2011학년도 논술고사 예시문제 예시답안(자연계열-일반학부용)

[해답 1-1]

(1) 점 [eqn: (x,y)]가 [eqn: S]의 임의의 점이면 등식

[eqn: y=f(x)] … ①

가 성립한다. 점 [eqn: (p,q)]에 대한 [eqn: (x,y)]의 대칭점을 [eqn: (s,t)]라 하면, [eqn: s=2p-x,```t=2q-y]이다. [eqn: S]가 [eqn: (p,q)]에 대해 대칭이면 [eqn: (s,t)]가 [eqn: S]에 속하는 점이 되므로 등식 [eqn: t=f(s)]가 성립한다. 따라서,

[eqn: 2q-y=f(2p-x)] … ②

가 성립하고, ①과 ②로부터 [eqn: 2q-f(x)=f(2p-x)]가 성립한다.

(2) [eqn: S]의 임의의 점을 [eqn: (x,y)]라 하고, [eqn: ELL]에 대한 대칭점을 [eqn: (s,t)]라 하면,

[eqn: cases{{t+y} over {2} =m CDOT {s+x} over {2} +k&#{t-y} over {s-x} =- {1} over {m}&}]

이 성립한다. 이를 [eqn: s]와 [eqn: t]에 대해 풀면,

[eqn: s= {1} over {1+m ^{2}} LEFT ( LEFT ( 1-m ^{2} RIGHT ) x+2my-2mk RIGHT ) ,]

[eqn: t= {1} over {1+m ^{2}} LEFT ( 2mx+ LEFT ( m ^{2} -1 RIGHT ) y+2k RIGHT )]

이다. [eqn: (x,y)]와 [eqn: (s,t)]가 [eqn: S]에 속하는 점이므로 [eqn: y=f(x)]이고 [eqn: t=f(s)]이다. 따라서 구하는 조건은

[eqn: y=f(x),]

[eqn: {1} over {1+m ^{2}} LEFT ( 2mx+ LEFT ( m ^{2} -1 RIGHT ) y+2k RIGHT ) =f LEFT ( {1} over {1+m ^{2}} LEFT ( LEFT ( 1-m ^{2} RIGHT ) x+2my-2mk RIGHT ) RIGHT )]

또는

[eqn: {1} over {1+m ^{2}} LEFT ( 2mx+ LEFT ( m ^{2} -1 RIGHT ) f(x)+2k RIGHT ) =f LEFT ( {1} over {1+m ^{2}} LEFT ( LEFT ( 1-m ^{2} RIGHT ) x+2mf(x)-2mk RIGHT ) RIGHT )]

이다.

[해답 1-2]

[eqn: f(x)=ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d]라 두자. 모든 [eqn: x]에 대해 [eqn: f(2p-x)+f(x)-2q=0]이되는 [eqn: p]와 [eqn: q]가 존재함을 보이면 된다.

[eqn: f(2p-x)+f(x)-2q=(6ap+2b)x ^{2} -(12ap ^{2} +4bp)x+8ap ^{3} +4bp ^{2} +2cp+2d-2q]

이므로

[eqn: 6ap+2b=0,`12ap ^{2} +4bp=0,~8ap ^{3} +4bp ^{2} +2cp+2d-2q=0]

을 동시에 만족하는 [eqn: p]와 [eqn: q]가

[eqn: p=- {b} over {3a} ,~~q= {27a ^{2} d-9abc+2b ^{3}} over {27a ^{2}}]

으로 존재하므로 3차함수의 그래프는 항상 점대칭이다.

[해답 1-3]

(1) [eqn: x]-축 상에 한 점 [eqn: A]를 잡고 [eqn: A]를 지나 [eqn: x]-축에 수직인 직선이 직선 [eqn: y=x], 직선 [eqn: ELL]과 만나는 점을 각각 [eqn: B], [eqn: C]라 하자.

[eqn: O]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: ELL]

[eqn: y=x]

그러면, 원점을 [eqn: O]라 할 때, [eqn: ANGLE ABO= ANGLE BOC+ ANGLE BCO]이고 [eqn: ANGLE ABO= {pi } over {4}], [eqn: ANGLE BOC= {pi } over {8}]이므로 [eqn: ANGLE BCO= {pi } over {8} = ANGLE BOC]이다. 따라서 [eqn: TRIANGLE OBC]는 이등변 삼각형이고 [eqn: OB=BC]이다. 이제, [eqn: AB=OA], [eqn: OB= sqrt {2} `OA]이므로, 직선 [eqn: ELL]의 기울기 [eqn: m]은

[eqn: m= {AC} over {OA} = {AB+BC} over {OA} = {OA+OB} over {OA} = {OA+ sqrt {2} `OA} over {OA} =1+ sqrt {2}]

이다. 그러므로 [eqn: ELL]의 방정식은 [eqn: y= LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT ) x]이다.

