자연계열(오전)

2016학년도 논술고사

자연계열(오전)

모범답안

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2016학년도 아주대학교 논술고사 모범답안(자연계열(오전))

[문항1]

	2016학년도 자연계열(오전) 모범답안	자연계열 (오전)

[문제1-1] 원 [eqn: C( rm `O it )]위를 움직이는 점 [eqn: rm P]와 곡선 [eqn: F``]위를 움직이는 점 [eqn: rm Q]를 생각했을 때 [eqn: rm bar PQ]가 최솟값을 가질 때는 [eqn: rm bar PQ]를 연장한 직선이 원의 중심(원점)을 지나야 한다. 따라서 원점 [eqn: rm O]에서 [eqn: F``]위의 점 [eqn: rm Q]에 대하여 [eqn: rm bar OQ]의 최솟값을 구하면 충분하다. 원점과 곡선위의 점 [eqn: rm Q][eqn: (x,y)]사이의 거리를 [eqn: x]에 대한 함수 [eqn: d(x)]로 놓으면,

[eqn: d(x)^2 = x^2 + y^2 = x^2 + (x^2 - 3x + 3)^2]

이다. 함수의 최솟값은 그 함수의 극솟값에서 나온다. 이 함수의 극솟값을 구하기 위해서 [eqn: x]로 미분해보면 [eqn: 2(x-1)(2x^2 -7x+9)]이 되므로 [eqn: x=1]이 유일한 극값이다. [eqn: x=1]에서 [eqn: d(x)^2 = 2]이므로 [eqn: rm bar OQ]의 최솟값은 [eqn: sqrt2]이다. 따라서 [eqn: rm bar PQ]가 최솟값은 [eqn: sqrt2 - 1]이다.

(별해) 곡선 [eqn: F``] 위의 한 점 [eqn: rm Q(a,b)]에서의 법선이 원점을 지날 때, 이 법선과 원 [eqn: C( rm `O it )]의 교점 중 포물선에 가까운 점을 [eqn: R]라 하면 [eqn: rm bar{RQ}]가 [eqn: rm bar PQ]의 최솟값이다. [eqn: y``=``f(x)``=``x^2``-``3x``+``3]의 [eqn: rm Q(a,b)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: f``'(x)``=``2x-3] 이므로 [eqn: f``'(a)``=``2a-3]. 법선은 접선에 수직이므로 기울기는 [eqn: -{1 over{2a-3}}]. 따라서 법선의 방정식은 [eqn: y``-``f(a)``=``-{1 over {2a-3}}(x-a)]. 이 식이 원점[eqn: (0,0)]을 지나므로

[eqn: 0``-``f(a)``=``-{1 over {2a-3}}(0-a)]  에서 [eqn: (2a-3)(a^2`-3a+3)``=``-a]. 정리하면

[eqn: 2a^3``-9a^2``+16a``-9``=``(a-1)(2a^2``-``7a+9)``=``0]에서 [eqn: a``=``1]이 유일한 근이고, 따라서 [eqn: rm Q (1,1)]이므로 [eqn: rm bar OQ = sqrt2]이고, 따라서 [eqn: rm bar PQ]의 최솟값은 [eqn: sqrt2 - 1]이다.

[문제 1-2] (1)  [eqn: x le 2] 일 때 내부가 모두 채워지므로 그 넓이는

(정사각형 외부의 넓이) + (정사각형의 넓이),  정사각형 외부의 넓이는 [eqn: 4x + pi]이고

정사각형의 넓이는 [eqn: x^2]이므로 구하는 넓이는 [eqn: x^2 + 4x + pi]

[eqn: x ge 2]일 때 내부에 정사각형 만들어지고 구하는 넓이는 (정사각형 외부의 넓이) + (정사각형의 넓이) - (내부의 정사각형의 넓이) 한편 내부의 정사각형의 한 변의 길이는 [eqn: x-2]이므로,  [eqn: 4x+ pi + x^2 -(x-2)^2 = 8x + pi-4] 따라서

[eqn: ① = cases{x^2 +4x + pi, & ~~ x le 2 일때 # 8x +pi - 4, & ~~ x ge2 일때}]

(2) 명제 ②는 참: 각 변의 길이가 [eqn: ar], [eqn: br]인 직사각형의 외부도형의 넓이는 [eqn: 2(a+b)r+pi],

둘레의 길이는 [eqn: 2(a+b)r] 이므로 r에 대한 증가함수.

(i) 내부가 비어있는 경우 넓이는 [eqn: \{abr^2``-``(ar-2)(br-2) \}``+``\{2(a+b)r+pi\}``=``4(a+b)r+pi-4]

(ii) 내부가 채워진 경우 넓이는 [eqn: abr^2``+``2(a+b)r+pi]

(i),(ii)로부터 넓이는  [eqn: r]에 대한 증가함수이므로 ②는 참.

