자연계열(오후, 의학과)

2017학년도 논술고사

자연계열(의학과)

모범답안

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2017학년도 아주대학교 논술고사 모범답안(자연계열(오후, 의학과))

[문항1] <50점> 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

	2017학년도 자연계열(오후) 모범답안	자연계열(오후) (의학과)

(가) 이차곡선을 원뿔곡선이라고 부르는 것은 그리스 시대 수학자들의 연구와 관련이 있다. 'Ellipse', 'Parabola', 'Hyperbola' 는 각각 그리스어 '모자라다','적당하다','초과하다'는 뜻을 가지고 있으며 원뿔의 단면과 밑면이 이루는 각과 모서리와 밑면이 이루는 각 사이의 관계와 관련이 있다. 이런 이차곡선은 산업현장에서 다양하게 사용되고 있으며 이차곡선들의 교점과 관련된 문제는 수학 이외의 분야에서 자주 나타나고 있다.

(나) 원 [eqn: x^2``+``y^2``=``r_1^2]과 원 [eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``r_2^2]이 그림과 같이 만나고 있다. (단, [eqn: r_1^2``+``r_2^2``le``d^2``])

[그림 1]

(다) 타원과 원의 교점이 2개인 경우, [그림 2]처럼 교점 두 개와 원의 중심 [eqn: rm `O_1]을 잇는 두 선분(선분 [eqn: rm AO_1]와 [eqn: rm BO_1])이 각각 타원과 두 점에서 만나거나 [그림 3]처럼 교점 두 개와 점 [eqn: rm O]를 잇는 두 선분(선분 [eqn: rm AO]와 [eqn: rm BO])이 각각 원과 두 점에서 만날 수도 있다.

[그림 2]                                     [그림 3]

[문제 1-1] (7점) 제시문 (나)에서 두 원의 교점을 [eqn: {rm A}], [eqn: {rm B}`]라 하고, [eqn: theta _{1} ``=`` ANGLE rm AO _{} `B], [eqn: theta _{2} ``=`` ANGLE rm AO _{1} B]라 할 때 두 원에 의하여 동시에 둘러싸인 영역의 넓이를 [eqn: theta_1]과 [eqn: theta_2]로 나타내시오.

[풀이] 빗금친 부분의 넓이는 부채꼴 [eqn: rm ABO]의 넓이에서 삼각형 [eqn: rm ABO]의 넓이를 빼면 되므로

[eqn: {1 over2}r_1^2`theta_1``-``{1 over2}``r_1^2`sin theta_1``=``{1 over2}r_1^2`(theta_1``-`sin theta_1`)]

비슷하게 반대쪽 부분의 넓이는 [eqn: {1 over2}r_2^2`(theta_2``-`sin theta_2`)]

따라서 구하는 넓이는 [eqn: {1 over2}r_1^2`(theta_1``-`sin theta_1`)``+``{1 over2}r_2^2`(theta_2``-`sin theta_2`)]

또는 만약 [eqn: r_1^2``+``r_2^2``=``d^2`]이면 [eqn: theta_1``+``theta_2``=``pi]이므로 [eqn: {1 over2}r_1^2`(theta_1``-`sin theta_1`)``+``{1 over2}r_2^2`(pi``-``theta_1``-`sin theta_1`)] 등 다양한 답의 꼴이 나올 수도 있다.

[문제 1-2] 제시문 (다)를 읽고 다음 논제에 답하시오.

(1) (12점) 타원 [eqn: {{x^2}over 4}``+``y^2``=``1]과 원 [eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``1]의 교점의 개수를 [eqn: d]에 따라 구하고 그 근거를 보이시오. (단, [eqn: d ge 0])

[풀이] 두 식  [eqn: {{x^2}over 4}``+``y^2``=``1]과 [eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``1]을 연립하면 [eqn: {{x^2}over4}``=``1-y^2``=``(x-d)^2]이므로 [eqn: +-{x over 2}``=``x-d]. 따라서 [eqn: x``=``2d]일 때 [eqn: y``=``sqrt{1-d^2}] 과 [eqn: x``=``{2over 3}d]일 때 [eqn: y``=``sqrt{1-{{d^2}over 9}}] 가 교점이 될 수 있다.

