자연계열(오전)

2017학년도 논술고사

자연계열(오전)

채점기준

표지를 제외한 페이지 수 :9

2017학년도 아주대학교 논술고사 채점기준(자연계열(오전))

[문항1] 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

	2017학년도 자연계열(오전) 채점기준	자연계열 (오전)

(가) 자연로그의 밑 [eqn: e]가 계산된 최초의 기록은 1618년 존 네이피어에 의해 발간된 로그표이다. 그러나 네이피어는 로그 계산의 과정에서 나온 결과 값만을 간단히 다루었을 뿐 자연로그의 밑을 상수로 취급하지는 않았다. 야코프 베르누이는 복리 이자의 계산에서 [eqn: lim _{n -> INF } {} (1+ {1} over {n} ) ^{n}]의 극한값이 수렴함을 발견하였으며, 오일러는 1727년과 1728년 사이에 이 극한값을 [eqn: e]로 표현하였다.

(나) 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: p(x)``=``(1+ {1} over {x} )`` ^{x+a}] ([eqn: x``>``0])는 [eqn: a]값과 관계없이 “[eqn: lim_{x->infty} `{ln}` p(x)``=``1`]”이고 [eqn: lim_{x->infty} p(x)``=``e]가 된다. 따라서 실수 [eqn: a]가 주어질 때 마다 함수 [eqn: p(x)]와 상수 [eqn: e``=``lim_{n->infty}(1+{1over n})^n]을 비교할 수 있다.

(다) 우리는 극한과 도함수의 성질을 이용하여 여러 가지 부등식을 증명할 수 있다. 예를 들면 [eqn: lim _{x -> INF } {}f(x)``=``0] 일 때, 다음 두 명제가 성립한다.

명제 1) 모든 [eqn: x``>``0]에 대하여 [eqn: f`'(x)``>``0]이면, 모든 [eqn: x``>``0]에 대하여 [eqn: f(x)``<``0]

명제 2) 모든 [eqn: x``>``0]에 대하여 [eqn: f`'(x)``<``0]이면, 모든 [eqn: x``>``0]에 대하여 [eqn: f(x)``>``0]

(라) 평균값 정리: 함수 [eqn: f(x)]가 닫힌 구간 [eqn: [a,b]]에서 연속이고 열린 구간 [eqn: (a,b)]에서 미분가능할 때,

[eqn: {f(b)` - `f(a)} over {b`-`a} `=` f`'(c)]

인 [eqn: c]가 열린 구간 [eqn: (a,b)]에 적어도 하나 존재한다.

[문제 1-1] 제시문 (나)와 (다)를 읽고 다음 논제에 답하시오.

(1) (8점) ‘평균값정리를 함수 [eqn: ln``x]에 적용하여’ [eqn: a]값과 관계없이 [eqn: lim_{x->infty}`` {rm ln}` p(x)``=``1]임을 보이시오.

[풀이] [eqn: f(x)``=``{rm ln}p(x)]라 놓고 [eqn: lim _{x -> INF } {}f(x)``=``1]을 보이면 된다. 실수 [eqn: a]를 잡고 고정시킨다고 하자. 평균값정리에 의해

[eqn: ln(x+1)``-``ln x``=``{ 1 over c}``(x+1-x)]인 [eqn: c]가 [eqn: x]와 [eqn: x+1]사이에 존재한다. --- 4점

정리하면 [eqn: ln(1+{1overx})``=``{1overc}]이고 [eqn: c``=``x+``alpha_x]([eqn: 0``<``alpha_x``<1])로 표현하면 --- 2점

[eqn: lim_{x->infty}(x+a) ln(1+{1 overx})``=``lim_{x->infty}`{{x+a}over{x+alpha_x}]가 되어 [eqn: lim _{x -> INF } {}f(x)``=``1] ---2점

따라서 [eqn: lim_{x->infty} {\ln`} p(x)``=``e].

[참고1] [eqn: lim_{x->infty}`` {rm ln}` p(x)``=``lim_{x->infty}`` ({{x+a}over x})`{rm ln}`(1+{1over x})^x``]

[eqn: =``1 times ln e``=``1]

[참고2] [eqn: lim _{x -> INF } {} ``p(x)``=`` lim _{x -> INF } {} ``(1+ {1} over {x} )` ^{x} ``(1+ {1} over {x} ) ^{a} ``]

[eqn: =`` lim _{x -> INF } {} ``(1+ {1} over {x} )` ^{x} ``lim _{x -> INF }`(1+ {1} over {x} ) ^{a} ``=``e times 1^a``=``e]

(2) (8점) 제시문 (다)의 명제 1)을 증명하시오.

