자연계열

2017학년도 모의논술 고사

자연계열 모범답안

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2017학년도 아주대학교 모의논술고사 모범답안(자연계열)

[문제1]

	2017학년도 자연계열 모의논술 모범답안	자연계열

[문제 1-1] (1)  함수 [eqn: f(x)]의 [eqn: [50,`200]]에서의 평균은

[eqn: {1} over {200-50} LEFT ( ` int _{50} ^{100} {`x``dx} ````+` int _{100} ^{200} {`100``cos ^{2} ` LEFT ( {pi } over {200} (x-100) RIGHT ) dx} `` RIGHT )]

이다. 괄호 안 첫 적분은 [eqn: LEFT [ {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{50} ^{100} ```=`3750]이고, 두 번째 적분은 치환 [eqn: y= {pi } over {200} (x-100)]과 배각공식 [eqn: cos(2y)=2cos ^{2} y-1]에 의하여

[eqn: {20000} over {pi } `` int _{0} ^{{pi } over {2}} {cos ^{2} `y`dy} ```= {20000} over {pi } `` int _{0} ^{{pi } over {2}} {{1+cos(2y)} over {2} `dy} ```=`` {10000} over {pi } `` LEFT [ y+ {1} over {2} `sin `(2y) RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}} ```=`5000]

이 된다. 그러므로 함수 [eqn: f(x)]의 [eqn: [50,`200]]에서의 평균은 [eqn: {1} over {150} ` LEFT ( 3750+5000 RIGHT ) ``=` {175} over {3}] 이다.

(2) 사건들 [eqn: LEFT { 0 RIGHT } ,` LEFT { 1 RIGHT } ,` LEFT { 2 RIGHT } `]의 확률은 이항분포에 의하여 각각 [eqn: {} _{5} C _{0`} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5}], [eqn: {} _{5} C _{1} ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5}], [eqn: {} _{5} C _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5}]이며 이들의 합은 [eqn: {1+5+10} over {2 ^{5}} = {1} over {2}]이다. 그러므로 사건 [eqn: LEFT { 0,`1,`2 RIGHT }]에서의 확률변수 [eqn: X``]의 평균은 제시문 (나)안의 정의에 의하여

[eqn: {1} over {{1} over {2}} ` LEFT ( 0 ^{2} ` CDOT `` {1} over {2 ^{5}} ``+`1 ^{2} ` CDOT ` {5} over {2 ^{5}} ``+`2 ^{2} `` CDOT ` {10} over {2 ^{5}} RIGHT ) ``=`` {45} over {16}]

가 된다.

[문제 1-2]  제시문 (가)의 정의에 의해서 [eqn: [a,b]]에서 [eqn: g(x)]의 평균은 [eqn: {1} over {a _{m} -a _{0}} int _{a _{0} `} ^{a _{m}} {g(x)``dx}]이다. 정적분의 성질에 의해서 [eqn: int _{a _{0} ````} ^{a _{m}} `g(x)dx]는 [eqn: m]개의 정적분들 [eqn: int _{a _{0}} ^{a _{1}} {g(x)dx,``...`,`} int _{a _{m-1} ``} ^{a _{m}} `g(x)dx]의 합이 되기 때문에 우리는

[eqn: {1} over {a _{m} -a _{0}} int _{a _{0} `} ^{a _{m}} {g(x)``dx} `=` {1} over {a _{m} -a _{0}} ``` sum _{l=1} ^{m} ``` int _{a _{l-1} ```} ^{a _{l}} {g(x)`dx} ```#]

를 관찰할 수 있다. 정의에 의해서 각 구간 [eqn: [a _{l-1} ,`a _{l} ]]에서 함수 [eqn: g(x)]는 상수 [eqn: c _{l}]이므로 위 식은 다시

[eqn: ` {1} over {a _{m} -a _{0}} ``` sum _{l=1} ^{m} ```c _{l} `(a _{l} -a _{l-1} )```]

이 된다. 이제 [eqn: c _{l}]의 정의를 대입하면,  우리는

[eqn: {1} over {a _{m} -a _{0}} sum _{l=1} ^{m} ```` LEFT [ {1} over {a _{l} -a _{l-1}} `` int _{a _{l-1}} ^{a _{l}} {f(v)dv} ``` CDOT `(a _{l} -a _{l-1} ) RIGHT ] = {1} over {a _{m} -a _{0}} ``` sum _{l=1} ^{m} ```` int _{a _{l-1}} ^{a _{l}} {f(v)dv}]

를 얻게 되고, 다시 정적분의 성질에 의하여 위의 마지막 항이 [eqn: [a,b]]에서 [eqn: f(x)]의 평균이 됨을 볼 수 있다.  그러므로 [eqn: [a,b]]에서 두 함수 [eqn: f(x),`g(x)]의 평균은 같다.

