자연계열(오전)

2016학년도 논술고사

자연계열(오전)

성 명
전 형
수험번호

표지를 제외한 페이지 수 : 4

2016학년도 아주대학교 논술고사(자연계열(오전))

[문항1] 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

	2016학년도 자연계열(오전) 논술고사	자연계열 (오전)

(가) 컴퓨터에서 글자폰트를 저장할 때, 문자를 그림의 형태로 저장하는 것 보다 문자의 골격만 저장해서 일정한 방식으로 되살리는 기법을 사용하면 훨씬 적은 저장용량을 사용할 뿐 아니라, 문자의 변형이나 확대 · 축소에도 용이하다. 골격으로부터 폰트를 되살리는 방법으로는 문자의 골격을 중심으로 적당한 두께를 가진 도형을 만드는 방식이 주로 쓰인다. 이를 수학적으로 이해해 보자.

점 [eqn: rm P]와의 거리가 1이하가 되는 점들의 집합을 [eqn: C({rm P})]라고 하고 평면상의 도형 [eqn: F``]에 대하여 점 [eqn: rm P]가 [eqn: F``]위를 움직일 때 [eqn: C({rm P})]가 지날 수 있는 영역을 [eqn: C( F`)]로 표기하자. 예를 들어 [eqn: F``]가 선분 [eqn: I] 라면 [eqn: C( I`)]는 [그림 1]과 같은 모양이 된다.

[그림 1]

[eqn: I]

이때 [eqn: C( I`)]의 둘레는 두 개의 선분과 두 개의 반원으로 이루어져 있다. [eqn: C( I`)]의 둘레를 구성하는 두 선분은 [eqn: I] 와 거리가 1인 평행선 상에 존재하고 그 길이는 [eqn: I] 의 길이와 같다. 또한 [eqn: C( I`)]를 구성하는 곡선은 [eqn: I] 의 끝점 중 하나와의 거리가 1이므로 [eqn: I] 의 끝점을 중심으로 하는 반원이 된다.

한편,  일반적인 도형 [eqn: F``]에 대해서 [eqn: C( F`)]의 둘레 위에 있는 점 [eqn: rm P]를 고정하였을 때, [eqn: F``]위를 움직이는 점 [eqn: rm Q]에 대한 [eqn: rm bar PQ]의 최솟값은 항상 1이다.

(나) 문자 [eqn: ㄴ]을 표현하기 위한 문자의 골격은 두 개의 선분이 수직으로 만나는 모양이다. 길이가 [eqn: x], [eqn: 1-x] (단, [eqn: 0<x le 1 over 2])인 두 선분 [eqn: rmbar PQ], [eqn: rm bar QR]이 점 [eqn: rm Q]에서 수직으로 만나서 생기는 도형 [eqn: L]를 중심으로 하는 [eqn: C(L``)]을 생각하자. [eqn: C(L``)]의 둘레의 모양은 [eqn: x]가 적당히 작은 값 일 때는 [그림 2]와 같이 세 개의 원호와 세 개의 선분으로 이루어진 모양이고, [eqn: x]가 적당히 큰 값 일 때는 [그림 3]과 같이 세 개의 원호와 두 개의 선분으로 이루어진 모양이다.

[그림 2]

[eqn: L]

[그림 3]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm R]

[eqn: rm S]

[eqn: theta (x)]

[문제 1-1] (10점) 평면상에서 식 [eqn: y= x^2 - 3x + 3]을 만족하는 점들의 집합을 [eqn: F``]라 하자. 점 [eqn: rm P]가 원점[eqn: rm O]를 중심으로 하는 반지름 1인 원 [eqn: C( rm `O it )]위를 움직이고 점 [eqn: rm Q]가 [eqn: F``]위를 움직일 때, [eqn: rm bar PQ]의 최솟값을 구하시오.

[eqn: F]

[문제 1-2] (15점) 아주와 수시는 위 제시문을 읽고 다음과 같이 대화를 나누었다.