⓵ [eqn: d``=``0] 일 때 두 근이 일치하므로 중근이고 교점의 개수는 2

⓶ [eqn: 0``<``d``<1]일 때 [eqn: x``=``2d]와 [eqn: x``=``{2over 3}d] 둘 다  근이 될 수 있고 교점의 개수는 4

⓷ [eqn: d``=``1]일 때 [eqn: x``=``2d]일 때 [eqn: y``=``0]이 되어 한 점이 되므로 교점의 개수는 3

⓸ [eqn: 1``<``d``<``3]일 때 [eqn: x``=``{2over 3}d] 만 근이 될 수 있고 교점의 개수는 2

⓹ [eqn: d``=``3]일 때 [eqn: x``=``{2over 3}d] 일 때 [eqn: y``=``0]이 되어 한 점이 되므로 교점의 개수는 1

⓺ [eqn: d``>``3]일 때 [eqn: x``=``2d]와 [eqn: x``=``{2over 3}d] 둘 다 근이 안되므로 교점은 없다.

(2) (9점) 타원 [eqn: {{x^2}}``+``{y^2 over 4}``=``1]과 원 [eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``3^2]의 교점의 개수를 [eqn: d]에 따라 구하시오. (단, [eqn: d ge 0])

[풀이] 두 식 [eqn: {{x^2}}``+``{y^2 over 4}``=``1]과 [eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``3^2]을 연립하면 [eqn: 4(1-x^2`)``=``y^2``=``9``-``(x-d)^2]에서

[eqn: 3x^2``+``2d`x``-``d^2``+``5``=``0]을 얻는다. 이 식의 판별식 [eqn: D/4``=``d^2``-``3(-d^2``+5)``=``4d^2``-``15]이고, 근은

[eqn: x``=``{{-d+-sqrt{4d^2``-``15}}over3}]이다. 이제 [eqn: x``=``{{-d+-sqrt{4d^2``-``15}}over3}]일 때 [eqn: y^2``=``{{96-20d^2``+-``8d``sqrt{4d^2``-``15}}over9}]

에서  교점을 구할 수 있다. [eqn: y``=``0`]되는 점을 구하면 [eqn: 9d^4``-``180d^2``+``576``=``0]에서 [eqn: d``=``2] 또는 [eqn: d``=``4]

중근이 되는 위치를 구하기 위해 판별식 [eqn: D/4``=``4d^2``-``15``=``0]에서 [eqn: d``=``{sqrt{15}over2}]를 얻는다,

⓵ [eqn: 0``le``d``<``{{sqrt{15}over2}}] 일 때 판별식이 [eqn: D/4``=``4d^2``-``15``<``0] 이므로 교점은 없다.

⓶ [eqn: d``=``{{sqrt{15}over2}]일 때 [eqn: x``=``-{{sqrt{15}}over6}]가 중근이 될 수 있고, 대응되는 [eqn: y]의 근은 2개가 되어 교점의 개수는 2

⓷ [eqn: {{sqrt{15}over2}}``<``d``<``2]일 때 [eqn: x``=``{{-d+-sqrt{4d^2``-``15}}over3}] 의 두 개의 근을 갖게 되고, 대응되는 [eqn: y]의 근이 4개가 되어 교점의 개수는 4

⓸ [eqn: d``=``2]일 때 [eqn: x``=``-1]과 [eqn: x``=``-{1over3}] 의 두 개의 근을 갖게 되어있고, [eqn: x``=``-1]에 대응하는 [eqn: y]의 근은 중근이므로  교점의 개수는 3

⓹ [eqn: 2``<``d``<``4]일 때 [eqn: x] 근 한 개, 대응하는  [eqn: y`]근 두 개가 되어 교점의 개수는 2

⓺ [eqn: d``=``4] 한 점에서만 접하므로 교점의 개수는 1

⑦ [eqn: d``>``4]일 때 두 곡선이 만나지 않으므로 교점은 없다.

[문제 1-3] 타원 [eqn: {{x^2}over 4}``+``y^2``=``1]과 원 [eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``1] ([eqn: d ge 0])을 생각하자.

(1) (12점) 제시문 (다)에서 나타나는 경우와는 다르게 사각형 [eqn: rm OAO_1 B]가 ‘타원과 원에 의해 동시에 둘러싸인 영역’을 포함하도록 하는 값 [eqn: d`]의 범위를 구하시오.

