[2017학년도 아주대학교 모의논술 문항정보]

일반정보

유형	모의논술고사 v
전형명	-
해당 대학의 계열(과목) / 문항번호	자연계열 대문항1번
출제 범위	고등학교 과목명	수학
	핵심개념 및 용어	평균
예상 소요 시간	120분 중 60분

문항 및 제시문

주어진 여러 수량들의 대푯값을 찾을 때 우리는 평균을 이용한다. 평균을 구하는 과정에서 중요한 수량들은 그 중요도에 따라 더 반영하여야 한다.

(가) 구간 [eqn: [a,b]]에 정의된 함수 [eqn: f(x)]를 생각하자.  임의 부분구간 [eqn: [ alpha , beta ]` SUBSET `[a,b]]를  수열 [eqn: alpha=x _{0`} <x _{1} <` CDOTS `<`x _{n-1} <x _{n} =beta]을 이용하여 나누면,  이를 이용한 [eqn: [ alpha ,` beta ]]에서의 함수 [eqn: f(x)]의 평균의 근삿값은

[eqn: sum _{k=0} ^{n-1} ``f(x _{k} )` {x _{k+1} -x _{k}} over {beta-alpha}] = [eqn: {1} over {beta-alpha} ` sum _{k=0} ^{n-1} ```f(x _{k} )` DELTA ``x _{k}],   [eqn: Delta`x _{k} ``=x _{k+1} `-x _{k}]

가 된다. 이러한 과정의 극한으로서 ‘구간 [eqn: [ alpha , beta ]]에서의 함수 [eqn: f(x)]의 평균’은

[eqn: {1} over {beta-alpha} `` int _{alpha} ^{beta} {f(x)`dx} ``]

으로 주어진다.

(나) 표본공간 [eqn: S `=` LEFT { x _{1},`` x _{2},```cdots`,```x _{n} RIGHT }]의 각 원소에 하나의 값을 대응시키는 함수 [eqn: X]를  ‘확률변수’라고 한다. 또한 [eqn: S`]의 부분집합 [eqn: E``=` LEFT { e _{1} `,``e _{2} `,`` CDOTS ``,`e _{k} RIGHT }]를 우리는 ‘사건’이라고 한다. 이때 [eqn: E]의 원소 하나로 이루어진 집합 [eqn: LEFT { e _{i} RIGHT }]도 부분집합이므로 사건이다.  한 사건 [eqn: E``]의 확률을 [eqn: P``(E)`]로 표시할 때, [eqn: P``(E)`>0]인 경우 ‘사건 [eqn: E``]에서의 확률변수 [eqn: X``]의 평균’을

[eqn: ` {1} over {P(E)} sum _{i=1`} ^{k} ```X``(e _{i} )`P``( LEFT { e _{i} RIGHT } )]

으로 정의하자.  예를 들어 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수 [eqn: 1,`2,`3,`4,`5,`6]은 표본이 되고 그 확률이 각각 [eqn: p _{1} ,`p _{2} ,`p _{3} ,`p _{4,`} p _{5} ,`p _{6}]이고, 확률변수 [eqn: X]의 값들이  [eqn: x _{1} ,`x _{2} ,`x _{3} ,`x _{4} ,`x _{5} ,`x _{6}]로 주어진 경우,  사건 [eqn: LEFT { 1,`2,`3` RIGHT }]에서의 확률변수 [eqn: X``]의 평균은  [eqn: {1} over {p _{1} +p _{2} +p _{3}} ` LEFT ( x _{1} p _{1} `+x _{2} `p _{2} `+`x _{3} `p _{3} RIGHT )]이 된다.

(다) 함수 [eqn: f`(x)]가 열린 구간 [eqn: (a,b)`]에서 정의되어 있고  모든 점에서 두 번 미분가능하다고 하자. 임의의 점 [eqn: x _{0} ` IN `(a,b)`]에서 함수 [eqn: f`(x)]의 이계도함수 값 [eqn: f '' (x _{0} )]는 도함수 [eqn: f`'(x)]의 [eqn: x _{0}]에서의 미분계수이다:

[eqn: f '' (x _{0} )`=` lim _{h -> 0} {{f` prime (x _{0} +h)-f` prime (x _{0} )} over {h}}] .

[문제 1-1] (1) (5점) 아주대학교를 다니는 다산이는 지금 수평거리 [eqn: 200`m]인 언덕을 걸어서 넘고 있다. 수평거리를 따른 언덕의 단면 높이가 구간 [eqn: [0,200]]에 정의된 다음의 함수

[eqn: f(x)`=x,``````x` IN `[0,100]````;``````f(x)`=100` TIMES `cos ^{2} LEFT ( {pi } over {200} (`x-100) RIGHT ) ,```x`` IN `[100,200]]

으로 표현된다고 하자. ‘구간 [eqn: [50,`200]]에서의 [eqn: f`(x)]의 평균’을 구하라.

(2) (10점) 표본공간 [eqn: S`=` LEFT { 0,`1,`2,`3,`4,`5 RIGHT }]를 생각하자. 이 때 [eqn: n=0,`1,`2,`3,`4,`5]에 대하여 각 사건 [eqn: LEFT { n RIGHT }]이 나올 확률이 앞, 뒤가 나올 확률이 같은 동전을 다섯 번 던져 앞이 나오는 횟수가 [eqn: n]일 확률과 같다. 이 때, ‘[eqn: 2]보다 작거나 같은 수로 이뤄진 사건에서의 확률변수 [eqn: X(n)`=`n ^{2}]의 평균’을 구하라.

[문제 1-2] (10점) 제시문 (가)에서 [eqn: [a,b]`=`[a _{0} ,``a _{m} ]]이라고 하고 함수 [eqn: f(x)]가 이 구간 [eqn: [a _{0} ,`a _{m} ]]에서 정의되어 있다고 하자. 구간 [eqn: [a _{0} ,a _{m} ]]을 수열 [eqn: a _{0`} <a _{1} <` CDOTS `<`a _{m-1} <a _{m}]으로 나누고 [eqn: c _{l}] ([eqn: l=1, LDOTS ,m])을 각 ‘작은 구간 [eqn: [a _{l-1} ,`a _{l} ]]에서의 [eqn: f(x)]의 평균’이라고 하자.

구간 [eqn: [a _{0} ,a _{m} ]] 위의 함수 [eqn: h _{l}(x)] ([eqn: l=1, LDOTS ,m])을 각각  [eqn: x]가 [eqn: [a _{l-1} ,``a _{l} ]]에 속할 때만 1이 되고, 그렇지 않으면 0이 되는 함수라고 정의 할 때, 다음의 함수를 생각하자.