아주 : 문자 [eqn: ㅁ]을 만들기 위해선 사각형 모양의 도형 [eqn: F``]가 필요해.

수시 : 그렇지. 도형 [eqn: F``]가 사각형이라도 [eqn: C(F``)]가 [eqn: F``]의 내부를 덮어 버릴 수 있어서 항상 [eqn: ㅁ]형태가 되는건 아니지만 사각형 [eqn: F``]에 대한 [eqn: C(F``)]를 생각해 보는 건 재밌는 것 같아. 0보다 큰 [eqn: x]에 대하여 [eqn: F``]가 한 변의 길이가 [eqn: x]인 내부가 비어있는 정사각형 이라면 [eqn: C(F``)]의 넓이는
①      이 되어서 [eqn: x]에 따라 변하게 돼.

아주 : 이 경우에는 [eqn: x]가 증가할수록, 즉 [eqn: F``]의 둘레의 길이가 길어질수록 [eqn: C(F``)]의 넓이도 증가하겠구나. 일반적으로 ②내부가 비어 있는 두 개의 닮은 직사각형 [eqn: F``]와 [eqn: G]에 대해서 [eqn: F``]의 둘레의 길이가 [eqn: G]의 둘레의 길이보다 길면 [eqn: C(F``)]의 넓이가 [eqn: C(G)]의 넓이보다 크게 되는 것 같아.

수시 : 맞아. 두 직사각형이 닮지 않았더라도 ③내부가 비어 있는 두 직사각형 [eqn: F``]와 [eqn: G]에 대해서 [eqn: F``]의 둘레의 길이가 [eqn: G]의 둘레의 길이보다 길면 [eqn: C(F``)]의 넓이가 [eqn: C(G)]의 넓이보다 크게 돼.

(1) ①에 들어갈 식을 구하시오.

(2) 아주와 수시의 대화를 보고 ②, ③의 주장이 맞으면 증명하고, 틀리면 반례를 찾으시오.

[문제 1-3] (25점) 제시문 (나)에서 설명한 [eqn: x]에 대한 [eqn: C(L``)]이 [그림 3]과 같이 그 둘레가 두 개의 선분과 세 개의 원호로 구성되는 경우를 생각하자. 이때 원호끼리 만나는 점을 [eqn: rm S]라 하고, 선분 [eqn: rm bar PR]과 선분 [eqn: rm bar PS]가 이루는 각은 [eqn: x]에 대한 함수로 쓸 수 있다. 이를 [eqn: theta = theta (x)]라 하면 [eqn: theta]는 [eqn: pi over 4]와 [eqn: pi over 2]사이의 각이 된다.

(1) [eqn: alpha leq x leq 1 over 2]의 범위에서 [eqn: C(L``)]이 [그림 3]의 모양이 되고, [eqn: 0 < x < alpha]에서는 [그림 2]의 모양이 될 때, [eqn: alpha]를 구하시오.

(2) (1)에서 정의된 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: alpha le x le 1 over 2]일 때, [eqn: cos `( theta)]를 [eqn: x]에 대한 함수로 나타내고 이를 이용하여 [eqn: C(L``)]의 넓이를 [eqn: theta]에 대한 함수로 나타내시오.

(3) (1)에서 정의된 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: alpha le x le 1 over 2]일 때, 함수 [eqn: g(x)]를 다음과 같이 정의하자.

[eqn: g(x)]는 “[eqn: x]에 의해 결정되는 [eqn: C(L` )]의 넓이”이다.

이때 [eqn: x]에 대한 [eqn: g(x)]의 증가·감소를 판단하고 그 이유를 설명하시오.

[문항2] 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

어떤 구조물을 만들 때 도형을 접을 수 있게 만들면 구조물의 모양과 크기를 적당히 조절할 수 있어서 여러 분야에서 활용도가 높다. 실제 산업에서 쓰이는 구조물을 수학적으로 분석해 보자.