(2) [eqn: S]에 속하는 임의의 점을 [eqn: (x,y)]라 하고, 이 점의 [eqn: ELL]에 대한 대칭점을 [eqn: (s,t)]라 하자. 그러면, [eqn: y=f(x)=x+ {1} over {x}]이고, 앞 문제의 풀이에 의해

[eqn: s= {1} over {1+m ^{2}} LEFT ( LEFT ( 1-m ^{2} RIGHT ) x+2my-2mk RIGHT )# `````= {1} over {4+2 sqrt {2}} LEFT ( LEFT ( -2-2 sqrt {2} RIGHT ) x+2 LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT ) LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) RIGHT ) = {1} over {sqrt {2} x} ,]

[eqn: t= {1} over {1+m ^{2}} LEFT ( 2mx+ LEFT ( m ^{2} -1 RIGHT ) y+2k RIGHT )# `````= {1} over {4+2 sqrt {2}} LEFT ( 2 LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT ) x+ LEFT ( 2+2 sqrt {2} RIGHT ) LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) RIGHT ) = sqrt {2} x+ {1} over {sqrt {2} x}]

이다. 따라서 [eqn: t=f(s)]가 성립하므로 [eqn: (s,t)]는 [eqn: S]에 속한다. 그러므로 [eqn: S]는 [eqn: ELL]에 대해 대칭이다.

[해답 2-1] 각각의 점화식에서 [eqn: k` -> INF]을 취하면, 다음과 같은 연립 방정식을 얻는다.

[eqn: m _{A} ^{} `=` {m _{B} ^{} `+`m _{C} ^{} `+`m _{D} ^{}} over {3} ,`m _{B} ^{} `=` {m _{A} ^{} `+`2m _{B} ^{}} over {3} ,`m _{C} ^{} `=` {m _{A} ^{} `+2`m _{C} ^{}} over {3} `,`m _{D} ^{} `=` {m _{A} ^{} `+2`m _{D} ^{}} over {3}]

여기에 모든 질량의 합 [eqn: m _{A`} +`m _{B`} `+`m _{C} `+`m _{D} `=1]인 조건을 덧붙여 풀면,

[eqn: (m _{A} ^{} `,`m _{B} ^{} `,`m _{C} ^{} `,`m _{D} ^{} `)=`(1/4,`1/4,`1/4,`1/4)]

임을 알 수 있다.

[해답 2-2] 유한 시간 [eqn: k]초에 수렴 값에 도달한다면,

[eqn: (m _{A} ^{k+1} `,`m _{B} ^{k+1} `,`m _{C} ^{k+1} `,`m _{D} ^{k+1} `)`=`(m _{A} ^{k} `,`m _{B} ^{k} `,`m _{C} ^{k} `,`m _{D} ^{k} `)]

을 만족해야 한다. 문제의 점화식에 대입하여

[eqn: m _{A} ^{k} `=` {m _{B} ^{k} `+`m _{C} ^{k} `+`m _{D} ^{k}} over {3} ,`m _{B} ^{k} `=` {m _{A} ^{k} `+`2m _{B} ^{k}} over {3} ,`m _{C} ^{k} `=` {m _{A} ^{k} `+2`m _{C} ^{k}} over {3} `,`m _{D} ^{k} `=` {m _{A} ^{k} `+2`m _{D} ^{k}} over {3}]

을 얻고 [eqn: m _{A} ^{k} +`m _{B} ^{k} `+`m _{C} ^{k} `+`m _{D} ^{k} `=1]인 조건과 같이 풀면, 해

[eqn: (m _{A} ^{k} `,`m _{B} ^{k} `,`m _{C} ^{k} `,`m _{D} ^{k} `)`=`(1/4,`1/4,`1/4,`1/4)]

을 구한다. 주어진 점화식에서 [eqn: k]를 [eqn: (k-1)]로 치환하면

[eqn: {1} over {4} `=` {m _{B} ^{k-1} `+`m _{C} ^{k-1} `+`m _{D} ^{k-1}} over {3} ,` {1} over {4} `=` {m _{A} ^{k-1} `+`2m _{B} ^{k-1}} over {3} ,` {1} over {4} `=` {m _{A} ^{k-1} `+2`m _{C} ^{k-1}} over {3} `,` {1} over {4} `=` {m _{A} ^{k-1} `+2`m _{D} ^{k-1}} over {3}]