[eqn: g(x)`=`c _{1} ```h _{1} (x)`+ CDOTS +`c _{m} `h _{m} (x)], [eqn: x``in``[a _{0} ,``a _{m} ]].

전체 구간 [eqn: [a,`b]]에서의 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]의 평균의 대소관계에 대하여 논하라.

[문제 1-3]  제시문 (다)에서 함수 [eqn: f(x)]의 이계도함수의 값이 구간 [eqn: (a,b)]안의 모든 점에서 0보다 크거나 같다고 하자.

(1) (10점) 함수 [eqn: f(x)]의 그래프 상의 임의의 점 [eqn: (x_0,`f(x_0`))]에서 그은 접선 [eqn: ell]은 항상 [eqn: y=f(x)]

의 그래프 아래에 놓임을 보여라.

(2) (15점) 구간 [eqn: (a,b)]안의 임의의 점 [eqn: x _{0}]와 [eqn: LEFT [ x _{0} -d,`x _{0} +d RIGHT ] ` SUBSET ` LEFT ( a,b RIGHT )]이 되는 임의의 양수 [eqn: d~]에 대하여 ‘구간 [eqn: [x _{0} -d,`x _{0} +d]]에서의 함수 [eqn: f(x)]의 평균’은 항상 [eqn: f(x _{0} )]보다 크거나 같음을 보여라. 또 ‘구간 [eqn: [x _{0} -d,`x _{0} +d]]에서의 이차함수 [eqn: f(x)``=``px^2``+qx+r]의 평균’ (단, [eqn: p>0])은 항상 [eqn: f(x _{0} )]보다 큼을 보여라.

출제 의도

[문제 1-1] 연속함수의 적분 계산과 이산확률변수 평균계산이 가능한지 확인함

[문제 1-2] 함수의 부분 평균들의 평균이 원래 평균과 같음을 관찰하게 함

[문제 1-3] 개구간 [eqn: (a,b)]에서 정의된 함수의 이계도함수의 부호가 점 근방의 평균에 대한 정보를 주는 것을 관찰하게 함

문항 및 제시문 출제근거

1. 제시문(문항포함)

(1) 제시문

적용 교육과정	미적분 I, 확률과통계
성취기준	정적분을 의미를 이해한다. 이산확률변수와 확률분포의 뜻을 알고, 이산확률변수의 기댓값(평균)을 구할 수 있다. 미분계수의 의미를 이해한다.
※ 필요한 경우 교육과정 해설서의 내용을 성취기준과 함께 제시

참고자료	도서명	저자	발행처	발행년도	쪽수
고등학교 교과서	고등학교 미적분 I	류희찬 외	천재교과서	2016
	고등학교 확률과 통계	류희찬 외	천재교과서	2016

(2) 문항

적용 교육과정	수학 I, 수학 II, 미적분 I, 미적분 II, 확률과 통계
성취기준	[문제 1-1, 1-2] 정적분의 뜻, 부정적분과 정적분의 관계를 이해하고, 이를 이용하여 정적분을 계산하고 정적분의 성질 또한 이용할 수 있다. 또한 이산확률변수와 확률분포의 뜻을 알고, 이산확률변수의 기댓값(평균)을 구할 수 있다. [문제 1-3] 미분계수의 기학적인 의미, 평균값 정리, 정적분의 의미를 이해 활용할 수 있다.

참고자료	도서명	저자	발행처	발행년도	쪽수
고등학교 교과서	미적분 I	류희찬 외	천재교육	2016
	확률과 통계	류희찬 외	천재교육	2016
	기초수학	류희찬 외	천재교육	2016

2. 문항

(1) 문항 1-1

문항 1-1 문항

[문제 1-1] (1) (5점) 아주대학교를 다니는 다산이는 지금 수평거리 [eqn: 200`m]인 언덕을 걸어서 넘고 있다. 수평거리를 따른 언덕의 단면 높이가 구간 [eqn: [0,200]]에 정의된 다음의 함수

[eqn: f(x)`=x,``````x` IN `[0,100]````;``````f(x)`=100` TIMES `cos ^{2} LEFT ( {pi } over {200} (`x-100) RIGHT ) ,```x`` IN `[100,200]]

으로 표현된다고 하자. ‘구간 [eqn: [50,`200]]에서의 [eqn: f`(x)]의 평균’을 구하라.

(2) (10점) 표본공간 [eqn: S`=` LEFT { 0,`1,`2,`3,`4,`5 RIGHT }]를 생각하자. 이 때 [eqn: n=0,`1,`2,`3,`4,`5]에 대하여 각 사건 [eqn: LEFT { n RIGHT }]이 나올 확률이 앞, 뒤가 나올 확률이 같은 동전을 다섯 번 던져 앞이 나오는 횟수가 [eqn: n]일 확률과 같다. 이 때, ‘[eqn: 2]보다 작거나 같은 수로 이뤄진 사건에서의 확률변수 [eqn: X(n)`=`n ^{2}]의 평균’을 구하라.

문항 1-1 출제의도 및 해설

[문제 1-1] 연속함수의 적분 계산과 이산확률변수 평균계산이 가능한지를 확인한다.

문항 1-1 채점기준

[문제 1-1]

(1)

[eqn: {1} over {200-50} LEFT ( ` int _{0} ^{100} {`x``dx} ````+` int _{100} ^{200} {`100``cos ^{2} ` LEFT ( {pi } over {200} (x-100) RIGHT ) dx} `` RIGHT )]의 식 수립   (1점)

[eqn: int _{0} ^{100} {} ``x``dx`=`5000] 계산 (1점)

[eqn: int _{100} ^{200} {`100``cos ^{2} ` LEFT ( {pi } over {200} (x-100) RIGHT ) dx} ``=`5000] 계산 (2점)

답 정리  [eqn: {200} over {3}]  (1점)

(2)

사건들 [eqn: LEFT { 0 RIGHT } ,` LEFT { 1 RIGHT } ,` LEFT { 2 RIGHT } `]의 확률 구하기 (6점)

제시문 (나)의 정의에 따른 평균 계산과 답 [eqn: {45} over {16}] (4점)

문항 1-1 예시답안

[문제 1-1] (1)  함수 [eqn: f(x)]의 [eqn: [50,`200]]에서의 평균은

[eqn: {1} over {200-50} LEFT ( ` int _{0} ^{100} {`x``dx} ````+` int _{100} ^{200} {`100``cos ^{2} ` LEFT ( {pi } over {200} (x-100) RIGHT ) dx} `` RIGHT )]