한 변의 길이가 1인 정육각형 [eqn: rm ABCDEF]의 서로 인접하지 않은 세 변을 택하여 한 변의 길이가 1인 정사각형 [eqn: rm AFQR], [eqn: rm CBIJ], [eqn: rm EDMN]을 붙이자. 직사각형 [eqn: rm BAGH], [eqn: rm DCKL], [eqn: rm FEOP]를 나머지 세 변에 붙여서 [eqn: rm H], [eqn: rm I], [eqn: rm J], [eqn: rm K]가 한직선 상에 있고, 마찬가지로 [eqn: rm L], [eqn: rm M], [eqn: rm N], [eqn: rm O] 및 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R], [eqn: rm G]도 각각 일직선 위에 있도록 만들면 [그림 1]과 같은 전개도를 가진 도형이 얻어진다. 이때 선이 있는 부분을 접을 수 있게 만들면, 이 도형 여러 개를 이어 붙여 [그림 2]와 같은 기동성있는 구조물을 만들 수 있다.

[그림 1]

[그림 2]

[그림 1]의 전개도를 선을 따라 접어서 [eqn: rm R]과 [eqn: rm I], [eqn: rm J]와 [eqn: rm M], [eqn: rm N]과 [eqn: rm Q]가 각각 만나게 겹쳐 [그림 3]처럼 만들 수 있다. [그림 3]에서 [eqn: rm R]과 [eqn: rm I]가 겹쳐서 생긴 점을 [eqn: rm S], [eqn: rm J]와 [eqn: rm M]이 겹쳐서 생긴 점을 [eqn: rm T], [eqn: rm N]과 [eqn: rm Q]가 겹쳐서 생긴 점을 [eqn: rm U]라 했을 때 [eqn: triangle rm STU]는 정삼각형이 된다. 이때 구조물을 다른 시각에서 보면 [그림 4]와 같이 보인다.

[그림 3]

[그림 4]

이런 입체도형을 다룰 때 이면각의 개념은 많은 도움이 된다. 직선 [eqn: ell]을 공유하는 두 반평면 [eqn: V], [eqn: W]로 이루어진 도형을 이면각이라 하며, 직선 [eqn: ell]을 이면각의 변, [eqn: V], [eqn: W] 를 이면각의 면이라 한다. 이면각의 변 [eqn: ell] 위의 한 점 [eqn: rm Z]를 지나고 [eqn: ell]에 수직인 두 선분 [eqn: rm ZX]와 [eqn: rm ZY]를 각각 [eqn: V], [eqn: W] 위에 그리면 [eqn: rm angle XZY]의 크기는 점 [eqn: rm Z]의 위치에 관계없이 일정하다. 이 각의 크기를 이면각의 크기라고 한다.

[그림 5]

[eqn: rmZ]

[eqn: ell]

[eqn: rmX]

[eqn: rmY]

[eqn: V]

[eqn: W]

[문제 2-1] (20점) [그림 1]의 두 면 [eqn: rm AFQR]과 [eqn: rm ABCDEF]가 [그림 3]처럼 접힌 후 생기는 이면각의 크기 [eqn: alpha]와 이때 새롭게 만들어지는 삼각형 [eqn: rm ABS]와 면 [eqn: rm ABCDEF]의 이면각의 크기를 [eqn: beta]라 할 때 [eqn: cos`` alpha]와 [eqn: cos`` beta]를 구하여라.

[문제 2-2] (10점) [그림 1]의 전개도를 [그림 3]처럼 접었을 때 생기는 정삼각형 [eqn: rm STU]를 포함하는 평면은 면 [eqn: rm ABCDEF]를 포함하는 평면과 평행하다. 점 [eqn: rm S]와 면 [eqn: rm ABCDEF]를 포함하는 평면사이의 거리를 구하여라.

[문제 2-3] (20점) [그림 1]의 전개도를 [그림 3]처럼 접어서 만들어진 입체도형을 [그림 4]처럼 뒤집어 [eqn: xy-]평면 위에 세우면 면 [eqn: rm ABCDEF]의 모든 점의 높이, 즉 [eqn: z]-좌표는 동일하다. 이 값을 구하여라.