명제 ③은 거짓: 반례를 들어야 한다. 예를들어

변의 길이	[eqn: F]의 둘레의 길이	[eqn: C(F)]의 넓이
4,4,4,4	16	[eqn: 28 + pi]
8,1,8,1	18	[eqn: 26 + pi]

[문제 1-3] (1) 점 [eqn: rm R]을 중심으로 하는 단위원과 [eqn: rm R]로부터 거리가 1인 평행선이 만나는 점을 [eqn: rm T]라 하자. [eqn: C(L``)]의 개형이 [그림 3]과 같기 위해선

[eqn: {rm bar PT} = sqrt2 (1-x) le 1]이어야 한다.

따라서,

[eqn: 1 - 1 over sqrt2 le x le 1 over 2]

인 범위에서 [그림 3]의 개형이 나타난다.

(별해) 위쪽 선분의 길이가 0보다 크면 [그림2] 가 되므로

[eqn: 1-x``-``sqrt{1-(1-x)^2}``=``1-x``-``sqrt{2x-x^2}``ge``0``]. 따라서 [eqn: 0``<``x``le ``1``-``{1 over sqrt{2}}] 결국 [그림3]이 되기 위해서는

[eqn: 1 - 1 over sqrt2 le x le 1 over 2].

E

(2) 선분 [eqn: rm QR]을 연장하여 [eqn: C(L``)]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라 하고 선분 [eqn: rm PR]을 연장하여 [eqn: C(L``)]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm C], [eqn: rm D]라 하자. 그리고 [eqn: rm P]를 지나며 [eqn: rm bar QR]과 평행한 직선과 [eqn: C(L``)]와 만나는 점 중에 [eqn: rm A]와 가까운 점을 [eqn: rm E]라 하고, [eqn: rm Q], [eqn: rm R]을 지나면서 [eqn: rm bar AB]와 수직인 선들과 [eqn: C(L``)]가 만나는 점을 각각 [eqn: rm F], [eqn: rm G]라 하자.

이때 각 [eqn: angle CPE = angle DRB] 이므로 부채꼴 [eqn: rm PEC]와 부채꼴 [eqn: rm RDB]의 넓이는 서로 같다. 따라서 이 도형의 위와 같이 색칠된 부분의 넓이는 원 [eqn: C({rm P})]와 [eqn: C({rm R})]이 이루는 도형의 절반과 같다. 한편 [eqn: rm bar PR]의 중점을 [eqn: rm H]라 하면, 원의 성질에서 [eqn: rm bar SH]는 [eqn: rm bar PR]을 수직이등분 한다. [eqn: {rm bar PR} = sqrt {x^2 + (1-x)^2], [eqn: rm bar PS = 1]이므로

[eqn: cos``theta ={rm bar PH} = {sqrt{x^2 + (1-x)^2} over 2]

(*)

이다. 따라서 색칠된 영역의 넓이는

[eqn: 2 times {pi - theta}over 2 + 2 times { {rm bar SH} times {rm bar PH}} over 2 }][eqn: =pi - theta + cos `` theta cdot sin ``theta = pi - theta + { sin (2theta )} over 2]

이제 [eqn: C(L``)]의 나머지 부분의 넓이를 구한다. 두 부채꼴의 넓이의 합은 [eqn: pi over 2]이고 두 직사각형의 넓이의 합은 [eqn: x + 1-x = 1]이고, 삼각형의 넓이가 [eqn: {x (1-x)} over 2]이다.  (*)에서 [eqn: (2cos `theta)^2``=``x^2``+``(1-x)^2``][eqn: =``2x^2``-``2x+1]이므로 반각공식 [eqn: cos^2``theta``=``{{1+cos``2 theta} over2}]을 쓰면 [eqn: 4``{{1+cos``2 theta} over2}``=``2x(x-1)``+``1] 정리하면 [eqn: {x(1-x)} over {2}`` =``-`{cos(`2 theta )} over 2 - 1 over 4]이므로 [eqn: C(L``)]의 넓이 [eqn: S(theta)]는

[eqn: S(theta ) =][eqn: pi - theta + { sin (2theta )} over 2``+``{pi over2}``+``1``-{{cos``2theta} over 2}``-``{1 over4}``=``3 over 4 + 3 over 2 pi - theta + {sin (2 theta ) -cos (2 theta )}over 2]

따라서 [eqn: S(theta ) =][eqn: 3 over 4 + 3 over 2 pi - theta + {sin (2 theta ) -cos (2 theta )}over 2].

(3) (2)에서 구한 [eqn: S(theta )]를 [eqn: theta]에 대해 미분하면 [eqn: -1 + cos(2theta ) + sin(2theta ) ``=``-1``+``sqrt{2}`sin(2theta``+``{pi over 4})]가 된다. [eqn: pi over 4 < theta< pi over 2]이면 [eqn: {{3pi} over 4 }< 2theta``+``{pi over 4}< {{5pi} over 4}] 이므로 [eqn: |`sin(2theta``+``{pi over 4})`|``le {1 oversqrt{2}}] 따라서 [eqn: S`'(theta)``<``0`]이므로

[eqn: S(theta )]는 [eqn: theta]에 대한 감소함수이다. 한편 [eqn: pi over 4 < theta< pi over 2] 범위에서 [eqn: cos ``x]는 감소함수이므로, 역시 (2)번에서 구한 (*)에서 [eqn: x]가 커지면 [eqn: theta]도 커지고 그 역도 성립한다. 따라서 [eqn: g(x) = S(theta )]는 [eqn: x]가 커지면 감소한다.