이다. 괄호 안 첫 적분은 [eqn: LEFT [ {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{100} ```=`5000]이고, 두 번째 적분은 치환 [eqn: y= {pi } over {200} (x-100)]과 배각공식 [eqn: cos(2y)=2cos ^{2} y-1]에 의하여

[eqn: {20000} over {pi } `` int _{0} ^{{pi } over {2}} {cos ^{2} `y`dy} ```= {20000} over {pi } `` int _{0} ^{{pi } over {2}} {{1+cos(2y)} over {2} `dy} ```=`` {10000} over {pi } `` LEFT [ y+ {1} over {2} sin`(2y) RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}} ```=`5000]

이 된다. 그러므로 함수 [eqn: f(x)]의 [eqn: [50,`200]]에서의 평균은 [eqn: {1} over {150} ` LEFT ( 5000+5000 RIGHT ) ``=` {200} over {3}] 이다.

(2) 사건들 [eqn: LEFT { 0 RIGHT } ,` LEFT { 1 RIGHT } ,` LEFT { 2 RIGHT } `]의 확률은 이항분포에 의하여 각각 [eqn: {} _{5} C _{0`} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5}], [eqn: {} _{5} C _{1} ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5}], [eqn: {} _{5} C _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5}]이며 이들의 합은 [eqn: {1+5+10} over {2 ^{5}} = {1} over {2}]이다. 그러므로 사건 [eqn: LEFT { 0,`1,`2 RIGHT }]에서의 확률변수 [eqn: X``]의 평균은 제시문 (나)안의 정의에 의하여

[eqn: {1} over {{1} over {2}} ` LEFT ( 0 ^{2} ` CDOT `` {1} over {2 ^{5}} ``+`1 ^{2} ` CDOT ` {5} over {2 ^{5}} ``+`2 ^{2} `` CDOT ` {10} over {2 ^{5}} RIGHT ) ``=`` {45} over {16}]

가 된다.

(2) 문항 1-2

문항 1-2 문항

[문제 1-2] (10점) 제시문 (가)에서 [eqn: [a,b]`=`[a _{0} ,``a _{m} ]]이라고 하고 함수 [eqn: f(x)]가 이 구간 [eqn: [a _{0} ,`a _{m} ]]에서 정의되어 있다고 하자. 구간 [eqn: [a _{0} ,a _{m} ]]을 수열 [eqn: a _{0`} <a _{1} <` CDOTS `<`a _{m-1} <a _{m}]으로 나누고 [eqn: c _{l}] ([eqn: l=1, LDOTS ,m])을 각 ‘작은 구간 [eqn: [a _{l-1} ,`a _{l} ]]에서의 [eqn: f(x)]의 평균’이라고 하자.

구간 [eqn: [a _{0} ,a _{m} ]] 위의 함수 [eqn: h _{l}(x)] ([eqn: l=1, LDOTS ,m])을 각각  [eqn: x]가 [eqn: [a _{l-1} ,``a _{l} ]]에 속할 때만 1이 되고, 그렇지 않으면 0이 되는 함수라고 정의 할 때, 다음의 함수를 생각하자.

[eqn: g(x)`=`c _{1} ```h _{1} (x)`+ CDOTS +`c _{m} `h _{m} (x)], [eqn: x``in``[a _{0} ,``a _{m} ]].

전체 구간 [eqn: [a,`b]]에서의 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]의 평균의 대소관계에 대하여 논하라.

문항 1-2 출제의도 및 해설

[문제 1-2] 함수의 부분 평균들의 평균이 원래 평균과 같음을 관찰하게 함

문항 1-2 채점기준

[문제 1-2]

[eqn: {1} over {a _{m} -a _{0}} int _{a _{0} `} ^{a _{m}} {g(x)``dx} `=` {1} over {a _{m} -a _{0}} ``` sum _{l=1} ^{m} ``` int _{a _{l-1} ```} ^{a _{l}} {g(x)`dx} ```#]의 관찰  (3점)

[eqn: g]의 정의에 의한 [eqn: ` {1} over {a _{m} -a _{0}} ``` sum _{l=1} ^{m} ``` int _{a _{l-1} ```} ^{a _{l}} {g(x)`dx} ``=`#] [eqn: ` {1} over {a _{m} -a _{0}} ``` sum _{l=1} ^{m} ```c _{l} `(a _{l} -a _{l-1} )```] 유도  (3점)

[eqn: c _{l}]의 정의를 이용한

[eqn: {1} over {a _{m} -a _{0}} sum _{l=1} ^{m} ```` LEFT [ {1} over {a _{l} -a _{l-1}} `` int _{a _{l-1}} ^{a _{l}} {f(v)dv} ``` CDOT `(a _{l} -a _{l-1} ) RIGHT ] = {1} over {a _{m} -a _{0}} ``` sum _{l=1} ^{m} ```` int _{a _{l-1}} ^{a _{l}} {f(v)dv}]     (3점)

계산

[eqn: [a,b]]에서 두 함수 [eqn: f(x),`g(x)]의 평균은 같다는 결론 (1점)

문항 1-2 예시답안

[문제 1-2]  제시문 (가)의 정의에 의해서 [eqn: [a,b]]에서 [eqn: g(x)]의 평균은 [eqn: {1} over {a _{m} -a _{0}} int _{a _{0} `} ^{a _{m}} {g(x)``dx}]이다. 정적분의 성질에 의해서 [eqn: int _{a _{0} ````} ^{a _{m}} `g(x)dx]는 [eqn: m]개의 정적분들 [eqn: int _{a _{0}} ^{a _{1}} {g(x)dx,``...`,`} int _{a _{m-1} ``} ^{a _{m}} `g(x)dx]의 합이 되기 때문에 우리는

[eqn: {1} over {a _{m} -a _{0}} int _{a _{0} `} ^{a _{m}} {g(x)``dx} `=` {1} over {a _{m} -a _{0}} ``` sum _{l=1} ^{m} ``` int _{a _{l-1} ```} ^{a _{l}} {g(x)`dx} ```#]

를 관찰할 수 있다. 정의에 의해서 각 구간 [eqn: [a _{l-1} ,`a _{l} ]]에서 함수 [eqn: g(x)]는 상수 [eqn: c _{l}]이므로 위 식은 다시

[eqn: ` {1} over {a _{m} -a _{0}} ``` sum _{l=1} ^{m} ```c _{l} `(a _{l} -a _{l-1} )```]

이 된다. 이제 [eqn: c _{l}]의 정의를 대입하면,  우리는

[eqn: {1} over {a _{m} -a _{0}} sum _{l=1} ^{m} ```` LEFT [ {1} over {a _{l} -a _{l-1}} `` int _{a _{l-1}} ^{a _{l}} {f(v)dv} ``` CDOT `(a _{l} -a _{l-1} ) RIGHT ] = {1} over {a _{m} -a _{0}} ``` sum _{l=1} ^{m} ```` int _{a _{l-1}} ^{a _{l}} {f(v)dv}]

를 얻게 되고, 다시 정적분의 성질에 의하여 위의 마지막 항이 [eqn: [a,b]]에서 [eqn: f(x)]의 평균이 됨을 볼 수 있다.  그러므로 [eqn: [a,b]]에서 두 함수 [eqn: f(x),`g(x)]의 평균은 같다.

