내일이 더 큰 사람,  당신은 아주대입니다.

2011학년도 수시 논술고사 예시문제

자연계열

(일반학부용)

아주대학교 입학처

문제 1 (50 점)

(가) 도형의 대칭성에 대해 알아보자. 평면도형의 대칭성은  점대칭과 선대칭의 두 가지로 나눌 수 있다.

도형 [eqn: S]가 점대칭이라는 것은, 특정한 점 [eqn: P]가 존재하여 이 점 [eqn: P]를 중심으로 도형 [eqn: S]를 180도 회전시키면 회전된 도형이 원래 도형에 겹쳐진다는 것을 뜻한다. 이 때 점 [eqn: P]를 도형 [eqn: S]의 대칭의 중심이라 한다. 도형 [eqn: S]를 둘러싸는 원이 존재할 때 [eqn: S]를 유계도형이라 하는데, 도형 [eqn: S]가 유계도형이고 점대칭이면 대칭의 중심은 유일하다.

평행사변형은 점대칭도형의 한 예이다.  두 대각선의 교점이 평행사변형의 대칭의 중심이다. 싸인함수의 그래프는 점대칭도형의 또 다른 예이다. 싸인함수의 그래프는 유계도형이 아니며, 대칭의 중심도 무수히 많다.

다음으로, 도형 [eqn: S]가 선대칭이라는 것은, 특정한 직선 [eqn: ELL]이 존재하여 도형 [eqn: S]를 직선 [eqn: ELL]을 따라 접으면 도형의 두 부분이 완전하게 포개진다는 것을 뜻한다. 이 때 직선 [eqn: ELL]을 대칭축이라 하며, 대칭축은 여러 개 있을 수 있다.

이등변삼각형은 선대칭도형의 예이다. 등변이 아닌 변의 수직이등분선이 이등변삼각형의 대칭축이다. 정사각형도 선대칭이며, 정사각형의 대칭축은 4개나 된다. 일반적으로 정[eqn: n]각형은 대칭축이 [eqn: n]개인 선대칭도형이다.

(나) 도형 [eqn: S]가 점 [eqn: P]에 대해 점대칭이기 위해서는, 도형 [eqn: S]의 임의의 점 [eqn: A]의 대칭의 중심 [eqn: P]에 대한 대칭점 [eqn: A']이 도형 [eqn: S]에 포함되어 있으면 된다. 이 때 세 점 [eqn: A,`A',`P]는  점 [eqn: P]가 선분 [eqn: AA']의 중점이 된다는 관계를 만족한다.

[그림 1-1]

[eqn: P]

[eqn: A]

[eqn: A']

•

〃

〃

•

•

같은 식으로, 도형 [eqn: S]가 직선 [eqn: ELL]에 대해 선대칭이기 위해서는, 도형 [eqn: S]의 임의의 점 [eqn: A]의 대칭축 [eqn: ELL]에 대한 대칭점 [eqn: A']이 도형 [eqn: S]에 포함되어 있으면 된다. 이 때 두 점 [eqn: A,`A']과 직선 [eqn: ELL]은 직선 [eqn: ELL]이 선분 [eqn: AA']의 수직이등분선이 된다는 관계를 만족한다.

[그림 1-2]

[eqn: ELL]

[eqn: A]

[eqn: A']

•

•

˝

┑

˝

[문제 1-1] 도형 [eqn: S]가 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프일 때 다음에 답하라.

(1) (5 점) 도형 [eqn: S]가 좌표가 [eqn: (p,q)]인 점 [eqn: P]에 대하여 점대칭일 조건을 함수 [eqn: f]에 관한 식으로 나타내어라.

(2) (15 점) 도형 [eqn: S]가 방정식 [eqn: y=mx+k](단, [eqn: m != 0])로 주어진 직선 [eqn: ELL]에 대하여 대칭일 조건을 함수 [eqn: f]에 관한 식으로 나타내어라.

[문제 1-2] (10 점)  3차함수 [eqn: y=ax ^{3`} +bx ^{2} +cx+d````(a != 0)]의 그래프는 점대칭임을 보여라.

[문제 1-3] 함수 [eqn: f(x)=x+ {1} over {x}]의 그래프를 [eqn: S]라 하자.

(1) (10 점) [eqn: S]의 두 점근선인 직선 [eqn: y=x]와 [eqn: y]-축이 이루는 예각을 2등분하는 직선 [eqn: ELL]의 방정식을 구하라.

(2) (10 점) [eqn: S]가 [eqn: ELL]에 대해 선대칭임을 보여라.