[풀이] 결론을 부정하면 [eqn: f(x_0`)``ge 0]인 [eqn: x_0``>``0]가 존재한다. --- 3점

모든 [eqn: x``>``0]에 대하여 [eqn: f`'(x)``>``0]이므로 [eqn: f(x_0``+``1)``>``f(x_0`)``ge``0]이고 모든 [eqn: x``>``x_0``+``1]에 대하여 [eqn: f(x)``>``f(x_0``+``1)]이다. ---3점

이는 [eqn: 0``=``lim _{x -> INF } {}f(x)``ge ``f(x_0``+``1)] 이므로 모순이다. ---2점

[문제 1-2] 제시문 (나)와 (다)를 읽고 다음 논제에 답하시오.

(1) (9점) [eqn: a`` ge `` {1} over {2}]인 [eqn: a]에 대하여 [eqn: p(x)`>`e] ([eqn: x`>`0])임을 보이시오.

(2) (9점) [eqn: a``le``0]인 [eqn: a]에 대하여 [eqn: p(x)`<`e] ([eqn: x`>`0])임을 보이시오.

[풀이] (1) [eqn: f(x)``=``(x+a)`ln(1+{1 overx})]라 하면

[eqn: f`'(x)``=``ln(1+{1 over x})``+``(x+a)({1 over {x+1}}``-``{1 over x})``=``ln(1+{1 over x})``-``{{x+a} over {x(x+1)}}] 이므로 --- 2점

[eqn: lim _{x -> INF } {}f``'(x)``=``0] (실수 [eqn: a``]에 대하여 성립)

[eqn: f``''(x)``=``{1 over{x+1}}``-``{1 over x}``-``{{x(x+1)``-``(x+a)(2x+1)}over{(x(x+1))^2}}``=][eqn: {{(2a-1)x``+``a}over{{(x(x+1))^2}}] ---2점

[eqn: a``ge``{1 over2}]이므로 [eqn: f``''(x)``>``0`] 이고 [eqn: lim _{x -> INF } {}f``'(x)``=``0]이므로 [eqn: f``'(x)``<``0] --- 2점

[문제 1-1] (1)에서 [eqn: lim _{x -> INF } {}f(x)``=``1]이고 명제 2)에 의해 [eqn: f(x)``>1]. --- 2점

따라서 [eqn: p(x)``=``e^{f(x)}``>``e^1``=``e] ([eqn: x``>``0]) --- 1점

[별해1] 앞의 풀이에서 [eqn: a``=``{1over2}]이면 [eqn: f`''(x)``=``{1} over {2(x(x+1)) ^{2}}``>``0]이고 [eqn: lim _{x -> INF } {}f``'(x)``=``0]이므로 [eqn: f``'(x)``<``0]

[문제 1-1] (1)에서 [eqn: lim _{x -> INF } {}f(x)``=``1]이고 명제 2)에 의해 [eqn: (1+ {1 over x})^{x+{1over 2}}``>``e]. ---6점

([eqn: (1+ {1 over x})^{x+{1over 2}}``>``e] 언급만 해도 3점)

이제 [eqn: a`` ge `` {1} over {2}]이면 [eqn: p(x)``=``(1+{1over x})^{x+{1over 2}+(a-{1over2})}``> e times ({1+{1 overx})^{a-{1over2}}``ge``e times 1``=``e] --- 3점

[풀이] (2) [eqn: f(x)``=``(x+a)`ln(1+{1 overx})]라 하면

[eqn: f`'(x)``=``ln(1+{1 over x})``+``(x+a)({1 over {x+1}}``-``{1 over x})``=``ln(1+{1 over x})``-``{{x+a} over {x(x+1)}}] 이므로 --- 2점

[eqn: lim _{x -> INF } {}f``'(x)``=``0] (실수 [eqn: a``]에 대하여 성립)

[eqn: f``''(x)``=``{1 over{x+1}}``-``{1 over x}``-``{{x(x+1)``-``(x+a)(2x+1)}over{(x(x+1))^2}}``=][eqn: {{(2a-1)x``+``a}over{{(x(x+1))^2}}] --- 2점