(3) 문항 1-3

[문제 1-3]  제시문 (다)에서 함수 [eqn: f(x)]의 이계도함수의 값이 구간 [eqn: (a,b)]안의 모든 점에서 0보다 크거나 같다고 하자.

(1) (10점) 함수 [eqn: f(x)]의 그래프 상의 임의의 점 [eqn: (x_0,`f(x_0`))]에서 그은 접선 [eqn: ell]은 항상 [eqn: y=f(x)]

의 그래프 아래에 놓임을 보여라.

(2) (15점) 구간 [eqn: (a,b)]안의 임의의 점 [eqn: x _{0}]와 [eqn: LEFT [ x _{0} -d,`x _{0} +d RIGHT ] ` SUBSET ` LEFT ( a,b RIGHT )]이 되는 임의의 양수 [eqn: d~]에 대하여 ‘구간 [eqn: [x _{0} -d,`x _{0} +d]]에서의 함수 [eqn: f(x)]의 평균’은 항상 [eqn: f(x _{0} )]보다 크거나 같음을 보여라. 또 ‘구간 [eqn: [x _{0} -d,`x _{0} +d]]에서의 이차함수 [eqn: f(x)``=``px^2``+qx+r]의 평균’ (단, [eqn: p>0])은 항상 [eqn: f(x _{0} )]보다 큼을 보여라.

문항 1-3 출제의도 및 해설

[문제 1-3] 개구간 [eqn: (a,b)] 에서 정의된 함수의 이계도함수의 부호가  각 점 근방의 평균에 대한 정보를 주는 것을 관찰할 수 있게 함

문항 1-3 채점기준

[문제 1-3]

(1)

도함수 [eqn: f`'`(x)]는 증가함수임을 보임 (3점)

접선 [eqn: ell]의 식 (1점)

[eqn: x`>x_0] 일 때 접선식이 함수 그래프 밑에 있음을 보임 (3점)

[eqn: x`<x_0] 일 때도 접선식이 함수 그래프 밑에 있음을 보임 (3점)

(2)

[eqn: x`` IN ``[x _{0} -d,x _{0} +d]] 에 대해 [eqn: f(x)`` GEQ ``f(x _{0} `)``+``f` prime (x _{0} `)``(x-x _{0} )]임을 암 (2점)

[eqn: x _{0} -d]에서 [eqn: x _{0} +d]까지 적분하고 [eqn: 2d]를 나눌 때, 좌변은 ‘구간 [eqn: [x _{0} -d,`x _{0} +d]]에서의 함수 [eqn: f(x)]의 평균’임을 암 (2점)

[eqn: x _{0} -d]에서 [eqn: x _{0} +d]까지 적분하고 [eqn: 2d]를 나눌 때, 우변이 [eqn: f(x _{0} )]임을 보임

- [eqn: {1} over {2d} int _{x _{0} -d} ^{x _{0} +d} {f(x _{0} )`dx``=`f(x _{0} )} ``] (2점)

- [eqn: {f'(x _{0} )} over {2d} int _{x _{0} -d`} ^{x _{0} +d} {(x-x _{0} )dx`=`0} `] (4점)

[eqn: f(x)`` GEQ ``f(x _{0} `)``+``f` prime (x _{0} `)``(x-x _{0} )]의 부등식은 위 적분 하에서 부호가 바뀌지 않음을 알고  ‘구간 [eqn: [x _{0} -d,`x _{0} +d]]에서의 함수 [eqn: f(x)]의 평균’ [eqn: ge][eqn: f(x _{0} )] 결론을 냄 (1점)

구간 [eqn: [x _{0} -d,`x _{0} +d]]에서의 ‘[eqn: f(x)``=``px^2``+qx+r]의 평균’ [eqn: =``f(x _{0} )``+`` {pd ^{2}} over {3}] 임을 계산 (3점)

[eqn: p>0]에 의해서 구간 [eqn: [x _{0} -d,`x _{0} +d]]에서의 이차함수의 평균 [eqn: f(x _{0} )]보다 큼을 관찰 (1점)

문항 1-3 예시답안

[문제 1-3]  (1) 도함수 [eqn: f`'`(x)]는 증가함수이다. 즉, 구간 [eqn: (a,b)]안에 있는 임의의 [eqn: x _{1} ``<`x _{2} `]에 대하여 [eqn: f` prime `(x _{1} )```le``f`'`(x _{2} )]이다. 왜냐하면 구간 [eqn: [x _{1} ,x _{2} ]]이 [eqn: (a,b)]안에 있고, 가정에 의해서 도함수 [eqn: f``'(x)]은  [eqn: [x _{1} ,x _{2} ]]의 모든 점에서 미분가능하고 따라서 연속이기 때문에 평균값 정리에 의하여, [eqn: (x _{1} ,x _{2} )`] 안에 어떤 [eqn: c]가 존재하며 [eqn: f` prime (x _{2} )-f` prime (x _{1} )`=`f` '' `( c )`(x _{2} -x _{1} )`ge`0]이 성립하여 [eqn: f` prime `(x _{1} )```le``f`'`(x _{2} )]이 된다.

함수 [eqn: y``=``f(x)]의 그래프 상의 임의의 점 [eqn: (x_0`,`f(x_0`))]에서 그은   접선 [eqn: ell]의 식은

[eqn: y ``-```f(x_0`)``=`` `f`'`(x_0`)`(x-x_0`)] 즉, [eqn: y ``=```f(x_0`)``+`` `f`'`(x_0`)`(x-x_0`)]으로 표현된다.