[풀이] 두 식 ⓵ [eqn: {{x^2}over 4}``+``y^2``=``1]과 ⓶ [eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``1]을 연립하면 [eqn: {{x^2}over4}``=``1-y^2``=``(x-d)^2]이므로 [eqn: +-{x over 2}``=``x-d]. 따라서 [eqn: x``=``2d]일 때 [eqn: y``=``sqrt{1-d^2}] 과 [eqn: x``=``{2over 3}d]일 때 [eqn: y``=``sqrt{1-{{d^2}over 9}}] 가 교점이 될 수 있다. 그리고 교점이 2개인 경우는 [eqn: 1``<``d``<``3]일 때 이므로 [eqn: RM A]와 [eqn: rm B]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {2over 3}d]

(i) [eqn: {{x^2}over 4}``+``y^2``=``1]의 점 [eqn: {rm P}(2d/3, sqrt{1-d^2`/9}`)] 에서의 접선식은  [eqn: `{{2d}over3}cdot{x over4}``+``sqrt{1- {{d^2}over9}}cdot`y``=``1]에서

[eqn: y``=``-{d over{6sqrt{1-d^2`/9}}x``+``{1 over{sqrt{1-d^2`/9}}]. 이 식에서 [eqn: x``=``d]일 때 [eqn: y]는 양이 아닌 실수이어야 하므로 [eqn: y``=``{{-d^2``+6}over{6sqrt{1-d^2`/9}}}``le0] 따라서 [eqn: d``ge``sqrt{6}]

(ii) [eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``1]의 점 [eqn: {rm P}(2d/3, sqrt{1-d^2`/9}`)] 에서의 접선식은 [eqn: ({2over3}d-d)(x-d)``+``sqrt{1-{{d^2}over9}}}``y``=``1]에서

[eqn: y``=``{{d over3}(x-d)}over{sqrt{1-d^2`/9}}``+``{1 over{sqrt{1-d^2`/9}}]

이 식에서 [eqn: x``=``0]일 때 [eqn: y]는 양이 아닌 실수이어야 하므로 [eqn: y``=``{{-d^2``+3}over{3sqrt{1-d^2`/9}}}``le 0] 따라서 [eqn: d``ge``sqrt{3}]

결국 [eqn: sqrt{6}``le``d``<``3]

(참고) [eqn: d``=``sqrt{6}]일 때 [eqn: rm AO_1]은 타원의 접선이지만 [eqn: rm AO]는 원의 접선이 아니다.

[별해]  기울기를 비교할 수도 있다.

(i) 선분 [eqn: rm OA]의 기울기는 [eqn: {{sqrt{1-{{d^2}over9}}over{{2d}over3}}}]이고 점 [eqn: {rm P}(2d/3, sqrt{1-d^2`/9}`)] 에서의

[eqn: (x-d)^2``+``y^2``=``1]의 접선의 기울기는[eqn: {{d over3}over{sqrt{1-{{d^2}over9}}}}] 그림과 같이 나타나려면 [eqn: {{sqrt{1-{{d^2}over9}}over{{2d}over3}}}][eqn: le``{{d over3}over{sqrt{1-{{d^2}over9}}}}]

이제 [eqn: 1-{{d^2}over9}``le``{{2d^2}over9}] 이므로 [eqn: d``ge``sqrt{3}]

(ii) 선분 [eqn: rm O_1`A]의 기울기는 [eqn: {0``-``sqrt{1-{{d^2}over9}}}over{d``-``{{2d}over3}}}}]이고 점 [eqn: {rm P}(2d/3, sqrt{1-d^2`/9}`)] 에서의

[eqn: {{x^2}over 4}``+``y^2``=``1]의 접선의 기울기는[eqn: {-d }over{6`sqrt{1-{{d^2}over9}}}}] 그림과 같이 나타나려면 [eqn: -{{sqrt{1-{{d^2}over9}}over{{d}over3}}}][eqn: ge {-d }over{6`sqrt{1-{{d^2}over9}}}}]

이제 [eqn: 6(1-{{d^2}over9})``le``{{d^2}over3}] 이므로 [eqn: d``ge``sqrt{6}]

(i), (ii)를 동시에 만족하는 영역은  [eqn: sqrt{6}``le``d``<``3].

(2) (10점) 위에서 구한 [eqn: d]의 값 중 가장 작은 값에 대하여, 타원과 원에 의하여 동시에 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라. (단, 필요하면 [eqn: theta_1``=``angle rm AO`B]과 [eqn: theta_2``=``angle rm AO_1`B]를 사용하여 넓이를 표시할 수 있다.)

[풀이] 위에서 구한 [eqn: d]의 값 중 가장 작은 값은 [eqn: d``=``sqrt{6}]이다.