[eqn: a``le``0]이므로 [eqn: f``''(x)`<``0`] 이고, [eqn: lim _{x -> INF } {}f``'(x)``=``0]이므로 [eqn: f``'(x)``>``0]  --- 2점

[문제 1-1] (1)에서 [eqn: lim _{x -> INF } {}f(x)``=``1]이고 명제 1)에 의해 [eqn: f(x)``<``1]. --- 2점

따라서 [eqn: p(x)``=``e^{f(x)}``<``e^1``=``e] ([eqn: x``>``0]) --- 1점

[별해1] 앞의 풀이에서 [eqn: a``=``0]이면 [eqn: f`''(x)``=``{-x} over {(x(x+1)) ^{2}}``<``0]이고, [eqn: lim _{x -> INF } {}f``'(x)``=``0]이므로 [eqn: f``'(x)``>``0]

[문제 1-1] (1)에서 [eqn: lim _{x -> INF } {}f(x)``=``1]이고 명제 1)에 의해 [eqn: (1+ {1 over x})^{x}}``<``e]. --- 6점

([eqn: (1+ {1 over x})^{x}}``<``e] 언급만 해도 3점)

이제 [eqn: a`` le `` 0]이면 [eqn: p(x)``=``(1+{1over x})^{x}`(1+{1over x})^a`}``<`` e times ({1+{1 overx})^{a}}``le``e times 1``=``e] --- 3점

[문제 1-3] 제시문 (나)에서 [eqn: 0`<`a`<`{1 over2}]일 때 다음 논제에 답하시오.

(1) (10점) [eqn: p(x_0`)]가 [eqn: p(x)``]의 최솟값이 되는 양수 [eqn: x_0]가 단 하나 존재하고 [eqn: 0`<`p(x _{0} `)`<`e] 임을 보이시오.

[풀이]  [eqn: f``''({{a over{1-2a}})``=``0]이고 부호가 [eqn: +]에서 [eqn: -]로 변하므로

[eqn: f``'({{a over{1-2a}})``=``ln({{1-a} overa})``-``2(1-2a)]는 유일한 극값이고 극댓값.  [eqn: lim _{x -> INF } {}f``'(x)``=``0] 이므로

[eqn: f``'({{a over{1-2a}})``=``ln({{1-a} overa})``-``2(1-2a)``>``0]임은 분명하다.  --- 4점

[eqn: f``'(x)``=``ln(x+1)``+``{{x+a}over{x+1}``-``1``-``ln x``-``{a over x}]에서

[eqn: g(t)``=``ln t``-``at``=``t({{ln t}over t}``-``a)] 를 생각하면

[eqn: lim_{t -> infty} g(t)``=``- infty] 이므로 [eqn: lim_{x-> 0+}``f``'(x)``=``-infty]  --- 4점

이므로 그래프 개형은 다음과 같다.

따라서 사이값 정리에 의해 구간 [eqn: (0,``{{a}over{1-2a}})]에 [eqn: f`'(x_0`)``=``0]되는 점 [eqn: x_0]가 존재한다. 이 점에서의 [eqn: f`'(x)]의 부호는 [eqn: -] 에서 [eqn: +]로 변하고 유일한 극값이므로 [eqn: x``=``x_0]에서 최솟값 --- 2점

을 갖는다.

(2) (6점) [eqn: x_0]가 부등식 [eqn: {{a^2}over{1-2a}``<``x_0``<``{a over{1-2a}}]를 만족함을 보이시오.

[풀이]   [eqn: f`'({{a^2}over {1-2a})``=``ln(1+{{1-2a}over{a^2}})``-``{{{a^2}over{1-2a}}``+ `a}over{{{a^2}over{1-2a}}(1+{{a^2}over{1-2a})}]

[eqn: =``ln{{(a-1)^2}over{a^2}}``-``(1-2a){{a^2``+``a(1-2a)}over{a^2`(a-1)^2}}][eqn: =``2ln{{1-a}overa}-``(1-2a){{a(1-a)}over{a^2`(a-1)^2}}][eqn: =``2ln{{1-a}overa}-``(1-2a){1over{a`(1-a)}}]  --- 3점