(i) [eqn: x`>x_0] 일 때

평균값 정리에 의해 [eqn: x_0``<``c``<``x`]인 [eqn: c`]가 존재하여 [eqn: {f(x)-f(x_0`)} over {x-x_0} ``=```f` prime `(c)`] 가 되고 [eqn: f``'(x)]는 증가함수이므로 [eqn: f`'(c)``ge``f`'(x_0`)]이 된다. 따라서 [eqn: {f(x)-f(x_0`)} over {x-x_0} ``ge```f` prime `(x_0`)`] 이므로 [eqn: f(x)``ge``f(x_0`)``+``f`'(x_0`)``(x-x_0`)]을 얻는다.

(ii) [eqn: x`<x_0] 일 때

평균값 정리에 의해 [eqn: x``<``c``<``x_0`]인 [eqn: c`]가 존재하여 [eqn: {f(x)-f(x_0`)} over {x-x_0} ``=```f` prime `(c)`] 가 되고 [eqn: f``'(x)]는 증가함수이므로 이번에는 [eqn: f`'(c)``le``f`'(x_0`)]. 따라서 [eqn: {f(x)-f(x_0`)} over {x-x_0} ``le```f` prime `(x_0`)`] 이므로

[eqn: f(x)``ge``f(x_0`)``+``f`'(x_0`)``(x-x_0`)]을 얻는다. ([eqn: x``-``x_0`]는 음수이므로 양변에 곱할 때 부등호 방향이 바뀐다)

(i), (ii) 에 의해 항상 [eqn: f(x)``ge``f(x_0`)``+``f`'(x_0`)``(x-x_0`)]이 성립하므로 접선 [eqn: ell]은 항상 [eqn: f] 의 그래프 아래에 놓인다.

(2) [eqn: (a,b)]안의 임의의 점 [eqn: x _{0}]와 [eqn: LEFT [ x _{0} -d,`x _{0} +d RIGHT ] ` SUBSET ` LEFT ( a,b RIGHT )]가 되는 임의의 양수 [eqn: d]에 대하여, [eqn: x`` IN ``[x _{0} -d,x _{0} +d]] 이면 (1)에 의하여 [eqn: f(x)`` GEQ ``f(x _{0} `)``+``f` prime (x _{0} `)``(x-x _{0} )]이 된다. 이 부등식의 양변을 [eqn: x _{0} -d]에서 [eqn: x _{0} +d]까지 적분하고 [eqn: 2d]를 나누면, 좌변은 ‘구간 [eqn: [x _{0} -d,`x _{0} +d]]에서의 함수 [eqn: f(x)]의 평균’이고, 우변은

[eqn: {1} over {2`d} `` int _{x _{0} -d} ^{x _{0} +d} {`(f(x _{0} )`+`f prime (x _{0} )(x-x _{0} ))`dx} ```=` {f(x _{0} )} over {2`d} ` int _{x _{0} -d} ^{x _{0} +d} {1``dx} ````+` {f'(x _{0} )} over {2`d} ` int _{x _{0} -d} ^{x _{0} +d} {(x-x _{0} )dx} ````#]

이다. 이때 적분[eqn: int _{x _{0} -d} ^{x _{0} +d} {1`dx} ``]의 값은 [eqn: 2d]이고, 적분 [eqn: int _{x _{0} -d`} ^{x _{0} +d} {(x-x _{0} )dx} `]는 치환[eqn: y=x-x _{0}]에 의하여 [eqn: int _{-d} ^{d} {ydy} ``= LEFT [ {1} over {2} `y ^{2} RIGHT ] _{-d} ^{d} ``=0]이 되어 [eqn: {1} over {2`d} `` int _{x _{0} -d} ^{x _{0} +d} {`(f(x _{0} )`+`f prime (x _{0} )(x-x _{0} ))`dx} `#]의 값은 [eqn: f(x _{0} )]가 된다. 그러므로 구간 [eqn: [x _{0} -d,`x _{0} +d]]에서의 함수 [eqn: f(x)]의 평균은 항상 [eqn: f(x _{0} )]보다 크거나 같게 된다.

구간 [eqn: [x _{0} -d,`x _{0} +d]]에서의 ‘[eqn: f(x)``=``px^2``+qx+r]의 평균’ (단, [eqn: p>0]) 은

[eqn: {1} over {2`d} `` int _{x _{0} -d} ^{x _{0} +d} {(px ^{2} ``+qx+r)`dx} ``]

[eqn: =`` {1} over {2d} LEFT [ {p} over {3} x ^{3} ``+ {q} over {2} x ^{2} ``+``rx RIGHT ] _{x _{0} -d} ^{x _{0} +d}]

[eqn: =`` {1} over {2d} LEFT ( {p} over {3} ((x _{0} +d) ^{3} ``-``(x _{0} -d) ^{3} `)``+`` {q} over {2} ((x _{0} +d) ^{2} ``-``(x _{0} -d) ^{2} ``)``+``r(x _{0} +d-(x _{0} -d)) RIGHT )]

[eqn: =`` {1} over {2d} LEFT ( {2d` TIMES `p} over {3} (3x _{0} ^{2} ``+``d ^{2} `)``+`` {2d` TIMES `q} over {2} (2x _{0} )``+``r(2d) RIGHT )]

[eqn: =``px _{0} ^{2} ``+``qx _{0} ``+``r``+`` {pd ^{2}} over {3}]

[eqn: =``f(x _{0} )``+`` {pd ^{2}} over {3}]

이므로 구간 [eqn: [x _{0} -d,`x _{0} +d]]에서의 함수 [eqn: f(x)]의 평균은 항상 [eqn: f(x _{0} )]보다 크게 된다.

[2017학년도 아주대학교 모의논술 문항정보]

일반정보

유형	모의논술고사 v
전형명	-
해당 대학의 계열(과목) / 문항번호	자연계열 대문항2번
출제 범위	고등학교 과목명	수학
	핵심개념 및 용어	코사인법칙, 도형의 변환
예상 소요 시간	120분 중 60분

문항 및 제시문

(가)  아주 작아 보이는 발견이 수학자들을 흥분의 도가니로 몰아넣었다. 2015년 8월 달 일간지에  바닥면에 겹치거나 빈틈이 없도록 타일을 붙일 수 있는 새로운 오각형이 3명의 수학자들에 의해 발견되었다는 기사가 때문이었다.

