자연계열(오후, 의학과제외)

2017학년도 논술고사

자연계열

(오후,의학과제외)

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2017학년도 아주대학교 논술고사 자연계열(오후, 의학과제외)

[문항1] 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

	2017학년도 자연계열(오후) 논술고사	자연계열(오후) (의학과 제외)

(가) 이차곡선을 원뿔곡선이라고 부르는 것은 그리스 시대 수학자들의 연구와 관련이 있다. 'Ellipse', 'Parabola', 'Hyperbola' 는 각각 그리스어 '모자라다','적당하다','초과하다'는 뜻을 가지고 있으며 원뿔의 단면과 밑면이 이루는 각과 모서리와 밑면이 이루는 각 사이의 관계와 관련이 있다. 이런 이차곡선은 산업현장에서 다양하게 사용되고 있으며 이차곡선들의 교점과 관련된 문제는 수학 이외의 분야에서 자주 나타나고 있다.

(나) 원 [eqn: x^2``+``y^2``=``r_1^2]과 원 [eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``r_2^2]이 그림과 같이 만나고 있다. (단, [eqn: r_1^2``+``r_2^2``le``d^2``])

[그림 1]

(다) 타원과 원의 교점이 2개인 경우, [그림 2]처럼 교점 두 개와 원의 중심 [eqn: rm `O_1]을 잇는 두 선분(선분 [eqn: rm AO_1]와 [eqn: rm BO_1])이 각각 타원과 두 점에서 만나거나 [그림 3]처럼 교점 두 개와 점 [eqn: rm O]를 잇는 두 선분(선분 [eqn: rm AO]와 [eqn: rm BO])이 각각 원과 두 점에서 만날 수도 있다.

[그림 2]                                     [그림 3]

[문제 1-1] 제시문 (나)에서 두 원의 교점을 [eqn: {rm A}], [eqn: {rm B}`]라 하자.

(1) (8점) 점 [eqn: rm A]와 점 [eqn: rm B]의 좌표를 구하시오.

(2) (8점) [eqn: theta _{1} ``=`` ANGLE rm AO _{} `B], [eqn: theta _{2} ``=`` ANGLE rm AO _{1} B]라 할 때 두 원에 의하여 동시에 둘러싸인 영역의 넓이를 [eqn: theta_1]과 [eqn: theta_2]로 나타내시오.

[문제 1-2] 타원 [eqn: {{x^2}over 4}``+``y^2``=``1]과 원 [eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``1] ([eqn: d``ge``0])의 교점의 개수를 [eqn: d]에 따라 구하면 다음과 같다.

	[eqn: d``=``0]	[eqn: 0``<``d``<``1]	[eqn: d``=``1]	[eqn: 1``<``d``<``3]	[eqn: d``=``3]	[eqn: d``>``3]
교점의 개수	2	[eqn: e]	3	[eqn: f]	1	0
수학적 근거		(g)		(h)

(1) (12점) 위 표에서 값 [eqn: e]와 값 [eqn: f]를 구하고, (g)와 (h)의 자리에 들어갈 수학적 근거를 제시하시오.

(2) (8점) 타원 [eqn: {{x^2}over 4}``+``y^2``=``1]과 원 [eqn: (x-sqrt{6})^2``+``y^2``=``1]에 의해 동시에 둘러싸인 영역의 넓이를 정적분으로 표현하시오.

[문제 1-3] (14점) 타원 [eqn: {{x^2}over 4}``+``y^2``=``1]과 원 [eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``1] ([eqn: d ge 0])이 있을 때, 제시문 (다)에서 나타나는 경우와는 다르게 사각형 [eqn: rm OAO_1 B]가 ‘타원과 원에 의하여 동시에 둘러싸인 영역’을 포함하도록 하는 값 [eqn: d`]의 범위를 구하시오.

[문항2] 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

(가) 아래의 수직선 위의 구간 [eqn: [0,1],`[1,2], LDOTS ,`[2 ^{n} -1,2 ^{n} ]] ([eqn: n]은 자연수)위에 한 변의 길이 [eqn: 1]인 [eqn: 2 ^{n}]개의 정사각형을 나누어 쌓으려고 한다.

쌓고 난 결과에 대하여 다음과 같이 [eqn: D]를 정의할 수 있다.