이므로

[eqn: h(a)][eqn: =``2ln{{1-a}overa}-``(1-2a){1over{a`(1-a)}}]라 두고 미분하면

[eqn: h`'(a)``=``2({{-1}over{1-a}}``-``{1over a})``-``{{-2a(1-a)``-``(1-2a)^2}over{{(a(1-a))^2}}][eqn: =``2{{-a-1+a}over{a(1-a)}-``{{-2a(1-a)``-``(1-2a)^2}over{{(a(1-a))^2}}][eqn: =``{{-2}over{a(1-a)}}``-``{{-2a^2``+``2a``-``1}over{(a(1-a))^2}}]

[eqn: =``{{-2a(1-a)``+``2a^2``-``2a``+1}over{(a(1-a))^2}}][eqn: =``{{(2a-1)^2}over{(a(1-a))^2}}``>``0]이고 [eqn: h({1 over2})``=``0]이므로

모든 [eqn: a] ([eqn: 0``<``a``<``{1over2}])에 대하여 [eqn: h(a)``<``0]이고 [eqn: f`'({{a^2}over {1-2a})````<``0]. --- 3점

따라서 [eqn: {{a^2}over {1-2a}``<``x_0].

[문항2] 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

(가) 약용이네는 매일 오후 6시가 되면 집에서 식사([eqn: E _{1}])를 하거나 외식([eqn: E _{2}])을 한다. 내일부터는 매일 저녁 식사를 다음 표의 규칙에 따라 [eqn: E _{1}] 또는 [eqn: E _{2}]을 선택한다. [eqn: p,`q]는 양수이고 [eqn: r,`s]는 음이 아닌 실수이며 [eqn: p+q=1], [eqn: r+s=1]을 만족한다.

2일 식사	확률
[eqn: E _{1}] 다음에 [eqn: E _{1}]	[eqn: p]
[eqn: E _{1}] 다음에 [eqn: E _{2}]	[eqn: q]
[eqn: E _{2}] 다음에 [eqn: E _{1}]	[eqn: r]
[eqn: E _{2}] 다음에 [eqn: E _{2}]	[eqn: s]

[표1]

(나) 제시문 (가)의 규칙을 연속으로 두 번 적용한 아래의 수형도는 오늘, 내일, 모레 저녁 식사의 모든 가능한 경우들을 표현한다.

예를 들면 [eqn: 1` BUILDREL rarrow {{}_p} 1 BUILDREL rarrow {{}_q} 2]는 오늘, 내일, 모레 저녁 식사가 [eqn: E _{1} `,`E _{1} ,`E _{2}] 인 것을 표현하며 그 확률은 [eqn: E _{1} ` -> `E _{1}]의 확률과 [eqn: E _{1`} `-> `E _{2}]의 확률의 곱인 [eqn: p`times`q`]가 된다고 하자. 나머지 경우들의 확률도 비슷하게 확률의 곱으로 얻어진다고 하면 우리는 다음의 표를 얻게 된다.

3일 식사	확률
[eqn: E _{1}] [eqn: -> ` BIGCIRC ->] [eqn: E _{1}]	[eqn: p ^{`} `times`p+q` TIMES `r]
[eqn: E _{1}] [eqn: -> ` BIGCIRC ->] [eqn: E _{2}]	[eqn: p`` TIMES `q`+q` TIMES `s]
[eqn: E _{2}] [eqn: -> ` BIGCIRC ->] [eqn: E _{1}]	[eqn: r` TIMES `p`+s`times`r]
[eqn: E _{2}] [eqn: -> ` BIGCIRC ->] [eqn: E _{2}]	[eqn: r` TIMES `q+s ^{} ``times`s]

[표2]

(다) 제시문 (가)의 규칙을 연속으로 [eqn: n]번 적용하고 제시문 (나)와 같이 확률을 구해나갈 때, 오늘 저녁식사가 [eqn: E _{1}]일 경우 [eqn: n]일([eqn: n=1,2,cdots]) 이후 저녁 식사가 [eqn: E _{1}]일 확률을 [eqn: a _{n}], [eqn: E _{2}]일 확률을 [eqn: b _{n}]이라고 표시하고, 오늘 저녁 식사가 [eqn: E _{2}]일 경우 [eqn: n]일([eqn: n=1,2,cdots]) 이후 저녁 식사가 [eqn: E _{1}]일 확률을 [eqn: c _{n}], [eqn: E _{2}]일 확률을 [eqn: d _{n}]이라고 표시하자. 예를 들어 [표1]의 확률들은 [eqn: a _{1} ,`b _{1} ,`c _{1} ,`d _{1}]이고 [표2]에 계산된 확률들은 [eqn: a _{2} ,`b _{2} ,`c _{2} ,`d _{2}]이다.