[그림 1]

워싱턴 대학의 수학 교수 케이시 만(Casey Mann)과 그의 부인 제니퍼 맥루드(Jennifer McLoud) 그리고 학부생 연구원인 데이비드 폰 드라우(David Von Derau)가 이 놀라운 방법을 발견하기 전까지 평면을 덮을 수 있는 오각형 종류는 14개뿐이었다. 14번째 방법이 마지막으로 발견된 건 1985년. 30여 년 만에 15번 째 방법이 채워졌다.

평면을 덮을 수 있는 오각형의 종류가 더 있는지는 아직 아무도 모른다.

이번에 15번째로 발견된 오각형은 다음과 같다.

[그림 2]

[eqn: rm bar{AB}``=``bar{AE}``=``bar{CD}``=``{1 over 2}], [eqn: rm bar{BC}``=``1`]

[eqn: rm angle A``=``90^{ㅇ}], [eqn: rm angle B``=``150^{ㅇ}],

[eqn: rm angle C``=``60^{ㅇ}], [eqn: rm angle D``=``135^{ㅇ}],

[eqn: rm angle E``=``105^{ㅇ}]

(나)  [그림 1]의 성질을 알아보기 위해 다음과 같이 간단히 그렸다.

[그림 3]

[문제 2-1] (1) (5점) [그림 2]의 발견된 오각형에서 직선 [eqn: rm CE]는 [eqn: rm angle C]를 이등분함을 보이고,

(2) (5점) [eqn: rm bar{DE}]의 길이를 구하라.

[문제 2-2] (1) (4점) [그림 1]에서 각각의 꼭지점에 모이는 변에 의해 생기는 각은 3개 또는 4개이다. 어떤 경우가 가능한지 모두 구하라. (예를 들어 [eqn: 150^{ㅇ}-150^{ㅇ}-60^{ㅇ}]와 같이 표시한다.)

(2) (10점) [그림 3]에서 오각형 두 개를 길이가 같은 변을 완전히 일치시켜 이어 붙인 [모양]이 보인다. 이들 중 어떤 점을 중심으로 점대칭 이동 시킨 [모양]을 모두 구하고, 그 중심을 나타내어라. 또 이렇게 구한 [모양]에서 평행인 변을 모두 나타내어라.

(3) (16점) [그림 3]에서 오각형 두 개를 길이가 다른 변을 부분적으로 일치시켜 이어 붙인 [모양]이 두 개 있다. 이런 [모양]에서 평행인 두 변을 나타내고 평행함을 보여라.

[문제 2-3]  [그림 3]에서 다음을 구하라.

(1) (5점) 직선 [eqn: rm RS]와 직선 [eqn: rm TU]의 사이거리  (2) (5점) 직선 [eqn: rm TU]와 직선 [eqn: rm VW]의 사이거리

출제 의도

[문제 2-1] 코사인 법칙을 이용하여 오각형의 모양 파악을 위한 도형문제를 풀 수 있음을 확인한다.

[문제 2-2] 모양을 관찰하여 도형의 이동을 활용한 여러 성질을 파악할 수 있는지 조사한다.

[문제 2-3] 직선과 직선 사이의 거리를 기본도형 문제로 풀 수 있다.

문항 및 제시문 출제근거

1. 제시문(문항포함)

(1) 제시문

적용 교육과정	기하와 벡터
성취기준	코사인 법칙을 이해하고, 응용할 수 있다. 도형의 이동을 이해하고, 응용할 수 있다.
※ 필요한 경우 교육과정 해설서의 내용을 성취기준과 함께 제시

참고자료	도서명	저자	발행처	발행년도	쪽수
고등학교 교과서	기하와 벡터(코사인법칙)	류희찬 외	천재교육	2009	141
	기하와 벡터(1차변환)	류희찬 외	천재교육	2009	21

(2) 문항

적용 교육과정	기하와 벡터
성취기준	[문제 2-1] 코사인법칙과 사인법칙을 써서 주어진 순서대로 오각형의 모양을 파악할 수 있다. [문제 2-2] 주어진 도형을 관찰하고, 점대칭이동에 대한 이해를 통한 평행한 변을 찾을 수 있다. [문제 2-3] 평행한 두 직선의 사이 거리를 도형을 이용하여 구할 수 있다.

참고자료	도서명	저자	발행처	발행년도	쪽수
고등학교 교과서	기하와 벡터(코사인법칙)	류희찬 외	천재교육	2009	141
	기하와 벡터(1차변환)	류희찬 외	천재교육	2009	21

2. 문항

(1) 문항 2-1

문항 2-1 문항

[문제 2-1] (1) (5점) [그림 2]의 발견된 오각형에서 직선 [eqn: rm CE]는 [eqn: rm angle C]를 이등분함을 보이고,

(2) (5점) [eqn: rm bar{DE}]의 길이를 구하라.

문항 2-1 출제의도 및 해설

[문제 2-1] 코사인법칙과 사인법칙을 써서 주어진 순서대로 오각형의 모양을 파악하고, 변의 길이를 구할 수 있다.

문항 2-1 채점기준

[문제 2-1] (1) 점 [eqn: rm C]에서 직선 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm F]라 하면 [eqn: rm angle B``=``150^{ㅇ}]

[그림 4]

이므로 [eqn: rm angle CBF``=``30^{ㅇ}](1점)

[eqn: rm bar{BC}``=``1] 이므로 [eqn: rm bar{CF}``=``{1over2}``=``bar{AE}] 따라서 [eqn: rm AB``//``CE] (1점) 이고 [eqn: rm angle AEC``=``90^{ㅇ}](1점). 이제 [eqn: rm angle ECB``=``360^{ㅇ} - 90^{ㅇ}-90^{ㅇ}-150^{ㅇ}``=``30^{ㅇ}](1점)

이므로 직선 [eqn: rm CE]는 [eqn: rm angle C]를 이등분한다. (1점)

(2) [eqn: rm bar{EC}``=``rm bar{AF}``=`bar{AB}``+``bar{BF}``=] [eqn: rm ``{1 over2}``+``bar{BC}``times cos ``30^{ㅇ}``=``{1 over 2}``+``{sqrt{3} over2}]. (2점)

사인법칙에 의해 [eqn: { bar{ED} over {sin 30^{ㅇ}}}``=``{bar{CD} over {sin15^{ㅇ}}] (2점)

따라서  [eqn: rm bar{DE}``=``{1 over 4}``times {1 over {sin 15^{ㅇ}}][eqn: =``{{sqrt{6}``+``sqrt{2}}over 4}].(1점)

문항 2-1 예시답안

[문제 2-1] (1) 점 [eqn: rm C]에서 직선 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm F]라 하면 [eqn: rm angle B``=``150^{ㅇ}]

[그림 4]

이므로 [eqn: rm angle CBF``=``30^{ㅇ}](2점)

[eqn: rm bar{BC}``=``1] 이므로 [eqn: rm bar{CF}``=``{1over2}``=``bar{AE}] 따라서 [eqn: rm AB``//``CE] 이고 [eqn: rm angle AEC``=``90^{ㅇ}]. 이제 [eqn: rm angle ECB``=``360^{ㅇ} - 90^{ㅇ}-90^{ㅇ}-150^{ㅇ}``=``30^{ㅇ}]

이므로 직선 [eqn: rm CE]는 [eqn: rm angle C]를 이등분한다.