[문제 1-3]  (1) 도함수 [eqn: f`'`(x)]는 증가함수이다. 즉, 구간 [eqn: (a,b)]안에 있는 임의의 [eqn: x _{1} ``<`x _{2} `]에 대하여 [eqn: f` prime `(x _{1} )```le``f`'`(x _{2} )]이다. 왜냐하면 구간 [eqn: [x _{1} ,x _{2} ]]이 [eqn: (a,b)]안에 있고, 가정에 의해서 도함수 [eqn: f``'(x)]은  [eqn: [x _{1} ,x _{2} ]]의 모든 점에서 미분가능하고 따라서 연속이기 때문에 평균값 정리에 의하여, [eqn: (x _{1} ,x _{2} )`] 안에 어떤 [eqn: c]가 존재하며 [eqn: f` prime (x _{2} )-f` prime (x _{1} )`=`f` '' `( c )`(x _{2} -x _{1} )`ge`0]이 성립하여 [eqn: f` prime `(x _{1} )```le``f`'`(x _{2} )]이 된다.

함수 [eqn: y``=``f(x)]의 그래프 상의 임의의 점 [eqn: (x_0`,`f(x_0`))]에서 그은   접선 [eqn: ell]의 식은

[eqn: y ``-```f(x_0`)``=`` `f`'`(x_0`)`(x-x_0`)] 즉, [eqn: y ``=```f(x_0`)``+`` `f`'`(x_0`)`(x-x_0`)]으로 표현된다.

(i) [eqn: x`>x_0] 일 때

평균값 정리에 의해 [eqn: x_0``<``c``<``x`]인 [eqn: c`]가 존재하여 [eqn: {f(x)-f(x_0`)} over {x-x_0} ``=```f` prime `(c)`] 가 되고 [eqn: f``'(x)]는 증가함수이므로 [eqn: f`'(c)``ge``f`'(x_0`)]이 된다. 따라서 [eqn: {f(x)-f(x_0`)} over {x-x_0} ``ge```f` prime `(x_0`)`] 이므로 [eqn: f(x)``ge``f(x_0`)``+``f`'(x_0`)``(x-x_0`)]을 얻는다.

(ii) [eqn: x`<x_0] 일 때

평균값 정리에 의해 [eqn: x``<``c``<``x_0`]인 [eqn: c`]가 존재하여 [eqn: {f(x)-f(x_0`)} over {x-x_0} ``=```f` prime `(c)`] 가 되고 [eqn: f``'(x)]는 증가함수이므로 이번에는 [eqn: f`'(c)``le``f`'(x_0`)]. 따라서 [eqn: {f(x)-f(x_0`)} over {x-x_0} ``le```f` prime `(x_0`)`] 이므로

[eqn: f(x)``ge``f(x_0`)``+``f`'(x_0`)``(x-x_0`)]을 얻는다. ([eqn: x``-``x_0`]는 음수이므로 양변에 곱할 때 부등호 방향이 바뀐다)

(i), (ii) 에 의해 항상 [eqn: f(x)``ge``f(x_0`)``+``f`'(x_0`)``(x-x_0`)]이 성립하므로 접선 [eqn: ell]은 항상 [eqn: f] 의 그래프 아래에 놓인다.

(2) [eqn: (a,b)]안의 임의의 점 [eqn: x _{0}]와 [eqn: LEFT [ x _{0} -d,`x _{0} +d RIGHT ] ` SUBSET ` LEFT ( a,b RIGHT )]가 되는 임의의 양수 [eqn: d]에 대하여, [eqn: x`` IN ``[x _{0} -d,x _{0} +d]] 이면 (1)에 의하여 [eqn: f(x)`` GEQ ``f(x _{0} `)``+``f` prime (x _{0} `)``(x-x _{0} )]이 된다. 이 부등식의 양변을 [eqn: x _{0} -d]에서 [eqn: x _{0} +d]까지 적분하고 [eqn: 2d]로 나누면, 좌변은 ‘구간 [eqn: [x _{0} -d,`x _{0} +d]]에서의 함수 [eqn: f(x)]의 평균’이고, 우변은

[eqn: {1} over {2`d} `` int _{x _{0} -d} ^{x _{0} +d} {`(f(x _{0} )`+`f prime (x _{0} )(x-x _{0} ))`dx} ```=` {f(x _{0} )} over {2`d} ` int _{x _{0} -d} ^{x _{0} +d} {1``dx} ````+` {f'(x _{0} )} over {2`d} ` int _{x _{0} -d} ^{x _{0} +d} {(x-x _{0} )dx} ````#]