을 얻고, 그 해는 [eqn: (m _{A} ^{k-1} `,`m _{B} ^{k-1} `,`m _{C} ^{k-1} `,`m _{D} ^{k-1} `)`=`(1/4,`1/4,`1/4,`1/4)]이 된다. 이 과정을 반복하면, [eqn: (m _{A} ^{0} `,`m _{B} ^{0} `,`m _{C} ^{0} `,`m _{D} ^{0} `)`=`(1/4,`1/4,`1/4,`1/4)]을 얻는다. 결론적으로 초기 분포가 [eqn: (1/4,`1/4,`1/4,`1/4)]일 때 유한 시간에 수렴하고, 그 밖의 경우에는 유한 시간에 수렴하지 않는다.

[해답 2-3] (1) 문제에 주어진 점화식을 이용하면

[eqn: beta _{k+1`} `=` { beta _{k} `-` gamma _{k} `-` delta _{k}} over {3} `,` gamma _{k+1`} `=` {-beta _{k} `+` gamma _{k} `-` delta _{k}} over {3} ,` delta _{k+1`} `=` {-beta _{k} `-` gamma _{k} `+` delta _{k}} over {3}]

을 유도할 수 있다. 마지막 두 식을 더하면, [eqn: gamma _{k+1} `+` delta _{k+1} `=`-(2/3) beta _{k}]을 얻고 첫 번째 식에 대입하여 [eqn: beta _{k+1`} `=` {1} over {3} ` beta _{k} `+` {2} over {9} beta _{k-1} `]을 얻게 된다. 이것은 [eqn: beta _{k+1`} ``+` {1} over {3} ` beta _{k} =` {2} over {3} `( beta _{k} `+` {1} over {3} beta _{k-1} )`]과 같고, [eqn: beta _{k+1`} ``+` {1} over {3} ` beta _{k}]이 등비수열임을 뜻하므로

[eqn: beta _{k+1`} ``+` {1} over {3} ` beta _{k} `=( beta _{1`} +` {1} over {3} beta _{0} )` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{k} `= LEFT ( {1} over {3} +`0 RIGHT ) `` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{k} `=` {1} over {3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{k}]

이다.

수학적 귀납법을 사용하여 모든 [eqn: k` GEQ `1]에 대하여 [eqn: | beta _{k} |` LEQ LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{k}]을 보이자. [eqn: k=1]일 때 성립함은 당연하다. [eqn: k]일 때 성립한다고 가정하면,

[eqn: | beta _{k+1`} |`= LEFT | -` {1} over {3} ` beta _{k} ``+` {1} over {3} ` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{k} RIGHT | LEQ {1} over {3} ` LEFT ( | beta _{k} |`+ LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{k} RIGHT ) LEQ {1} over {3} ` LEFT ( LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{k} + LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{k} RIGHT ) = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{k+1}]

이므로 [eqn: k+1]일 때 성립함을 확인할 수 있다. 그러므로 [eqn: k` -> INF]일 때, [eqn: beta _{k}]는 [eqn: 0]으로 수렴한다. 모든 식은 [eqn: beta _{k}], [eqn: gamma _{k} `], [eqn: delta _{k}]에 대하여 대칭이므로, 똑같은 논의에 의하여 [eqn: gamma _{k} `], [eqn: delta _{k}]도 역시 [eqn: 0]으로 수렴한다.

(2) 항상 [eqn: m _{A`} +`m _{B`} `+`m _{C} `+`m _{D} `=1]이므로, 등식 [eqn: 1`-` beta _{k} `-` gamma _{k} `-` delta _{k} `=`4m _{A} ^{k}]을 얻는다. [eqn: beta _{k}], [eqn: gamma _{k} `], [eqn: delta _{k}]는 모두 [eqn: 0]으로 수렴하므로 [eqn: 4m _{A} ^{k}]는 [eqn: 1]로 수렴한다. 즉, [eqn: m _{A} ^{k}]는 [eqn: 1/4]로 수렴한다. 이제 [eqn: m _{B} ^{k} `=`m _{A} ^{k} `+` beta _{k}], [eqn: m _{C} ^{k} `=`m _{A} ^{k} `+` gamma _{k}], [eqn: m _{D} ^{k} `=`m _{A} ^{k} `+` delta _{k}]이므로 [eqn: m _{B} ^{k} `], [eqn: m _{C} ^{k} `], [eqn: m _{D} ^{k} `]는 모두 수렴한다.