(라) 실수 [eqn: x,y]와 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음의 이항정리가 성립한다.

[eqn: (x+y) ^{n} `=` _{n} {rm C} _{0} `x ^{n} `y ^{0} ``+` _{n} {rm C} _{1} `x ^{n-1} `y ^{1} `+ CDOTS + _{n} {rm C} _{n-1} `x ^{1} `y ^{n-1} `+ _{n} {rm C} _{n} `x ^{0} `y ^{n}].

[문제 2-1]  제시문 (가)~(다)에서 [eqn: p = s, `q=r]이라고 하자.

(1) (5점) [eqn: a _{3} ,`b _{3}]을 구하시오.

[풀이1] 제시문 (나)에 의해 [eqn: a_3``=``a_2`p``+``b_2`q``=``(p^2``+``q^2`)p``+``(2pq)q``=``p^3``+``3pq^2], --- 3점

[eqn: b_3``=``a_2`q``+``b_2`p``=``(p^2``+``q^2`)`q``+``(2pq)p``=``3p^2`q``+``q^3]  --- 2점

[풀이2] [eqn: E _{1}] [eqn: -> ` BIGCIRC -> `` BIGCIRC ->] [eqn: E _{1}] 의 모든 가능한 경우는

[eqn: E _{1} ` -> E _{1} -> E _{1} -> E _{1} ,``````````E _{1} ` -> E _{1} -> E _{2} -> E _{1} ,``````````E _{1} ` -> E _{2} -> E _{1} -> E _{1} ,`````````E _{1} ` -> E _{2} -> E _{2} -> E _{1}]

네 가지이며 그 확률들의 합인 [eqn: a _{3}]은 [eqn: p ^{3} +`3`p`q ^{2}] 이다. --- 3점

또한 [eqn: E _{1}] [eqn: -> ` BIGCIRC -> `` BIGCIRC ->] [eqn: E _{2}] 의 모든 가능한 경우는

[eqn: E _{1} ` -> E _{1} -> E _{1} -> E _{2} ,``````````E _{1} ` -> E _{1} -> E _{2} -> E _{2} ,``````````E _{1} ` -> E _{2} -> E _{1} -> E _{2} ,`````````E _{1} ` -> E _{2} -> E _{2} -> E _{2}]

네 가지이며 그 확률들의 합인 [eqn: b _{3}]은 [eqn: 3`p ^{2} `q ^{} +q ^{3}] 이다. --- 2점

(2) (7점) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} =d _{n}], [eqn: b _{n} `=c _{n}]임을 보이시오.

[풀이1] 수학적 귀납법을 사용한다.

[eqn: a _{1} =p=s=d _{1} ,`````b _{1} `=q=r=c _{1}] --- 1점

만일 [eqn: a _{n} `=d _{n} ,`b _{n} `=c _{n}]이라면 --- 1점

[eqn: a _{n+1} =a _{n} ` CDOT `p`+`b _{n} ` CDOT `q][eqn: =``d _{n} ` CDOT `p``+``c _{n} ` CDOT `q``=``c _{n} ` CDOT `q``+``d _{n} ` CDOT `p``=``d_{n+1}] --- 2점

[eqn: `b _{n+1}`` =``a _{n} ` CDOT `q`+`b _{n} ` CDOT p``=``d _{n} ` CDOT `q``+``c _{n} ` CDOT p``][eqn: =``c _{n} ` CDOT p``+``d _{n} ` CDOT `q``=``c_{n+1}] --- 2점

따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} =d _{n}], [eqn: b _{n} `=c _{n}] --- 1점

[풀이2] 오늘 [eqn: E _{2}]로 시작하여 [eqn: n]일 후에 [eqn: E _{2}]가 되는 경우들은 오늘 [eqn: E _{1}]로 시작하여 [eqn: n]일 후에 [eqn: E _{1}]이 되는 경우들에서 [eqn: E _{1}]대신 [eqn: E _{2}], [eqn: E _{2}]대신 [eqn: E _{1}]으로 바꾼 경우들과 같다. --- 3점