[eqn: D```=`-` sum _{k=1} ^{2 ^{n}} `` {x _{k}} over {2 ^{n}} `log _{2} ` {x _{k}} over {2 ^{n}}].

(단, [eqn: x _{k}]는 구간 [eqn: [k-1,k]]에 쌓인 정사각형의 개수이고, [eqn: 0 over 2^n `cdot log_2 0 over 2^n =0]으로 정의하자.) 이 때 [eqn: {x _{k}} over {2 ^{n}}]의 값은 음이 아닌 실수들이며 합이 [eqn: 1]이다.

다음은 [eqn: n=3]일 때의 몇 가지 쌓은 결과들에 대한 [eqn: D`]의 값이다.

[eqn: D = 3]                                         [eqn: D=2]

[eqn: D=1]                                       [eqn: D=0]

위 예를 보면 알 수 있듯이 정사각형을 고르게 쌓을수록 [eqn: D]의 값이 커짐을 확인할 수 있다. 이런 [eqn: D]는 정보전달과 관련된 수학 이론에 널리 사용되고 있다.

[eqn: D]의 값은 [eqn: 8]개의 정사각형들을 몇 곳에 얼마씩 나누어 쌓을 것인가에만 의존하며, 쌓는 구체적인 위치에는 의존하지 않는다. 예를 들어 다음의 두 쌓은 결과는 같은 [eqn: D]의 값을 가진다.

(나) 함수 [eqn: f(x)]가 구간 [eqn: [0,a]]에서 정의된 연속함수이고, 이 구간에서 [eqn: 0<f(x)<1`]을 만족하며 [eqn: `int _{0} ^{a} `f(x)`dx`=`1]이라고 하자. 이 때 함수 [eqn: f(x)]의 ‘고른 정도’를 나타내는 양을 제시문 (가)와 유사하게 다음과 같이 정의할 수 있다.

[eqn: D``=`-` { int _{0} ^{a} {`f(x)`ln`f(x)`dx} `}].

[문제 2-1] 제시문 (가)에서 [eqn: n=3]인 경우 [eqn: 2 ^{3} =8]개의 정사각형을 구간 [eqn: [0,1],`[1,2], LDOTS ,`[7,8]]에 나누어 쌓게 된다.

(1) (7점) 구간 별 정사각형의 개수 [eqn: x _{k}]값이 [eqn: 0, 1, 2,4, 8]중 하나인 쌓기 방법 중에 [eqn: D=2]가 되는 경우를 모두 찾아 표현하시오. 다만 쌓기 방법의 표현은 크기가 큰 순서대로 다음과 같이 나열하시오.

[eqn: (x _{1} ,`x _{2} ,`x _{3} ,`x _{4} ,`x _{5} ,`x _{6} ,`x _{7} ,`x _{8} )]

(2) (7점) 구간 별 정사각형의 개수 [eqn: x _{k}]값이 [eqn: 0,1,2]중 하나일 때 가능한 모든 [eqn: D]의 값의 개수를 구하시오.

[문제 2-2] 제시문 (가)에서 구간 [eqn: [0,1]]에 [eqn: 2 ^{n-1}]개, 구간 [eqn: [1,2]]에 [eqn: 2 ^{n-2}]개, [eqn: cdots],구간 [eqn: [n-1,n]]에 [eqn: 1]개, 구간 [eqn: [n,n+1]]에 마지막 1개를 쌓는 경우를 생각하자.

(1) (9점) 이때 [eqn: D`]의 값을 구하시오.

(2) (9점) [eqn: n]이 무한대로 갈 때 [eqn: D]의 극한값을 구하시오. (힌트: [eqn: {2k} over {2 ^{k+1}} = {k+1} over {2 ^{k+1}} + {1} over {4} {k-1} over {2 ^{k-1}}])

[문제 2-3] 제시문 (나)를 읽고 다음 논제에 답하시오.

(1) (9점) 자연수 [eqn: n] 대하여 구간 [eqn: LEFT [ 0,` n RIGHT ]]에 정의된 함수 [eqn: f(x)=c`e ^{- x over n }]의 정적분 값이 [eqn: 1]이 되는 상수 [eqn: c]를 찾으시오.

(2) (9점) 위의 함수에 대하여 [eqn: D]의 값을 구하고, [eqn: n]이 무한대로 갈 때 [eqn: D]의 극한값을 구하시오.