(2) [eqn: rm bar{EC}``=``rm bar{AF}``=`bar{AB}``+``bar{BF}``=] [eqn: rm ``{1 over2}``+``bar{BC}``times cos ``30^{ㅇ}``=``{1 over 2}``+``{sqrt{3} over2}].

사인법칙에 의해 [eqn: { bar{ED} over {sin 30^{ㅇ}}}``=``{bar{CD} over {sin15^{ㅇ}}]  따라서  [eqn: rm bar{DE}``=``{1 over 4}``times {1 over {sin 15^{ㅇ}}][eqn: =``{{sqrt{6}``+``sqrt{2}}over 4}].

(2) 문항 2-2

문항 2-2 문항

[문제 2-2] (1) (4점) [그림 1]에서 각각의 꼭지점에 모이는 변에 의해 생기는 각은 3개 또는 4개이다. 어떤 경우가 가능한지 모두 구하라. (예를 들어 [eqn: 150^{ㅇ}-150^{ㅇ}-60^{ㅇ}]와 같이 표시한다.)

(2) (10점) [그림 3]에서 오각형 두 개를 길이가 같은 변을 완전히 일치시켜 이어 붙인 [모양]이 보인다. 이들 중 어떤 점을 중심으로 점대칭 이동 시킨 [모양]을 모두 구하고, 그 중심을 나타내어라. 또 이렇게 구한 [모양]에서 평행인 변을 모두 나타내어라.

(3) (16점) [그림 3]에서 오각형 두 개를 길이가 다른 변을 부분적으로 일치시켜 이어 붙인 [모양]이 두 개 있다. 이런 [모양]에서 평행인 두 변을 나타내고 평행함을 보여라.

문항 2-2 출제의도 및 해설

[문제 2-2] 주어진 도형을 관찰하고, 점대칭이동에 대한 이해를 통한 평행한 변을 찾고 이를 증명할 수 있다.

문항 2-2 채점기준

[문제 2-2]  (1) 가능한 경우는 4개의 각 일 때 [eqn: 60^{ㅇ}-60^{ㅇ}-105^{ㅇ}-135^{ㅇ}], 3개의 각 일 때

[eqn: 105^{ㅇ}-105^{ㅇ}-150^{ㅇ}], [eqn: 90^{ㅇ}-135^{ㅇ}-135^{ㅇ}], [eqn: 90^{ㅇ}-90^{ㅇ}-180^{ㅇ}] (개당 1점씩 총 4점)

(2)  길이가 같은 변을 완전히 일치시켜 이어 붙인 [모양] 중 점대칭 이동 시킨 것은 다음과 같이 두 종류이고, 각각의 중심은 [eqn: rm F]와 [eqn: rm G]이다. (각 모양에 5점씩 배점)

[그림 5]

[그림 6]

평행인 변은 [eqn: rm AB parallel A'B'], [eqn: rm BC parallel B'C'], [eqn: rm AE parallel A'E'] 은 공통, [그림 5]에서는 [eqn: rm CD parallel C'D'], [그림 6]에서는 [eqn: rm DE parallel D'E'] (중심 1점, 평행한 변 개당 1점씩 4점 총 5점*2개 = 10점)

(3)  각 모양 당 8점씩 배점

[그림 7]

(경우1:[그림 7]) [eqn: rm angleC``=``60^{ㅇ}],

[eqn: rm bar{C'H}``=``bar{C'D'}``=``{1 over 2}]이므로 [eqn: rm bar{HD'}``=``{1 over2}``=``bar{HB'}] 즉, [eqn: rm triangle HD'B']은 이등변삼각형이고, [eqn: rm angle D'HB'``=``120^ㅇ}] 따라서  [eqn: rm triangle C'D'B']는 [eqn: 90^{ㅇ}``-``60^{ㅇ}``-``30^{ㅇ}]삼각형이고, [eqn: rm angle E'D'B'``=``angle D'``-``90^{ㅇ}``]

[eqn: =``135^{ㅇ}``-``90^{ㅇ}``=``45^{ㅇ}], (4점)

한편 [eqn: rm angle A'B'D'``=``150^{ㅇ}``-``angle C'B'D'``=``120^{ㅇ}]이고 [eqn: rm angleDCB``=``60^{ㅇ}]이므로 점 [eqn: rm D], [eqn: rm C], [eqn: rm D']은 일직선상에 있다. 이제 [eqn: rm angle EDC``=``135^{ㅇ}]이고 [eqn: rm angle E'D'B'``=``45^{ㅇ}``]이므로 [eqn: rm DE parallel D'E'~].(4점)

(경우2:[그림 8])  (경우 1)을 함께 놓고 그린 [그림 9]를 생각한다.

[그림 8]

[그림 9]

(경우1)에서 [eqn: rm triangle C'D'B']는 직각삼각형이고 [eqn: rm angle D'``=``135^{ㅇ}]이므로, 점 [eqn: rm K]를 [eqn: rm E']에서 [eqn: rm bar{B'D'}]에 내린 수선의 발이라 하면 [eqn: rm triangle KB'D']은 [eqn: 90^{ㅇ}-45^{ㅇ}-45^{ㅇ}]삼각형이다.(3점) 이제 [eqn: rm angle A'E'D'``=``105^{ㅇ}],[eqn: rm angle A''B''C''``=``150^{ㅇ}]이므로 [eqn: rm angle D'E''C'``=``360^{ㅇ}``-``(105^{ㅇ}+150^{ㅇ})``=``105^{ㅇ}]. 이는 [eqn: rm D''], [eqn: rm B'' (= E')], [eqn: rm K]는 일직선상에 있다. 따라서 [eqn: rm CD parallel C''D''~](5점)

문항 2-2 예시답안

[문제 2-2]  (1) 가능한 경우는 4개의 각 일 때 [eqn: 60^{ㅇ}-60^{ㅇ}-105^{ㅇ}-135^{ㅇ}], 3개의 각 일 때

[eqn: 105^{ㅇ}-105^{ㅇ}-150^{ㅇ}], [eqn: 90^{ㅇ}-135^{ㅇ}-135^{ㅇ}], [eqn: 90^{ㅇ}-90^{ㅇ}-180^{ㅇ}]

(2)  길이가 같은 변을 완전히 일치시켜 이어 붙인 [모양] 중 점대칭 이동 시킨 것은 다음과 같이 두 종류이고, 각각의 중심은 [eqn: rm F]와 [eqn: rm G]이다.