한편 이 문제에서 [eqn: E _{1} ` -> E _{1}]의 확률과 [eqn: E _{2} -> E _{2}]의 확률이 같고, [eqn: E _{1} ` -> E _{2}]의 확률과 [eqn: E _{2} -> E _{1}]의 확률이 같기 때문에 [eqn: a _{n}]은 [eqn: d _{n}]과 같다. --- 3점

똑 같은 이유로 [eqn: b _{n}]과 [eqn: c _{n}]은 같다. --- 1점

[채점 참고]

아래 문제 [2-2] (1)의 문장을 이용, 추측한 후  [eqn: p = s, `q=r]을 이용해서 답하는 경우가 있습니다.

[2-2]를 제대로 풀었다면 최대 7점, 그렇지 않다면 최대 4점으로 하겠습니다.

[문제 2-2] 제시문 (가)~(다)에서 [eqn: p = s, `q=r]이라고 하자.

(1) (8점) 확률 [eqn: a _{n}]이 다음 합

[eqn: {} _{n} {rm C} _{0} ``p ^{n} q ^{0} ``+` _{n} {rm C} _{1} ``p ^{n-1} q ^{1} `+ CDOTS + _{n} {rm C} _{n-1} `p ^{1} `q ^{n-1} + _{n} {rm C} _{n} ``p ^{0} q ^{n}]

의 홀수 번째  항들의 합 [eqn: {} _{n} rm C it rm _{0} ``p ^{n} q ^{0} ``+ _{n} rm C it rm _{2} ``p ^{n-2} q ^{2} `+` n} rm C it rm _{4} ``p ^{n-4} q ^{4} `+CDOTS]이 됨을 보이시오.

[풀이1] [eqn: E _{1}] 이후의 [eqn: n]번의 선택에서 연속으로 [eqn: E_1]을 모두 선택하게 되는 방법은 오직 한 개([eqn: {} _{n}{rm C}_0])이며 확률은 [eqn: p^n]이다. 다음은 [eqn: n]번의 선택에서 전날과 다른 선택을 두 번하고 나머지 [eqn: n-2]번 전날과 같은 선택을 하는 경우들로 각각의 확률은 [eqn: p ^{n-2} q ^{2}]이며 그 경우의 수는 [eqn: {} _{n} rm C _{n-2} `=` it _{n} rm C _{2}]가 된다. 다음은  [eqn: n]번의 선택에서 전날과 다른 선택을 네 번하고 나머지 [eqn: n-4]번 전날과 같은 선택을 하는 경우들로 각각의 확률은 [eqn: p ^{n-4} q ^{4}]이며 그 경우의 수는 [eqn: {} _{n} rm C _{n-4} `=` it rm _{n} rm C _{4}]가 된다. 이렇게 확률을 구해가면 결국 주어진 이항정리의 홀수 번째 항들의 합이 [eqn: a _{n}]이 됨을 알 수 있다.  --- 8점

[풀이2] [eqn: a _{n+1} =a _{n} ` CDOT `p`+`b _{n} ` CDOT `q]에서 [eqn: b_n``=``{{a_{n+1}``-``p`a_n}over q}]  를 얻고 [eqn: `b _{n+1}`` =``a _{n} ` CDOT `q`+`b _{n} ` CDOT p`]에 대입하면

[eqn: {{a_{n+2}``-``p`a_{n+1}}over q}``=``q`a_n``+``p cdot{{a_{n+1}``-``p`a_n}over q}]  --- 1점

정리하면  [eqn: a_{n+2}``=``2p`a_{n+1}``+``((1-p)^2``-``p^2`)``a_n``=``2p`a_{n+1}``+``(1-2p)`a_n]  --- 1점

이제 [eqn: a_{n+2}``-``a_{n+1}``=``(2p-1)`(a_{n+1}``-``a_n`)] 에서 --- 1점

[eqn: a_{n+2}``-``a_{n+1}``=``(2p-1)^n`(a_2``-``a_1`)][eqn: =``(2p-1)^n``(p^2``+``(1-p)^2``-``p)][eqn: =``-(1-p)`(2p-1)^{n+1}] --- 1점

그러므로  [eqn: a_n``=``a_{n-1}``+``(p-1)`(2p-1)^{n-1}] [eqn: =``a_{n-2}``+``(p-1)`(2p-1)^{n-2}``+``(p-1)`(2p-1)^{n-1}][eqn: =``cdots]