이다. 이때 적분[eqn: int _{x _{0} -d} ^{x _{0} +d} {1`dx} ``]의 값은 [eqn: 2d]이고, 적분 [eqn: int _{x _{0} -d`} ^{x _{0} +d} {(x-x _{0} )dx} `]는 치환[eqn: y=x-x _{0}]에 의하여 [eqn: int _{-d} ^{d} {ydy} ``= LEFT [ {1} over {2} `y ^{2} RIGHT ] _{-d} ^{d} ``=0]이 되어 [eqn: {1} over {2`d} `` int _{x _{0} -d} ^{x _{0} +d} {`(f(x _{0} )`+`f prime (x _{0} )(x-x _{0} ))`dx} `#]의 값은 [eqn: f(x _{0} )]가 된다. 그러므로 구간 [eqn: [x _{0} -d,`x _{0} +d]]에서의 함수 [eqn: f(x)]의 평균은 항상 [eqn: f(x _{0} )]보다 크거나 같게 된다.

한편, 이차함수 [eqn: f(x)``=``px^2``+qx+r]의 이계도함수 값은 모든 점에서 [eqn: 2p > 0]이므로, (1)과 (2)의 결과에 의해 구간 [eqn: [x _{0} -d,`x _{0} +d]]에서의 함수 [eqn: f(x)]의 평균은 항상 [eqn: f(x _{0} )]보다 크거나 같게 된다.

다른 직접적인 풀이)

한편, 구간 [eqn: [x _{0} -d,`x _{0} +d]]에서의 ‘[eqn: f(x)``=``px^2``+qx+r]의 평균’ (단, [eqn: p>0]) 은

[eqn: {1} over {2`d} `` int _{x _{0} -d} ^{x _{0} +d} {(px ^{2} ``+qx+r)`dx} ``]

[eqn: =`` {1} over {2d} LEFT [ {p} over {3} x ^{3} ``+ {q} over {2} x ^{2} ``+``rx RIGHT ] _{x _{0} -d} ^{x _{0} +d}]

[eqn: =`` {1} over {2d} LEFT ( {p} over {3} ((x _{0} +d) ^{3} ``-``(x _{0} -d) ^{3} `)``+`` {q} over {2} ((x _{0} +d) ^{2} ``-``(x _{0} -d) ^{2} ``)``+``r(x _{0} +d-(x _{0} -d)) RIGHT )]

[eqn: =`` {1} over {2d} LEFT ( {2d` TIMES `p} over {3} (3x _{0} ^{2} ``+``d ^{2} `)``+`` {2d` TIMES `q} over {2} (2x _{0} )``+``r(2d) RIGHT )]

[eqn: =``px _{0} ^{2} ``+``qx _{0} ``+``r``+`` {pd ^{2}} over {3}]

[eqn: =``f(x _{0} )``+`` {pd ^{2}} over {3}]

이므로 구간 [eqn: [x _{0} -d,`x _{0} +d]]에서의 함수 [eqn: f(x)]의 평균은 항상 [eqn: f(x _{0} )]보다 크게 된다.

[문제 2]

[그림 4]

[문제 2-1] (1) 점 [eqn: rm C]에서 직선 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm F]라 하면 [eqn: rm angle B``=``150^{ㅇ}]이므로 [eqn: rm angle CBF``=``30^{ㅇ}]

[eqn: rm bar{BC}``=``1] 이므로 [eqn: rm bar{CF}``=``1/2``=``bar{AE}]. 따라서 [eqn: rm AB``//``CE] 이고 [eqn: rm angle AEC``=``90^{ㅇ}]. 이제 [eqn: rm angle ECB``=``360^{ㅇ} - 90^{ㅇ}-90^{ㅇ}-150^{ㅇ}``=``30^{ㅇ}]

이므로 직선 [eqn: rm CE]는 [eqn: rm angle C]를 이등분한다.

(2) [eqn: rm bar{EC}``=``rm bar{AF}``=`bar{AB}``+``bar{BF}``=] [eqn: rm ``{1 over2}``+``bar{BC}``times cos ``30^{ㅇ}``=``{1 over 2}``+``{sqrt{3} over2}].

사인법칙에 의해 [eqn: { bar{ED} over {sin 30^{ㅇ}}}``=``{bar{CD} over {sin15^{ㅇ}}]  따라서  [eqn: rm bar{DE}``=``{1 over 4}``times {1 over {sin 15^{ㅇ}}][eqn: =``{{sqrt{6}``+``sqrt{2}}over 4}].