문제 2 (50 점)

1827년 영국의 식물학자 로버트 브라운은 액체 속의 꽃가루를 현미경으로 관찰하던 중 꽃가루 알갱이가 액체 속에서 끊임없이 불규칙한 운동을 하며 떠다니는 것을 발견하였다. 브라운은 꽃가루의 운동이 꽃가루 내부의 생명에너지에 의해 일어난다고 생각했으나, 물리학자들은 내부 유체의 불규칙한 유동현상(유체분자의 충돌에 의해 일어남)이 꽃가루를 통하여 보여 지는 것이라고 결론지었다. 그리고 이 현상을 발견한 과학자의 이름을 따서 브라운 운동이라 하였다. 또 물리학자들은 온도가 높거나 입자의 알갱이가 작을수록 브라운 운동이 활발해짐을 발견했다. 특히, 아인슈타인은 입자들의 평균이동 거리를 확률적 방법을 응용하여 계산하였다. 브라운 운동은 분자 수준의 모든 자연 현상에서 일어나며, 가장 간단한 예로 투명 용액 속에 붉은 잉크를 한 방울 떨어뜨릴 때 잉크가 확산되어 전체용액이 오랜 시간 후 엷은 색의 용액으로 바뀌는 현상을 들 수 있다. 현대에는 브라운 운동이 물리적 현상뿐만 아니라, 정보망을 통한 정보의 확산과정, 주식의 가격 변동 등 경제 현상을 설명하는 중요한 수학적 도구로 활용되고 있다. 우리는 간단한 격자 상의 불규칙한 유동현상(이를 랜덤 워크 random walk라 부른다) 실험을 통하여, 이 현상을 이해하고자 한다.

다음의 그림과 같이 4개의 연결된 점 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C], [eqn: D]에 총질량 1그램의 물질이 분포하고 있다.

A

B

C

D

매초마다 물질은 일정한 규칙에 따라 확산한다. 즉, 만일 [eqn: (m _{A} ^{k} `,`m _{B} ^{k} `,`m _{C} ^{k} `,`m _{D} ^{k} `)]를 [eqn: k]초 후의 각 점에서의 물질의 질량이라 하면 [eqn: (k+1)]초 후의 각 점에서의 질량은 점화식

[eqn: m _{A} ^{k+1} `=` {m _{B} ^{k} `+`m _{C} ^{k} `+`m _{D} ^{k}} over {3} ,`m _{B} ^{k+1} `=` {m _{A} ^{k} `+`2m _{B} ^{k}} over {3} ,`m _{C} ^{k+1} `=` {m _{A} ^{k} `+2`m _{C} ^{k}} over {3} `,`m _{D} ^{k+1} `=` {m _{A} ^{k} `+2`m _{D} ^{k}} over {3}]

을 만족한다. 예를 들어, 초기에 물질의 분포가 [eqn: (m _{A} ^{0} `,`m _{B} ^{0} `,`m _{C} ^{0} `,`m _{D} ^{0} `)`=`(1/2,`1/2,`0,`0`)]이라면, 1초 후에는 [eqn: (1/6,`1/2,`1/6,`1/6)]이고 2초 후에는 [eqn: (5/18,`7/18,`1/6,`1/6)]이 된다.

[문제 2-1] (10 점) 시간이 갈수록([eqn: k` -> INF]) 각 점에서의 질량 분포 [eqn: (m _{A} ^{k} `,`m _{B} ^{k} `,`m _{C} ^{k} `,`m _{D} ^{k} `)]이 수렴한다고 가정할 때, 그 수렴 값 [eqn: (m _{A} ^{} `,`m _{B} ^{} `,`m _{C} ^{} `,`m _{D} ^{} `)]을 구하는 과정을 기술하고 그 값을 구하라.

[문제 2-2] (10 점) 유한 시간 [eqn: k]초에 수렴 값에 도달할 수 있는지 판단하고 그 이유를 기술하라.

[문제 2-3] 초기에 물질의 분포가 [eqn: (m _{A} ^{0} `,`m _{B} ^{0} `,`m _{C} ^{0} `,`m _{D} ^{0} `)`=`(1/2,`1/2,`0,`0`)]이라 하자.

(1) (20 점) 시간 [eqn: k]에서 두 점 사이의 질량 차이를 다음과 같이 정의한다:

[eqn: beta _{k} `=m _{B} ^{k} -`m _{A} ^{k} `,```` gamma _{k} `=m _{C} ^{k} -`m _{A} ^{k} `,```` delta _{k} `=m _{D} ^{k} -`m _{A} ^{k} `].

[eqn: k` -> INF]일 때 [eqn: beta _{k} `,` gamma _{k} `,` delta _{k} `]는 모두 [eqn: 0]으로 수렴함을 보여라.

(2) (10 점) 각 점에서의 질량 분포 [eqn: (m _{A} ^{k} `,`m _{B} ^{k} `,`m _{C} ^{k} `,`m _{D} ^{k} `)]은 [eqn: k` -> INF]일 때 수렴함을 보여라.