[eqn: =``a_1`+``(p-1)(2p-1)^1``+``cdots``+``(p-1)`(2p-1)^{n-2}``+``(p-1)`(2p-1)^{n-1}]

[eqn: =``p+``(p-1)`(2p-1){{1-(2p-1)^{n-1}}over{1-(2p-1)}}][eqn: =``p``-``{{2p-1}over2}(1-(2p-1)^{n-1})][eqn: =``{{1+(2p-1)^{n}}over2}``=``{{(p+q)^n``+``(p``-``q)^n}over 2}] --- 3점

[eqn: a_n]은 [eqn: {} _{n} {rm C} _{0} ``p ^{n} q ^{0} ``+` _{n} {rm C} _{1} ``p ^{n-1} q ^{1} `+ CDOTS + _{n} {rm C} _{n-1} `p ^{1} `q ^{n-1} + _{n} {rm C} _{n} ``p ^{0} q ^{n}]의 홀수 번째  항들의 합과 같다. --- 1점

(2) (8점) 이 경우 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}} ,` `lim _{n-> INF } {b _{n}} `]의 값을 구하시오.

[풀이] 주어진 이항정리는 [eqn: (p+q) ^{n} =1]이고 [eqn: a _{n} +b _{n} =1]이기 때문에 [eqn: b _{n}]은 이항정리의 짝수 번째 항들의 합과 같다. 홀수 번째 항들의 합은 [eqn: {(p+q) ^{n} +(p-q) ^{n}} over {2} = {1+(p-q) ^{n}} over {2}]의 전개를 통해 얻을 수 있기 때문에 [eqn: a _{n} `=` {1+(p-q) ^{n}} over {2}]이다.  --- 2점

[eqn: p-q``=``p``-``(1-p)``=``2p-1]이고, [eqn: 0``<``p``<``1] 이므로 [eqn: -1``<``2p-1``<``1] 따라서  [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} `=` {1} over {2}]이다. --- 2점

짝수 번째 항들의 합은 [eqn: {(p+q) ^{n} -(p-q) ^{n}} over {2} = {1-(p-q) ^{n}} over {2}]의 전개를 통해 얻을 수 있기 때문에 [eqn: b _{n} `=` {1-(p-q) ^{n}} over {2}]이다. --- 2점

위와 비슷하게 [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n}} `=` {1} over {2}]이다.  --- 2점

([eqn: 1= lim _{n -> INF } {(a _{n} +b _{n} )= lim _{n -> INF } {a _{n} `+` lim _{n-> INF } {b _{n}}}}]을 이용하여 [eqn: b _{n}]의 극한값을 얻을 수도 있다. --- 4점 )

[문제 2-3]  제시문 (가)~(다)에서 [eqn: r=1], [eqn: s=0]이라고 하자.

(1) (8점) 확률 [eqn: a _{2} ,`b _{2} ,`a _{3} ,`b _{3} `]을 [eqn: q]에 대한 다항식으로 나타내시오. (단, 오름차순으로 나타내시오.)

[풀이] [eqn: a _{2}]. [eqn: E _{1}][eqn: -> ` BIGCIRC -> `][eqn: E _{1}] 의 확률인 [eqn: a _{2}]는 [표2]에 의하여 [eqn: p ^{2} +q`=(1-q) ^{2} +q`=`1-q`+q ^{2}]이다.  --- 1점

[eqn: b _{2}].  [eqn: E _{1}][eqn: -> ` BIGCIRC -> `][eqn: E _{2}] 의 확률인 [eqn: b _{2}]는 [표2]에 의하여 [eqn: pq=(1-q)q=q-q ^{2}]이 된다.  --- 1점

[eqn: a _{3} .] 비슷하게 [eqn: E _{1}] [eqn: -> ` BIGCIRC -> `` BIGCIRC ->] [eqn: E _{1}] 의 모든 가능한 경우는

[eqn: E _{1} ` -> E _{1} -> E _{1} -> E _{1} ,``````````E _{1} ` -> E _{1} -> E _{2} -> E _{1} ,``````````E _{1} ` -> E _{2} -> E _{1} -> E _{1} ,`````````E _{1} ` -> E _{2} -> E _{2} -> E _{1}]