[문항2]

[문제 2-1]

오른쪽 그림과 같이 제시문의 [그림 3]을 위에서 내려다 본 모양을 생각하자. 면 [eqn: rm ABCDEF]는 정6각형이므로 좌표평면에

[eqn: rm F(1,0)],  [eqn: rm A({1 over2},{{sqrt{3} over2})], [eqn: rm B(-{1 over2},{{sqrt{3}over2})],

[eqn: rm C(-1,0)], [eqn: rm D(-{1 over2}, -{{sqrt{3}over2})], [eqn: rm E({1 over2},-{{sqrt{3} over2})],

[eqn: rm S``'], [eqn: rm T``'], [eqn: rm U``']은 [eqn: rm S], [eqn: rm T], [eqn: rm U]의 정사영이 되게 놓자. 그러면

사각형 [eqn: rm AS``'`U``'`F], [eqn: rm BS``'`T``'`C], [eqn: rm DT``'U``'E] 는 직사각형이다.

[eqn: rm angle BAF``=``120^{ㅇ}], [eqn: rm angle S``'`AF``=``90^{ㅇ}]이므로 [eqn: rm angle S``'`AB``=``30^{ㅇ}]

이제 [eqn: rm bar{S``'A}``=``{{1over2}over {cos 30^ㅇ}}``=``{1 over sqrt{3}}]이므로 이면각의 크기의 정의로부터 [eqn: 1 times cos alpha``=``{1 over sqrt{3}}]이므로 [eqn: cos alpha``=``{1 over sqrt{3}}] 이다. 또한 한 변의 길이가 1인 정삼각형의 높이는 [eqn: {{sqrt{3}}over 2}]이고 [eqn: rm bar {S``'V}``=``bar{AS``'}``sin` 30^ㅇ``=``{{sqrt{3}}over 6}]이므로 이면각의 크기의 정의로부터 [eqn: {{sqrt{3}over2} times cos` beta``=``{{sqrt{3}}over 6}]이므로 [eqn: cos` beta``=``{1 over 3}] 을 얻는다.

따라서 [eqn: cos alpha``=``{1 over sqrt{3}}``=``{{sqrt3}over3}], [eqn: cos` beta``=``{1 over 3}] 이다.

[문제 2-2]

점 [eqn: rm S]의 면 [eqn: rm ABCDEF]로의 정사영을 [eqn: rm S']이라 하면 [eqn: rm triangle SAS']은 직각삼각형이고, 점 [eqn: rm S]와 면 [eqn: rm ABCDEF]를 포함하는 평면사이의 거리는

[eqn: rm bar{AR} sin alpha``=``1 times sqrt{1-cos^2`alpha}``=``sqrt{1-`({1 over{sqrt{3}})^2}}``=``sqrt{2 over3}``=``{{sqrt{6}over 3}]

[문제 2-3]

입체도형 [eqn: rm U-EFPO]의 모양은 오른 쪽과 같으며 [eqn: rm EFPO]를 밑변에 두고 수직으로 위에서 바라본 모양을평면에 나타내면 다음과 같다.

[eqn: delta]와 [eqn: gamma] 를 각각 면 [eqn: rm EFPO]와 삼각형 [eqn: rm EFU] 및 [eqn: rm EOU]와 만들어지는 평면과의 이면각이라 하면,

[eqn: {{sqrt{3}over 2}`cos delta`=``{1 over2}] 에서 [eqn: cos delta``=``{1 over{sqrt3}}]

(참고 [eqn: {{sqrt{3}over 2}`cos gamma``=``{1 over2}] 에서 [eqn: cos gamma``=``{1 over{sqrt3}}])

따라서 [eqn: rm U]의 높이는 [eqn: {{sqrt{3}}over2} `tan delta``=``{{sqrt{3}}over2} `sqrt{sec^2`delta``-``1}`]) [eqn: =``{{sqrt{3}}over2} ``sqrt{{(sqrt{3})^2``-1`}}``=``{{sqrt6}over2}]

면 [eqn: rm EFPO]와 면 [eqn: rm ABCDEF] 의 이면각은 [eqn: beta``+``delta] 이다.

따라서 [eqn: cos(beta``+``delta)``=``cos beta`cos delta``-``sin beta`sin delta`] [eqn: `=``{1 over3}`{1 over{sqrt{3}}``-``sqrt{1-{1 over9}}`sqrt{1-{1over3}}````=``-{1 over{sqrt3}}]

이제 구하는 면 [eqn: rm ABCDEF]의 모든 점의 높이는

[eqn: 2`cos( beta ``+`` delta ``-90 ^{ㅇ} `)``=``2`sin( beta ``+`` delta ``)``=``2`` sqrt {1-cos ^{2} `( beta ``+`` delta ``)}``=``2`sqrt{1-{1over3}}``=``2``sqrt{2over3}``=``{{2sqrt{6}}over 3}]