자연계열(오전)

2017학년도 논술고사

자연계열(오전)

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2017학년도 아주대학교 논술고사 자연계열(오전)

[문항1] 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

	2017학년도 자연계열(오전) 논술고사	자연계열 (오전)

(가) 자연로그의 밑 [eqn: e]가 계산된 최초의 기록은 1618년 존 네이피어에 의해 발간된 로그표이다. 그러나 네이피어는 로그 계산의 과정에서 나온 결과 값만을 간단히 다루었을 뿐 자연로그의 밑을 상수로 취급하지는 않았다. 야코프 베르누이는 복리 이자의 계산에서 [eqn: lim _{n -> INF } {} (1+ {1} over {n} ) ^{n}]의 극한값이 수렴함을 발견하였으며, 오일러는 1727년과 1728년 사이에 이 극한값을 [eqn: e]로 표현하였다.

(나) 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: p(x)``=``(1+ {1} over {x} )`` ^{x+a}] ([eqn: x``>``0])는 [eqn: a]값과 관계없이 “[eqn: lim_{x->infty} `{ln}` p(x)``=``1`]”이고 [eqn: lim_{x->infty} p(x)``=``e]가 된다. 따라서 실수 [eqn: a]가 주어질 때 마다 함수 [eqn: p(x)]와 상수 [eqn: e``=``lim_{n->infty}(1+{1over n})^n]을 비교할 수 있다.

(다) 우리는 극한과 도함수의 성질을 이용하여 여러 가지 부등식을 증명할 수 있다. 예를 들면 [eqn: lim _{x -> INF } {}f(x)``=``0] 일 때, 다음 두 명제가 성립한다.

명제 1) 모든 [eqn: x``>``0]에 대하여 [eqn: f`'(x)``>``0]이면, 모든 [eqn: x``>``0]에 대하여 [eqn: f(x)``<``0]

명제 2) 모든 [eqn: x``>``0]에 대하여 [eqn: f`'(x)``<``0]이면, 모든 [eqn: x``>``0]에 대하여 [eqn: f(x)``>``0]

(라) 평균값 정리: 함수 [eqn: f(x)]가 닫힌 구간 [eqn: [a,b]]에서 연속이고 열린 구간 [eqn: (a,b)]에서 미분가능할 때,

[eqn: {f(b)` - `f(a)} over {b`-`a} `=` f`'(c)]

인 [eqn: c]가 열린 구간 [eqn: (a,b)]에 적어도 하나 존재한다.

[문제 1-1] 제시문 (나)와 (다)를 읽고 다음 논제에 답하시오.

(1) (8점) ‘평균값정리를 함수 [eqn: ln``x]에 적용하여’ [eqn: a]값과 관계없이 [eqn: lim_{x->infty}`` {rm ln}` p(x)``=``1]임을 보이시오.

(2) (8점) 제시문 (다)의 명제 1)을 증명하시오.

[문제 1-2] 제시문 (나)와 (다)를 읽고 다음 논제에 답하시오.

(1) (9점) [eqn: a`` ge `` {1} over {2}]인 [eqn: a]에 대하여 [eqn: p(x)`>`e] ([eqn: x`>`0])임을 보이시오.

(2) (9점) [eqn: a``le``0]인 [eqn: a]에 대하여 [eqn: p(x)`<`e] ([eqn: x`>`0])임을 보이시오.

[문제 1-3] 제시문 (나)에서 [eqn: 0`<`a`<`{1 over2}]일 때 다음 논제에 답하시오.

(1) (10점) [eqn: p(x_0`)]가 [eqn: p(x)``]의 최솟값이 되는 양수 [eqn: x_0]가 단 하나 존재하고 [eqn: 0`<`p(x _{0} `)`<`e] 임을 보이시오.

(2) (6점) [eqn: x_0]가 부등식 [eqn: {{a^2}over{1-2a}``<``x_0``<``{a over{1-2a}}]를 만족함을 보이시오.

(가) 약용이네는 매일 오후 6시가 되면 집에서 식사([eqn: E _{1}])를 하거나 외식([eqn: E _{2}])을 한다. 내일부터는 매일 저녁 식사를 다음 표의 규칙에 따라 [eqn: E _{1}] 또는 [eqn: E _{2}]을 선택한다. [eqn: p,`q]는 양수이고 [eqn: r,`s]는 음이 아닌 실수이며 [eqn: p+q=1], [eqn: r+s=1]을 만족한다.

2일 식사	확률
[eqn: E _{1}] 다음에 [eqn: E _{1}]	[eqn: p]
[eqn: E _{1}] 다음에 [eqn: E _{2}]	[eqn: q]
[eqn: E _{2}] 다음에 [eqn: E _{1}]	[eqn: r]
[eqn: E _{2}] 다음에 [eqn: E _{2}]	[eqn: s]

[표1]

(나) 제시문 (가)의 규칙을 연속으로 두 번 적용한 아래의 수형도는 오늘, 내일, 모레 저녁 식사의 모든 가능한 경우들을 표현한다.