식 [eqn: {{x^2}over 4}``+``y^2``=``1]와 식 [eqn: (x-sqrt{6})^2``+``y^2``=``1]을 연립하면 두 점 [eqn: LEFT ( {{2sqrt6}over3},`+-{1over{sqrt3}} RIGHT )]을 얻는다. 그림에서

[eqn: 2 int _{{2 sqrt {6}} over {3}} ^{2} {} ` sqrt {1- {x ^{2}} over {4}} dx``+``2 int _{sqrt {6} -1} ^{{2 sqrt {6}} over {3}} {} ` sqrt {1-(x- sqrt {6} ) ^{2}} dx]

먼저 [eqn: 2 int _{{2 sqrt {6}} over {3}} ^{2} {} ` sqrt {1- {x ^{2}} over {4}} dx] 를 계산하자. [eqn: {x over2}``=``sin theta][eqn: left( - pi over 2 le theta le pi over 2 right)]로 치환하고 [eqn: sin alpha``=``{sqrt{6}over3}]라 하면

[eqn: 2 int _{{2 sqrt {6}} over {3}} ^{2} {} ` sqrt {1- {x ^{2}} over {4}} dx][eqn: =``2 int_{alpha}^{pi over2}`2cos^2 theta``d theta``=``2 int_{alpha}^{pi over2}`(1+cos 2theta)``d theta``][eqn: =``[ 2theta``+``sin 2theta`]_{alpha}^{pi over2}][eqn: =``pi``-``2alpha``-``sin 2alpha]

여기에서 [eqn: sin2 alpha ``=``2sin alpha `cos alpha ``=``2 TIMES ` {sqrt {6}} over {3} ` TIMES ``sqrt{1-({sqrt {6}} over {3})^2}][eqn: =``{{2sqrt{2}}over3}]이므로

[eqn: 2 int _{{2 sqrt {6}} over {3}} ^{2} {} ` sqrt {1- {x ^{2}} over {4}} dx][eqn: =`` pi ``-``2 alpha ``-``{{2sqrt{2}}over3}]

이제 [eqn: 2 int _{sqrt {6} -1} ^{{2 sqrt {6}} over {3}} {} ` sqrt {1-(x- sqrt {6} ) ^{2}} dx]를 계산하자. [eqn: x``-``sqrt{6}``=``sin theta] [eqn: left( - pi over 2 le theta le pi over 2 right)]로 치환하고 [eqn: sin alpha``=``{sqrt{6}over3}]라 하면

[eqn: 2 int _{sqrt {6} -1} ^{{2 sqrt {6}} over {3}} {} ` sqrt {1-(x- sqrt {6} ) ^{2}} dx][eqn: =``2 int_{-pi over2}^{-alpha}`cos^2 theta``d theta``=`` int_{-pi over2}^{-alpha}`(1+cos 2 theta)``d theta``][eqn: =``[ theta``+``{1over2} \sin 2theta`]_{-pi over2}^{-alpha}][eqn: =`` {{pi } over {2}} ``-`` alpha ``-`` {1} over {2} \sin 2 alpha][eqn: =``{pi over2}``-``alpha``-``{{sqrt{2} over3}] 이제 [eqn: 2 int _{sqrt {6} -1} ^{{2 sqrt {6}} over {3}} {} ` sqrt {1-(x- sqrt {6} ) ^{2}} dx][eqn: =``{pi over2}``-``alpha``-``{{sqrt{2} over3}]

[eqn: 2 int _{{2 sqrt {6}} over {3}} ^{2} {} ` sqrt {1- {x ^{2}} over {4}} dx``+``2 int _{sqrt {6} -1} ^{{2 sqrt {6}} over {3}} {} ` sqrt {1-(x- sqrt {6} ) ^{2}} dx][eqn: =`` pi ``-``2 alpha ``-``{{2sqrt{2}}over3}][eqn: +``{pi over2}``-``alpha``-``{{sqrt{2} over3}]

[eqn: =``{{3pi}over2}``-``sqrt{2}``-``3alpha][eqn: =``{{3pi}over2}``-``sqrt{2}``-``{{3(pi``-``theta_2`)}over 2][eqn: =``{{3theta_2}over2}``-``sqrt{2}]

(단,  [eqn: 2alpha``+``theta_2``=``pi]이므로 [eqn: alpha``=``{{pi``-``theta_2} over 2}])

(참고) [eqn: sin({theta_2}over2})``=``{1 over{sqrt{3}}] 이므로

[eqn: sin theta_2``=``2cdot{1over{sqrt{3}}cdot sqrt{1-{1over3}}``=``{{2sqrt{2} over3}]

[eqn: sin({theta_1}over2})``=``{{1over{sqrt{3}}over{sqrt{(({{2sqrt{6}}over3})^2``+``({1 over{sqrt{3}})^2}][eqn: =``{1over{sqrt{3}}over{sqrt3}``=``1over3]이므로

[eqn: sin theta_1``=``2cdot{1over3}}cdot sqrt{1-{1over9}}``][eqn: =``2cdot{1over3}}cdot {{2sqrt{2}}over3}``=``{{4sqrt{2}}over9}]

[문항2]  채점기준 참고