자연계열

2017학년도 모의논술 고사

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2017학년도 아주대학교 모의논술고사(자연계열)

	2017학년도 자연계열 모의논술	자연계열

[문항1] 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

주어진 여러 수량들의 대푯값을 찾을 때 우리는 평균을 이용한다. 평균을 구하는 과정에서 중요한 수량들은 그 중요도에 따라 더 반영하여야 한다.

(가) 구간 [eqn: [a,b]]에 정의된 함수 [eqn: f(x)]를 생각하자.  임의 부분구간 [eqn: [ alpha , beta ]` SUBSET `[a,b]]를  수열 [eqn: alpha=x _{0`} <x _{1} <` CDOTS `<`x _{n-1} <x _{n} =beta]을 이용하여 나누면,  이를 이용한 [eqn: [ alpha ,` beta ]]에서의 함수 [eqn: f(x)]의 평균의 근삿값은

[eqn: sum _{k=0} ^{n-1} ``f(x _{k} )` {x _{k+1} -x _{k}} over {beta-alpha}] = [eqn: {1} over {beta-alpha} ` sum _{k=0} ^{n-1} ```f(x _{k} )` DELTA ``x _{k}],   [eqn: Delta`x _{k} ``=x _{k+1} `-x _{k}]

가 된다. 이러한 과정의 극한으로서 ‘구간 [eqn: [ alpha , beta ]]에서의 함수 [eqn: f(x)]의 평균’은

[eqn: {1} over {beta-alpha} `` int _{alpha} ^{beta} {f(x)`dx} ``]

으로 주어진다.

(나) 표본공간 [eqn: S `=` LEFT { x _{1},`` x _{2},```cdots`,```x _{n} RIGHT }]의 각 원소에 하나의 값을 대응시키는 함수 [eqn: X]를  ‘확률변수’라고 한다. 또한 [eqn: S`]의 부분집합 [eqn: E``=` LEFT { e _{1} `,``e _{2} `,`` CDOTS ``,`e _{k} RIGHT }]를 우리는 ‘사건’이라고 한다. 이때 [eqn: E]의 원소 하나로 이루어진 집합 [eqn: LEFT { e _{i} RIGHT }]도 부분집합이므로 사건이다.  한 사건 [eqn: E``]의 확률을 [eqn: P``(E)`]로 표시할 때, [eqn: P``(E)`>0]인 경우 ‘사건 [eqn: E``]에서의 확률변수 [eqn: X``]의 평균’을

[eqn: ` {1} over {P(E)} sum _{i=1`} ^{k} ```X``(e _{i} )`P``( LEFT { e _{i} RIGHT } )]

으로 정의하자.  예를 들어 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수 [eqn: 1,`2,`3,`4,`5,`6]은 표본이 되고 그 확률이 각각 [eqn: p _{1} ,`p _{2} ,`p _{3} ,`p _{4,`} p _{5} ,`p _{6}]이고, 확률변수 [eqn: X]의 값들이  [eqn: x _{1} ,`x _{2} ,`x _{3} ,`x _{4} ,`x _{5} ,`x _{6}]로 주어진 경우,  사건 [eqn: LEFT { 1,`2,`3` RIGHT }]에서의 확률변수 [eqn: X``]의 평균은  [eqn: {1} over {p _{1} +p _{2} +p _{3}} ` LEFT ( x _{1} p _{1} `+x _{2} `p _{2} `+`x _{3} `p _{3} RIGHT )]이 된다.

(다) 함수 [eqn: f`(x)]가 열린 구간 [eqn: (a,b)`]에서 정의되어 있고  모든 점에서 두 번 미분가능하다고 하자. 임의의 점 [eqn: x _{0} ` IN `(a,b)`]에서 함수 [eqn: f`(x)]의 이계도함수 값 [eqn: f '' (x _{0} )]는 도함수 [eqn: f`'(x)]의 [eqn: x _{0}]에서의 미분계수이다:

[eqn: f '' (x _{0} )`=` lim _{h -> 0} {{f` prime (x _{0} +h)-f` prime (x _{0} )} over {h}}] .

[문제 1-1] (1) (5점) 아주대학교를 다니는 다산이는 지금 수평거리 [eqn: 200`m]인 언덕을 걸어서 넘고 있다. 수평거리를 따른 언덕의 단면 높이가 구간 [eqn: [0,200]]에 정의된 다음의 함수

[eqn: f(x)`=x,``````x` IN `[0,100]````;``````f(x)`=100` TIMES `cos ^{2} LEFT ( {pi } over {200} (`x-100) RIGHT ) ,```x`` IN `[100,200]]

으로 표현된다고 하자. ‘구간 [eqn: [50,`200]]에서의 [eqn: f`(x)]의 평균’을 구하라.

(2) (10점) 표본공간 [eqn: S`=` LEFT { 0,`1,`2,`3,`4,`5 RIGHT }]를 생각하자. 이 때 [eqn: n=0,`1,`2,`3,`4,`5]에 대하여 각 사건 [eqn: LEFT { n RIGHT }]이 나올 확률이 앞, 뒤가 나올 확률이 같은 동전을 다섯 번 던져 앞이 나오는 횟수가 [eqn: n]일 확률과 같다. 이 때, ‘[eqn: 2]보다 작거나 같은 수로 이뤄진 사건에서의 확률변수 [eqn: X(n)`=`n ^{2}]의 평균’을 구하라.

