자연계열(오후)

2016학년도 논술고사

자연계열(오후)

성 명
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2016학년도 아주대학교 논술고사(자연계열(오후))

[문항1] 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

	2016학년도 자연계열(오후) 논술고사	자연계열 (오후)

(가)　반지름이 1이고 중심이 [eqn: rm O]인 원 위에서 한 점 [eqn: rm P]가 움직일 때 [eqn: rm bar OP]와 양의 [eqn: x]축이 이루는 각 [eqn: theta]와 [eqn: rm P]의 높이, 즉 [eqn: rm P]의 [eqn: y]좌표와의 관계를 함수로 나타내면 [eqn: y``=``sin`` theta]가 된다는 사실이 알려져 있다.

[그림 1]

[eqn: theta]

[eqn: s = theta]

[eqn: s]

한편 중심각이 [eqn: theta]인 원호의 길이 [eqn: s]는 [eqn: s = theta]이므로 [eqn: (0,1)]에서 출발한 점이 시계바늘이 도는 방향의 반대방향으로 [eqn: s]만큼 이동하여 도달한 점 [eqn: rm P]의 높이 [eqn: y]를 [eqn: s]에 대한 함수로 나타내어도 [eqn: y = sin``s]가 된다. 이와 비슷하게 평면상에 어떤 도형 또는 그래프가 주어졌을 때 그 위를 움직이는 점의 이동한 거리와 도달한 점의 높이와의 관계를 함수로 나타내는 경우를 생각해 보자.

(나) 아래 그림과 같은 [eqn: (1, ``1)], [eqn: (1, ``-1)], [eqn: (-1, ``-1)], [eqn: (-1, ``1)]을 네 꼭지점으로 하는 정사각형을 생각하자. 점 [eqn: (1,0)]에서 출발한 점이 시계바늘이 도는 방향의 반대 방향으로 [eqn: s]만큼 이동하여 점 [eqn: rm P]에 도달했을 때 [eqn: rm P]의 높이 [eqn: y]를 이동한 거리 [eqn: s]에 따른 함수로 나타내면  [eqn: 0 le s le 8] 구간에서 아래와 같고 이를 그래프로 그리면 [그림 2]와 같다.

[그림 2]

[eqn: s]

[eqn: s]

[eqn: f(s)= {cases{s&`````````````````0 LEQ s LEQ 1#1&````````````````1 LEQ s LEQ 3#4-s&````````````````3 LEQ s LEQ 5#-1&````````````````5 LEQ s LEQ 7#s-8&````````````````7 LEQ s LEQ 8}}]

위 정사각형을 [그림 3]의 왼쪽 그림과 같이 [eqn: theta]만큼 회전시킨 도형을 [eqn: R] 이라 하자. (단, [eqn: 0 leq theta leq pi over 2]) 이 도형이 양의 [eqn: x]축과 만나는 점 [eqn: rm Q]에서 출발하여 시계바늘이 도는 방향의 반대 방향으로 [eqn: s]만큼 이동하여 점 [eqn: rm P]에 도달했을 때, [eqn: rm P]의 높이를 함수 [eqn: h (s)]로 나타내면, [그림 3]의 오른쪽 그림과 같은 [eqn: h (s)]의 그래프를 얻을 수 있다. 이때 [eqn: theta]에 따라 [eqn: h(s)]의 그래프의 개형 및 [eqn: h(s)]의 최댓값이 달라짐을 관찰 할 수 있다.

[그림 3]

[eqn: theta]

[eqn: rm Q]

[문제 1-1] (10점) 좌표평면에서 [eqn: |`x`|``+``|`y`|``=``sqrt 2]를 만족하는 도형을 생각하자. 점 [eqn: (sqrt 2 , 0)]에서 출발하여 시계바늘이 도는 방향의 반대방향으로 도형을 따라 [eqn: s]만큼 이동한 후 점 [eqn: rm P]에 도달 했을 때, [eqn: rm P]의 높이 [eqn: g(s)]를 [eqn: 0 leq s leq 8]범위에서 구하시오.

[문제 1-2] (15점) 점 [eqn: (1,``0)]에서 출발하여 [eqn: f(x)= {x sqrt{x^2 -1} - ln (x+sqrt{x^2 - 1} )} over 2]의 그래프를 따라 [eqn: x]가 증가하는 방향으로 [eqn: s]만큼 이동하여 점 [eqn: rm P][eqn: (x,``y)]에 도달하였다.

(1) 이 때 [eqn: {rm P} (x,y)]의 [eqn: y]좌표를 이동한 거리 [eqn: s]에 대한 함수 [eqn: g(s)]로 나타내시오. (단, [eqn: s ge 0])

(2) 극한 [eqn: lim_{s rarrow inf} g(s) over s]의 수렴성에 관해 논하시오.