이며 그 확률들의 합인 [eqn: a _{3}]은

[eqn: `p` CDOT `p` CDOT `p+p` CDOT `q` CDOT `1`+q` CDOT `1` CDOT `p+q` CDOT `0` CDOT `1`]

[eqn: =``p ^{3} +2pq``=(1-q) ^{3} +2(1-q)q``=``1-q+q ^{2} -q ^{3}]   --- 3점

[eqn: b _{3}]. 비슷하게 [eqn: E _{1}] [eqn: -> ` BIGCIRC -> `` BIGCIRC ->] [eqn: E _{2}] 의 모든 가능한 경우는

[eqn: E _{1} ` -> E _{1} -> E _{1} -> E _{2} ,``````````E _{1} ` -> E _{1} -> E _{2} -> E _{2} ,``````````E _{1} ` -> E _{2} -> E _{1} -> E _{2} ,`````````E _{1} ` -> E _{2} -> E _{2} -> E _{2}]

이며 그 확률들의 합인 [eqn: b _{3}]은

[eqn: p` CDOT `p` CDOT `q+p` CDOT `q` CDOT `0`+q` CDOT `1` CDOT `q+q` CDOT `0` CDOT `0`]

[eqn: =``p ^{2} q+q ^{2}``=``(1-q) ^{2} q+q ^{2}``=``q-q ^{2} +q ^{3}] --- 3점

[채점 참고]  계산이 맞긴 한데 [eqn: q]에 대한 오름차순 다항식으로 표현되지 않으면 1점씩 감점

(2) (8점) 확률 [eqn: a _{n},`b_n]의 일반항을 [eqn: q]에 대한 다항식으로 나타내시오. (단, 오름차순으로 나타내시오.)

[풀이1]  [eqn: a_{n+1}``=``p`a_n``+``b_n], [eqn: b_{n+1}``=``q`a_n] 에서 [eqn: a_{n+1}``=``p`a_n``+``b_n``=``(1-q)a_n``+``q`a_{n-1}]이므로

[eqn: a_{n+1}``-``a_n``=``(-q)(a_n``-``a_{n-1})] 이제 [eqn: a_{n+1}``-``a_n``=``(-q)^{n-1}``(a_2``-``a_1`)``=``(-q)^{n-1}`q^2``=``(-q)^{n+1}]

따라서 [eqn: a _{n`} =`1+(-q)+(-q) ^{2} +cdots+(-q) ^{n}] --- 4점

[eqn: b _{n} ``=``1-a_{n}``=``- LEFT { (-q)+(-q) ^{2} + CDOTS +(-q) ^{n} RIGHT }]  --- 4점

[풀이2] 위의 논제를 통해 우리는

[eqn: a _{n`} =`1+(-q)+(-q) ^{2} +cdots+(-q) ^{n}], [eqn: b _{n} `=- LEFT { (-q)+(-q) ^{2} + CDOTS +(-q) ^{n} RIGHT }]

이 됨을 추측할 수 있다.  --- 각 4점

[채점 참고]

[문제 2-2]의 풀이와 비슷하게 추론해갈 경우

[eqn: a _{n} `=` _{n} rm C it rm _{0`} ` it p ^{n} + _{n-1} rm C it rm _{1`} ` it p ^{n-2} q ^{1} + _{n-2} rm C it rm _{2`} ` it p ^{n-4} q ^{2} +` CDOTS ,``]

[eqn: b _{n} `=` _{n-1} rm C it rm _{0`} ` it p ^{n-1} q+ _{n-2} rm C it rm _{1`} ` it p ^{n-3} q ^{2} +` CDOTS ``]

까지는 얻을 수 있지만 [eqn: q]의 오름차순 전개가 매우 어렵습니다.  각각 최대 2점입니다.

(3) (6점) 이 경우 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}} ,` lim _{n-> INF } {b _{n}} `]의 값을 구하시오.

[풀이]  등비수열의 공식에 의하여 [eqn: a _{n} `= {1-(-q) ^{n+1}} over {1+q}], [eqn: b _{n`} =- {(-q)(1-(-q) ^{n} )} over {1+q}]이 되고 그 극한 값들은 각각 [eqn: {1} over {1+q} ,`][eqn: {q} over {1+q}]이다.  --- 각 3점

[채점 참고]   답만 맞아도  각 3점 해도 됩니다.