[문제 1-2] (10점) 제시문 (가)에서 [eqn: [a,b]`=`[a _{0} ,``a _{m} ]]이라고 하고 함수 [eqn: f(x)]가 이 구간 [eqn: [a _{0} ,`a _{m} ]]에서 정의되어 있다고 하자. 구간 [eqn: [a _{0} ,a _{m} ]]을 수열 [eqn: a _{0`} <a _{1} <` CDOTS `<`a _{m-1} <a _{m}]으로 나누고 [eqn: c _{l}] ([eqn: l=1, LDOTS ,m])을 각 ‘작은 구간 [eqn: [a _{l-1} ,`a _{l} ]]에서의 [eqn: f(x)]의 평균’이라고 하자.

구간 [eqn: [a _{0} ,a _{m} ]] 위의 함수 [eqn: h _{l}(x)] ([eqn: l=1, LDOTS ,m])을 각각  [eqn: x]가 [eqn: [a _{l-1} ,``a _{l} ]]에 속할 때만 1이 되고, 그렇지 않으면 0이 되는 함수라고 정의 할 때, 다음의 함수를 생각하자.

[eqn: g(x)`=`c _{1} ```h _{1} (x)`+ CDOTS +`c _{m} `h _{m} (x)], [eqn: x``in``[a _{0} ,``a _{m} ]].

전체 구간 [eqn: [a,`b]]에서의 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]의 평균의 대소관계에 대하여 논하라.

[문제 1-3]  제시문 (다)에서 함수 [eqn: f(x)]의 이계도함수의 값이 구간 [eqn: (a,b)]안의 모든 점에서 0보다 크거나 같다고 하자.

(1) (10점) 함수 [eqn: f(x)]의 그래프 상의 임의의 점 [eqn: (x_0,`f(x_0`))]에서 그은 접선 [eqn: ell]은 항상 [eqn: y=f(x)]

의 그래프 아래에 놓임을 보여라.

(2) (15점) 구간 [eqn: (a,b)]안의 임의의 점 [eqn: x _{0}]와 [eqn: LEFT [ x _{0} -d,`x _{0} +d RIGHT ] ` SUBSET ` LEFT ( a,b RIGHT )]이 되는 임의의 양수 [eqn: d~]에 대하여 ‘구간 [eqn: [x _{0} -d,`x _{0} +d]]에서의 함수 [eqn: f(x)]의 평균’은 항상 [eqn: f(x _{0} )]보다 크거나 같음을 보여라. 또 ‘구간 [eqn: [x _{0} -d,`x _{0} +d]]에서의 이차함수 [eqn: f(x)``=``px^2``+qx+r]의 평균’ (단, [eqn: p>0])은 항상 [eqn: f(x _{0} )]보다 큼을 보여라.

[문항2] 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

(가)  아주 작아 보이는 발견이 수학자들을 흥분의 도가니로 몰아넣었다. 2015년 8월 달 일간지에  바닥면에 겹치거나 빈틈이 없도록 타일을 붙일 수 있는 새로운 오각형이 3명의 수학자들에 의해 발견되었다는 기사가 때문이었다.

[그림 1]

워싱턴 대학의 수학 교수 케이시 만(Casey Mann)과 그의 부인 제니퍼 맥루드(Jennifer McLoud) 그리고 학부생 연구원인 데이비드 폰 드라우(David Von Derau)가 이 놀라운 방법을 발견하기 전까지 평면을 덮을 수 있는 오각형 종류는 14개뿐이었다. 14번째 방법이 마지막으로 발견된 건 1985년. 30여 년 만에 15번 째 방법이 채워졌다.

평면을 덮을 수 있는 오각형의 종류가 더 있는지는 아직 아무도 모른다.

이번에 15번째로 발견된 오각형은 다음과 같다.

[그림 2]

[eqn: rm bar{AB}``=``bar{AE}``=``bar{CD}``=``{1 over 2}], [eqn: rm bar{BC}``=``1`]

[eqn: rm angle A``=``90^{ㅇ}], [eqn: rm angle B``=``150^{ㅇ}],

[eqn: rm angle C``=``60^{ㅇ}], [eqn: rm angle D``=``135^{ㅇ}],

[eqn: rm angle E``=``105^{ㅇ}]

(나)  [그림 1]의 성질을 알아보기 위해 다음과 같이 간단히 그렸다.

[그림 3]

[문제 2-1] (1) (5점) [그림 2]의 발견된 오각형에서 직선 [eqn: rm CE]는 [eqn: rm angle C]를 이등분함을 보이고,

(2) (5점) [eqn: rm bar{DE}]의 길이를 구하라.

[문제 2-2] (1) (4점) [그림 1]에서 각각의 꼭지점에 모이는 변에 의해 생기는 각은 3개 또는 4개이다. 어떤 경우가 가능한지 모두 구하라. (예를 들어 [eqn: 150^{ㅇ}-150^{ㅇ}-60^{ㅇ}]와 같이 표시한다.)

(2) (10점) [그림 3]에서 오각형 두 개를 길이가 같은 변을 완전히 일치시켜 이어 붙인 [모양]이 보인다. 이들 중 어떤 점을 중심으로 점대칭 이동 시킨 [모양]을 모두 구하고, 그 중심을 나타내어라. 또 이렇게 구한 [모양]에서 평행인 변을 모두 나타내어라.

(3) (16점) [그림 3]에서 오각형 두 개를 길이가 다른 변을 부분적으로 일치시켜 이어 붙인 [모양]이 두 개 있다. 이런 [모양]에서 평행인 두 변을 나타내고 평행함을 보여라.

[문제 2-3]  [그림 3]에서 다음을 구하라.

(1) (5점) 직선 [eqn: rm RS]와 직선 [eqn: rm TU]의 사이거리  (2) (5점) 직선 [eqn: rm TU]와 직선 [eqn: rm VW]의 사이거리