[문제 1-3] (25점) 제시문 (나)에서 설명한 [eqn: theta]에 따라 변하는 도형 [eqn: R] 및 [eqn: h(s)]를 생각하자.

(1) [eqn: h (s)]의 최댓값을 [eqn: theta]에 대한 함수로 나타내시오.

(2) 구간 [eqn: 0 le s le 8] 에서 함수 [eqn: h(s)]의 그래프로 나타나는 곡선의 길이는 [eqn: theta]에 대한 함수이다. 이를 [eqn: ell(theta)]라 할 때 [eqn: ell(theta)]를 구하고 [eqn: ell(theta)]의 그래프가 가지는 모양에 관해 논하시오.

[문항2] 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

다음과 같이 0이상의 정수 두 개를 이용하여 표현할 수 있는 유한소수를 생각하자.

0이상의 정수 [eqn: n]과 [eqn: m]에 대하여 [eqn: bar n.m]은 [eqn: n]을 소수점 앞에 적고, [eqn: m]을 소수점 아래에 적은 수이다. 예를 들어 [eqn: n=20], [eqn: m=16]이면 [eqn: bar n.m = 20.16], [eqn: bar m.n = 16.20 = 16.2]이고, [eqn: m=0]이면 [eqn: bar n.m = n]이 된다.

이제 [eqn: bar n.m]이 가지는 몇 가지 성질에 대해서 논의해 보자.

성질 1. 0이상의 네 정수 [eqn: n], [eqn: m], [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: (n+1)(a+1) > bar n.m times bar {a.b} ge na] 가 성립한다.

(증명) [eqn: n]과 [eqn: m]에 대하여 [eqn: n+1>bar n.m ge n] 이 성립한다. 같은 이유로 [eqn: a+1>bar a.b ge a]도 성립하므로 부등식이 성립한다.

성질 2. [eqn: bar n.m times bar a.b]가 자연수가 되기 위해서는 [eqn: mb]는 10의 배수여야 한다.

(증명) [eqn: m]을 [eqn: alpha]자리의 수, [eqn: b]를 [eqn: beta]자리의 수라고 하면, [eqn: mb]의 일의 자리의 숫자와 [eqn: bar n.m times bar a.b]의 소수점 [eqn: alpha+beta] 아래의 숫자가 정확히 같다. 따라서 [eqn: bar n.m times bar a.b]가 자연수이기 위해서는 소수점 아래의 숫자들은 모두 0이어야 하므로 [eqn: mb]는 10의 배수이다.

[문제 2-1] (10점) [eqn: 1 LE n le 100]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f(n)`` =`` bar n.n ``times bar (100-n).n] 을 정의하자. 예를 들어, [eqn: f(8) = 8.8 times 92.8]이다. [eqn: f(n)]이 최대가 되도록 하는 [eqn: n]을 구하시오.

[문제 2-2] (15점) 두 정수 [eqn: b], [eqn: c] 에 대하여 [eqn: f(x) = 10 x^2 + bx + 10c]가 두 실수해 [eqn: bar n.m]과 [eqn: bar m.n]을 가진다고 한다. 이때 [eqn: n], [eqn: m]은 10의 배수가 아닌 자연수이다. [eqn: log_10 alpha = bar n.m], [eqn: log_10 beta = bar m.n]이라고 하면, [eqn: (c-b)alpha beta]를 10진법으로 표현했을 때 얻는 수의 맨 앞자리 숫자를 구하시오. (단, 상용로그표에 따르면 [eqn: log_10 2 = 0.3010], [eqn: log_10 3 = 0.4771], [eqn: log_10 4 = 0.6021], [eqn: log_10 5 = 0.6990], [eqn: log_10 6 = 0.7782], [eqn: log_10 7 = 0. 8451], [eqn: log_10 8 = 0.9031], [eqn: log_10 9 = 0.9542])

[문제 2-3] (25점) 0이상의 정수 [eqn: n], [eqn: m]이 [eqn: n ge m]을 만족한다. 정수 [eqn: b]와 두 자리의 자연수 [eqn: c]에 대하여 이차함수 [eqn: f(x) = 100 x^2 + bx + 100c]가 두 해 [eqn: bar n.m]과 [eqn: bar m.n]을 가진다고 하자.

(1) [eqn: m=0]일 때, 가능한 [eqn: n]을 모두 구하시오.

(2) [eqn: m > 0]일 때, 가능한 [eqn: (n,``m)]을 모두 구하시오.