[그림 6]

[그림 5]

평행인 변은 [eqn: rm AB parallel A'B'], [eqn: rm BC parallel B'C'], [eqn: rm AE parallel A'E'] 은 공통, [그림 5]에서는 [eqn: rm CD parallel C'D'], [그림 6]에서는 [eqn: rm DE parallel D'E']

(3) (경우1:[그림 7]) [eqn: rm angleC``=``60^{ㅇ}],

[그림 7]

[eqn: rm bar{C'H}``=``bar{C'D'}``=``{1 over 2}]이므로 [eqn: rm bar{HD'}``=``{1 over2}``=``bar{HB'}] 즉, [eqn: rm triangle HD'B']은 이등변삼각형이고, [eqn: rm angle D'HB'``=``120^ㅇ}] 따라서  [eqn: rm triangle C'D'B']는 [eqn: 90^{ㅇ}``-``60^{ㅇ}``-``30^{ㅇ}]삼각형이고, [eqn: rm angle E'D'B'``=``angle D'``-``90^{ㅇ}``]

[eqn: =``135^{ㅇ}``-``90^{ㅇ}``=``45^{ㅇ}],

한편 [eqn: rm angle A'B'D'``=``150^{ㅇ}``-``angle C'B'D'``=``120^{ㅇ}]이고 [eqn: rm angleDCB``=``60^{ㅇ}]이므로 점 [eqn: rm D], [eqn: rm C], [eqn: rm D']은 일직선상에 있다. 이제 [eqn: rm angle EDC``=``135^{ㅇ}]이고 [eqn: rm angle E'D'B'``=``45^{ㅇ}``]이므로 [eqn: rm DE parallel D'E'~].

(경우2:[그림 8])  (경우 1)을 함께 놓고 그린 [그림 9]를 생각한다.

[그림 8]

[그림 9]

(경우1)에서 [eqn: rm triangle C'D'B']는 직각삼각형이고 [eqn: rm angle D'``=``135^{ㅇ}]이므로, 점 [eqn: rm K]를 [eqn: rm E']에서 [eqn: rm bar{B'D'}]에 내린 수선의 발이라 하면 [eqn: rm triangle KB'D']은 [eqn: 90^{ㅇ}-45^{ㅇ}-45^{ㅇ}]삼각형이다. 이제 [eqn: rm angle A'E'D'``=``105^{ㅇ}],[eqn: rm angle A''B''C''``=``150^{ㅇ}]이므로 [eqn: rm angle D'E''C'``=``360^{ㅇ}``-``(105^{ㅇ}+150^{ㅇ})``=``105^{ㅇ}]. 이는 [eqn: rm D''], [eqn: rm B'' (= E')], [eqn: rm K]는 일직선상에 있다. 따라서 [eqn: rm CD parallel C''D''~]

(3) 문항 2-3

문항 2-3 문항

[문제 2-3]  [그림 3]에서 다음을 구하라.

(1) (5점) 직선 [eqn: rm RS]와 직선 [eqn: rm TU]의 사이거리  (2) (5점) 직선 [eqn: rm TU]와 직선 [eqn: rm VW]의 사이거리

문항 2-3 출제의도 및 해설

[문제 2-3] 평행한 두 직선의 사이 거리를 도형을 이용하여 구할 수 있다.

문항 2-3 채점기준

[문제 2-3] (1) [그림 2]의 점 [eqn: rm D]에서 [eqn: rm bar{CE}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라하면, [eqn: rm angleDCE``=``30^{ㅇ}] ([문제 2-1] (1)번 참조) 이므로 [eqn: rm bar{DH}``=``bar{CE} \sin 30^{ㅇ}``=``{1 over2} times {1 over2}``=``{1 over4}](2점)

[그림 10]

[그림 10]에서 직선 [eqn: rm RS]와 직선 [eqn: rm TU]의 사이거리는

[eqn: {1 over2}``+``{1 over 4}``+``{1 over2}``=``{5 over 4}] (3점)

(2) [그림 9]에서 [eqn: rm bar{B''D''}``=``1 times \sin 60^{ㅇ}``=``{{sqrt{3}}over 2}]이고,

[eqn: rm bar{B'K}``=``bar{D'E'} times \sin 45^{ㅇ}``=``{{sqrt{6}+sqrt{2}}over4}``times {1 over{sqrt{2}}``=``{{sqrt{3}+1}over4}].

(3점)

이제 직선 [eqn: rm TU]와 직선 [eqn: rm VW]의 사이거리는

[eqn: {{sqrt{3}}over2}``+``{{sqrt{3}+1}over4}``=``{{3sqrt{3}``+``1}over4}] (2점)

문항 2-3 예시답안

[문제 2-3] (1) [그림 2]의 점 [eqn: rm D]에서 [eqn: rm bar{CE}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라하면, [eqn: rm angleDCE``=``30^{ㅇ}] ([문제 2-1] (1)번 참조) 이므로 [eqn: rm bar{DH}``=``bar{CE} \sin 30^{ㅇ}``=``{1 over2} times {1 over2}``=``{1 over4}]

[그림 10]

[그림 10]에서 직선 [eqn: rm RS]와 직선 [eqn: rm TU]의 사이거리는

[eqn: {1 over2}``+``{1 over 4}``+``{1 over2}``=``{5 over 4}]

(2) [그림 9]에서 [eqn: rm bar{B''D''}``=``1 times \sin 60^{ㅇ}``=``{{sqrt{3}}over 2}]이고,

[eqn: rm bar{B'K}``=``bar{D'E'} times \sin 45^{ㅇ}``=``{{sqrt{6}+sqrt{2}}over4}``times {1 over{sqrt{2}}``=``{{sqrt{3}+1}over4}].

이제 직선 [eqn: rm TU]와 직선 [eqn: rm VW]의 사이거리는

[eqn: {{sqrt{3}}over2}``+``{{sqrt{3}+1}over4}``=``{{3sqrt{3}``+``1}over4}]