[문제 2-2]  (1) 가능한 경우는 4개의 각 일 때 [eqn: 60^{ㅇ}-60^{ㅇ}-105^{ㅇ}-135^{ㅇ}], 3개의 각 일 때

[eqn: 105^{ㅇ}-105^{ㅇ}-150^{ㅇ}], [eqn: 90^{ㅇ}-135^{ㅇ}-135^{ㅇ}], [eqn: 90^{ㅇ}-90^{ㅇ}-180^{ㅇ}]

(2)  길이가 같은 변을 완전히 일치시켜 이어 붙인 [모양] 중 점대칭 이동 시킨 것은 다음과 같이 두 종류이고, 각각의 중심은 [eqn: rm F]와 [eqn: rm G]이다.

[그림 5]

[그림 6]

평행인 변은 [eqn: rm AB parallel A'B'], [eqn: rm BC parallel B'C'], [eqn: rm AE parallel A'E'] 은 공통, [그림 5]에서는 [eqn: rm CD parallel C'D'], [그림 6]에서는 [eqn: rm DE parallel D'E']

(3) (경우1:[그림 7]) [eqn: rm angleC``=``60^{ㅇ}],

[그림 7]

[eqn: rm bar{C'H}``=``bar{C'D'}``=``{1 over 2}]이므로 [eqn: rm bar{HD'}``=``{1 over2}``=``bar{HB'}] 즉, [eqn: rm triangle HD'B']은 이등변삼각형이고, [eqn: rm angle D'HB'``=``120^ㅇ}] 따라서  [eqn: rm triangle C'D'B']는 [eqn: 90^{ㅇ}``-``60^{ㅇ}``-``30^{ㅇ}]삼각형이고, [eqn: rm angle E'D'B'``=``angle D'``-``90^{ㅇ}``]

[eqn: =``135^{ㅇ}``-``90^{ㅇ}``=``45^{ㅇ}],

한편 [eqn: rm angle A'B'D'``=``150^{ㅇ}``-``angle C'B'D'``=``120^{ㅇ}]이고 [eqn: rm angleDCB``=``60^{ㅇ}]이므로 점 [eqn: rm D], [eqn: rm C], [eqn: rm D']은 일직선상에 있다. 이제 [eqn: rm angle EDC``=``135^{ㅇ}]이고 [eqn: rm angle E'D'B'``=``45^{ㅇ}``]이므로 [eqn: rm DE parallel D'E'~].

(경우2:[그림 8])  (경우 1)을 함께 놓고 그린 [그림 9]를 생각한다.

[그림 8]

[그림 9]

(경우1)에서 [eqn: rm triangle C'D'B']는 직각삼각형이고 [eqn: rm angle D'``=``135^{ㅇ}]이므로, 점 [eqn: rm K]를 [eqn: rm E']에서 [eqn: rm bar{B'D'}]에 내린 수선의 발이라 하면 [eqn: rm triangle KB''D']은 [eqn: 90^{ㅇ}-45^{ㅇ}-45^{ㅇ}]삼각형이다. 이제 [eqn: rm angle A'E'D'``=``105^{ㅇ}],[eqn: rm angle A''B''C''``=``150^{ㅇ}]이므로 [eqn: rm angle D'E'C''``=``360^{ㅇ}``-``(105^{ㅇ}+150^{ㅇ})``=``105^{ㅇ}].

[eqn: rm angle D''B''C''``=``30^{ㅇ}]  이므로 [eqn: rm D''], [eqn: rm B'' (= E')], [eqn: rm K]가 이루는 각은 [eqn: 180^{ㅇ}], 즉 [eqn: rm D''], [eqn: rm B'' (= E')], [eqn: rm K]는 일직선상에 있다. 따라서 [eqn: rm CD parallel C''D''~].

[문제 2-3] (1) [그림 2]의 점 [eqn: rm D]에서 [eqn: rm bar{CE}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라하면, [eqn: rm angleDCE``=``30^{ㅇ}] ([문제 2-1] (1)번 참조) 이므로 [eqn: rm bar{DH}``=``bar{CE} \sin 30^{ㅇ}``=``{1 over2} times {1 over2}``=``{1 over4}]

[그림 10]

[그림 10]에서 직선 [eqn: rm RS]와 직선 [eqn: rm TU]의 사이거리는

[eqn: {1 over2}``+``{1 over 4}``+``{1 over2}``=``{5 over 4}]

(2) [그림 9]에서 [eqn: rm bar{B''D''}``=``1 times \sin 60^{ㅇ}``=``{{sqrt{3}}over 2}]이고,

[eqn: rm bar{B'K}``=``bar{D'E'} times \sin 45^{ㅇ}``=``{{sqrt{6}+sqrt{2}}over4}``times {1 over{sqrt{2}}``=``{{sqrt{3}+1}over4}].

이제 직선 [eqn: rm TU]와 직선 [eqn: rm VW]의 사이거리는

[eqn: {{sqrt{3}}over2}``+``{{sqrt{3}+1}over4}``=``{{3sqrt{3}``+``1}over4}]