예를 들면 [eqn: 1` BUILDREL rarrow {{}_p} 1 BUILDREL rarrow {{}_q} 2]는 오늘, 내일, 모레 저녁 식사가 [eqn: E _{1} `,`E _{1} ,`E _{2}] 인 것을 표현하며 그 확률은 [eqn: E _{1} ` -> `E _{1}]의 확률과 [eqn: E _{1`} `-> `E _{2}]의 확률의 곱인 [eqn: p`times`q`]가 된다고 하자. 나머지 경우들의 확률도 비슷하게 확률의 곱으로 얻어진다고 하면 우리는 다음의 표를 얻게 된다.

3일 식사	확률
[eqn: E _{1}] [eqn: -> ` BIGCIRC ->] [eqn: E _{1}]	[eqn: p ^{`} `times`p+q` TIMES `r]
[eqn: E _{1}] [eqn: -> ` BIGCIRC ->] [eqn: E _{2}]	[eqn: p`` TIMES `q`+q` TIMES `s]
[eqn: E _{2}] [eqn: -> ` BIGCIRC ->] [eqn: E _{1}]	[eqn: r` TIMES `p`+s`times`r]
[eqn: E _{2}] [eqn: -> ` BIGCIRC ->] [eqn: E _{2}]	[eqn: r` TIMES `q+s ^{} ``times`s]

[표2]

(다) 제시문 (가)의 규칙을 연속으로 [eqn: n]번 적용하고 제시문 (나)와 같이 확률을 구해나갈 때, 오늘 저녁식사가 [eqn: E _{1}]일 경우 [eqn: n]일([eqn: n=1,2,cdots]) 이후 저녁 식사가 [eqn: E _{1}]일 확률을 [eqn: a _{n}], [eqn: E _{2}]일 확률을 [eqn: b _{n}]이라고 표시하고, 오늘 저녁 식사가 [eqn: E _{2}]일 경우 [eqn: n]일([eqn: n=1,2,cdots]) 이후 저녁 식사가 [eqn: E _{1}]일 확률을 [eqn: c _{n}], [eqn: E _{2}]일 확률을 [eqn: d _{n}]이라고 표시하자. 예를 들어 [표1]의 확률들은 [eqn: a _{1} ,`b _{1} ,`c _{1} ,`d _{1}]이고 [표2]에 계산된 확률들은 [eqn: a _{2} ,`b _{2} ,`c _{2} ,`d _{2}]이다.

(라) 실수 [eqn: x,y]와 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음의 이항정리가 성립한다.

[eqn: (x+y) ^{n} `=` _{n} {rm C} _{0} `x ^{n} `y ^{0} ``+` _{n} {rm C} _{1} `x ^{n-1} `y ^{1} `+ CDOTS + _{n} {rm C} _{n-1} `x ^{1} `y ^{n-1} `+ _{n} {rm C} _{n} `x ^{0} `y ^{n}].

[문항2] 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

[문제 2-1] 제시문 (가)~(다)에서 [eqn: p = s, `q=r]이라고 하자.

(1) (5점) [eqn: a _{3} ,`b _{3}]을 구하시오.

(2) (7점) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} =d _{n}], [eqn: b _{n} `=c _{n}]임을 보이시오.

[문제 2-2] 제시문 (가)~(다)에서 [eqn: p = s, `q=r]이라고 하자.

(1) (8점) 확률 [eqn: a _{n}]이 다음 합

[eqn: {} _{n} {rm C} _{0} ``p ^{n} q ^{0} ``+` _{n} {rm C} _{1} ``p ^{n-1} q ^{1} `+ CDOTS + _{n} {rm C} _{n-1} `p ^{1} `q ^{n-1} + _{n} {rm C} _{n} ``p ^{0} q ^{n}]

의 첫 번째, 세 번째,[eqn: cdots] 항들의 합 [eqn: {} _{n} rm C it rm _{0} ``p ^{n} q ^{0} ``+ _{n} rm C it rm _{2} ``p ^{n-2} q ^{2} `+` n} rm C it rm _{4} ``p ^{n-4} q ^{4} `+CDOTS]이 됨을 보이시오.

(2) (8점) 이 경우 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}} ,` `lim _{n-> INF } {b _{n}} `]의 값을 구하시오.

[문제 2-3]  제시문 (가)~(다)에서 [eqn: r=1], [eqn: s=0]이라고 하자.

(1) (8점) 확률 [eqn: a _{2} ,`b _{2} ,`a _{3} ,`b _{3} `]을 [eqn: q]에 대한 다항식으로 나타내시오. (단, 오름차순으로 나타내시오.)

(2) (8점) 확률 [eqn: a _{n},`b_n]의 일반항을 [eqn: q]에 대한 다항식으로 나타내시오. (단, 오름차순으로 나타내시오.)

(3) (6점) 이 경우 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}} ,` lim _{n-> INF } {b _{n}} `]의 값을 구하시오.