1} over {2}} =2 LEFT ( 1- {1} over {2 ^{n}} RIGHT )]이 된다. 그러므로 극한값은 [eqn: 2]이다.

[문제 2-3] 제시문 (나)를 읽고 다음 논제에 답하시오.

(1) (9점) 자연수 [eqn: n] 대하여 구간 [eqn: LEFT [ 0,` n RIGHT ]]에 정의된 함수 [eqn: f(x)=c`e ^{- x over n }]의 정적분 값이 [eqn: 1]이 되는 상수 [eqn: c]를 찾으시오.

[풀이]  각 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(x)]를 구간 [eqn: [0,n]]에서 정적분을 하면

[eqn: int _{0} ^{n`} `f(x)dx`=``int _{0} ^{n} `c```e ^{- {x} over {n}} `dx``=`` LEFT [ -c`n`e ^{- {x} over {n}} RIGHT ] _{0} ^{n} ``=`c`n`(1-e ^{-1} )]

이 된다. 그러므로 [eqn: c= {1} over {n(1-e ^{-1} )} = {e} over {n(e-1)}]이다.

(2) (9점) 위의 함수에 대하여 [eqn: D]의 값을 구하고, [eqn: n]이 무한대로 갈 때 [eqn: D]의 극한값을 구하시오.

[풀이] [eqn: n=1]인 경우 [eqn: f(x)= {1} over {1-e ^{-1}} `e ^{-x} = {e} over {e-1} `e ^{-x}]이고 구간 [eqn: [0,1]]의 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 0<f(x)<1]을 만족하지는 않기 때문에 제시문 (나)에 정의된 [eqn: D]값의 계산에서 제외된다.

[eqn: n`ge`2]의 경우 [eqn: f(x)`= {e} over {n(e-1)} `e ^{- {x} over {n}}]이고

[eqn: D``=`-` int _{0} ^{n} {} `f(x)ln`f(x)`dx`# # ````````=`-` {e} over {n(e-1)} ` int _{0} ^{n} {e ^{- {x} over {n} ```} ` LEFT ( ln` {e} over {n(e-1)} ``-` {x} over {n} RIGHT )} ```dx# # ````````=`- {e} over {n(e-1)} `ln` {e} over {n(e-1)} `` int _{0} ^{n} {e ^{- {x} over {n} ```} dx``+` {e} over {n(e-1)} ``` int _{0} ^{n} {e ^{- {x} over {n} ```} {x} over {n} dx``}} `]

이 된다. 치환 [eqn: y= {x} over {n}]에 의하여 마지막 식은

[eqn: {e} over {e-1} LEFT [ (ln``n`-1+ln`(e-1)) int _{0} ^{1} {} ``e ^{-y} dy`+ int _{0} ^{1} {} `e ^{-y} `y`dy`` RIGHT ] `]

이 되고 두 정적분의 값은 치환적분법, 부분적분법에 의하여

[eqn: 1-e ^{-1} = {e-1} over {e}], [eqn: 1-2e ^{-1} = {e-2} over {e}]

이기 때문에

[eqn: D`=ln`n`-1+ln(e-1)+ {e-2} over {e-1}]

이고 [eqn: n]이 무한대로 갈 때 극한값은 [eqn: infty]이다.